Transparencias

Lección 7
Ecuaciones diferenciales de primer orden:
Aplicaciones a la Ingenierı́a Quı́mica
1
Ecuaciones Diferenciales en Cinética Quı́mica
Ecuación estequiométrica:
a A + b B + ··· = p P + q Q + ···
o
0 = −a A − b B − . . . + p P + q Q + . . . =
νA A + νB B + . . . + νP P + νQ Q + . . .
Velocidad de la reacción:
1 d[A]
1 d[B]
1 d[P]
1 d[Q]
=−
=
=
= ···
v =−
a dt
b dt
p dt
q dt
[A]= concentración de A en moles/(unidad de volumen).
Reacción elemental: La velocidad de reacción sólo depende de la
concentración de reactivos:
v = k[A]α [B]β · · ·
k = constante de velocidad de reacción.
α + β + · · · = orden de la reacción.
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Reacciones elementales
Orden de la reacción
1
Forma
A −→ Productos
2A −→ Productos
A + B −→ Productos
..
.
2
..
.
A + B −→ Productos
d[A]
d[B]
v =−
=−
= k[A][B],
dt
dt
Si [A]0 = a, [B]0 = b y x(t) = concentración (en moles/litro) de
[A] o [B] que han reaccionado hasta el instante t, entonces
[A] = (a − x(t)) y [B] = (b − x(t)).
v =−
d[A]
d(a − x)
dx
=−
=
= k(a − x)(b − x)
dt
dt
dt
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Un ejemplo más complicado
Ejemplo
Consideremos las siguientes reacciones irreversibles de segundo orden que
se producen consecutivamente en un reactor:
k
A+S
1
−→
X +S
2
−→
k
X
Y
Si inicialmente se añaden 2 moles de S y 1 mol de A. ¿Cuál es la fracción
molar de X cuando ya ha sido consumida la mitad de A? Supóngase que
k2 /k1 = 2.
[X ]
Fracción molar de X =
[A] + [S] + [X ] + [Y ]
 d[A]


dt = −k1 [A][S]

 d[Y
]
dt = k2 [X ][S]
d[X ]


dt = k1 [A][S] − k2 [X ][S]

 d[S]
dt = −k1 [A][S] − k2 [X ][S]
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Balances de Masa
Concentración de contaminante en un lago
cantidad de contaminante
en el instante t + ∆t
=
+
−
+
cantidad de contaminante
+
en el instante t
!
cantidad de contaminante
que ha entrado desde t −
hasta t + ∆t
!
cantidad de contaminante
que ha salido desde t
+
hasta t + ∆t
cantidad de contaminante
generado a partir de otros productos
por reacciones quı́micas entre t y t + ∆t
Flujo de masa: cantidad de materia por unidad de tiempo
5
cantidad
cantidad
− de contaminante
de contaminante
en el instante t + ∆t
en el instante t
=
∆t

 

cantidad
cantidad
de contaminante

  de contaminante 
que ha entrado desde t
que ha salido desde t
hasta t + ∆t
hasta t + ∆t
−
+
∆t
∆t


cantidad de contaminante
generado a partir de


otros productos por reacciones
quı́micas entre t y t + ∆t
+
∆t
Tomando lı́mites cuando ∆t → 0:
dm
= ṁe − ṁs + ṁr ,
dt
Acumulación= Entrada-Salida+ Generación
6
!
El CSTR: un modelo ideal para balances de masa
Entrada
Entrada
acion
Gener
Salida
Acumulacion
Si c(t) = concentración de materia en el instante t y
V (t) = volumen de lı́quido en el CSTR en el instante t:
dm
d(c(t)V (t))
=
dt
dt
Estado estacionario: las concentraciones y el volumen no cambian
dm
con el tiempo:
=0
dt
Estado no estacionario: los caudales de entrada o salida comienzan
o paran en un cierto momento, o la concentración de entrada varı́a
de un momento a otro, o hay variación de volumen en la región de
dm
control de volumen:
6= 0
dt
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Fujos de entrada y salida y generación
Flujo de masa entrante: ṁe = Qe (t) · ce (t)
Qe (t)= caudal entrante, ce (t)= concentración entrante.
Flujo de masa saliente: ṁs = Qs (t) · c(t)
Qs (t)= caudal saliente, c(t)= concentración saliente=
concentración en el CSTR.
Generación: Flujo de materia producida o destruı́da por
unidad de tiempo debido a, por ejemplo, reacciones quı́micas
d(cr (t)V (t))
r
entre los componentes: ṁr = dM
=
.
dt
dt
Mr (t)= cantidad de materia producida por reacción quı́mica.
Puede ser:
dMr
= 0: Materia conservativa.
dt
dcr (t)
= −k: Decaimiento de orden 0
dt
dcr (t)
= −kc(t): Decaimiento de orden 1
dt
Producción de materia.
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Ejemplos
Ejemplo
Se utiliza un CSTR para el tratamiento de desechos industriales utilizando
una reacción que destruye los desechos de acuerdo con una cinética de
dcr (t)
primer orden:
= −kc(t), siendo k = 00 216/dia. El volumen del
dt
reactor es 500 m3 , los caudales de entrada y salida son los mismos e
iguales a 50 m3 /dia y la concentración de residuos en la entrada es 100
mgr/l. ¿Cuál es la concentración de salida? (Estado estacionario)
Ejemplo
El proceso industrial del ejemplo anterior para el tratamiento de desechos
tiene que pararse. En el momento de rearrancarlo, es decir en t = 0, se
pone la concentración de entrada igual a 0 (i. e. sólo entra agua limpia).
¿Cuál es la concentración de salida en función del tiempo? ¿Cuánto
tiempo costará al reactor alcanzar una concentración que sea el 10 % del
valor obtenido en el ejemplo anterior?. (Estado no estacionario)
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Más Ejemplos
Ejemplo
6 l/min
1 Kgr/l
x(t)
1000 l
x(0) =0 kgr
6 l/min
Considérese un CSRT que contiene 1000 l. de
agua limpia, hacia el que una solución salada
de salmuera empieza a fluir a una velocidad
constante de 6 l/min. La solución fluye hacia el
exterior del tanque a la velocidad de 6 l/min. Si
la concentración de sal en la salmuera que entra
en el tanque es de 1 kgr/l, determı́nese cuándo
será de 12 kgr/l la concentración en el tanque.
Ejemplo
Supongamos que un CSTR de 10 m3 contiene 4 m3 de agua limpia. En
un momento dado se comienza a verter azucar al recipiente a razón de
2’5 kgr/min. En el mismo instante se comienza a verter agua limpia a
razón de 2 m3 /min. Al mismo tiempo se comienza a sacar disolución del
recipiente a razón de 1 m3 por minuto. ¿Cuál será la concentración de
azúcar en el recipiente cuando la disolución llegue al lı́mite de la
capacidad del recipiente?
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Balances de energı́a


Variación de la
energı́a interna y externa =
en función del tiempo
Salida de energı́a
Entrada de energı́a
−
por unidad de tiempo
por unidad de tiempo
O equivalentemente
dE
= Ėe − Ės .
dt
donde Ėe y Ės son los flujos de energia (energı́a por unidad de
tiempo) que entran y salen del sistema.
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Ejemplos
Ejemplo
Se utiliza un termo eléctrico de agua para calentar agua de un suministro
que circula a 10o C. El nivel de calentamiento del termo se coloca al
máximo mientras varias personas se duchan sucesivamente. Si, al máximo
nivel, el calentador utiliza 5 Kw de electricidad por segundo, y el agua de
la ducha fluye continuamente a 8 l/min ¿cuál es la temperatura del agua
que sale del calentador? Se supone que la temperatura del agua en el
calentador es siempre la misma (estado estacionario) y que el calentador
es 100 % eficiente (está perfectamente aislado y toda la energı́a se utiliza
para calentar el agua).
Recordemos
Q = mc(T2 − T1 )
es la cantidad de calor que hay que suministrar a un cuerpo de calor
especı́fico (o capacidad calorı́fica especı́fica) c y de masa m para que su
temperatura varı́e de T1 a T2
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Ejemplo
Han de enfriarse 4536 l/h de ácido
sulfúrico, H2 SO4 (calor especı́fico 0’36
kcal/(kgr·o C) y densidad relativa 1’85
q,Te
kgr/l) en un CSTR como el que se muestra
V
Ta
T
en la Figura de al lado. El ácido a 174o C se
introduce en el tanque donde es bien
q,T
agitado en contacto con un serpentı́n
refigerante de área 8 m2 y que se mantiene
constantemente a la misma temperatura de
20o C.
La capacidad del tanque es de 4536 l. de ácido y el coeficiente de
transmisión de calor entre el serpentı́n y el ácido es de 635 Kcal/(h
· m2 ·o C) y puede suponerse constante. Suponiendo que el caudal
de salida del ácido sulfúrico del tanque es el mismo que el de
entrada ¿a qué temperatura sale el ácido sulfúrico del tanque en
cada instante de tiempo?
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