1 Mezclas. E: Un depósito contiene 100 gal de salmuera en la que hay disueltas 40 lb de sal. Se desea reducir la concentración de sal hasta 0:1 lb/gal vertiendo agua pura en el depósito a razón de 5 gal/min y permitiendo que salga a la misma razón. La mezcla se mantiene uniforme. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que se logre lo deseado? D: H Si X.t/ es la cantidad (en libras) de sal que hay en el tanque al cabo de t minutos, entonces X.0/ D 40. Además: La rapidez con que entra solución al tanque: Re D 5 gal/min. La concentración de sal en la solución que entra: Ce D 0 lb/gal. La rapidez con que entra sal al tanque: Re Ce D 2.0/ lb/min. La rapidez con que sale la mezcla del tanque: Rs D 5 gal/min. La cantidad de solución en el tanque es constante: V D 100 gal. X.t/ lb/gal. 100 X.t/ La rapidez con que sale sal del tanque: Rs Cs .t/ D 5 lb/min. 100 La rapidez de cambio de la cantidad de sal en el tanque, en cualquier instante t 0, es La concentración de sal en la mezcla que sale: d X.t/ D Re Ce dt Cs .t/ D Rs Cs .t/ D 0 5 X.t/ D 100 1 X.t/: 20 La cantidad X.t/ está dada por la solución del PVI: X 0 .t/ C 1 X.t/ D 0 con X.0/ D 40: 20 Resolvemos la ED lineal: 0 X .t/ D Z Z 1 X 0 .t/ 1 ) dt D dt ) 20 X.t/ 20 1 1 ) lnŒX.t/ D t C C ) X.t/ D e 20 tCC D e 20 X 0 .t/ 1 X.t/ ) D 20 X.t/ ) X.t/ D C e 1 t 20 : La anterior es la solución general de la ED. Ahora: X.0/ D 40 ) C e 0 D 40 ) C D 40: Luego: X.t/ D 40e 6. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010 1 t 20 lb de sal. 1 t 20 e C D Ce 1 t 20 ) 2 Hemos resuelto el PVI. Por lo tanto la concentración de sal en la mezcla del tanque después de t minutos es 1 1 X.t/ 40e 20 t C.t/ D D D .0:4/e 20 t lb/gal. 100 100 Esta concentración es de 0:1 lb/gal cuando: C.t/ D 0:1 ) .0:4/e ) t 20 D .0:1/ ) e t 20 D 0:1 D 0:25 ) 0:4 t D ln.0:25/ ) t D . 20/ ln.0:25/ D 27:726 : 20 Esto es, el propósito de tener una concentración de 0:1 lb/gal se logra después de t D 27 min, 44 s.