1 Mezclas. E: Un tanque con capacidad para 500 gal contiene

1
Mezclas.
E: Un tanque con capacidad para 500 gal contiene inicialmente 10 lb de sal disueltas en 200 gal de
agua. Se bombea al tanque salmuera que contiene 2 lb/gal a razón de 4 gal/min y se permite
que la mezcla salga del tanque a razón de 3 gal/min.
a. ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque después de t minutos?
b. ¿Cuál es la concentración de sal después de una hora?
c. ¿Cuánta sal contiene el tanque cuando se llena?
d. ¿Cuál es la concentración de sal en el tanque cuando se llena?
D: H Si X.t/ es la cantidad de sal (en libras) en el tanque al cabo de t minutos, entonces X.0/ D
10. Además:
La rapidez con que entra solución al tanque:
Re D 4 gal/min.
La concentración de sal en la solución que entra: Ce D 2 lb/gal.
La rapidez con que entra sal al tanque:
Re Ce D 4.2/ lb/min.
La rapidez con que sale la mezcla del tanque:
Rs D 3 gal/min.
La cantidad de solución en el tanque es variable:
Aumenta un galón cada minuto transcurrido.
V .t/ D .200 C t/ gal.
La concentración de sal en la mezcla que sale:
Cs .t/ D
X.t/
X.t/
D
V .t/
200 C t
lb/gal.
La rapidez con que sale sal del tanque:
Rs Cs .t/
D
3
lb/min.
X.t/
200 C t
La rapidez de cambio de la cantidad de sal en el tanque, en cualquier instante t 0, es
d
X.t/ D Re Ce
dt
Rs Cs D 4.2/
3
X.t/
D8
200 C t
3
X.t/:
200 C t
a. La cantidad X.t/ está dada por la solución del PVI:
X 0 .t/ C
3
X.t/ D 8; con X.0/ D 10:
200 C t
Para resolver el problema, notemos que la ED lineal tiene factor integrante:
e
4. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010
R
3dt
200Ct
3
D e 3 ln.200Ct/ D e ln.200Ct/ D .200 C t/3 :
2
Por lo tanto,
3
3X.t/
3
0
X .t/ C
X.t/ D 8 ) .200 C t/ X .t/ C
D 8.200 C t/3 )
200 C t
200 C t
d
)
Œ.200 C t/3 X.t/ D 8.200 C t/3 )
dt
Z
.200 C t/4
3
CC )
) .200 C t/ X.t/ D 8 .200 C t/3 dt D 8
4
) .200 C t/3 X.t/ D 2.200 C t/4 C C )
C
) X.t/ D 2.200 C t/ C
:
.200 C t/3
0
Hemos encontrado la solución general de la ED. Ahora:
X.0/ D 10 ) 2.200/ C
C
D 10 ) C D 390.200/3 :
3
.200/
Luego:
X.t/ D 2.200 C t/
390.200/3
) X.t/ D 2.200 C t/
.200 C t/3
200
390
200 C t
3
lb de sal:
b. La cantidad de sal después de una hora (60 min) es
X.60/ D 2.260/
200
390
260
3
D 520
177:515 D 342:485 lb:
La cantidad de solución después de una hora es V .60/ D 200 C 60 D 260 gal. La concentración de sal en el tanque después de una hora es
Cs .60/ D
X.60/
342:485
D
D 1:31725 lb/gal.
260
260
c. Cuando el tanque se llena ocurre que:
V .t/ D 500 ) 200 C t D 500 ) t D 300:
Han transcurrido 300 min y la cantidad de sal que hay en el tanque es
X.300/ D 2.500/
200
390
500
3
D 1 000
24:96 D 975:04 lb:
d. Cuando el tanque se llena, la concentración de sal es
Cs .300/ D
X.300/
975
D
lb/gal D 1:95 lb/gal:
500
500