EJERCICIOS RESUELTOS FUNCIONES ELEMENTALES Cuestión 1.- Dadas las siguientes funciones, se pide: a) Dominio b) Reprentación gráfica c) Imagen o recorrido e) Acotación f) Extremos relativos g) Extremos absolutos i) Periodicidad d)Monotonía h) Simetría − 2 x 2 + x + 3 si x <1 1º) f ( x) = 2 x − 1 si 1 ≤ x < 3 si x>3 ln x x 2º) g ( x) = 2 1 3º) h( x) = x + 2 3 x si x < −2π 2 4º) m( x) = senx si − 2π < x < 2π − 2 si x > 2π si x<0 si x>0 1 si x3 5º) n( x) = 2 si log x si 1 2 x<0 x=0 x>0 si si x ∈ (− ∞,2) x ∈ [2,+∞) x 2 + 4 x + 3 2 6º) r ( x) = − 2 x 2 + 2 2 2 x − 4 x + 3 si − 5 ≤ x < −1 si si si si x = −1 −1 < x < 1 x =1 1< x ≤ 5 SOLUCIONES 1º) a) Dom f = R-{3} e) No está acotada 1 1 d) f creciente en − ∞, ∪ (1,3) ∪ (3,+∞ ) ; f decreciente en ,1 4 4 1 f) Máximo relativo en x0 = g) No tiene h) e i) No hay 4 c) Im f = R b) 2º) a) Dom g = R c) Recorr (g) = [0,+∞) d) f creciente en (0,2) ; f decreciente en (−∞,0) ; f constante en (2,+∞ ) e) Acotada inferiormente con ínfimo 0 f) y g) Mínimo relativo y absoluto en (0,0) h) e i) No hay b) 1 1 c) Im h = (− ∞,0 ) ∪ ,+∞ d) f creciente en (0,+∞ ) ; f decreciente en 2 e) No está acotada f) y g) No tiene h) e i) No tiene 3º) a) Dom h = R –{-2,0} (− ∞,−2) ∪ (− 2,0) b) 4º) a) Dom m = R – {2π ,−2π } c) Im h = [− 1,1] ∪ {2,−2} d) f creciente en − 3π − π π 3π − 3π − π π 3π , ∪ ,2π ; f decreciente en , − 2π , ∪ ∪ , ; f constante en (− ∞,−2π ) ; f 2 2 2 2 2 2 2 2 − 3π π constante en (2π ,+∞ ) e) Acotada con supremo 2 e ínfimo -2 f) Máximos relativos en ,1 y en ,1 ; 2 2 −π 3π Mínimos relativos en ,−1 y ,−1 g) Infinitos máximos absolutos para todo x0 < −2π ; ) Infinitos 2 2 mínimos absolutos para todo x0 > 2π h) Impar i) No tiene b) 2 5º) a) Dom n = R c) Im h = R g) No tiene h) e i) No tiene b) d) f creciente en (− ∞,0) ; f decreciente en (0,+∞) e) No está acotada f) y 6º) a) Dom n = [-5,5] c) Im h = [-1,8] d) f creciente en (− 2,−1) ∪ (− 1,0) ∪ (2,5) ; f decreciente en (−5,−2) ∪ (0,1) ∪ (1,2) e) Acotada con supremo 8 e ínfimo -1 f) y g) Máximo relativo en (0,2) y mínimos relativos y absolutos en (-2,-2) y (2,-1). Máximos absolutos y relativos en (-5,8) y (5,8) en h) Par i) No tiene b) 3 Cuestión 2.- Representar gráficamente las siguientes funciones: a) f ( x) = 3 + cos x b) g ( x) = 1 ( x − 2) 2 c) h( x) = tg ( x − SOLUCIONES a) b) c) 4 π 2 ) Cuestión 3.- Cuestión 4.- 5 Cuestión 5.- Cuestión 6.- Cuestión 7.- Representa gráficamente la función cuadrática: y = -x² + 4x - 3 1. Vértice x v = - 4/ -2 = 2 y v = -2² + 4· 2 - 3 = -1 2. Puntos de corte co n el eje OX. x² - 4x + 3 = 0 6 V(2, 1) (3, 0) (1, 0) 3. Punto de corte con el eje OY. (0, -3) Cuestión 8.Representa gráficamente la función cuadrática: y = x² +x + 1 SOLUCIÓN : 1. Vértice xv = -1/ 2 yv = (-1/ 2)² + (-1/ 2) + 1= 3/4 V(-1/ 2, 3/ 4) 2. Puntos de corte con el eje OX. x² + x + 1= 0 No hay puntos de corte con OX. 3. Punto de corte con el eje OY. (0, 1) 7 Cuestión 9.Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a. SOLUCIÓN : 9 = 1² + a· 1 + a a=4 Cuestión 10.Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación. La cocordenada x del vértice es 1. 1 = -b /2 a b = -2 a y = ax² + bx + c f(0)=2 2 = c f(1) = 1 1 = a + b + 2 1 = a -2a + 2 a=1 b = -2 y = x 2 - 2x + 2 8 Cuestión 11.Partiendo de la gráfica de la funció n f(x) = x 2 , representa: 1. y = x² + 2 2. y = x² - 2 3. y = (x + 2)² 4. y = (x + 2)² 5. y = (x - 2)² + 2 6. y = (x + 2)² − 2 y = x² y = x² +2 9 y = x² -2 y = (x + 2)² y = (x - 2)² Cuestión 12.- Representa y = (x - 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2 las funció n definida a trozos 10 SOLUCIÓN : Cuestión 13.- Cuestión 14.- Representa las funció n definida a trozos: SOLUCIÓN : Cuestión 15.- Representa las funció n definida a trozos: 11 f(x) = sgn(x) SOLUCIÓN : Cuestión 16.- Encuentra la expresió n analítica de la función SOLUCIÓN : Cuestión 17.- Representa las funció n valor absoluto: f(x) = |x - 2| SOLUCIÓN : Cuestión 18.- Representa las funció n valor absoluto. 12 SOLUCIÓN : Cuestión 19.- Representa las funció n valor absoluto e indica su dominio: SOLUCIÓN : 13 Dom = Cuestión 20.- Representa las funció n valor absoluto: f(x) = |-x² + 5x - 4| SOLUCIÓN : -x² + 5x - 4 =0 x² - 5x + 4 =0 Cuestión 21.- Representa x = 1 ó x = 4 las funció n valor absoluto: f(x) = |x| − x SOLUCIÓN : 14 Cuestión 22.- Representa las funció n valor absoluto: f(x) = |x| / x SOLUCIÓN : Dom( f ) = R − {0} − x f ( x) = x x x Cuestión 23.- si x<0 si x>0 − 1 si f ( x) = 1 si x<0 x>0 Representa la funcion racional f(x) = 6/x: x −6 −3 −2 −1 1 2 3 6 f(x) = 6/x −1 −2 −3 −6 6 3 2 1 15 Cuestión 24.- Representa la funcion racional f(x) = 6/x se desplaza hacia arriba 3 unidades. Cuestión 25.- Representa la funcion racional f(x) = 6/x se desplaza hacia la izquierda 3 unidades. 16 Cuestión 26.- Representa la funcion racional f(x) = 6/x se desplaza hacia la derecha 3 unidades y 4 hacia arriba. Cuestión 27.- Representa las funcio nes expo nenciales: a) x −3 −2 −1 0 1 2 3 f(x) = 3 x 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 b) x −3 −2 −1 0 1 2 3 15.625 6.25 2.5 1 0.4 0.16 0.064 f(x) = (2/5) x 17 Cuestión 28.- Representa la funciones logarítmicas: a) x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 f(x) −3 −2 −1 0 1 2 3 b) x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 f(x) 3 2 1 0 −1 −2 −3 18 c) f(x) = ln x x 0.1 0.5 1 2 3 4 5 f(x) −2.3 −0.7 0 0.7 1.1 1.4 1.6 Cuestión 29.- Representa las funcio nes trigono métricas: a) x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π f(x) 0 −0.7 −1 −0.7 0 0.7 1 0.7 0 19 b) 20