8 solucionari REP T E Vist i no vist! El primer any es va presentar 13 persones al torneig i va guanyar la jove Alícia. En quina posició es va posar? Si el segon any s’hi van presentar 100 persones i també va guanyar l’Alícia, en quina posició va començar? si escollim m i t de manera que n = 2m + t i 0 # t # 2m aleshores f (t) = 2n + 1 o específicament: f (n) = 2f (n) = 2 (n - 2log n ) f (n) = = 2 (n - 2log n ) + 1 2 2 En el nostres cas, el primer any l’Alícia se situa en l’11a posició. n = 13 = 23 + 5, amb 0 # 5 # 23 = 8 " " f (13) = 2 ? 5 + 1 = 11 L’Alícia sempre aconseguia guanyar, tant se valia quantes persones s’hi presentessin. Com sabia en quina posició s’havia de col·locar? El segon any: n = 100 = 26 + 36, amb 0 # 36 # 26 = 64 " " f (100) = 2 ? 36 + 1 = 73 Es tracta del Problema de Flavio Josefo, descrit al llibre La guerra dels jueus, en el llibre 3, capítol 8, part 7. I en general, si hi ha n mags, l’Alícia sap que s’ha de situar en la posició que compleix que si n # 2m + t i 0 # t # 2m" " f (n) = 2t + 1. Tracta sobre que cada persona que ocupa un lloc parell desapareix. Si hi ha n persones inicialment, anomenem f (n) la posició del guanyador del torneig. En la primera volta totes les persones en posició parella desapareixen. En la segona volta desapareixen totes les persones que han passat a ocupar posició parella, etc. Si el nombre inicial de persones és parell, aleshores la persona en la posició x durant la segona volta al voltant del cercle era originalment en la posició 2 x - 1 (sigui el que sigui el valor de x). És a dir, sigui n = 2 j, la persona en f ( j ) que guanyarà era originalment en la posició 2f ( j ) - 1. Per tant, f (2 j ) = 2 f ( j ) - 1. P E NSA PÀG . 197. Troba el domini d’aquesta funció. ln ` 15 - x2 - 1j x+2 El denominador no pot ser nul. x + 2 ! 0 " x ! -2 Per tant, -2 no forma part del domini. L’argument del logaritme ha de ser sempre positiu. 15 - x 2 - 1 2 0 " 15 2 x 2 - 1 " " 15 2 x 2 - 1 " 16 2 x 2 " x ! (-4, 4) Si el nombre inicial de persones és senar, aleshores la primera persona desapareixerà al final de la primera volta. Una vegada més, durant la segona volta la nova segona persona desapareix, després la quarta, etc. En aquest cas, la persona en posició x és originalment en la posició 2 x + 1. Per tant, f (2 j + 1) = 2f ( j ) + 1. El domini d’aquesta funció és (-4, -2) , (-2, 4). Quan comptabilitzem els valors de n i f (n), en veiem el patró. Dom f (x) = R - {0} n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f (n) 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1 Això suggereix que f (n) és una seqüència creixent senar que retorna amb f (n) = 1, sempre que l’índex n sigui una potència de 2. Per tant, PÀG . 2 02 . Troba el domini d’aquesta funció. f (x) = 3 1 x El denominador no pot ser nul. L’arrel, com que és d’índex senar, no planteja restriccions. PÀG . 2 04 . Calcula la funció inversa de f (x) = e x . 2 " x = e y " ln x = y 2 " " y = ln x " f -1(x) = ln x y = ex 2 2 PÀG. 205. Troba el domini de f (x) = log (log x). Dom f (x) = (1, +3) 309 solucionari PÀG . 209. Escriu f (x) = ;ln x; com una funció definida a trossos. -ln x si ln x 1 0 -ln x si 0 1 x 1 1 f (x) = * =* ln x si ln x $ 0 ln x si x $ 1 PÀG . 21 0 . Donades les funcions f (x) = x + 2 i g (x) = ln (x + 1), pots calcular el valor f de f p (-2)? g No es pot, ja que g (x) no està definida en x = -2. a) No és una funció perquè un mateix pes pot correspondre a un nombre diferent de peces de fruita. b) És una funció, ja que per a cada quantitat de fruita comprada hi ha un únic preu segons el pes en quilos. c) Si ens referim a un únic tipus de fruita, sí que és una funció, ja que a un mateix pes li correspon un únic preu. 3 Determina domini de les funcions següents. a) f (x) = 2 x2 - 3x + 1 ACT I VI TATS 1 Justifica si les gràfiques següents corresponen a funcions. a) b) f (x) = x2 + 4 x2 - 4 c) f (x) = 1 x2 + 9 Y d) f (x) = 3 x-1 e) f (x) = cos (x + 1) f ) f (x) = X b) Y 3x - 1 g) f (x) = log (x - 16) h) f (x) = e x2 -1 a) Dom f = R b) Dom f = R - {-2, 2} c) Dom f = R d) Dom f = R X a) La gràfica correspon a una funció, perquè a cada valor de x li correspon un únic valor de y. b) La gràfica no correspon a una funció, perquè hi ha valors de x als quals els corresponen diversos valors de y. 2 Indica, raonadament, si la relació entre e) Dom f = R 1 f ) Dom f = = , +3 o 3 g) Dom f = (16, +3) h) Dom f = R 4 Troba el domini i el recorregut de la funció la gràfica de la qual és la següent Y les dues magnituds és una funció o no en cada un dels casos següents. a) La quantitat de fruita que compra una família, en quilos, i el nombre de peces de fruita que hi entren. 1 1 b) El nombre de quilos de fruita que compra una família i el preu de la compra. c) La quantitat de fruita que compra una família, en quilos, i el preu d’un quilo de fruita. 310 Dom f = [-4, 3] , (4, 6) Im f = [-3, 2] , {4} X 8 5 Estudia la simetria de les funcions següents 2 a) f (x) = x -1 2x c) f (x) = b) f (x) = x 2 - 6x - 7 x2 d) f (x) = 8 Representa gràficament les funcions quadràtiques següents. 4 x -5 3x 2 a) f(x) = -3x2 - x - 1 x2 - 4 (- x) 2 - 1 x2 - 1 a) f (-x) = = = 2 (- x) -2 x 2 x -1 == -f (x) " f (x) és imparella. 2x (- x) 2 - 6 (- x) - 7 = (- x) 2 x 2 + 6x - 7 = " f (x) no és parella x2 ni imparella. b) f(x) = x2 - x - 2 a) V f- 1 11 p ,12 6 Y 1 1 X b) f (-x) = (- x) 4 - 5 x4 - 5 = = f (x) 2 3 (- x) 3x 2 " f (x) és parella. c) f (-x) = d) f (- x) = (- x) 2 - 4 = " f (x) és parella. 6 Completa b) V e Y 1 " 1 X x 2 - 4 = f (x) " 9 Expressa g( x) en funció de f ( x). Y la gràfica d’aquesta funció periòdica de període 3. 1 9 ,- o 2 4 a) Y f(x) 1 1 g(x) 1 X 1 X Y b) 1 X 7 Representa, sobre els mateixos eixos, les funcions f(x) = 3x - 1 i g(x) = 5x + 4. Troba el punt d’intersecció de les dues funcions. Y g(x) f(x) 1 Y f(x) 1 X 3x - 1 = 5x+ 4" " 2x = - 5" 5 "x=- " 2 17 "y=- " 2 El punt d’intersecció és: f- 5 17 p ,2 2 2 g(x) 2 a) g (x) = f (x) - 3 X b) g (x) = f (x + 2) 10 Representa gràficament aquesta funció. f (x) = x2 - 2 x + 1 A partir d’ella, representa les funcions següents. a) g (x) = x2 - 2 x + 3 b) h (x) = x2 - 2 x - 2 c) i (x) = (x - 1)2 - 2(x - 1) + 1 d) j (x) = x2 + 2 x + 1 311 solucionari d) a) g (x) = f (x) + 2 Y b) h(x) = f (x) - 3 c) i(x) = f (x - 1) 1 d) j(x) = f (-x) f (x) Y F F j (x) 1 g (x) X i (x) 12 Representa gràficament les funcions següents. 1 1 X a) f (x) = h (x) 1 2x b) f (x) = 11 Representa gràficament aquestes funcions. 1 2x 3 a) f (x) = x -4 c) f (x) = x c) f (x) = 5 3x 3 b) f (x) = x -1 d) f (x) = x d) f (x) = -2 5x a) Y a) 1 1 1 b) Y 1 X b) Y X Y 2 1 1 c) c) Y X Y 1 1 1 312 2 X X 1 X 8 d) Y 3 d) f (x) = a) x = - 2 x2 - 1 y + 1 " f -1(x) = -2 x + 2 2 b) x = -y2 + 4 " f -1(x) = X 2 d) x = 13 Troba el domini de les funcions 3 b) Comprova si les gràfiques són simètriques respecte de la recta y = x. b) Dom f = (-3, -6] , [6, +3) 14 Representa gràficament aquestes funcions. x+2 b) f (x) = c) f (x) = x-4 3 a) x-1 7+x " xy = 7 + x " x 7 " xy - x = 7 " x = " y-1 7 -1 " f ( x) = x-1 a) y = Y f -1(x) Y 2 f (x) 1 1 b) x3 + 1 7+x i fes el que segueix. x a) Representa les funcions f(x) i f -1(x). a) Dom f = R a) f (x) = y 2 - 1 " f -1(x) = de f (x) = x2 - 4 x 2 - 36 b) f (x) = 3 " f -1(x) = 2 x2 + 4 16 Determina quina és la funció inversa amb radicals. a) f (x) = y -2 2 c) x = 4-x 1 X X Y b) Les funcions són simètriques respecte de la recta y = x. 1 1 X 17 Raona, sense dibuixar-ne la gràfica, c) Y si les funcions següents són creixents o decreixents. 1 a) f ( x) = 1,2x 2 X d) f ( x) = 0,8x x b) f (x) = e 2 o 3 x 15 Calcula la funció inversa de les funcions que tens a continuació. a) f (x) = - x +1 2 a) Creixent, ja que a > 1. r 4 x n f ) f (x) = _ 3 i x b) Decreixent, ja que a < 1. c) Creixent, ja que a > 1. 2 d) Decreixent, ja que a < 1. x -2 2 e) Decreixent, ja que a < 1. b) f (x) = - x + 4 c) f (x) = c) f ( x) = e e) f (x) = d f ) Creixent, ja que a > 1. 313 solucionari f) 18 Fes una taula de valors i representa Y gràficament aquestes funcions. x a) f (x) = 3x d) f (x) = e b) f (x) = -3x e) f (x) = e- 2 o 3 f ) f (x ) = e -x c) f (x) = 3-x a) Y 2 o 3 2 1 x 2 o 3 X 19 Raona, sense dibuixar-ne la gràfica, si les funcions següents són creixents o decreixents. a) f (x) = log1,2 x 2 1 b) f (x) = log 2 x X 3 c) f (x) = log7 x d) f (x) = log0,8 x e) f (x) = log b) x 3 f) f (x) = log8,2 x Y g) f (x) = log x h) f (x) = ln x a) Creixent, ja que a > 1. 1 1 X b) Decreixent, ja que a < 1. c) Creixent, ja que a > 1. d) Decreixent, ja que a < 1. e) Creixent, ja que a > 1. c) Y f ) Creixent, ja que a > 1. g) Creixent, ja que a > 1. h) Creixent, ja que a > 1. 1 1 X 20 Representa gràficament les funcions que tens a continuació. a) f ( x) = log3 x e) f ( x) = -log3 (-x) b) f ( x) = log 1 x f ) f ( x) = -log 1 (- x) c) f ( x) = log3 (-x) g) f ( x) = -log3 x d) f ( x) = -log 1 x h) f ( x) = log 1 (- x) 3 d) Y 3 2 a) 1 3 3 Y X 1 1 e) a < 0 No es pot representar. 314 X 8 b) g) Y Y 1 1 1 c) 1 X 1 X X h) Y Y 1 1 1 X 21 Representa gràficament aquestes funcions. d) Y a) f (x) = sin d x + 2 b) f (x) = cos d x - 1 1 X a) n r r 2 n Y 1 r e) Y f ( x) = sin f x + 1 1 X b) X r p = cos x 2 Y 1 f) r Y g ( x) = cos f x - 1 1 X r p = sin x 2 X 22 Representa aquestes funcions. a) f (x) = tg d x - r 2 n b) f (x) = tg (x + 1) 315 solucionari a) Y 25 Representa gràficament la funció definida a trossos. 2 f ( x) = * x 2 - 7 -7 - x 1 X 2 si x 1 -2 si -2 # x # 0 si x 2 0 Descriu-ne les característiques principals i indica els valors de la funció en aquests punts. b) Y a) x = -3 b) x = -2 c) x = 1 Primer interval (-3, -2): f (x) = 2 " Recta horitzontal, paral·lela a l’eix X. 2 X 1 Segon interval [-2, 0]: f (x) = x2 - 7 " Paràbola amb mínim (a = 1 > 0) al vèrtex (0, -7) i amb extrems a (-2, -3) i (0, -7). 23 Calcula les expressions següents. a) arccos Tercer interval (0, +3): f (x) = -7 - x " Recta decreixent (m = -1 < 0) amb extrem a f (0) = (0, -7). 2 2 b) arcsin 0 a) f (-3) = 2 c) arctg (-1) b) f (-2) = (-2)2 - 7 = -3 r a) 4 b) 0 c) f (1)= -7 - 1 = -8 Y r c) 4 1 1 24 Representa gràficament aquestes funcions. a) f (x) = arccos d x + r 2 X n b) f (x) =arcsin (x - r ) a) Y 1 r X 26 Representa la gràfica d’aquesta funció, descriu-ne les característiques principals i, després, calcula. b) Y 1 r 316 X * 2 si x # 2 x f (x) = 2 x - 6x + 9 si 2 1 x # 4 si x 2 4 5 a) f (-8) c) f (3) e) f (4) b) f (2) d) f (10) f ) f (5) 8 Y 28 La funció que associa a cada nombre la seva part decimal es pot expressar com: f (x) = x - [ x ] Representa la funció i analitza’n les propietats. 1 1 Dom f = R X Im f = [0, 1) No és contínua. Tots els nombres enters són punts de discontinuïtat inevitable de salt finit. Primer interval (-3, 2]: 2 f (x) = " Branca d’hipèrbola, x decreixent en aquest interval. És periòdica, de període 1. No és simètrica. És creixent en (k, k + 1), amb k ! Z. No té màxims ni mínims. Segon interval (2, 4]: Y f (x) = x2 - 6x + 9 " Paràbola amb mínim (a = 1 > 0) en el vèrtex (3, 0) i amb extrems a (2, 1) i (4, 1). 1 Tercer interval (4, +3): 1 f (x) = 5 " Recta horitzontal, paral·lela a l’eix X. 2 1 a) f (-8) = =-8 4 2 b) f (2) = = 1 2 c) f (3) = 32 - 6 ? 3 + 9 = 0 X 29 Determina el valor d’aquestes funcions en el punt x = -5 tenint en compte que: f (x) = x2 - 3 g (x) = d) f (10) = 5 e) f (4) = 42 - 6 ? 4 + 9 = 1 f ) f (5) = 5 x+3 x a) (f - g)(x) d) f b) (f + g)(x) e) ( g - f )(x) c) (f ? g)(x) f) d 27 El servei de correus cobra 0,30 € pels primers 25 g de tramesa i, a partir d’aquesta quantitat, cobra 0,20 € per cada 25 g (o fracció) de pes extra. Representa la gràfica del cost d’enviar cartes fins a 150 g. f (-5) = 22 g (-5) = x 3 - 4x - 3 x 108 " (f - g) (-5) = 5 * x3 - 2 x + 3 x 102 " (f + g) (-5) = 5 b) (f + g) (x) = Y " " (x 2 - 3) (x + 3) x 44 " (f ? g) (-5) = 5 c) (f ? g) (x) = 1,30 1,10 0,90 0,70 0,50 0,30 25 X d) f f x 3 - 3x p ( x) = g x+3 g n ( x) f 2 5 a) (f - g) (x) = 0,30 si x ! (0, 25] 0,30 + 0,20 si x ! (25, 50] f (x ) = 0,30 + 0,20 ? 2 si x ! (50, 75] … f p ( x) g "f " f p (-5) = 55 g 317 solucionari -(x 3 - 4x - 3) x 108 " ( g - f ) (-5) = 5 2 x3 i g(x) = x - 4. A partir d’elles, troba el valor de les funcions següents en els punts indicats, determinant primer la composició de funcions. 32 Considera les funcions f (x) = " e) (g - f ) (x) = -1 g f x+3 n (x) = f p (x) = 3 f g x - 3x g 1 " d n (-5) = f 55 f) d " a) (f % g)(5) b) ( g % f )(5) 30 Troba el valor de les funcions següents a) (f % g) (x) = f (g (x)) = f (x - 4) = (f % g) (5) = 2 en els punts que s’indiquen tenint en compte que: x2 + 3 f (x) = x g(x) = x+1 a) (f ? g)(4) c) (f 2 )(2) b) f d) d f p (-1) g x2 + 3 a) (f ? g) (x) = x ? x+1 38 " (f ? g) (4) = 5 b) f f p (x) = g x ? (x + 1) x2 + 3 b) (g % f ) (x) = g (f (x)) = g ` 2 x 3 j = g n (9) f commumativa. " P R AC T ICA 33 Calcula el domini de f ( x) = " 1 està definida en x ! 0. x x +3 x ? (x + 1) " g 14 " d n (9) = f 5 31 Determina el valor de la composició de funcions que s’indica en cada apartat, en x = -4, tenint en compte que: x-1 f(x) = x2 g(x) = x a) (f % g)(x) c) (f % f )(x) b) ( g % f )(x) d) ( g % g)(x) a) (f % g) (-4) = f ( g (-4)) = f e 15 16 c) (f % f ) (-4) = f (f (-4)) = f (16) = 256 b) ( g % f ) (-4) = g (f (-4)) = g (16) = 318 Dom f = [-3, 0) , (0, +3) = = [-3, +3) - {0} 34 Determina el període de f ( x) = cos 2x . cos x = cos (x + 2r) " f (x) = cos 2 x = = cos (2 x + 2r) = cos (2(x + r)) = = f (x + r) " Període = r 35 Representa gràficament aquestes funcions. a) f (x) = x5 b) f (x) = - x 4 c) f (x) = 4x5 a) Y 5 25 o= 4 16 d) ( g % g) (-4) = g ( g (-4)) = g e x + 3 . x + 3 està definida en x + 3 $ 0 " 2 2 1 + x " x $ -3. c) f 2 (x) = _ x i = x " f 2 (2) = 2 g f n (x) = f p (x) = f g 2 x3 - 4 " La composició de funcions no és f p (-1) perquè -1 g no és un nombre real. d) d 2 (x - 4) 3 (g % f ) (5) = 250 - 4 = 5 10 - 4 (f % g) (5) ! (g % f ) (5) " " No existeix f -1 Justifica, a partir dels resultats, si la composició de funcions és commutativa. 5 1 o= 4 5 1 1 X 8 b) c) Y Y 3 1 2 c) X Y d) 1 X 1 X Y 3 1 1 X i, a partir d’ella, representa. a) g(x) = f (x) - 3 c) g(x) = 2 - f (x - 1) b) g(x) = f (x + 2) d) g(x) = -f (x) - 1 37 Representa la funció f ( x) = 2 log x . Y g (x) = 2 log x 1 Y F 36 Dibuixa la gràfica de la funció f (x) = 2 x2 + 1 1 X f (x) = log x f (x) = 2 x 2 + 1 1 1 X 38 Representa gràficament les funcions següents. a) Y 3 2 X a) f (x) = -1 x-1 b) f (x) = 2x + 2 x-2 c) f (x) = -5 x+1 a) f (x) = -g (x - 1) amb g (x) = 1 x Y b) Y 3 g (x) = 1 1 X 1 x 1 f (x) = -1 x-1 X 319 solucionari b) f (x) = 2 + 6 x-2 b) " Y f (x) = 10x + 1 " f (x) = 2 + g (x - 2) 2 6 amb g (x) = x 2 Y X h (x) = log (x - 1) g (x) = log x g (x) = 1 y = log (x - 1) " x = log ( y - 1) " " 10 x = y - 1 " y = 10 x + 1 6 x 1 f -1(x) = 10 x + 1 X f (x) = 2 + 40 Dibuixa la gràfica de les funcions 6 x-2 següents. b) f (x) = e a) f (x) = 3 2 x c) f (x) = -5 ? g (x + 1) 1 amb g (x) = x a) 3x 1 o 3 Y Y g (x) = 1 1 x 1 X 1 f (x) = -5 x+1 39 Representa la gràfica de les funcions inverses d’aquestes funcions. 1 X Y 1 41 Representa gràficament la función Tenint en compte l’apartat a) de l’activitat anterior: b) f (x) = log (x - 1) Podem representar la funció inversa considerant que la seva gràfica és simètrica a la gràfica de la funció original respecte de la bisectriu del primer i tercer quadrants. Y 4 X exponencial f ( x) = 32x - 3. a) f (x) = x 2 a) b) 1 f (x) = g (x) - 3 amb g (x) = 9x Y 1 f (x) = x2 1 4 X X -1 f (x) = ! x y = x2 " x = y2 " y = ! x " f -1(x) = ! x " No és una funció, ja que per a cada valor de x es tenen dos valors y. 320 42 Dibuixa la gràfica de f (x) = log 10x . f (x) = log 10x = log 10 + log x = 1 + log x Podem representar primer f (x) = log x i desplaçar-la 1 u cap amunt. 8 Y AC T IVITAT S FINA L S 1 F f (x)= log (10x) 1 g(x)= log x 1. R econeix analíticament i gràficament les funcions elementals X ACTI V I TATS FL A I X 46 43 Dibuixa la gràfica de la funció f ( x) =;sIn x; en l’interval [0, 2r]. sin x f (x) = * -sin x Digues si aquestes gràfiques corresponen a una funció. a) Y si x ! [0, r] si x ! (r, 2r] Y X f(x) 1 b) Y X 1 X g(x)= sin x c) Y 44 Dibuixa la gràfica de la funció f ( x) = 2x - ;x;. f (x) = * x 3x X si x $ 0 si x 1 0 Y d) 1 Y X 1 X a) La gràfica correspon a una funció perquè a cada valor de x li correspon un únic valor de y. 45 Expressa aquestes funcions com a composició de funcions més senzilles. a) f(x) = sin2 (x2 + 1) b) f (x) = a) f1(x) = x2 + 1 f2(x) = sin x f3(x) = x2 " f (x) = (f3 % f2 % f1)(x) b) f1(x) = x - 1 1 f2(x) = x f3(x) = x " f (x) = (f3 % f2 % f1)(x) 1 x-1 b) La gràfica no correspon a una funció perquè hi ha valors de x als quals els corresponen dos valors de y. c) La gràfica no correspon a una funció perquè hi ha valors de x als quals els corresponen dos valors de y. d) La gràfica correspon a una funció perquè a cada valor de x li correspon un únic valor de y. 321 solucionari 47 Y INVENTA. Esbossa una gràfica que 6 5 4 3 2 1 pugui ser la representació d’una funció i una que no pugui ser-ho. Resposta oberta. Per exemple: És funció: Y 2 b) X No és funció: Y X 48 Fes una taula de valors i representa aquestes funcions. a) Cada nombre enter es relaciona amb el nombre de divisors positius que té. b) Cada nombre real es relaciona amb la seva part entera c) A cada real correspon ell mateix menys el seu valor absolut. d) A cada nombre correspon el valor 2. a) 322 4 6 8 x f (x) = [x] 0 0 0,1 0 0,2 0 0,6 0 0,999 0 1 1 1,3 1 1,95 1 2,01 2 2,37 2 2,97 2 3,09 3 3,91 3 4 4 x f (x) = nre. de divisors positius de x 1 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 4 7 2 8 4 9 3 10 4 Y 11 2 1 12 6 13 2 10 12 14 X Y 1 1 c) X x 0 1 2 -1 -2 f (x) = x - ;x; 0 0 0 -2 -4 1 X 8 d) x -2 -1 0 1 2 f (x) = 2 2 2 2 2 2 " x = -3 pertany al domini. 0+1=1>0" " x = 0 pertany al domini. -2 ? 2 + 1 = -3 < 0 " " x = 2 no pertany al domini. d) -(-3) - 4 = -1 < 0 " " x = -3 no pertany al domini. 0 - 4 = -4 < 0 " " x = 0 no pertany al domini. -2 - 4 = -6 < 0 " " x = 2 no pertany al domini. Y 1 1 49 X Al llarg d’un dia es mesura la longitud, en metres, de l’ombra que projecta un fanal des de l’albada fins que es fa de nit. 51 a) f (x) = x3 - 3x Les mesures, preses cada dues hores, des de les 6:00 h, són aquestes: b) f (x) = x4 - 1 c) f (x) = x2 - x d) f (x) = x4 - 2 x2 0 25 17 5 2 6 19 32 0 a) f (-x) = (-x)3 - 3(-x) = -x3 + 3x = = -f (x) " f (x) és imparella. a) Creus que aquesta relació defineix una funció? b) Si és que sí, identifica’n les variables. b) f (-x) = (-x)4 - 1 = x4 - 1 = f (x) " " f (x) és parella. a) La taula defineix una funció, ja que a cada hora li correspon un valor únic de la longitud de l’ombra del fanal. c) f (-x) = (-x)2 - (-x) = x2 + x " "f (x) no és simètrica. b) La variable independent és l’hora (mesurada de dues en dues des de les 6:00 h) i la variable dependent és la longitud de l’ombra del fanal, en metres. 50 Determina si aquestes funcions tenen simetries. d) f (-x) = (-x)4 - 2(-x)2 = x4 - 2 x2 = = f (x) " f (x) és parella. 52 Comprova si els punts x = -3, x = 0, x = 2 pertanyen al domini d’aquestes funcions. a) f (x) = x 2 - 2 x + 1 3x - 1 b) f (x) = 2 x + 3x 3x 2 - x x b) f (x) = 2 x3 - x x2 + 1 3 (- x) 2 - (- x) 3x 2 + x =(- x) x f (x) no és simètrica. 2 (- x) 3 - (- x) = (- x) 2 + 1 3 -2 x + x = = -f (x) " f (x) és imparella. x2 + 1 b) f (-x) = d) f (x) = ln (- x - 4) a) Dom f = R Pertanyen al domini de la funció. c) -2(-3) + 1 = 7 > 0 " a) f (x) = a) f (-x) = c) f (x) = -2 x + 1 b) x2 + 3x = 0 " Dom f = R - {0, -3} Només x = 2 pertany al domini de la funció. Determina el tipus de simetria d’aquestes funcions. 53 INVENTA. Dibuixa una funció f (x) de simetria imparella que passi per (2, 0) de manera que f (x + 3) sigui una funció parella. 323 solucionari És imparella i la seva traslladada 3 unitats a l’esquerra ha de ser parella. És impossible, ja que la traslladada no canvia la simetría. 54 del dia del cicle lunar on som, el període és de 28 dies. 56 Determina el període d’aquestes funcions. a) Estudia si els valors de l’ordenada, y, estan inclosos en els recorreguts d’aquestes funcions. Y 1 a) y = 3, y = 2, y = -5 per a f (x) = 1 3x - 3 b) y = 0, y = 30, y = -3 per a f (x) = x2 - 5x + 6 a) b) 3x - 3 = 3 " 3x - 3 = 9 " " x = 4 " y = 3 ! Im f 1 c) IN T E RN ET 55 r -1 a) T = 2 57 2 b) T = 4 r INVESTIGA. Una funció f (x) pren tots els valors entre 0 i 1 però cap altre. Quina de les funcions següents pren tots els valors entre -1 i 1? MATEMÀTIQUES... I ASTRONOMIA. b) f (x) + 1 d) 2f (x) + 1 Considera la funció que relaciona el temps, en dies, amb la superfície visible de la Lluna. És una funció periòdica? En cas afirmatiu, indica’n el període. La funció de l’apartat c) és l’única amb imatge [-1, 1]. Tipus de Lluna 0 50 % Creixent 3 81 % Creixent 7 100 % Lluna plena 11 81 % Minvant 15 39 % 0 58 El domini d’una funció f és [0, 2], i el seu recorregut, [0, 1]. Quin és el domini i el recorregut de la funció g(x) = 1 - f (x + 1)? g (x) és la funció simètrica de f (x) respecte de l’eix X, traslladada 1 unitat cap amunt i 1 unitat a l’esquerra, per tant, Dom g (x) = [-1, 1], Im g (x) = [0, 1]. Minvant Lluna nova 59 X c) T = r c) 2f (x) - 1 Es tracta d’una funció periòdica, ja que la superfície visible de la Lluna varia en funció 324 Y a) f (x) - 1 % de Dia visibilitat 21 X 1 b) x2 - 5x + 6 = 0 " "x = 2 o x = 3 " " y = 0 ! Im f x2 - 5x + 6 = -3 " " x2 - 5x + 9 = 0 " D = -11 < 0 " " L’equació no té solució. " " y = - 3 " Im f Y 1 3x - 3 = 2 " 3x - 3 = 4 " 7 " x = " y = 2 ! Im f 3 y = -5 " Im f, perquè l’arrel no pot prendre valors negatius. x2 - 5x + 6 = 30 " " x2 - 5x - 24 = 0 " " x = 8 o x = -3 " y = 30 ! Im f X REPTE. La funció f només pren valors més grans o iguals que zero i satisfa les dues condicions següents: f (1) = 2, f (x + y) = f (x) · f ( y). 8 Quant val f e f (1) = f e Y 1 1 1 1 + o = fe o ? fe o = 2 " 2 2 2 2 1 " fe o = 2 60 1 o? 2 3 2 REPTE. Sigui f e Quant val f (4)? a) Blava 1 f e o + 40 = 20f (4) 4 b) Morada 25 5 1 f (4) + = fe o 16 16 4 d) Verda fe c) Vermella 1 o obtenim que: 4 1 1 o + 40 = 20f (4) " f e o = 20f (4) - 40 4 4 f (4) + 25 5 1 = fe o " 16 16 4 1 " fe o = 4 f (4) + 5 16 25 16 = 16f (4) + 25 5 16f (4) + 25 20f (4) - 40 = " 5 " 100f (4) - 200 = 16f (4) + 25 " " 84f (4) = 225 " f (4) = Funcions polinòmiques AC T IVITATS FLAI X Associa cada funció amb la seva gràfica. b) g(x) = -x2 + 3 c) h(x) = -x2 - 3 Relaciona cada gràfica amb una expressió algebraica. x2 + 3x - 1 2 b) g(x) = 2 x2 - 2 x + 1 a) f (x) = x2 -x+2 3 d) i (x) = -2 x2 + x - 1 Y 1 1 X 225 75 = 84 28 2. S elecciona de manera adequada eixos, unitats, domini i escales a) f (x) = -x2 62 c) h (x) = - Igualem les dues expressions. d) i (x) = -2 x2 X 1 o + 6x + x2 = (x2 + x) f (x). x Aïllant en les dues f e 61 1 Considerem l’expressió general d’una paràbola: y = ax 2 + bx + c. 1 20 2 i c = -1, la paràbola és oberta cap amunt i talla l’eix OY en y = -1. a) És la vermella, perquè si a = b) És la blava, perquè si a = 2 > 0, i c = 1, la paràbola és oberta cap amunt i talla l’eix OY en y = 1. c) És la morada, perquè 1 si a = - 1 0 i c = 2, la paràbola 3 és oberta cap avall i talla l’eix OY en y = 2. 325 solucionari d) Y d) És la verda, perquè si a = -2 < 0 i c = -1, la paràbola és oberta cap avall i talla l’eix OY en y = -1. 1 2 63 Representa, sense fer les taules de valors corresponents, les funcions lineals i afins. 2 1 x3 2 2x - 3 b) f (x) = 5 7 c) f (x) = 2 2 d) f (x) = - x 3 64 a) f (x) = f(x) 1 "m=0 g (x) = -x - 3 " m = -1 h(x) = -x + 1 " m = -1 f (x) = 2 i(x) = X Y h(x) g(x) Y 1 65 1 x 3 "m= b) g (x) = 1 n = -3 n=1 1 3 n=0 c) h (x) = 2 x2 1 2 x 2 f (x) X n=2 Representa aquestes funcions en els mateixos eixos de coordenades i relaciona l’obertura de les branques de cada paràbola amb el coeficient de x2. a) f (x) = x 2 1 X 1 i(x) 1 b) Escriu l’expressió algebraica d’aquestes funcions i calcula’n el pendent i l’ordenada en l’origen. Y Com que la seva representació gràfica és sempre una recta, n’hi ha prou a identificar-ne el pendent i un punt, per exemple, el punt de tall amb l’eix OY. a) X F d) i (x) = Y h (x) G 1 2 x 4 g (x) i (x) c) 2 Y 1 1 1 X Ordenem les paràboles de menor a major obertura: h(x), f(x), g(x), i(x). Es pot observar que a mesura que augmenta el valor del coeficient de x2 disminueix l’obertura de la paràbola. 326 X 8 66 Troba el vèrtex d’aquestes paràboles. a) Y a) f (x) = x2 - 6x + 10 b) f (x) = -x2 - 4x + 10 1 c) f (x) = x2 - 4 1 d) f (x) = -x2 - 4x + 2 Considerem l’expressió general d’una paràbola: y = ax 2 + bx + c. Punt de tall amb l’eix X: e La coordenada x del vèrtex de la paràbola b és: x = 2a Punt de tall amb l’eix Y: (0, 1) a) V e -(-6) 6 2 - 4 ? 1 ? 10 o = V(3, 1) ,2?1 4?1 b) V f 4 2 - 4 ? (-1) ? 10 -(-4) p= ,4 ? (-1) 2 ? (-1) b) c) V e 0, - 6 4 -4 ? 1 ? (-4) o = V(0, -4) 4?1 X Punts de tall amb l’eix X: (-3, 0), (1, 0) i (3, 0) -(-4) 4 2 - 4 ? (-1) ? 2 p= d) V f ,2 ? (-1) 4 ? (-1) = V(-2, 6) -1 , 0o 2 Y = V(-2, 14) 67 X Punt de tall amb l’eix Y: (0, 9) c) Y 2 INVENTA. Escriu l’equació de tres paràboles el vertex de les quals sigui (2, 3). 1 X 2 f (x) = ax + bx + c Vèrtex: -b " -b = 4a 2a - b 2 - 4ac y= = 3 = f (2) = 4a = 4a + 2b + c " 3 = -b + 2b + c " "3 = b + c x= Punts de tall amb l’eix X: (-1, 0) i (4, 0) Donant valors a b i c, obtenim: Punt de tall amb l’eix Y: (0, -4) a = -1 " -x2 + 4x - 1 = 0 a = 1 " -x2 - 4x + 7 = 0 a = -1 " 2 x - 8x + 11 = 0 2 d) Y 1 1 68 X Representa les funcions polinòmiques següents, i indica’n els punts de tall amb els eixos. a) f(x) = 4x 2 + 4x + 1 b) f(x) = x 3 - x 2 - 9x + 9 c) f(x) = x 3 - 2 x 2 - 7x - 4 Punt de tall amb l’eix X: (3, 0) d) f(x) = x 3 - 2 x 2 - 2 x - 3 Punt de tall amb l’eix Y: (0, -3) 327 solucionari 69 c) f(x + 1) = (x + 1)2 + 2(x + 1) = = x2 + 4x + 3 Representa la funció y = x 2. A partir d’ella, dibuixa les gràfiques d’aquestes funcions polinòmiques. a) f(x) = (x - 2) Y f (x + 1) 2 G f (x) b) f(x) = x 2 + 3 c) f(x) = (x + 3)2 Quina relació hi ha entre les gràfiques de les tres últimes funcions amb la gràfica de la primera? 2 1 X Y c) a) b) d) f(x) + 2 = x2 + 2 x + 2 f (x) 3 1 1 70 Y f (x)+2 X Dibuixa la gràfica de la funció f (x) = x2 + 2 x. Determina l’expressió algebraica de cada una de les funcions següents i representa-les. a) f(x - 2) c) f(x + 1) b) f(x) - 4 d) f(x) + 2 1 71 Troba l’expressió algebraica i representa la funció quadràtica que passa pels punts A (1, -2), B(2, -2) i C (3, 0). Com que la funció passa pels punts A i B, 3 l’abscissa del vèrtex de la funció és , 2 per tant: Hi ha alguna relació entre aquestes gràfiques? a) f(x - 2) = (x - 2)2 + 2(x - 2) = = x2 - 2 x -b 3 = 2a 2 Y f (x) X f (x -2) " b = -3 a = 1 Com que la funció passa per C(0, 3), el simètric respecte de l’eix de simetria 3 x = és D(0, 0), per tant c = 0 i l’equació 2 de la funció és f (x) = x2 - 3x. 3 3 X Y b) f(x) - 4 = x2 + 2 x - 4 f (x) Y f (x)-4 1 2 1 2 X 72 328 X Troba i representa les funcions polinòmiques de grau mínim que passen pels punts següents. 8 a) A(0, 0), B e 5, 5 o i C (-2, -1) 2 a + 3b + c + d 7a + 3b + c " 6a + 3b 3a b) A(3, 0), B (4, 1) i C(5, 0) c) A(1, 0), B (2, 1), C(3, 0) i D (4, 1) "a= a) Els punts A, B i C estan alineats. La funció que hi passa és f (x) = x . 2 2 3 " f (x ) = Y 4" = 0 = -1 = -1 = 2 b = -5 c = 34 3 d = -7 " 2 3 34 x - 5x 2 + x-7 3 3 Y 1 1 1 X 2 X b) Sigui f(x) = ax2 + bx + c. 73 29a + 3b + c = 0 16a + 4b + c = 14 " 25a + 5b + c = 0 REPTE. Si f (x) = px7 + qx 3 + rx - 4 i f (-7) = 3, quant val f (7)? f (7) = 77p + 73q + 7r - 4 9a + 3b + c = 0 = 14 " 16a + 2b =0 f (-7) = -77p - 73q - 7r - 4 = 3 " " 7a + 3b " f (7) = 77p + 73q + 7r - 4 = = -7 - 4 = -11 " f (7) = -11 9a + 3b + c = -0 = -1 4 " 2a = -2 Funcions racionals " 7a + 3b " a = -1 b = 8 c = -15 " " f(x) = -x2 + 8x - 15 Y ACTI V I TATS FL A I X 74 Associa cada gràfica amb la seva funció. a) f (x) = 1 1 X 1 x+3 b) g (x) = 1 x-4 c) h (x) = 1 +2 x Y c) Sigui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. a + 11b + 1c + d 8a + 14b + 2c + d 27a + 19b + 3c + d 64a + 16b + 4c + d a + 3b + c + d 7a + 3b + c " 6a + 3b 21a + 3b =0 =1 =0 =1 4" 4" = 0 = -1 = -1 = -1 1 1 X a) Blava b) Verda c) Vermella 329 solucionari ACTIVI TATS FLAI X 75 a) g(x) = f(x - 3) b) g(x) = f(x + 1) Associa cada gràfica amb la seva funció. a) f (x) = c) g(x) = f(x) - 2 1 +3 x -2 d) g(x) = f(x) + 3 e) g(x) = f(-x) 1 b) g (x) = -2 x +4 f) g(x) = -f (x) Y 1 1 a) g (x) = 2 x-3 b) g (x) = 2 x+1 c) g (x) = 2 - 2x 2 -2= x x d) g (x) = 2 + 3x 2 +3= x x e) g (x) = 2 2 =-x x X a) Vermella b) Verda f ) g (x) = 76 Determina el domini d’aquestes funcions. a) f(x) = x-3 7 b) f(x) = 7 x-3 c) f(x) = x2 x +1 78 Donada la funció f (x) = b) Copia i completa les taules de valors i dibuixa un esbós de la funció. x x-1 d) f(x) = 2 x + 2x 1 +x x f ) f(x) = x x2 - 4 a) Dom f = R b) Dom f = R - {3} -1 -2 -4 1 2 4 f (x) x 0,1 0,5 f (x) c) Representa g (x) = d) Representa f (-x). -2 a partir de f (x). x3 d) Dom f = R - {-2, 0} e) Dom f = R - {0} b) f ) Dom f = R - {-2, 2} 330 -0,1 -0,5 a) Dom f = R - {0} La funció no està definida per a x = 0. c) Dom f = R 77 2 . x3 a) Troba’n el domini i indica per a quins valors de x no està definida la funció. 2 e) f(x) = 2 x 2 , determina x l’expressió algebraica de les funcions següents. Donada la funció f (x) = x -0,1 -0,5 -1 f (x) -2 000 -16 -2 -2 -4 -0,25 -0,03 x 0,1 0,5 1 2 4 f (x) 2 000 16 2 0,25 0,03 8 c) c) Y g (x) = - 2 x3 Y g (x) = 4 2 x4 4 f (x) = 1 X f (x) = - 2 x3 1 X d) f (- x) = - 2 x4 2 2 = - 4 = f (x) (- x) 4 x La gràfica és la mateixa que la de f (x) en l’apartat c). 2 2 d) f (- x) = = - 3 = -f (x) = g (x) x ( - x) 3 La gràfica és la mateixa que la de g(x) de l’apartat c). 79 80 Representa gràficament les funcions següents. a) f (x) = b) f (x) = -2 Donada la funció f (x) = 4 . x a) 1 2 x3 c) f (x) = - 1 2 x4 d) f (x) = 1 2 x6 1 2 x5 Y a) Troba’n el domini i indica per a quins valors de x no està definida la funció. b) Copia i completa lles taules de valors i dibuixa un esbós de la funció. x -0,1 -0,5 -1 -2 -4 1 2 4 1 3 X f (x) b) x 0,1 0,5 Y f (x) 1 2 c) Representa g (x) = 4 a partir de f (x). x 1 X d) Representa f (-x). a) Dom f = R - {0} La funció no està definida per a x = 0. b) x -0,1 -0,5 -1 -2 c) Y -4 f (x) -20 000 -32 -2 -0,125 -0,0078 1 3 x 0,1 0,5 1 2 X 4 f (x) -20 000 -32 -2 -0,125 -0,0078 331 solucionari d) 3 " x+1 " i(x) = f (x + 1) - 2 Y c) i(x) = -2 + 1 d) j (x) = 5 1 3 " x+1 " j (x) = -f (x + 1) + 5 X Y f (x) = G g (x) = Sense representar-les, escriu la relació que hi ha entre les gràfiques d’aquestes 12 funcions i la de f (x) = . x c) La gràfica de i(x) és la simètrica de f (x) respecte de l’eix X. G Y 12 x+4 12 +1 b) h (x) = x 12 c) i (x) = x b) La gràfica de h(x) s’obté desplaçant la gràfica de f (x) una unitat cap amunt. x+4 x+1 X -2 x + 1 i (x) = x+1 1 a) g (x) = a) La gràfica de g (x) s’obté desplaçant la gràfica de f (x) 4 unitats a l’esquerra. G 1 81 3 x G 1 G 1 G 5x - 2 x-1 3 f (x) = x j (x) = X 2x - 5 h (x) = x-1 Funcions radicals ACTI V I TATS FL A I X 83 La gràfica de la funció f (x) = x és: Y 82 Representa la gràfica de la funció 3 f (x) = . A partir d’ella, representa x les funcions següents. x+4 a) g (x) = x+1 b) h (x) = 2x - 5 x-1 -2 x + 1 c) i (x) = x+1 d) j (x) = 5x - 2 x-1 3 +1" x+1 " g (x) = f (x + 1) + 1 a) g (x) = 3 " x-1 " h(x) = -f (x - 1) + 2 b) h(x) = 2 - 332 f (x) = x 1 X 1 Explica com representaries les funcions següents. a) f (x - 3) d) -f (x) b) f (x + 1) e) 2 - f (x) c) 4 + f (x) f ) f (x) - 2 a) La funció f (x - 3) trasllada la funció f (x) 3 unitats a la dreta. b) La funció f (x + 1) trasllada la funció f (x) 1 unitat a l’esquerra. 8 1 Dom f = = , 15 o , (15, +3) = 3 c) La funció 4 + f (x) trasllada la funció f (x) 4 unitats cap amunt. 1 = = , +3 o - {15} 3 d) La funció -f (x) és la simètrica de f (x) respecte de l’eix X. e) La funció 2 - f (x) trasllada la funció -f (x) 2 unitats cap amunt. 84 Determina el domini de les funcions. a) f (x) = x + 1+ 8 - x f ) La funció f (x) - 2 trasllada la funció f (x) 2 unitats cap avall. b) f (x) = 2x - 4 ? 1 - x Estudia el domini de les funcions següents. b) 2x - 4 $ 0 " x $ 2 1-x$ 0"x#1 Dom f = Q a) f (x) = x+3 b) f (x) = 2 x 2 + 3x - 2 a) x + 1 $ 0 " x $ -1 8-x$ 0"x#8 Dom f = [-1, 8] 87 INVENTA. Escriu en cada cas l’expressió c) f (x) = x - 4x + 4 algebraica d’una funció radical amb els dominis següents. d) f (x) = 5 - 2x a) [5, +3) c) [-3, 3] b) (-3, -2] d) R e) f (x) = f ) f (x) = 2 2 x + 2x + 9 6+x-x 2 a) f (x) = x-5 a) Dom f = [-3, +3) b) f (x) = - x + 2 1 b) Dom f = (-3, -2] , = , +3 o 2 c) Dom f = R c) f (x) = - x 2 + 9 d) Dom f = e-3, 5 G 2 e) Dom f = R f ) Dom f = [-2, 3] 85 86 Quin és el domini d’aquestes funcions amb radicals? a) f (x) = b) f (x) = 7x 2- x-5 3x - 1 4- x+1 a) x - 5 $ 0 " x $ 5 x-5 !2"x-5!4"x!9 Dom f = [5, 9) , (9, +3) = [5, +3) - {9} 1 b) 3x - 1 $ 0 " x $ 3 x + 1 $ 0 " x $ -1 x + 1 ! 4 " x + 1 ! 16 " x ! 15 d) f (x) = 88 x2 + 5 A partir de la gràfica de la funció y = x2 + 1 , explica com faries la representació gràfica de les funcions amb radicals següents. a) f (x) = 1 + b) f (x) = -2 + c) f (x) = 1 d) f (x) = x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 x2 + 2 x + 2 A partir de la funció y (x) = x2 + 1 a) f (x) = 1 + y(x) La gràfica de f (x) s’obté traslladant la de y(x) 1 unitat cap amunt. b) f (x) =-2 + y(x) La gràfica de f (x) s’obté traslladant la de y(x) 2 unitats cap avall. c) f (x) = 1 - y(x) La gràfica de f (x) s’obté traslladant la de la funció simètrica de y(x) 1 unitat cap amunt. 333 solucionari d) f (x) = y(x + 1) La gràfica de f (x) s’obté traslladant la de y(x) 1 unitat cap a l’esquerra. c) x = f -1(x) = a) f (x) = 2 x - 5 x+5 g ( x) = 2 3-x b) f (x) = 4 g (x) = 3 - 4x e) x = 1 - 2x . x 2 - 5y "y= f-1(x) = 2 - x2 . 5 1 y-2 "y= f) x = x-1 3-y " y = 3 - 4x " 4 -1 " f (x) = g (x) " Són inverses. b) x = 3 c) x = y3 + 1 " y = x - 1 " " f -1(x) = g (x) " Són inverses. f-1(x) = 91 2x + 1 x 2x + 1 . x a) Y 1 1 X 1 X 1 X 1 X a) f (x) = 2 x - 1 b) b) f (x) = x2 - 5 1 c) f (x) = x+2 Y 1 d) f (x) = x2 + x e) f (x) = 2 - 5x 1 f ) f (x ) = x-2 x+1 2 " La funció inversa és x+1 f -1(x) = . 2 c) Y 1 " b) x = y2 - 5 " y = ! x + 5 " " No existeix la inversa; per tant, f -1(x) no és una funció, perquè per a cada valor de x s’obtenen dues imatges. 334 " " Dibuixa la gràfica de la inversa de cada funció. Calcula, si és possible, la inversa d’aquestes funcions. a) x = 2y - 1 " y = 2 - x2 5 " La funció inversa és x+5 " 2 -1 " f (x) = g (x) " Són inverses. a) x = 2y - 5 " y = 90 " " La funció inversa és c) f (x) = x3 + 1 3 1 - 2x x d) x = y2 - y " No existeix la inversa; f -1(x) no és una funció, perquè per a cada valor de x s’obtenen dues imatges. Comprova si aquestes funcions són inverses. g (x) = "y= " La funció inversa és Funció inversa 89 1 y+2 d) Y 1 8 a) e) x = ;y + 1; " No existeix la inversa, ja que per a cada valor de x, f -1(x) torna dues imatges; f -1(x) no és una funció. Y 1 1 b) 1 + log 3 y " 5x - 1 = log3 y " 5 " y = 35x - 1 " f -1(x) = 35x - 1 X f) x = Y 93 1 1 c) X ln (x - 5) = log 3 (x - 5) " ln 3 " Dom f -1(x) = (5, +3) f -1(x) = Y 2 1 Funcions logarítmiques i exponencials X ACTI V I TATS FL A I X d) Y 94 Associa cada gràfica amb la seva funció. a) f (x) = 12x 1 1 92 Donada la funció f(x) = 3x + 5, determina quin és el domini de la seva inversa, f-1. b) g (x) = 2x X c) h (x) = e Calcula les funcions inverses d’aquestes funcions. x 1 o 4 Y a) f (x) = ln (x + 3) b) f (x) = 3 + 4 ? 5x 2 1 + tg x 2 d) f (x) = sin 2 x c) f (x) = 1 a) Vermella e) f (x) = ;x + 1; f ) f (x ) = 1 + log 3 x 5 95 a) x = ln (y + 3) " ex = y + 3 " " y = ex - 3 " f -1(x) = ex - 3 x-3 =y" 4 " y = log5 (x - 3) - log5 4 " " f -1(x) = log5 (x - 3) - log5 4 b) x = 3 + 4 ? 5y " log5 1 + tg y " y = arctg (2 x - 1) " 2 " f -1(x) = arctg (2 x - 1) c) x = arcsin x d) x = sin 2y " y = 2 arcsin x " f -1(x) = 2 b) Verda X c) Morada Associa cada gràfica amb la seva funció. a) f (x) = log12 x b) g (x) = log2 x c) h (x) = log 1 x 4 Y 1 1 X " a) Morada b) Vermella c) Verda 335 solucionari Y b) Representa en els mateixos eixos de coordenades les ternes de funcions exponencials següents. h(x) G g(x) 1 a) f (x) = 2x g(x) = 5x h(x) = 10x G 96 1 X f(x) x 1 b) f (x) = e o 2 g ( x) = e x 1 o 5 98 x 1 o h (x) = e 10 Per representar les funcions, elaborem una taula de valors amb, almenys, cinc valors. a) Y h(x) f(x) G 1 G g(x) 1 f(x) g(x) X h(x) A X Representa els mateixos eixos de coordenades les ternes de funcions logarítmiques següents. a) f (x) = log2 x g (x) = log5 x h (x) = log10 x 2 O G 1 g(x) ln a o a O(0, 0) X 1 lnln 2a a o = a aa 1 a a 4 + ln 2 a ln a o = a e ea - 2 ln a o = a a 2 e 2a + ln 2 a - 2e a ln a a 2 e 2a + ln 2 a - 2e a ln a 2 1 =5 " " a4 + ln2 a ? a2 e2a + ln2 a - 2e a ln a = 10a X Equació: (a 4 + ln 2 a) ? (a 2 e 2a + ln 2 a - 2e a ln a) = 100a 2 " G " a = 1,79 336 g(x) Àrea del triangle: 1 1 a 4 + ln 2 a ? a a f(x) B e a, a c B f(x) = x Y h(x) X A (a, e a ) AB = e 0, e a - g (x) = log 1 x 5 1 10 b = = ae2 a+ OB , b) f (x) = log 1 x a) O Y 1 h (x) = log g(x) Els punts A i B tenen abscissa a i formen part de les gràfiques de f i g, respectivament.. Si l’àrea del & triangle OAB té 5 u2, determina una equació per trobar el valor de a. 1 97 B f(x) Utilitza un programa informàtic per resoldre-la. Y G A f (x) = ex ln x g (x) = x G b) Y INVESTIGA. En la figura hi ha representades: 8 99 A partir de la gràfica de la funció exponencial g (x) = 4x, representa les funcions següents. a) f (x) = 4x - 3 d) -4x =-g (x) Y 1 1 b) f (x) = 4x + 1 X c) f (x) = 1 + 4x d) f (x) = -4x e) f (x) = 2 - 4x f ) f (x) = 4x - 1 x+1 g) f (x) = 4 e) 2 - 4x = 2 - g (x) +2 Y Y 1 1 X 1 g(x) = 4x 1 X f ) 4 x - 1 = g (x) - 1 Y a) 4 x-3 = g (x - 3) Y 1 1 1 1 X X g) 4x + 1 + 2 = g (x + 1) + 2 Y b) 4 x+1 = g (x + 1) Y 1 1 1 1 X 100 INVESTIGA. Sigui la funció c) 1 + 4 x = 1 + g (x) f (x) = -ln (x + e2), si talla l’eix Y en el punt A i els punts B i C tenen la mateixa ordenada, escriu una equació per calcular l’abscissa del punt B, sabent que el triangle té àrea 8 u2. Y 1 1 X X Utilitza un programa informàtic per resoldre-la. Podem utilitzar, per exemple, GeoGebra. 337 solucionari Y f (x) C B O X Y f (x) a C O b c Y hi ha representada la funció f. 1 X f (x) 1 Si l’expressió algebraica de la funció g és g(x) = ln x, quines són les solucions de l’equació (f % g) (x) = 0? A B 103 REPTE. A la figura X Si observem la gràfica, veiem que f (x) = 0 si x = 1 o x = -1. A (f % g) (x) = f ( g (x)) = f (ln x) Primer hem de trobar l’ordenada del punt A. y = -ln (0 + e 2 ) = -2 " A (0, -2) (f % g) (x) = f ( g (x)) = 0 " " f (-1) = 0 = f (1) " Sigui C (0, a), com que B i C comparteixen ordenada: B (e-a - e 2, a). " ln x = * 1 e si x = e -1 si x = 1 Àrea del triangle: Les solucions són x = e i x = BC ? AC =8" 2 1 . e " (e-a - e2 ) 2 + 0 ? 0 + (-2 - a) 2 = 16 " Funcions trigonomètriques " (e-2a + e4 - 2e2-a ) ? (4 + a2 + 4a) = 256 L’abscissa del punt B és -6,7 i l’ordenada és 0,4. 101 A partir de la gràfica de la funció 104 Dibuixa la gràfica de la funció g (x) = cos x. A partir d’ella, representa les funcions següents. logarítmica g (x) = log x, representa les funcions següents. a) f (x) = cos (-x) a) f (x) = log 2 x x b) f (x) = log 2 c) f (x) = cos (x + r) a) f (x) = log 2 + log x e) f (x) = cos x + 2 b) f (x) = log x - log 2 f ) f (x) = 1 - cos x Y b) f (x) = -cos x d) f (x) = cos d x + a) f (x) = log (2 x) 1 2 n Y 2 G G G 2 g(x) = log x r f (x) = g (x) X 1 X 1 X x f (x) = log 2 102 La funció f (x) = e a ln x passa pel punt (2, 8). Quin valor pren a? 8 = e a ln 2 " ln 8 = a ln 2 " a = 3 ln 2 =3"a=3 "a= ln 2 338 b) Y f (x) ln 8 ln 2 " g (x) 2 8 c) b) Y Y 2 f (x) f (x) X 1 g (x) d) g (x) c) Y f (x) X 1 g (x) e) f) X g (x) e) Y f (x) 1 X 1 X 1 X Y f (x) 2 2 X 1 g (x) X 2 f (x) 1 g (x) 1 Y 2 f (x) X 2 g (x) d) Y 1 Y 2 f (x) 2 g (x) f) 105 Dibuixa la gràfica de la funció g (x) = sin x. A partir d’ella, representa les funcions Y f (x) 2 següents. g (x) a) f (x) = sin (-x) b) f (x) = -sin x c) f (x) = sin (x + r) d) f (x) = sin d x - r 2 106 A partir de la gràfica de la funció n trigonomètrica g (x) = tg x, representa les funcions següents. e) f (x) = sin x + 2 g (x) Y f ) f (x) = 1 - sin x a) Y f (x) 1 2 g (x) r 1 X X 339 solucionari a) a) f (x) = tg (x + r ) Y b) f (x) = -tg (-x) r 2 c) f (x) = 1 - tg x d) f (x) = tg (x - 1) - 2 a) La representació de la funció és la mateixa que la de g (x). b) La representació de la funció és la mateixa que la de g (x). c) Y b) f(x) 1 X 1 X 1 X 1 X Y g(x) r 2 1 r X c) d) Y g(x) Y f(x) r 2 1 X r d) 107 A partir de la gràfica de la funció Y r 2 g (x) = arcsin x, dibuixa les gràfiques de les funcions. a) f (x) = 2 - arcsin x b) f (x) = 1 + arcsin x 2 c) f (x) =arcsin (x + 1) d) f (x) = arcsin e x Y 1 o 2 108 INVENTA. Escriu funcions r trigonomètriques amb els períodes següents. 2 a) T = 2r d) T = 2r b) T = 3 e) T = r c) T = 3r f) T = g (x) = arcsin x 1 -1 - 340 X r 5 5r 6 r Resposta oberta. Per exemple: 2 a) f (x) = sin x 8 b) f (x) = sin (3x) c) f (x) = sin x = -1 " x < 0 " f (-1) = 2 2x 3 x = 0 " f (0) = 02 " f (0) = 0 2 d) f (x) = sin (10x) x= e) f (x) = sin (2 x) f ) f (x) = sin " fe o =1 2 12 x 5 109 A partir de les gràfiques de les funcions g (x) = sin x i h (x) = sin 2x, representa les funcions següents. x 2 a la funció? f ( x) = ) a) Y 1 2 X b) 2 X Y Y g (x) 1 F 1 X F F 1 f (x) b) Y X h (x) a) x - 1 si x < 1 2 x - 3 si x $ 1 1 g (x) 1 3 4 111 Quina d’aquestes gràfiques correspon a) f (x) = sin 4x b) f (x) = sin 1 1 1 " f e o = e o - 1 " 2 2 2 h(x) Y g (x) F 1 X F F 1 A la funció f (x) li correspon la gràfica de l’apartat a), ja que el punt amb abscissa x = 1 està inclòs en l’interval de definició del segon tram, corresponent a la recta y = 2x - 3. f (x) h(x) 112 Representa i descriu les característiques Funcions definides a trossos a) f (x) = ( AC T IVITATS FLAI X 110 Troba f (-1), f (0) i f e funció. de les funcions. 1 o en aquesta 2 x2 + 1 si x 1 0 f (x) = * x2 si x = 0 x2 - 1 si x > 0 2x + 1 x-5 x 2 - 3x b) g (x) = *6 -x + 3 6 c) h(x) = * x - 1 2x + 1 si x < 2 si x $ 2 si x < 3 si x = 3 si x > 3 si x < 2 si x $ 2 341 solucionari a) c) Y Y 2 1 1 La funció està formada per dues semirectes: la semirecta creixent de pendent 2 fins al punt (2, 5), que no està inclòs en la definició, i la semirecta creixent de pendent 1, que comença en el punt (2, -3) inclòs. Talla l’eix Y en (0, 1) i l’eix X en (5, 0) -1 i en e , 0 o. 2 Té una discontinuïtat de salt finit en el punt x = 2. Dom f = R Im f = R b) 2 X Y X La funció està formada per una hipèrbola i una semirecta: la hipèrbola decreixent i amb discontinuïtat en x = 1 fins a (2, 6), que no hi està inclòs, i la semirecta creixent de pendent 2, que comença en (2, 5) inclòs. Talla l’eix Y en el punt (0, -6). No talla l’eix X. Té una discontinuïtat de salt infinit en x = 1 i una altra de salt finit en x = 2. Dom f = R - {-1} Im f = (-3, 0) , [5, +3) 113 INVENTA. Escriu en cada cas l’expressió algebraica d’una funció a trossos la representació de la qual sigui: a) Una recta creixent en (-3, 3) i una recta decreixent en [3, +3). 1 1 X b) Una paràbola en (-3, -1) i una recta en [-1, +3). c) Una recta decreixent en (-3, -1), una recta creixent en [-1, 1) i una paràbola en [1, +3). La funció està formada per una paràbola i una semirecta: la paràbola convexa 3 -9 o fins al punt (3, 0) de vèrtex e , 2 4 sense incloure’l, i a partir d’aquí la semirecta decreixent de pendent -1, que comença en el punt (3, 0) no inclòs. En x = 3 pren el valor 6 i talla els eixos en (0, 0). Té una discontinuïtat evitable en x = 3. Dom f = R Im f = R 342 Resposta oberta. Per exemple: x a) f (x) = * -x si x 1 3 si x $ 3 b) f (x) = * si x 1 -1 si x $ -1 x2 x - x si x 1 -1 si -1 # x 1 1 c) f (x) = * x x2 si x $ 1 114 Representa aquesta funció. x2 + 3x si x 1 -1 f (x) = *-4 si x = -1 - x + 3 si x 2 -1 8 Estudia el valor que pren la funció en els punts molt propers, per l’esquerra i per la dreta, a -1, i descriu què passa. Y 2 Y 4 X 1 1 X b) Dom f = R Im f = (0, 2] La funció és creixent en (-3, 1) , (1, +3). x , -1 -2 -1,5 f (x) -2 -2,25 -2,09 x . -1 0 -0,5 -0,9 -0,95 f (x) 3 3,5 3,9 3,95 -1,1 -1,05 -2,0457 No té màxims ni mínims. És discontínua en x = 1, on hi ha una discontinuïtat inevitable de salt finit. No té asímptotes. No és simètrica ni periòdica. Y A la dreta de x = -1, les imatges tendeixen a 4, és a dir, -(-1) + 3 i, a l’esquerra, tendeixen a -2 , és a dir, (-1)2 + 3 ? (-1). 2 1 X 115 Representa i descriu les funcions definides a trossos. a) f (x) = * x3 2 x-3 x 2x b) f (x) = * log x si x # 0 si 0 < x # 4 si x > 4 si x # 1 si x > 1 a) Dom f = R - {3} Im f = (-3, 0] , [2, +3) La funció és creixent en (-3, 0) , (4, +3) i és decreixent en (0, 3) , (3, 4). Té un mínim relatiu en x = 4. És discontínua en x = 0 i en x = 3. En x = 0 hi ha una discontinuïtat inevitable de salt finit, i en x = 3 hi ha una discontinuïtat inevitable de salt infinit. 116 Escriu com a funcions definides a trossos. a) f (x) = ;x + 2; b) f (x) = ;12 - 3x; c) f (x) = ;3 - x; d) f (x) = ;2 x - 4; - x + 2 si x 1 -2 a) f (x) = * x+2 si x $ -2 12 - 3x si x < 4 b) f (x) = * 3x - 12 si x $ 4 c) f (x) = * 3-x x-3 si x 1 3 si x $ 3 d) f (x) = * 4 - 2x 2x - 4 si x 1 2 si x $ 2 117 Observa la gràfica de la funció Té una asímptota vertical en x = 3. f (x) = x2 - x - 6. No és simètrica ni periòdica. Dibuixa la gràfica de f (x) = ;x2 - x - 6;. 343 solucionari c) Y Y 1 g (x) X 1 f (x) 1 2 f (x) = x - x - 6 1 X Y d) Y g (x) 2 X f (x) = ;x2 - x - 6; 1 1 1 f (x) X 118 Representa les funcions següentss a partir de la gràfica de la funció g(x) = ;x;. e) a) f (x) = ;x; + 1 Y b) f (x) = ;x + 1; f (x) c) f (x) = ;x; - 1 g (x) 3 d) f (x) = 1 - ;x; e) f (x) = ;x - 1; f ) f (x) = ;1 - x; 1 X 1 X 1 X g) f (x) = ;x - 1; + 1 h) f (x) = ;x + 1; - 1 a) f) Y Y f (x) f (x) g (x) g (x) 3 3 1 b) X g) Y Y f (x) g (x) g (x) f (x) 2 1 1 344 X 8 h) Y c) f (x) = g (x) 2 f (x) * 2 x 2 - 7x - 3 si x 1 1 2 1 #x13 2 si x $ 3 -2 x 2 + 7x + 3 si 2 x 2 - 7x - 3 Y X 1 119 Escriu com a funcions definides a trossos i representa. a) f (x) = ;x2 - 4x - 5; 2 b) f (x) = ;x2 - 4x + 5; 2 c) f (x) = ;2 x2 - 7x + 3; d) f (x) = ;-x2 + 4x - 5; X d) f (x) = -x2 + 4x - 5 Y e) f (x) = ;x2 + 3x + 2; 2 4 2 f ) f (x) = ;-x + 6x - 5; X 2 g) f (x) = ;x + x - 2; h) f (x) = ;-x2 + 6x - 9; x 2 - 4x - 5 si x 1 -1 a) f (x) = *- x 2 + 4x + 5 si -1 # x 1 5 x 2 - 4x - 5 si x $ 5 Y x 2 + 3x + 2 si x 1 -2 e) f (x) = *- x 2 - 3x - 2 si -2 # x 1 1 x 2 + 3x + 2 si x $ 1 Y 1 1 8 2 X X x 2 - 6x + 5 si x 1 1 f ) f (x) = *- x 2 + 6x - 5 si 1 # x 1 5 x 2 - 6x + 5 si x $ 5 Y b) f (x) = x2 - 4x + 5 Y 1 1 2 2 X X si x 1 -2 x2 + x - 2 g) f (x) = *- x 2 - x + 2 si -2 # x 1 1 si x $ 1 x2 + x - 2 345 solucionari Y 121 Donades les funcions f (x) = 4x2 + 11 i g (x) = 1 X 1 a) (f % g) (2) c) (f % f ) (2) b) ( g % f ) (2) d) ( g % g) (2) a) (f % g)(2) = f (g (2)) = 4 e 2 h) f (x) = -x + 6x - 9 2 5?2 o + 11 = 111 2 5 b) (g % f )(2) = g (f (2)) = ? (4 ? 22 + 11) = 2 135 = 2 Y c) (f % f )(2) = f (f (2)) = = 4(4 ? 22 + 11) + 11 = 119 1 1 X d) (g % g)(2) = g (g (2)) = Composició de funcions que compleixen que f (10) + 5 = 0 i g (2) - 10 = 0. * funcions. 1 x f (x) = 2x g(x) = x2 h (x) = c) h % f (x) e) h % g (x) b) g % h (x) d) g % f (x) f ) f % h (x) Determina el valor de cada funció per a x = 3. a) (f % g) (x) = f (g (x)) = f (x 2) = 2 x (h % f ) (3) = 124 INVENTA. Escriu dues funcions f (x) 1 1 o = 3 9 1 1 = 8 23 x x 2 (g % f ) (3) = 2 2 ? 3 = 2 6 = 64 e) (h % g) (x) = h ( g (x)) = h (x 2 ) = 1 1 = 9 32 f ) (f % h) (x) = f (h (x)) = f e 1 (f % h) (3) = 2 3 = 3 2 i g (x), fes la composició (f % g ) (x) i ( g % f ) (x) i comprova que la composició de funcions no és commutativa. 1 2x d) (g % f ) (x) = g (f (x)) = g (2 ) = (2 ) = 2 (h % g) (3) = (g % f -1)(x) = g (f -1(x)) = (x2)2 - 5 = x4 - 5 2 1 1 o=e o x x c) (h % f ) (x) = h (f (x)) = h (2 x ) = x i g(x) = x2 - 5, calcula f -1 % g (x) i g % f -1 (x). (f -1 % g)(x) = f -1(g (x)) = (x2 - 5)2 = = x4 - 10x2 + 25 2 (f % g) (3) = 2 3 = 2 9 = 512 2 123 Donades les funcions f (x) = f -1(x) = x2 2 (g % h) (3) = e f (10) = - 5 " g (2) = 10 " (f % g)(2) = f (g (2)) = f (10) = -5 a) f % g (x) b) (g % h) (x) = g (h (x)) = g e 5 5 25 ? ?2= 2 2 2 122 Calcula (f % g) (2) si f i g són funcions 120 Fes les composicions d’aquestes 346 5 x , calcula. 2 1 x2 1 1 o= 2x x Resposta oberta. Per exemple: 2x Siguin f (x) = x - 1 i g (x) = x2. (f % g) (x) = f (g (x)) = f (x 2) = x 2 - 1 (g % f ) (x) = g (f (x)) = g (x - 1) = (x - 1) 2 La composició de funcions no és commutativa, ja que perquè una propietat es compleixi de manera general, s’ha de complir per a totes les funcions. 125 Si f (x) = i f (f (f (x))). 1 , calcula quant valen f (f (x)) x+1 8 f (x ) = 1 x+1 f (f (x)) = f e 1 o= x+1 1 x+1 = 1 x+2 +1 x+1 f (f (f (x))) = f e x+1 1 o= = x+1 x+2 +1 x+2 x+2 = 2x + 3 a) Canvi de divises de pes argentí a dòlar. b) Canvi de divises de dòlar a euro. c) Canvi d’euro a pes argentí. d) No té sentit perquè g canvia de dòlar a pes argentí i f canvia euro a dòlar. e) Canvi de pes argentí a euro. f ) Canvi d’euro a dòlars. 128 REPTE. Donada la funció definida 126 INVESTIGA. Calcula g(x) en cada cas. en els enters positius: 2x a) f (x) = i f ( g(x)) = x 3x + 4 n + 5 si n és senar f (n) = * n si n és parell 2 b) f (x) = 10x i f ( g(x)) = -5x a) g (x) = f -1(x) = b) f -1(x) = x 10 Si f (f (f (k))) = 35 i k és senar, quin és el valor de k? -4x 3x - 2 Com que k és senar: f (f (f (k))) = f (f (k + 5)) " " g (x) = f -1 (-5x) = k + 5 és parell: f (f (k + 5)) = f e -5x x =10 2 k+5 és senar: 2 127 MATEMÀTIQUES I... VIATGES. fe Quan es viatja a un país de fora de la Unió Europea és necessari canviar diners a la moneda local. A vegades, el canvi només està indicat en dòlars i hem de fer nosaltres el canvi a euros. Aquestes són les gràfiques del canvi de divises que trobem a l’Argentina a principi del 2022. 129 MATEMÀTIQUES I... PREUS. Els aparcaments públics s’acostumen a pagar per hores completes. Així, un cotxe aparcat, a partir d’1 hora i 1 minut, paga 2 hores. A més, acostumen a tenir un preu màxim diari que és el preu del dia complet. Gen. Febr. Març Abr. Maig Dibuixa la gràfica que representi el preu que s’ha de pagar per aparcar un vehicle en aquest aparcament entre 0 hores i 48 hores. g(x): d’euro a dòlar 1,141 1,126 1,111 1,096 1,081 1,066 1,20 € Per cada hora o fracció Gen. Febr. Març Abr. Maig Indica quin significat tenen les composicions de funcions següents. a) f -1 b) g -1 k+5 k + 15 o= = 35 " k = 55 2 2 3.Interpreta i relaciona les funcions elementals amb fenòmens quotidians f (x): de dòlar a pes argentí 67,9 66,3 64,7 63,1 61,5 59,9 k+5 o 2 -1 %f -1 c) f % g e) g d) g % f f ) f -1 % f % g 18,50 € Dia complet (24 h) 347 solucionari a) t = 0 " P(0) = 8 El preu inicial és de 8 €. b) Preu (€) Preu (€) 37 18 1 1 2 1 Temps (h) 1 2 3 15 16 23 24 25 26 39 40 47 48 Temps (h) muntanya i com que és molt despistat, a vegades perd coses i retrocedeix per recollir-les. El perfil de la caminada que ha fet es mostra en les gràfiques següents. Pots saber quants cops ha retrocedit? Altitud Distància Altitud IN TE RN E T 130 REPTE. Un alpinista travesa una 132 MATEMÀTIQUES I... BIOLOGIA. La dinàmica de poblacions és una branca de la biologia que, amb l’ajuda de les matemàtiques, tracta de descriure i quantificar els canvis que es donen en una població. El desenvolupament d’una població de peixos està modelat per la funció 20 P ( t) = , amb t $ 0. 1 + 19e-0,5t En el model, P(t) és la mida de la població en tones i t és el nombre d’anys després de l’instant inicial. a) Determina quants anys han de transcórrer perquè la població de peixos arribi a les 15 tones. b) Pot passar que la població excedeixi alguna vegada les 20 tones? Temps a) L’alpinista ha retrocedit tres cops: un cop abans d’arribar al primer pic i dos cops quan baixa del segon pic. t +8 si 0 # t # 4 4 P (t) = -t 2 + 2t + 5 si 4 1 t # 10 4 * a) Quin és el preu inicial de l’article? b) Dibuixa la gràfica de la funció P(t). 348 " t 1 " " ln e o = - " 57 2 1 " t = -2 ln e o " t = 2 ln 57 . 8,086 57 1 = e-0,5t 57 131 El preu en euros d’un article perible que es comença a vendre el primer dia d’un mes determinat varia amb el temps, en dies, segons la funció: 20 = 15 " 1 + 19e-0,5t " 20 = 15 + 19 ? 15e-0,5t Han de passar més de 8 anys. b) 20 2 20 " 1 + 19e-0,5t " 1 + 19e-0,5t 1 1 " 19e-0,5t 1 0 No es compleix mai perquè aquesta expressió és sempre positiva. Aquesta activitat es pot utilitzar per treballar l’ODS 8, vida submarina. 8 133 MATEMÀTIQUES I... SOCIETAT. Una ONG ha estimat que el nombre de persones hospitalitzades després d’un tsunami segueix aproximadament la fórmula: 110 P (t ) = 1 + 2 t + 10 t ! (0, 30) en què P és el nombre de persones hospitalitzades, en milers, i t és el nombre de dies que han passat des del tsunami. a) Quantes persones hi haurà hospitalitzades el primer dia? b) Quantes n’hi haurà al cap de tres setmanes? c) Si la capacitat hospitalària d’una illa de l’àrea afectada és 2 000 llits, fins a quin dia la capacitat va estar desbordada? a) 11 000 persones b) 1 243 persones 110 =2" t + 10 " t 2 + 120 = 2t 2 + 20 " " t 2 - 100 = 0 " t = !10 c) 1 + 2 Com que el nombre de persones hospitalitzades decreix segons el nombre de dies, la capacitat d’hospitalització va estar desbordada fins al desè dia. Aquesta activitat es pot utilitzar per treballar l’ODS 17, aliança pels objectius. I N TERN E T 134 MATEMÀTIQUES I... FÍSICA. Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d’un objecte segueix la funció f (t) = T + (C - T) ? e-kt, en què T és la temperatura ambient, C la temperatura inicial, t el temps transcorregut i k la taxa de refredament de l’objecte per unitat de temps. Un objecte amb una temperatura de 40 °C es deixa a l’aire lliure, on la temperatura és de 25 °C, i després de 10 minuts la temperatura de l’objecte és de 34 °C. Quant temps ha de passar perquè l’objecte es refredi fins a tenir una temperatura de 30 °C? f (10) = 34 = 25 + (40 - 10) ? e-10k " k = 0,12 30 = 25 + (40 - t) ? e-0,12t " " " t . 13,802 min 135 La Nina i en Simon competeixen en una cursa ciclista d’anada i tornada entre dues ciutats. A l’anada la Nina va a 25 km/h i a la tornada, ja cansada, a 15 km/h. En Simon, en canvi, va a 20 km/h tota l’estona. a) Qui guanya? b) Hi ha alguna manera que la Nina, anant més ràpida a l’anada i més lenta a la tornada, guanyi en Simon tenint en compte que la mitjana de les dues velocitats de la Nina és 20 km/h? a) Els dos arriben alhora, ja la velocitat mitjana de la Nina és la mateixa que porta en Simon en la cursa. b) No, si la velocitat mitjana de la Nina continua sent la mateixa que la d’en Simon, sempre arribaran alhora. 136 En una cursa de 1 000 metres, la Mei treu 50 metres d’avantatge a en Xavier. A la pròxima cursa, la Mei sortirà 50 metres per darrere d’en Xavier. a) N’hi ha prou perquè arribin alhora a la meta? b) Si no n’hi ha prou, quants metres serien necessaris? a) No, perquè si sempre corren al mateix ritme, mentre que la Mei corre 1000 m, en Xavier corre només 950 m. És a dir, atrapa en Xavier quan són a 50 m de la meta. b) x 50 = " x = 2,5 1 000 50 La Mei hauria de sortir 52,5 m per darrere d’en Xavier. 137 Considera una piscina d’aigua plena fins a la vora en la qual s’obre una vàlvula per buidar-la. L’altura (en metres) de l’aigua de la piscina ve donada per aquesta funció: h (t) = 2,15 + ln (8,9 - 0,51t) 349 solucionari en què t és el temps (en minuts) des que s’obre la vàlvula. Calcula després de quant de temps l’altura de l’aigua és la meitat de l’altura de la piscina. 2,15 + ln (8,9 - 0,51t) = 2,15 + ln (8,9 - 0,51t) = " 2 " 4 = -ln (8,9 - 0,51t) " Agència 1: 200x si 0 # x # 40 f ( x) = ) 180x si x 2 40 Agència 2: 150 ? f 1 + 60 - x p x = 240x - 1,5x 2 100 " e-4 = 8,9 - 0,51t " t . 17,4 min 240x - 1,5x 2 si 0 # x 1 60 g ( x) = ) 150x si x $ 60 L’altura de l’aigua és la meitat de la de la piscina després de 17,4 min. Calculem els punts d’intersecció de les dues funcions. 138 Després de llançar un globus aerostàtic, la seva altura, en metres, ve determinada per la funció: 30 per a t ! [0, 5], 1 + 29e-2t amb t en minuts. A ( t) = a) Troba els metres que puja el globus en el primer minut. b) Quan el globus és entre els 12 m i els 20 m d’altura, es destapen dos panells publicitaris. Durant quants segons es veurà la publicitat? Si 0 # x # 40 " 200x = 240x - 1,5x 2 " x =0 " 1,5x 2 - 40x = 0 " * x = 80 = 26,6! 3 Si 40 1 x 1 60 " 180x = 240x - 1,5x 2 " " 1,5x 2 - 60x = 0 " ) x = 40 x =0 Si x $ 60 " 180x = 150x " x = 0 Ens convé la primera agència si el nombre de persones és menor o igual que 26. A partir de 27 persones, escollirem la segona agència. a) A(1) = 6,09 metres d’altura. A(t) = 20 " t = 2,03 min 2,03 - 1,48= 0,55 f (x) 200 Es veuran durant 0,55 min. 139 Esteu organitzant el viatge de final de curs per al teu grup. Agència 1. Si el nombre d’estudiants que va de viatge és 40 o menys, cadascú pagarà 200 €. Si és superior a 40, es descomptaràun 10 % a cadascun.. 10 Nre. de persones 140 MATEMÀTIQUES I... ARQUITECTURA. A la figura hi ha representat un pont per a vianants sobre el riu Sella. Considerat O l’origen de coordenades, l’arc del pont ve donat per f (x) = 9 - 2,5 (e1-0,2x + e0,2x-1) , amb x ! [0, 7]. 7m Agència 2. Si completen un autobús de 60 persones, el preu serà de 150 € per persona. Per cada seient buit a l’autobús, s’incrementarà el preu un 1 % per persona. Quina agència us convé? 350 g (x) Preu (€) b) A(t) = 12 " t = 1,48 min Q P O f (x) x R 8 a) Sigui S el punt sobre el segment OR que verifica l’equació (f (0)) 2 + x 2 = 2 . Resol l’equació i interpreta’n la solució en el context del problema. L’oposició assegura que les dades estan manipulades de cara a les pròximes eleccions. b) Al port, al costat del pont, hi ha un vaixell de vela el màstil del qual té 6 metres des del punt més alt fins a l’aigua. Podrà passar per sota el pont? Resposta oberta. Per exemple: a) f (0) = 1,28 " " (f (0))2 = 1,65 + x 2 = 2 " " 1,65 + x2 = 4 " x = 1,53 I tu, què en penses? Es manipulen les dades quan s’utilitza la proximitat de l’estiu i les contractacions per festius. És possible que les dades es refereixin a contractes d’un dia i per tant 2 caps de setmana, amb 2 dies cadascun, contractant 10 000 persones, resulten 40 000 contractes. f (1,53) = 2,75 El punt S está a 2,75 m d’altura i a una distància d’1,53 m del punt O. b) Representant la gràfica de la funció que defineix l’altura de l’arc del pont obtenim que l’altura màxima és de 4 m. Per tant, el vaixell no hi podrà passar. 141 En un llac viu una espècie de peix gran que s’alimenta d’una espècie de peixos més petits i aquests, al seu torn, s’alimenten de plàncton. El nombre de peixos grans és una funció f (x) de la quantitat x de peixos petits i el nombre de peixos petits és una funció g( y) de la quantitat y de plàncton del llac. Expressa la població de peixos grans en funció del plàncton del llac si: x g( y) = 4y - 1 120 4y - 1 (f % g) ( y) = f ( g ( y)) = 30 + 120 f (x) = 30 + P RO B L E M E S A PA R E NT M E NT D IFE R E NT S 142 Considera la funció següent. f (x) = 1 000 ln d x n 10 a) Troba el domini de la funció. b) Calcula f -1(x). a) Dom f = (0, +3) x b) f -1(x) = 10e 1000 143 El nombre de dies que necessita una població de plàncton per arribar a pesar x micrograms ve donat per x n. f (x) = 1000 ln d 10 a) Entre quins valors varia el pes? b) Indica el pes en funció del temps. a) El pes varia entre 0 i +3. x b) f-1(x) = 10e 1000 en què x és nre. de dies. 144 Sigui la funció: f (x) = 200 · b x FA KE N EWS Baixa l’atur? Un estudi sobre la repercussió del turisme a la costa assegura que durant els dies festius es creen prop de 10 000 nous llocs de treball en el sector. Les últimes dades del Ministeri de Treball mostren que en el mes de juny es va contractar 40 000 persones en hosteleria a la costa, malgrat que només hi va haver dos dies festius. a) Quina és la variable independent b) Siguin b = 2,5 i g(x) = 20 000, determina el valor de x perquè es compleixi f (x) = g(x). c) Indica els possibles valors de b perquè f (x) sigui decreixent. a) La variable x. b) 20 000 = 200 ? 2,5 x " 2,5 x = 100 " ln 100 = 5,02 "x= ln 2,5 c) 0 < b < 1 351 solucionari 4 3 rr " r = V -1 = 3 50 000 b) r (t) = t 145 El ritme bàsic de reproducció, RO, d’un a) V(r)= virus en una regió és 2,5. És a dir, cada persona malalta n’infecta unes altres 2,5. Si el primer dia hi havia 200 persones malaltes, expressa el nombre d’infectats en funció del temps. a) Quina és la variable independent? b) Quan s’arriba a 20 000 infectats? c) En quin interval ha d’estar el RO perquè l’epidèmia estigui controlada? La funció és f (x) = 200 ? 2,5x. a) La variable independent és el temps. b) 20 000 = 200 ? 2,5 x " 2,5 x = 100 " ln 100 = 5,02 "x= ln 2,5 S’hi va arribar al cinquè dia. c) En l’interval (0,1), en què la funció és decreixent. 4 50 000 rx3 g (x) = 3 x a) Calcula f-1(x). b) h(x) = f -1( g (x)) = f -1 e 3 = 3 50 000 x = 4r 50 000 o x 3 37500 rx 147 La Dana infla la pilota de la platja per jugar. a) Troba el radi de la pilota en funció del volum. b) Se li peta i es comença a desinflar; la mida del radi segueix la funció 50 000 g ( t) = , t > 10, amb t en minuts. t Indica el radi en funció del temps. 352 1 Quin és el gruix de l’estratosfera en l’equador? 35 km. 2 Quina relació hi ha entre la temperatura i les capes de l’atmosfera? La temperatura és més baixa com més gran és l’altitud de la capa. 3 En quina capa es registra la temperatura més baixa? A la mesosfera. té l’atmosfera a 110 km d’altitud? Aproximadament -20 °C. quina és la situació actual de la capa d’ozó i per què és tan important recuperar-la i conservar-la. 3x 4r 3 P E R A Q UÈ SE RVE IX... ? 5 On es troba la capa d’ozó? Investiga b) Troba h (x) = f-1 % g (x). a) f -1(x) = 3V 4r 4 D’acord amb el gràfic, quina temperatura 146 Considera les funcions: f ( x) = 3 La capa d’ozó està situada a l’estratosfera. Actualment es troba en una situació de desgast greu a causa dels gasos d’efecte hivernacle. AIxò provoca que filtri menys raigs UVA, ocasiona el desgel dels pols i causa problemes perquè les plantes facin la fotosíntesi, etc. Aquesta situació implica un dany enorme en l’ecosistema i conseqüències horribles per a la humanitat. 6 Si s’assumeix que la temperatura a nivell del mar és de 20 °C, quina temperatura hi deu haver, aproximadament, al cim de l’Everest a 8 848 m d’altitud? 20 - 6 ? 8,848 = -33,09 °C 9 solucionari AC T IVITAT S REP T E Triangles infinits De manera similar al triangle de Sierpinski, els triangles següents formen un patró compacte en el qual les figures es repeteixen infinites vegades. 1 Troba el terme general i calcula a8 i a10. a) 1, 3, 5, 7, … b) 3 7 11 , , ,… 5 15 45 c) 3 1 -1 -3 , , , ,… 1 4 9 16 d) 0, 2, 6, 12, 20, … a) a n = 2n - 1 a8 = 15 a10 = 19 4n - 1 b) a n = 5 ? 3 n-1 31 a8 = 5 ? 37 39 5 ? 39 a10 = c) a n = n (n - 1) a 8 = 56 Quantes vegades és més gran la zona verda que la zona blanca? -2n + 5 n2 -11 a8 = 64 d) a n = Suposem que l’àrea del triangle gran mesura 1. Escrivim, aleshores, l’equació següent: 1 = Averda + Ablanca Calculem primer l’àrea verda. 3 3 1 3 1 1 + ? + ? ? + ... = 4 16 4 16 16 4 3 1 1 = e1 + + 2 + ... o = 4 16 16 3 1 3 16 4 ? ? = = = 4 1 4 15 5 116 A verda = Ablanca = 1 - 4 1 = 5 5 Per tant, l’àrea verda és 4 vegades més gran que l’àrea blanca. -15 100 a10 = 2 Pensa i escriu. a) Una successió decreixent i fitada inferiorment. b) Una successió fitada superiorment i inferiorment. c) Una successió no fitada. Resposta oberta. Per exemple: a) b) 1 1 1 1 1 1 , , , , , , ... " 2 3 4 5 6 7 " Successió decreixent i fitada inferiorment per 0. 1 1 1 1 , , , , ... " 2 4 8 16 " Successió fitada superiorment per 0,5 i inferiorment per 0. c) 1, -2, 3, -4, 5, -6, … " " Successió no fitada. P ENSA PÀG . 227. Si el límit de la successió an és 3, quin serà el límit de la successió an + 5? I de 2 ? an? Com que lim a n = 3, aleshores: n"3 3 Usant la calculadora, troba el límit de les successions. a) a n = (-1)2n+4 d) a n = 0,2 n b) an = n2 e) a n = c) a n = n 2 - n 3 f ) an = e lim (a n + 5) = 3 + 5 = 8 n"3 lim (2 ? a n) = 2 ? 3 = 6 n"3 a10 = 90 n+3 n n 1 o -7 2 353