SECCIONES CÓNICAS - IES Mar de Aragón
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SECCIONES CÓNICAS SUPERFICIE CÓNICA Una superficie cónica es aquella generada por una recta g, llamada generatriz, que gira alrededor de una recta fija e, llamada eje, a la que corta en un punto V, llamado vértice. SECCIONES CÓNICAS Son curvas generadas por la intersección de un cono por un plano. CÓNICAS NO DEGENERADAS Si el plano no contiene al vértice. CIRCUNFERENCIA. Plano perpendicular al eje y no pasa por V. ELIPSE Plano oblicuo al eje, corta a todas las generatrices sin pasar por V. CÓNICAS DEGENERADAS Si el plano contiene al vértice. UN PUNTO El plano pasa por V. DOS RECTAS SECANTES El plano pasa por V y contiene a dos generatrices. HIPÉRBOLA Plano paralelo al eje. UNA RECTA El plano pasa por V y contiene a una generatriz PARÁBOLA Plano paralelo a una generatriz. ELIPSE La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos constituyen el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos, F y F’, es constante e igual a su eje mayor AB. Así pues, los puntos de la elipse cumplen: r1 + r’1 = r2 + r’2 = ... = AB AB = Eje mayor o real = 2a CD = Eje menor = 2b F-F’ = Distancia focal = 2c r1, r’1, r2, r’2 Entre a, b y c existe la relación: a2 = b2 +c2 Radios vectores 2a Cf Cf ’ Cp a b c a - Tiene dos ejes de simetría perpendiculares: Un Eje mayor AB y un Eje menor CD que se cortan en su punto medio O, que es el Centro de la elipse. - Los Focos están en el eje real o mayor. La Distancia Focal F-F’ se representa por 2c. - Las rectas que unen un punto P de la curva con los focos, se llaman Radios vectores r y r’. Y se verifica: r+r’=2a - La Circunferencia principal Cp: Tiene por centro O, el centro de la elipse y radio a. - Las Circunferencias focales Cf y Cf’: Tienen por centro uno de los focos y radio 2a. A’B’ y C’D’ son diámetros conjugados - Un diámetro de la elipse es cualquier cuerda que pase por su centro. - Diámetros Conjugados: Todo par de diámetros que cumplen con la condición de que cualquier recta secante paralela a uno de ellos queda dividida en dos partes iguales por el otro diámetro. Los Ejes son dos diámetros conjugados y los únicos que son perpendiculares. En la circunferencia todas las parejas de diámetros conjugados son perpendiculares. HIPÉRBOLA Curva abierta y plana, con dos ramas, cuyos puntos constituyen un lugar geométrico con la propiedad de que la diferencia de las distancias de cada uno de sus puntos a otros dos fijos llamados focos, F y F’, es constante e igual a su eje real AB. Así pues, los puntos de la hipérbole cumplen: r1 - r’1 = r2 - r’2 = ... = AB AB = Eje mayor o real = 2a Eje menor o imaginario (no tiene puntos en común con la curva) Cf ’ Cf F-F’ = Distancia focal = 2c r1, r’1, r2, r’2 eje real Radios vectores 2a Cp a c - Tiene dos ejes de simetría perpendiculares: Un Eje mayor AB y un Eje menor o imaginario que se cortan en su punto medio O, que es el Centro de la hipérbola. - Los Focos están en el eje real o mayor. La Distancia Focal F-F’ se representa por 2c. - Las rectas que unen un punto P de la curva con los focos, se llaman Radios vectores r y r’. Y se verifica que: PF - PF’ =2a - La Circunferencia principal Cp: Tiene por centro O, el centro de la hipérbola y radio a. - Las Circunferencias focales Cf y Cf’: Tienen por centro uno de los focos y radio 2a. - Asíntotas son las rectas tangentes a la hipérbola en los puntos del infinito. Son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro O de la curva. - Cuando las asíntotas forman 45º con los ejes, la hipérbola toma el nombre de equilátera. Trazado de las asíntotas: CD = eje imaginario=2b PARÁBOLA Curva abierta y plana, de una sola rama, cuyos puntos constituyen un lugar geométrico con la propiedad de que cada uno de ellos equidista de una recta fija llamada recta directriz, d, y de un punto fijo llamado foco, F. Así pues, los puntos de la parábola cumplen: PF = PD directriz eje de simetría - Tiene un solo eje de simetría, e, que contiene al foco F, y es perpendicular a la recta directriz, d. - Su Vértice, V, está situado sobre el eje de simetría, en el punto medio de la distancia entre el foco F y la directriz d. VO=VF - Las recta que unen un punto P de la curva con el foco y la perpendicular a la recta directriz trazada por P, se llaman Radios vectores. Y se verifica que: PF= PD. - Distancia entre la recta directriz y el foco, OF = Parámetro. OF = p. OV=VF= p/2 Trazado de la directriz dados el vértice V y el foco F:
