Distancia entre dos puntos Identidades trigonométricas 1 1 d = (x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) senα = cosα = cscα secα División de un segmento dada una razón r 1 senα tan α = tan α = x + rx2 y + ry 2 cot α cosα xr = 1 yr = 1 cosα 1+ r 1+ r cot α = sen 2α + cos 2 α = 1 sen α Pendiente de una recta 1 + tan 2 α = sec 2 α 1 + cot 2 α = csc 2 α y 2 − y1 m= Ángulos notables π = 180° x2 − x1 = sen30° 12 = cos 30° 23 Área de un triángulo, Ángulo entre 2 rectas = sen60° 23 = cos 60° 12 x1 y1 m2 − m1 1 sen45°= cos 45°= 12= 22 A = x2 y 2 tan(α ) = 2 1 + (m1 )(m2 ) Funciones logarítmicas y exponenciales x3 y 3 log b a = x ∋ b x = a Punto medio de un segmento log b ( A ⋅ B ) = log b A + log b B x1 + x2 y1 + y 2 x PM = y PM = A 2 2 log b = log b A − log b B B Distancia de un punto a una recta Ax1 + By1 + C log b A n = n ⋅ log b A d= A2 + B 2 log b b x = x b logb x = x Condición para paralelismo Ecuaciones de la recta PROF. JESÚS CALIXTO m1 = m2 -forma general Ax + By + C = 0 Condición para perpendicularidad -forma ordinaria y = mx + b 1 m2 = − -forma punto pendiente ( y − y1 ) = m( x − x1 ) m1 2 2 ( ) Baricentro de un triángulo x + x + x3 y + y 2 + y3 xb = 1 2 yb = 1 3 3 α = ángulo de inclinación m = tan α = pendiente b = ordenada al origen Si y = asen(bx + c) , o bien y = a cos(bx + c) , donde a y b son números Reales distintos a cero entonces: (1) la amplitud es |a| y el periodo es 2π b ; (2) se pueden calcular el desplazamiento de fase y el intervalo que contiene exactamente un ciclo resolviendo las dos ecuaciones siguientes: bx + c = 0 y bx + c = 2π Mediana: Segmento de recta que parte desde el vértice de un triángulo al punto medio de su lado opuesto. Mediatriz: Recta que parte a el lado de un triángulo por su punto medio y forma 90°. Bisectriz: Segmento de recta que parte el ángulo interior de un triángulo en dos ángulos iguales. Altura: Recta que parte desde un vértice del triángulo hacia el lado opuesto o su prolongación formando 90°. Punto de intersección de las: MedianasBaricentro BisectricesIncentro MediatricesCircuncentro AlturasOrtocentro Ecuación General de Segundo Grado Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Discriminante = B 2 − 4 AC Discriminante = 0 Parábola Discriminante < 0 Elipse PROF. JESÚS CALIXTO Discriminante > 0 Hipérbola Ecuación general de las cónicas Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 A = C = 0 Recta. A ≠ C y A ó C =0 Parábola. A = C con signos iguales Circunferencia. A ≠ C con signos iguales Elipse. A y C tienen signos contrarios Hipérbola. Circunferencia: Es el lugar geométrico de todos los puntos tales que su distancia a un punto fijo llamado centro siempre es la misma. A esa distancia se le llama radio. Parábola: Es el lugar geométrico de todos los puntos tales que su distancia a una recta llamada directriz siempre es la misma distancia a un punto fijo llamado foco. Elipse: Es el lugar geométrico de todos los puntos que se mueven de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es constante y mayor que la distancia entre los focos. Hipérbola: Es el lugar geométrico de todos los puntos que se mueven de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es constante y menor que la distancia entre los focos. CIRCUNFERENCIA ELIPSE Ecuación con radio r y con: centro en (0,0): Horizontal con centro en el origen: x2 + y2 = r 2 Vertical con centro en el origen: centro en (h, k): (x − h )2 + ( y − k )2 = r 2 Ec. General Horizontal con centro en (h, k): (x − h )2 + ( y − k )2 =1 Vertical con centro en (h, k): (x − h )2 + ( y − k )2 =1 x2+y2+Dx+Ey+F=0 PARÁBOLA Vertical hacia arriba con vértice en el origen: x 2 = 4 py Vertical hacia abajo con vértice en el origen: Horizontal hacia la derecha con vértice en el origen: Horizontal hacia la izquierda con vértice en el origen: x 2 = −4 py a2 b2 b2 a2 V y V’ F y F’ C y 2 = 4 px y 2 = −4 px Vertical hacia abajo con vértice en (h, k): (x − h )2 = 4 p( y − k ) (x − h )2 = −4 p( y − k ) Horizontal hacia la derecha con vértice en (h, k): ( y − k )2 = 4 p(x − h ) Horizontal hacia la izquierda con vértice en (h, k): ( y − k )2 = −4 p(x − h ) Vertical hacia arriba con vértice en (h, k): x2 y2 + =1 a2 b2 x2 y2 + =1 b2 a2 excentricidad: c a vértices focos centro eje mayor = 2a V 'V a = CV = CV ' eje menor = 2b B' B b = CB = CB ' eje focal = 2c F'F c = CF = CF ' Lado recto LL ' 2 2 2 a =b +c 2b 2 Lado Recto: LR = a HIPÉRBOLA Asíntotas Lado recto: LR = |4p| PROF. JESÚS CALIXTO p = distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz Horizontal con centro en (0, 0) y en (h, k) respectivamente: Vertical con centro en (0, 0) y en (h, k) respectivamente: 2 2 x y − 2 = 1; 2 a b 2 y x2 − = 1; a2 b2 (x − h ) 2 (y − k ) 2 =1 a b2 ( y − k )2 − (x − h )2 = 1 a2 b2 2 − y = ± ba x y − k =± ba ( x − h) L C eje de la hipérbola coordenadas del centro eje focal = 2c F'F eje transverso = 2a V 'V B' B eje conjugado = 2b F ' P y PF radios vectores c2 = a2 + b2 excentricidad: c a Lado recto: LR= 2b 2 a