Modelos de Transporte: método de la esquina noroeste M. En C. Eduardo Bustos Farías Problemas de transporte Surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que permita transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a un destino que necesita aquellos bienes , con ciertas restricciones en la cantidad que se puede transportar. Se presenta al planear la distribución de bienes y servicios desde varias localizaciones de suministro hacia varias ubicaciones de la demanda. La cantidad de los bienes disponibles en cada localización de su ministro (origen) es limitada, y la cantidad de los bienes necesarios en cada una de las localizaciones de demanda (destino) es conocida. El objetivo es minimizar el costo de embarcar los bienes2 desde los orígenes hasta los destinos. Q Q Q Dentro de la amplia gama de problemas de programación lineal se encuentran los problemas de transporte, los cuales poseen características particulares. En este caso específico de problemas, es necesario determinar la ruta más eficiente para hacer llegar productos o materiales desde puntos alternativos de origen hasta diferentes puntos de destino, cumpliendo las restricciones específicas de oferta y demanda y con base en la estructura de costos de las rutas de transporte. Las diversas técnicas para abordar el problema de transporte requieren de una tabla de transporte, dicha tabla en su forma estándar registra todos los elementos esenciales del problema de transporte que estamos solucionando: costos de transporte; puntos de origen y destino, cantidades de oferta y demanda; tal y como se muestra a continuación: 3 En la tabla anterior la demanda (33) es igual a la oferta (33), lo cual significa que el problema está balanceado y ello facilita la búsqueda de la solución. 4 Definición del problema * Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene una capacidad de producción Si *Se tienen n destinos. Cada destino j demanda Dj *Objetivo: Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen. 5 Caso I. Oferta igual a demanda 6 EJEMPLO 1 Farmacéutica Carlton Problema de transporte 7 Farmacéutica Carlton La farmacéutica Carlton abastece de medicamentos y otros suministros médicos. Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit, Greensboro. Tiene cuatro centros de distribución en: Boston, Atlanta, St Louis y Richmond. La gerencia de Carlton desea realizar el transporte de sus productos de la manera más económica posible. 8 Datos Costo de transporte por unidad, oferta y demanda. Desde Cleveland Detroit Greensboro Demanda Boston $35 37 40 1100 Richmond 30 40 15 400 Hacia Atlanta 40 42 20 750 St. Louis 32 25 28 750 Oferta 1200 1000 800 Supuestos * El costo de transporte por unidad es constante * Todos los transportes ocurren simultáneamente. * Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de origen y el de destino * La oferta total es igual a la demanda total. 9 SOLUCIÓN 10 RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA Origenes Destinos D1=1100 Boston 35 Cleveland S1=1200 30 40 32 37 Detroit S2=1000 25 35 Greensboro S3= 800 40 42 D2=400 Atlanta 15 20 28 Richmond D3=750 St.Louis D4=750 11 Modelo matemático * La estructura del modelo es la siguiente: Minimizar <Costo total de transporte> sujeto a : cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fábrica cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la distribuidora. * Variables de decisión: Xij = cantidad a transportar desde la fábrica i a la distribuidora j donde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro) j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 (St,Louis) 12 Oferta de Cleveland X11+X12+X13+X14 = 1200 de la Oferta OfertaRestricciones de Detroit X21+X22+X23+X24 = 1000 Boston Oferta de Greensboro X31+X32+X33+X34 = 800 D1=1100 X11 Cleveland S1=1200 X12 X13 X21 X31 Richmond X14 X22 Detroit S2=1000 D2=400 X32 X23 X24 Atlanta X33 St.Louis Greensboro S3= 800 D3=750 X34 D4=75013 El modelo matemático completo Restriccione de la oferta: X11+ X12+ X13+ X14 1200 1000 800 X21+ X22+ X23+ X24 X31+ X32+ X33+ X34 Restricciones de la demanda: X11+ X21+ X12+ X22+ X13+ X14+ = = = 1000 X31 X32 X23+ 400 = 750 = 750 X33 X24+ X34 = = Todos los Xij mayores que cero 14 Solución optima obtenida a través de Excel FARMACUETICA CARLTON COSTOS UNITARIOS BOSTON RICHMOND ATLANTA ST.LOUIS $ 35,00 $ 30,00 $ 40,00 $ 32,00 CLEVELAND $ 37,00 $ 40,00 $ 42,00 $ 25,00 DETROIT 40,00 $ 15,00 $ 20,00 $ 28,00 GREENSBORO $ DEMANDAS 1100 400 750 750 ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE BOSTON RICHMOND ATLANTA ST.LOUIS 850 350 0 0 CLEVELAND 250 0 0 750 DETROIT 0 50 750 0 GREENSBORO TOTAL 1100 400 OFERTAS 1200 1000 800 750 TOTAL 1200 1000 800 750 COSTO TOTAL = 84000 15 Análisis Análisisde deSensibilidad Sensibilidadpor porWINQSB WINQSB Si utilizamos esta ruta, el costo total mo i t aumentara en $5 por unidad Op o ng a transportada. R 16 Ra ng od ef ac tib ilid ad Precio sombra de la distribuidora - el costo de mandar una unidad más por la distribuidora. Precio sombra de la planta - el costo de cada unidad extra disponible en la planta. 17 Interpretación de los resultados del análisis de sensibilidad. * Reducción de Costos: - La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad entrega la ruta más económicamente atractiva. - Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo así en el costo que ello significa, por cada carga transportada , el costo total aumentara en una cantidad igual a la reducción del costo hecha. 18 * Precios Sombra: - Para las plantas el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad disponible en la planta. - Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad extra demandada por la distribuidora. 19 EJEMPLO 2 Aplicación del problema de transporte a planeación de la producción 20 Q Q Q Q La empresa Miller Electronics Co. Fabrica videojuegos. No tiene inventario inicial en octubre y en diciembre no desea ningún inventario final. Pueden fabricarse los juegos en horas normales y en tiempo extra. La demanda aumenta en diciembre, no puede ser satisfecha con la sola producción de ese mes, por lo que deben utilizarse inventarios para transportar capacidad previa de producción hacia el futuro. 21 22 Solución con winqsb 23 24 EJEMPLO 3 Compañía de ski Montpelier Problema de transporte 25 Compañía de ski Montpelier Usando un modelo de transporte para un itinerario de producción * Montpelier planea su producción de ski para los meses de julio, agosto y septiembre. * La capacidad de producción y el costo de producción unitario puede varia de un mes a otro. * La compañía puede destinar tiempo de producción adicional para la fabricación de skis. * El nivel de producción es capaz de satisfacer la demanda proyectada y un trimestre del nivel de inventario. * La gerencia desea un itinerario de producción que minimiza el costo del trimestre. 26 Datos: * Inventario inicial = 200 pares * Nivel de inventario requerido = 1200 pares * Nivel de producción para el próximo trimestre= 400 pares (tiempo normal) 200 pares (sobretiempo) * La tasa de costo de almacenaje ed de 3% mensual por ski * El nivel de producción, la demanda esperada para del trimestre, (en pares de ski) y el costo de producción por unidad (por meses) Meses Julio Agosto Septiembre Demanda Esperada 400 600 1000 Capacidad de Producción Producción Producción Tiempo Normal Sobretiempo 1000 25 30 800 26 32 400 29 37 27 Análisis de la demanada * Demanda neta a satisfacer en Julio = 400 - 200 = 200 pares en inventario * Demanda neta de agosto = 600 * Demanda neta septiembre = 1000 + 1200 = 2200 pares Análisis de losencostos unitarios demanda esperada inventario req. Costo Unitario= [costo unitario de producción] + [costo de almacenamiento por mes ][número de An álisisunitario de la oferta * La capacidad de producción corresponde a la oferta meses en inventario] * Existen dos tipos de “oferta” Ejemplo: Una unidad producida en julio en tiempo normal y 1.- Oferta producida en tiempo normal (capacidad de producción) vendida en septiembre 25+. (3%)(25)(2 meses) = 2.- Oferta producida en cuesta= sobretiempo $26.50 28 SOLUCIÓN 29 Producción Mes/periodo 1000 800 400 400 Julio S/T Agst. T/N Agst. S/T Sept. T/N 25 25.75 26.50 0 30 30.90 31.80 +M 0 Mes Ventas Julio +M 26 +M 26.78 32 +M 0 Sept. S/T Agst.. 600 Sept. 2200 Exceso 300 +M 32.96 0 200 +M 0 29 200 37 0 30 Demanda Capacidad de Producción 500 July Julio R/T T/N Representación de la Red Producción Julio: tiempo normal Destino: Demanda para Julio Costo Unitario= $25 (producción) Producción Agosto:Sobretiempo Destino: Demanda de Septiembre 32+(.03)(32)=$32.96 Costo Unitario =Producción+un mes de almacenamiento 31 Resumen de la solución óptima. * En julio producir 1000 pares en tiempo normal y 500 pares en sobretiempo (hrs. Extra). Total Disponible : 1500 - 200 = 1300 a fines de julio * En agosto producir 800 pares en tiempo normal y 500 en sobretiempo. Disponibles = 800 + 300 - 600 = 500 pares * En septiembre producir 400 pares en tiempo normal. Con 1000 pares para la posible demanda los cuales se pueden distribuir: (1300 + 500 ) + 400 - 1000 = 1200 pares disponibles para ser transportados a Ski Chalet. Inventario + Producción - Demanda 32 EJEMPLO 4 FOSTER GENERATORS Problema de transporte 33 Q Se desea determinar cuanto de su producción deberá embarcarse desde cada una de las plantas hasta cada centro de distribución para minimizar el costo. 34 SOLUCIÓN 35 36 Solución xij = número de unidades embarcadas del origen i al destino j. i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3, 4 Función Objetivo: Mín Z = 3x + 2 x + 7 x + 6 x + 7 x + 5x + 2 x + 3x + 2 x + 5x + 4 x 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 37 + 5 x34 Restricciones: Oferta Demanda: x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 5000 x11 + x21 + x31 ≤ 6000 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 6000 x12 + x22 + x32 ≤ 4000 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 2500 x13 + x23 + x33 ≤ 2000 xij ≥ 0 ∀i, j x14 + x24 + x34 ≤ 1500 38 El modelo de transporte se caracteriza por: Q Q Q Q Las m restricciones de oferta y las n restricciones de demanda son ecuaciones lineales. Se cumple la condición de no negatividad. La función objetivo es lineal. Es un modelo de programación lineal con m + n restricciones y m x n variables. 39 Q Para resolver la tabla de transporte necesitamos una solución factible básica inicial (SFBI) 40 SOLUCIÓN POR WINQSB 41 42 43 44 45 LA REGLA DE LA ESQUINA NOROESTE 46 Esta regla nos permite encontrar una solución factible básica inicial (SFBI), una vez que tengamos el problema de transporte “balanceado” o equilibrado, es decir que el total de ofertas iguales al total de demandas. 47 PROCEDIMIENTO Q Q Iniciar la asignación en el renglón 1 y columna 1 (esquina noroeste) y formar una base asignando cantidades a las rutas, de forma tal que se agoten las existencias de la fabrica y se satisfaga la demanda de los mercados. Así entonces, la asignación inicia en la casilla X11 (esquina noroeste) y si lo fábrica 1 no agotó su oferta continuara en la casilla X12 y así sucesivamente. 48 Q En el caso de que el total de la oferta de la fabrica 1 no haya sido suficiente para cubrir la demanda del mercado 1, completar con la oferta de la fabrica 2, que es la casilla X21 y si no se agotó la oferta pasar a la casilla X22 y así continuar hasta concluir el proceso de asignación. 49 Con la forma anterior se conseguirá la siguiente solución básica factible inicial: x11 15 x21 x13 x14 30 x23 31 x33 x41 x42 x43 15 20 31 x24 9 x34 50 x44 25 84 45 x31 x12 15 x22 5 x32 50 25 50 Supuestos del método: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Asignamos lo más que podamos a la variable x11 que ocupa la posición noroeste de la tabla. La oferta es igual a la demanda. El proceso de asignar a la variable el mínimo valor entre oferta y demanda disponibles se repite hasta que toda la oferta y demanda totales sean satisfechas. Genera una solución factible básica inicial. Las celdas en blanco corresponden a variables no básicas y sus valores son cero. Se obtienen variables básicas en las celdas con asignación. 51 EJEMPLO 1 52 Encontrar la ruta de costo mínimo para el siguiente problema de transporte, usando el método de la esquina noroeste. x11 x12 x13 x14 30 x21 x22 x23 x24 45 x31 x32 x33 x34 50 x41 x42 x43 x44 25 15 20 31 84 53 X11 x12 x13 x14 30 15 x21 x22 x23 x24 45 x31 x32 x33 x34 50 x41 x42 x43 x44 25 15 0 20 31 84 15 54 X11 X12 x13 x14 30 15 0 15 15 x21 x22 x23 x24 45 x31 x32 x33 x34 50 x41 x42 x43 x44 25 15 0 20 5 31 84 55 X11 X12 15 15 x21 X22 x13 x14 30 15 0 x23 x24 45 40 5 x31 x32 x33 x34 50 x41 x42 x43 x44 25 15 0 20 31 84 5 0 56 X11 X12 x13 x14 30 15 0 15 15 x21 X22 X23 X24 45 40 9 5 31 x31 x32 x33 x34 50 x41 x42 x43 x44 25 15 0 20 31 0 84 5 0 57 X11 X12 x13 x14 30 15 0 15 15 x21 X22 X23 X24 45 40 9 0 5 31 9 x31 x32 x33 x34 50 x41 x42 x43 x44 25 15 0 20 31 0 84 5 0 75 58 X11 X12 15 15 x21 x31 x13 x14 30 15 0 X22 X23 X24 45 40 9 0 5 31 9 x32 x33 X34 50 0 50 x41 x42 x43 x44 15 0 20 31 0 84 5 0 75 25 25 59 X11 X12 15 15 x21 x31 x13 x14 30 15 0 X22 X23 X24 45 40 9 0 5 31 9 x32 x33 X34 50 0 50 x41 x42 x43 X44 25 0 25 15 0 20 5 0 31 0 84 75 25 0 60 EJEMPLO 2 61 62 SOLUCIÓN 63 64 U =+1-5+2-4=-6 65 66 67 68 Ejemplo 2 Método de la esquina noroeste 69 Q Encontrar la ruta de costo mínimo para el siguiente problema de transporte, usando el método de la esquina noroeste. 70 SOLUCIÓN 71 2 16 0 72 16 2 0 2,0 8 73 16 0 2 2,0 8 7 8 0 74 16 2 7 8 0 2,0 7,0 8 0 0 75 76 SFBI Q Q Q Q Q Q Q X11=16 X12=2 X13=0 X21=0 X22=8 X23=7 Costo= (16x6)+(2x5)+(2x8)+(4x7)=150 77 MEJORA DE LA SOLUCIÓN 78 79 80 81 82 Analicemos la adición hipotética de 1 unidad a la variable X21: 1. Un aumento del costo debido al aumento de X21 en una unidad por $4 2. Una disminución del costo debido a una disminución de X11 en una unidad por $6 3. Un aumento del costo debido a un aumento de X12 en una unidad por $5 4. Una disminución del costo debido a una disminución de X22 en una unidad por $2 El efecto neto es: 4 – 6 + 5 – 2 = +$1 Es evidente que no se quiere este efecto. 83 Analicemos la adición de la variable X13 a la solución: 1. Un aumento del costo debido al aumento de X13 en una unidad por $1 2. Una disminución del costo debido a la disminución de X23 en 1 unidad por $4 3. Un aumento del costo debido al aumento de X23 en 1 unidad por $2 4. Una disminución del costo debido a la disminución de X12 en 1 unidad por $5 El efecto neto es: 1 – 4 + 2 – 5 = -$6 84 Hemos identificado una variable no – básica (X13) que al volverse básica tiene el efecto neto de disminuir el costo total en $6 por cada unidad remitida por esa ruta. Q La asignación debe considerar las restricciones, así tendríamos la siguiente tabla: Q 85 86 Como era de esperar, el costo total del transporte se redujo en $ 12 (150 – 12 = 138): (6)(16) + (1)(2) + (2)(10) + (4)(5) = 96 + 2 + 20 + 20 = 138 87 Q Q Q Evaluemos ahora la posibilidad de otro intercambio entre las variables X11, X21, X23 y X13. El efecto neto de un intercambio de una unidad será: -6 + 4 – 4 +1 = -5 y el total de unidades que se pueden intercambiar es de cinco por lo tanto (-5)(5) = -25 por lo cual el costo total del transporte se reduciría en $25 (138 – 25 = $ 113). Así, la nueva tabla del transporte quedaría: 88 89 PROBLEMA PARA RESOLVER Encontrar la ruta de costo mínimo para el siguiente problema de transporte, usando el método de la esquina noroeste y el cálculo de los índices de mejoramiento. 90 Plantear el modelo de red Q Elaborar el modelo de programación lineal asociado, sin resolverlo. Q 91 SOLUCIÓN 92 X13+X23<=400 X14+X24<=350 93 PROBLEMA PARA RESOLVER Encontrar la ruta de costo mínimo para el siguiente problema de transporte, usando el método de la esquina noroeste y el cálculo de los índices de mejoramiento. 94 Encontrar la ruta de costo mínimo para el siguiente problema de transporte, usando el método de la esquina noroeste. Encontrar la SFBI, indicar su costo asociado. Desde Cleveland Detroit Greensboro Demanda Boston $35 37 40 1100 Richmond 30 40 15 400 Hacia Atlanta 40 42 20 750 St. Louis 32 25 28 750 Oferta 1200 1000 800 95 SOLUCIÓN 96 97 PROBLEMA PARA RESOLVER Encontrar la ruta de costo mínimo para el siguiente problema de transporte, usando el método de la esquina noroeste y el cálculo de los índices de mejoramiento. 98 3 2 6 7 7 5 2 3 99 PROBLEMA PARA RESOLVER Método de la esquina noroeste 100 La Red de AJax Q Q Q Q Q Q La planta de Ajax se encuentra en Chicago. Ajax vende sus computadoras en 8 mercados. Para satisfacer la demanda de esta semana, el gerente de Ajax debe decidir un plan de embarque desde su planta hasta la bodega y los mercados. Los costos de transporte se muestran en la tabla Encontrar la ruta de costo mínimo para el siguiente problema. Usando el método de la esquina noroeste y el cálculo de los índices de mejoramiento. 101 Costos de transporte $/unidad Planta 1 2 3 4 5 7 8 oferta 1 14 24 21 20 21.5 19 17 30 100 2 24 15 28 20 18.5 19.5 24 28 45 demanda 22 14 18 17 15 20 6 13 15 102 EJERCICIO PARA RESOLVER Encontrar la ruta de costo mínimo para el siguiente problema. Usando el método de la esquina noroeste y el cálculo de los índices de mejoramiento. 103 Almacenes planta 1 2 3 4 oferta 1 464 513 654 867 75 2 352 416 690 791 125 3 995 682 388 685 100 demanda 80 65 70 85 300 Se desea saber cuántos camiones enviar de i a j dados los costos 104 De transporte de i a j.