Ejercicio 1 A - fyqpolitecnico

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PAEU Electromagnetismo hasta septiembre 2010
Modelo Ejercicio 4 A
a) Un electrón que está en reposo dentro de un campo magnético, ¿puede ponerse en movimiento
debido a este campo? ¿y si estuviera dentro de un campo eléctrico? (1 punto)
a) La fuerza con la que interacciona un campo magnético con una partícula cargada está dada por la

 
ecuación: F q · ( v x B) . Por ello, si la partícula está en reposo no interacciona con el campo magnético.
Sin embargo un campo eléctrico siempre interacciona con una partícula carga independientemente de la


velocidad que tenga: F q · E
Modelo Ejercicio 4 B
Una partícula P, de carga q y masa m, que se mueve a velocidad constante
v, cruza la línea QQ’ a partir de la cual existe un campo magnético B, que
le obliga a seguir una trayectoria semicircular de radio R. La partícula
necesita un tiempo T para recorrer la semicircunferencia que va de Q a Q’.
Calcula el nuevo radio de la semicircunferencia y el tiempo que tardaría
en recorrerla si se tratase de:
a) Una partícula idéntica a P, con carga 2q (1 punto).
b) Una partícula idéntica a P, que se mueve con velocidad 2v (1 punto).
B
R
Q
Q’
v
P
Cuando una partícula cargada penetra en un campo magnético actúa sobre ella una fuerza perpendicular al
vector velocidad, que proporciona una aceleración normal que modifica la dirección del vector velocidad, y

 
cuya expresión es: F = q · (v x B)
Si el campo magnético es uniforme y la dirección del vector velocidad es perpendicular a él, entonces la
partícula describe una trayectoria circular contenida en un plano perpendicular al campo magnético y cuyo
radio es proporcional al módulo del momento lineal de la partícula cargada.
Aplicando la segunda ley de Newton y como = 901, se deduce que:


v2
F = m · a n ; | q | · v · B · sen 90º = m
R
R=
m· v
| q |· B
La velocidad angular, la frecuencia y el período del movimiento son:
=
v | q |· B
=
;
R
m
=
2·
=
| q |· B
1 2· ·m
; T= =
2· ·m
B·| q |
El tiempo que tarda la partícula en recorrer la semicircunferencia QQ’ es igual a la mitad del período:
TQQ' =
T
·m
=
2 B·| q |
a) El radio de la trayectoria y el tiempo en recorrerla se dividen por dos, en efecto:
R 2q =
m·v
| 2·q | · B
·m
R
; T2q ' =
B · | 2·q |
2
TQQ'
2
b) El radio de la trayectoria se multiplica por 2 y el período es independiente de la velocidad.
R 2v =
m · 2· v
·m
2 · R ; T2 v = =
| q |· B
B ·| q |
TQQ'
2
PAEU Electromagnetismo hasta septiembre 2010
Junio 2010 Ejercicio A4 Modalidad
Un electrón que se halla en el punto A de la figura tiene una velocidad v =
1,41 · 106 m/s.
a) Halle la magnitud y dirección del campo magnético que obliga al
electrón a seguir la trayectoria semicircular mostrada en la figura. (1,5
puntos)
b) Calcule el tiempo necesario para que el electrón se traslade desde A
hasta B, sabiendo que la distancia entre ellos vale d AB = 100 μm. (0,5
puntos)
Para que el electrón describa la trayectoria semicircular debe
actuar una fuerza magnética perpendicular al vector velocidad y
dirigida hacia el centro de la trayectoria. Ello se consigue con un
campo magnético perpendicular a los vectores velocidad y fuerza,
es decir, perpendicular al plano de papel y de sentido alejándose
del observador, hacia dentro.

B
× × ×F × × × ×
magnetica
El radio de la trayectoria es r = dAB/2 = 50 · 10-6 m
Aplicando la segunda ley de Newton y como


v
F = m · a n ; | q | · v · B · sen 90º = m
R
2
B=
= 901, se deduce que:
9,1·10
m·v
| q |· R
31
1,60 ·10
kg ·1,41·10 6 m / s
19
C · 50 ·10
6
0,16 T
m
El tiempo que tarda el electrón en recorrer la trayectoria es igual a la mitad del período del movimiento.
Aplicando las relaciones entre la velocidad, radio y período de un movimiento circular, resulta que:
t AB
T
2
2· · R
v
2
·R
v
· 50 ·10
6
6
m
1,41·10 m / s
1,11·10
10
s
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Junio 2010 Ejercicio B4 Modalidad
Dos hilos conductores largos, rectilíneos y paralelos, separados una distancia d = 9 cm, transportan la
misma intensidad de corriente en sentidos opuestos. La fuerza por unidad de longitud que se ejerce
entre ambos conductores es 2 · 10-5 N / m .
a) Calcule la intensidad de corriente que circula por los conductores. (1 punto)
b) Si en un punto que está en el mismo plano que los conductores y a igual distancia de ellos se lanza
una partícula de carga q = 5 μC con velocidad v = 100 m/s en dirección paralela a los conductores,
¿que fuerza actuará sobre la partícula en ese instante? (1 punto)
Un hilo rectilíneo por el que pasa una intensidad de la corriente
eléctrica, genera un campo magnético cuyas líneas de campo son
circunferencias concéntricas en el hilo y situadas en un plano
perpendicular a él. El sentido del campo magnético es el indicado por
la regla de la mano derecha que coincide con el del giro de un
sacacorchos que avanza según el sentido de la intensidad de la
corriente eléctrica. Aplicando la ley de Biot y Savart, el módulo del
campo magnético generado por un conductor a una distancia r de él es:
I1
I2
F1
F2
B2
x
x B1
· I1
2· ·r
B1
Al colocar otro conductor, por el que pasa una intensidad de la corriente eléctrica I 2, a una distancia r del
primero, los conductores interaccionan con fuerzas del mismo módulo y dirección, pero de sentidos

 
contrarios y que se calculan aplicando la segunda ley de Laplace: F I · (L B) .
Como los conductores están colocados paralelamente, se tiene que los módulos de estas fuerzas, que forman
un par de acción y reacción, son:
F2
F1
L · I 2 · B1
L·I2 ·
· I1
2· ·r
2·
·I1 · I 2
L
, con L la longitud de los conductores
r
Estas fuerzas tienen por dirección la de la perpendicular a los hilos y sentido el indicado por la regla de
Maxwell del producto vectorial, de forma que corrientes eléctricas del mismo sentido se atraen y si son de
sentido contrario se repelen.
Por tanto aplicado a las condiciones del ejercicio y como I2 = I1, resulta que:
2 ·10
5
N
4 · ·10 7 N / A 2 2 1 m
·I
2·
0,09 m
I
I1
3A

B1
Los dos conductores generan en el espacio entre ellos campos magnéticos del
mismo módulo, la misma dirección, perpendicular al plano del papel y el
mismo sentido, alejándose del observador. Como el punto dista 4,5 cm de cada
conductor, su módulo es:
B
B1
B2
2·
·I
2· ·d
0
2·
I2
0,09 m
4 · ·10 7 N / A 2 · 3 A
2 · · 0,045 m
2,67 ·10
5

B2
T
La fuerza que actúa sobre la partícula tiene la dirección perpendicular a los
vectores campo magnético y velocidad y sus sentido es el indicado por las
reglas del producto vectorial, tal y como se indica en la figura adjunta. Su
módulo es:
F = |q| · v · B = 5 ·10-6 C · 100 m/s · 2,67 ·10-5 T = 1,33 · 10-8 N

v

F

B
x

F
x

B

v
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PAEU Electromagnetismo hasta septiembre 2010
Junio 2010 Ejercicio B4 Específico

Un electrón se mueve en el seno de un campo magnético uniforme B con una velocidad perpendicular
a dicho campo y de valor v = 20000 km/s, describiendo un arco de circunferencia de radio R = 0, 5 m.
a) Determine el valor del campo B. (1 punto)

b) Si la velocidad del electrón formara un ángulo de 45° con B ¿cómo sería la trayectoria? (1 punto)
Aplicando la segunda ley de Newton a una partícula cargada y como el vector velocidad y el vector campo
magnético son perpendiculares, se tiene:


v2
F m · a n ; |q| · v · B · sen 90º = m
R
B
m·v
| q |· R
9,11·10
31
1,6 ·10
kg · 2 ·107 m / s
19
2,28 ·10
4
T
C · 0,5 m
El vector velocidad tiene dos componentes una perpendicular (v · sen 45º) al campo
que le hace describir una trayectoria circular de radio:
R
m · v · sen 45º
| q |· B
9,11·10
31
1,6 ·10
kg · 2 ·107 m / s · sen 45º
19
C · 2,28 ·10
4

v

vy
0,35 m T
e- 45º
T

Y una componente paralela al campo y que por ello no le afecta el campo, pero que
F
obliga a seguir al electrón con un movimiento rectilíneo uniforme de velocidad:
vx = v · cos 45º = 2 ·107 m/s · cos 45º = 1,41 · 107 m/s
La composición de los dos movimientos provoca que el electrón siga una trayectoria helicoidal.

B

vx
Septiembre 2010 Ejercicio B4 Modalidad
Una partícula con carga
+q y masa m entra con velocidad v en una zona en la que existe un campo

magnético uniforme B perpendicular al movimiento. 
a) En función del sentido del campo dibuje la trayectoria descrita por la partícula.
b) Demuestre que la partícula describe un movimiento circular con frecuencia f = q · B/(2 · π · m)

B
Cuando una partícula cargada penetra en un campo magnético actúa sobre ella una
fuerza perpendicular al vector velocidad, que proporciona una aceleración normal que
modifica la dirección del vector velocidad, y cuya expresión es:

v

 
F = q · (v x B)
+q

F

F

F

v
+q

v
+q
Si el campo magnético es uniforme y la dirección del vector velocidad es
perpendicular a él, entonces la partícula describe una trayectoria circular contenida en
un plano perpendicular al campo magnético y cuyo radio es proporcional al módulo del momento lineal de la
partícula cargada. Aplicando la segunda ley de Newton y como = 901, se deduce que:


v2
F = m · a n ; | q | · v · B · sen 90º = m
R
R=
m· v
| q |· B
La frecuencia y el período del movimiento es:

B
=
v | q |· B
=
;
R
m
=
2·
=
| q |· B
2· ·m

v
-q

F

F

F
-q
La velocidad angular y la frecuencia, también denominada frecuencia ciclotrón, son independientes
del radio


v
-q
v
de la trayectoria y de la velocidad de la partícula cargada, dependen de la relación carga/masa
y del
módulo
del campo magnético.
PAEU Electromagnetismo hasta septiembre 2010
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Septiembre 2010 Ejercicio B4 Específico
Una corriente uniforme circula por una espira circular.
a) Realice un dibujo de las líneas del campo magnético generado por dicha corriente.
b) Indique a qué lado de la espira corresponde el polo norte y a qué lado el polo sur.
En el interior de la espira, el campo magnético es perpendicular al plano de la misma y su sentido coincide
con el del avance de un sacacorchos que gira en el mismo sentido que la intensidad de la corriente eléctrica.
De la figura se deduce que si la intensidad de la corriente eléctrica gira en el sentido de las agujas del reloj
entonces el campo magnético entra en el plano del papel. Si la intensidad va en sentido contrario al de las
agujas del reloj, entonces el campo sale del plano del papel.
Junio 2011. Ejercicio B4
El campo magnético B a una distancia d de un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una
intensidad de corriente eléctrica I,
a) ¿cómo varía con d y con I ? (1 punto)
b) Dibuje las líneas del campo magnético, indicando su sentido y una regla sencilla que permita
determinarlo con facilidad. (1 punto)
El módulo del campo magnético generado por un conductor rectilíneo indefinido queda determinado por la
relación: B
·I
con I la intensidad de la corriente eléctrica que pasa por el hilo y d la distancia desde el
2· ·d
punto considerado al conductor. Por tanto el módulo del campo magnético es directamente proporcional a la
intensidad de corriente eléctrica que pasa por el hilo e inversamente proporcional a la distancia desde el
punto al hilo.
Las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas en el conductor y situadas en planos
perpendiculares al mismo. El vector campo magnético es tangente a las líneas de campo y su sentido es el
indicado por el giro de un sacacorchos que avanza según el sentido de la intensidad de la corriente eléctrica.
Ese mismo sentido se puede determinar con la regla de la mano derecha: si con la mano derecha se rodea al
conductor de forma que el dedo pulgar indique el sentido de la corriente, entonces el resto de los dedos
indican el sentido del campo magnético.
6
PAEU Electromagnetismo hasta septiembre 2010
Septiembre 2011 Ejercicio B4
a) Indique si la siguiente afirmación es cierta o falsa: La fuerza ejercida por un campo magnético
sobre una partícula cargada en movimiento no cambia el módulo de su velocidad. Justifique su
respuesta.
b) Un electrón se mueve con una velocidad 2·106 m·s-1 en el seno de un campo magnético uniforme de
magnitud B = 1,4 T. La fuerza ejercida por el campo magnético sobre el electrón es 2·10 13 N. Calcule la
componente de la velocidad del electrón en la dirección del campo.



La expresión de la fuerza magnética sobre una partícula en movimiento es: F q · ( v B)


El vector fuerza es siempre perpendicular al plano que delimitan v y B y por lo tanto no realiza trabajo sobre
la partícula al ser aquella perpendicular a la velocidad, por lo que la Ecinética no se ve afectada por esta fuerza.
Es decir, la fuerza magnética sólo modifica la dirección del vector velocidad y no su módulo.
De otra forma, el vector velocidad se puede descomponer en dos componentes.
Una en la dirección del campo y la otra en la perpendicular al mismo. La
componente en la dirección del campo no es afectada por ninguna fuerza por ser
paralela al campo y la componente perpendicular al mismo que si es afectada.
Esta fuerza proporciona una aceleración normal que obliga a seguir a la partícula
un movimiento circular. Esta aceleración modifica la dirección de la componente
de la velocidad pero no su módulo.
La composición de los dos movimientos, circular y el de traslación de la
componente en la dirección del campo, produce en movimiento helicoidal sin
alteración del módulo del vector velocidad.

B

F

vcampo

v

v perpendicular campo
El módulo de la fuerza que actúa sobre el electrón, si φ es el ángulo entre el vector velocidad y el vector
campo magnético es:
F = |q| · v · B · sen φ ; 2 · 10-13 N = 1,6 · 10-19 C · 2 · 106 m/s · 1,4 T · sen φ
Despejando: φ = 26,5 º
La componen de la velocidad en la dirección del campo es:
vcampo= v · cos φ = 2 · 106 m/s · cos 26,5º = 1,79 · 106 m/s