Árboles
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ÉUEROHV
&DUORV'HOJDGR.ORRV
,QJHQLHUtD7HOHPiWLFD
8QLY&DUORV,,,GH0DGULG
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1
'HILQLFLyQQRUHFXUVLYD
❚ 8QiUEROFRQVLVWHHQXQFRQMXQWRGH
QRGRV\XQFRQMXQWRGHDULVWDVGH
IRUPDTXH
❙ 6HGLVWLQJXHXQQRGROODPDGRUDt]
❙ $FDGDQRGRKH[FHSWRODUDt]OHOOHJDXQD
DULVWDGHRWURQRGRS
S SDGUH GHK KXQRGHORVKLMRVGHS
❙ 3DUDFDGDQRGRKD\XQFDPLQR VHFXHQFLD
GHDULVWDV~QLFR GHVGHODUDt]
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2
1
(MHPSOR
Raíz (sin padre)
El padre de h
S
Un hijo de p
hermano
de h
K
Hojas
(sin hijos)
Hojas
(sin hijos)
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(MHPSOR
Raíz (sin padre)
El padre de h
S
Un hijo de p
hermano
de h
K
Hojas
(sin hijos)
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Hojas
(sin hijos)
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2
'HILQLFLyQUHFXUVLYD
❚ 8QiUEROHV
❙ 8QQRGR
❙ RXQQRGR\VXEiUEROHVFRQHFWDGRVFRQHO
QRGRSRUPHGLRGHXQDDULVWDDVXUDt]
No incluye
al árbol vacío
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'HILQLFLyQUHFXUVLYD
❚ 8QiUEROHV
❙ YDFtR
❙ RXQQRGR\FHURRPiVVXEiUEROHVQRYDFtRV
FRQHFWDGRVFRQHOQRGRSRUPHGLRGHXQD
DULVWDDVXUDt]
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6
3
(MHPSORV
❚ 8QVLVWHPDGHILFKHURV
❚ /DHVWUXFWXUDGHXQGRFXPHQWRFDStWXORV
DSDUWDGRVVXEDSDUWDGRV
❚ 8QiUEROGHGHFLVLyQ
❚ 8QiUEROJHQHDOyJLFR
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7
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8
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4
&LWD
❚ 7KHVWUXFWXUHRIFRQFHSWVLVIRUPDOO\FDOOHGD
KLHUDUFK\ DQGVLQFHDQFLHQWWLPHVKDVEHHQD
EDVLFVWUXFWXUHIRUDOOZHVWHUQNQRZOHGJH
.LQJGRPVHPSLUHVFKXUFKHVDUPLHVKDYHDOO
EHHQVWUXFWXUHGLQWRKLHUDUFKLHV7DEOHVRI
FRQWHQWVRIUHIHUHQFHPDWHULDODUHVRVWUXFWXUHG
PHFKDQLFDODVVHPEOLHVFRPSXWHUVRIWZDUHDOO
VFLHQWLILFDQGWHFKQLFDONQRZOHGJHLVVR
VWUXFWXUHG
5REHUW 03LUVLJ=HQDQG
WKH$UWRI0RWRUF\FOH0DLQWHQDQFH
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7HUPLQRORJtD
❚ 8QQRGRHVH[WHUQRVLQRWLHQHKLMRVHVKRMD
❚ 8QQRGRHVLQWHUQRVLWLHQHXQRDPiVKLMRV
❚ 8QQRGRHVDVFHQGLHQWHGHRWURVLHVSDGUH
GHpORDVFHQGLHQWHGHVXSDGUH
❚ 8QQRGRHVGHVFHQGLHQWH GHRWURVLHVWHHV
DVFHQGLHQWHGHOSULPHUR
❚ /RVGHVFHQGLHQWHVGHXQQRGRGHWHUPLQDQXQ
VXEiUERO HQHOTXHHVHQRGRKDFHHOSDSHOGH
UDt]
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5
7HUPLQRORJtD
❚ 8QiUEROHVRUGHQDGRVLSDUDFDGDQRGR
H[LVWHXQRUGHQOLQHDOSDUDWRGRVVXV
KLMRV
❚ 8QiUEROELQDULR HVXQiUERORUGHQDGR
HQHOTXHFDGDQRGRWLHQH RKLMRV
HOKLMRL]TXLHUGR\HOGHUHFKR
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7HUPLQRORJtD
❚ 8QFDPLQR GHXQQRGRDRWURHVXQD
VHFXHQFLDGHDULVWDVFRQVHFXWLYDVTXH
OOHYDQGHOSULPHURDOVHJXQGR6XORQJLWXG
HVHOQ~PHURGHDULVWDVTXHWLHQH
❚ /DSURIXQGLGDG GHXQQRGRHVOD
ORQJLWXGGHOFDPLQRGHODUDt]DHVHQRGR
❚ /DDOWXUD GHXQiUEROHVODSURIXQGLGDG
GHOQRGRPiVSURIXQGR
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6
$OJRULWPRVEiVLFRV
❚
❚
❚
❚
7DPDxRQ~PHURGHQRGRV
3URIXQGLGDGGHXQQRGR
$OWXUD
5HFRUULGRV
❙ (XOHU
❙ 3UHLQ \SRVWRUGHQ
❚ 6XSRQHPRViUEROHVELQDULRVSDUD
VLPSOLILFDU
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&ODVH1RGRELQDULR
class NodoB {
Object d;
NodoB izq;
NodoB der;
NodoB() {this(null);}
NodoB(Object o) {this(o,null,null);}
NodoB(Object o, NodoB i, NodoB d)
{d=o; izq=i; der=d;}
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7
&ODVH1RGRELQDULR
static int size (NodoB a){...;}
static int height (NodoB a){...;}
void preorder (NodoB a){...;}
void inorder (NodoB a){...;}
void postorder (NodoB a){...;}
}
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&ODVHÉUEROELQDULR
class ArbolB {
protected NodoB raiz;
ArbolB() {raiz=null;}
ArbolB(Object o){raiz=new NodoB(o);}
public int size()
{return NodoB.size(raiz);}
public int height()
{return NodoB.height(raiz);}
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8
&ODVHÉUEROELQDULR
public void preorder ()
{if (raiz!=null) raiz.preorder();}
public void inorder ()
{if (raiz!=null) raiz.inorder();}
public void postorder ()
{if (raiz!=null) raiz.postorder();}
}
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7DPDxR
static int size (NodoB a){
if (a==null)
return 0;
else
return 1+size(a.izq)+size(a.der);
}
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9
$OWXUD
static int height (NodoB a){
if (a==null)
return (-1);
else
return 1+Math.max(height(a.izq),
height(a.der));
}
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5HFRUULGRGH(XOHU
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5HFRUULGRSUHRUGHQ
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5HFRUULGRSRVWRUGHQ
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11
5HFRUULGRLQRUGHQ
VLPpWULFR
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SUHRUGHQ
void preorder (){
System.out.println(d);
if (izq != null)
izq.preorder();
if (der != null)
der.preorder();
}
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SRVWRUGHQ
void postorder (){
if (izq != null)
izq.postorder();
if (der != null)
der.postorder();
System.out.println(d);
}
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LQRUGHQ
void inorder (){
if (izq != null)
izq.inorder();
System.out.println(d);
if (der != null)
der.inorder();
}
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$%&²'
$
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'
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(MHPSOR
,QILMR
3UHILMR
3RVILMR
$%
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±$%&
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1RWDFLyQSRVWILMR
❚ &DOFXODGRUDV+3
❚ 3LODSDUDDOPDFHQDURSHUDQGRV
❚ (M± Copyright © 2001 cdk@it.uc3m.es
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3URSLHGDGHVGH
iUEROHVELQDULRV
❚ 6HD
❙
❙
❙
❙
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,
1
+
1~PHURGHQRGRVH[WHUQRV
1~PHURGHQRGRVLQWHUQRV
7DPDxR (,
$OWXUD
❚ 6HFXPSOH
❙ ( ,
❙ +è(è+
+è,è+
❙ ORJ1è+è1
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+è1è+
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,PSOHPHQWDFLRQHV
❚ %DVDGDHQVHFXHQFLD
❚ %DVDGDHQHVWUXFWXUDHQOD]DGD
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,PSOHPHQWDFLyQ
EDVDGDHQVHFXHQFLD
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SUDL] S[L]T S[
S[GHU S[
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,PSOHPHQWDFLyQ
EDVDGDHQHQODFHV
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ÉUEROHVELQDULRV
GHE~VTXHGD
❚ 8QiUEROELQDULRGHE~VTXHGD HVXQ
iUEROELQDULRHQHOTXHSDUDFDGDQRGRQ
❙ WRGDVODVFODYHVGHORVQRGRVGHO
VXEiUEROL]TXLHUGR VRQ
PHQRUHVTXHODFODYHGHQRLJXDOHV
❙ \WRGDVODVGHOVXEiUEROGHUHFKR
PD\RUHVRLJXDOHV
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(MHPSOR
1
2
3
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(MHPSOR
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1
2
3
4
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2SHUDFLRQHV
❚ %~VTXHGD
❚ ,QVHUFLyQ
❚ (OLPLQDFLyQ
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%~VTXHGD
%XVFDPRVHO³´
6XEiUERO L]TXLHUGR
! 6XEiUERO GHUHFKR
(OHPHQWR HQFRQWUDGR
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,QVHUFLyQ
•
7
9
2
1
Nos desplazamos dependiendo del
resultado de la comparación,
cuando lleguemos a una hoja
insertamos.
– Si la clave del elemento a insertar
coincide con la del nodo raíz el
elemento a insertar sustituye al
que había
– Si es menor buscamos en el
subárbol izquierdo
– Si es mayor buscamos en el
subárbol derecho
– Si llegamos a un nodo degenerado
5
3
6
– Si es menor insertamos a la
izquierda
– Si es mayor insertamos a la
derecha
Ejemplo insertar el 6
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(OLPLQDFLyQ
7
7
•
9
2
1
5
1
Elimino el 5 (1 hijo)
3
9
2
3
7
9
2
1
5
3
7
9
3
1
5
Es complicado ya que los nodos
internos mantienen al árbol
conectado. Para eliminar:
– Si se trata de una hoja se
elimina directamente
– Si tiene un único hijo se
elimina el nodo haciendo que
su nodo padre pase a
referenciar a su nodo hijo
– Si tiene dos hijos :
– Se sustituye el nodo por el
menor elemento de su
subárbol derecho
– Se elimina el nodo
correspondiente a dicho
menor elemento
Elimino el 2 (2 hijos)
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20
ÉUEROHV$9/
❚ 8QiUERO$9/ HVXQiUEROELQDULRGH
E~VTXHGDHQHOFXDOSDUDFDGDQRGRODV
DOWXUDVGHORVVXEiUEROHVGLILHUHQDOR
VXPRHQXQR
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0RQWtFXORV+HDSV
❚ 8QPRQWtFXOR HVXQiUEROELQDULRHQHO
TXHSDUDFDGDQRGRQH[FHSWRSDUDHO
UDt]VXFODYHHVPD\RURLJXDOTXHODGH
VXSDGUH
❚ 6LUYHSDUDODLPSOHPHQWDFLyQGHFRODVFRQ
SULRULGDG
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(MHPSOR
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2WURViUEROHV
❚ ÈUEROURMLQHJUR
❚ ÈUEROHV$$
❚ ÈUEROHV%
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