Funciones escalonadas e Integrales Iteradas

Funciones escalonadas e Integrales Iteradas
Definición.- Una función definida en un rectángulo Q se llama escalonada si existe una partición
P de Q talque f es constante en cada uno de los subrectángulos abiertos de P.
Sea P1 × P2 una partición del rectángulo Q en mn subrectángulos y f una función escalonada,
esto es , constante en los subrectángulos abiertos de Q. designemos Qij el subrectángulo determinado por [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] y sea Cij el valor contante que toma f en los puntos interiores
de Qij . S i fe es positiva, el volumen de la caja rectángular con base Qij y altura Cij es el
producto Cij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
∀ función escalonada f, positiva o no la suma de todos esos productos se toma como definición
de integral doble de f sobre Q.
Def Sea f una función escalonada que toma el valor constante Cij en el subrectángulo abierto
(xi−1 , xi )x(yj−1 , yj ) de un rectángulo Q. La integral doble de f en Q esta definida por la fórmula
n P
m
RR
P
f=
Cij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
Q
i=1 j=1
Observamos que si f es constante en el interior de Q, es decir f (x, y) = k si a ≤ x ≤ b y
c ≤ x ≤ d tenemos
Z Z
f = k(b − a)(d − c)
Q
1
puesto que (b − a) =
Rb
dx, (d − c) =
a
Rd
dy podemos escribir
c
Z Z
Q
Zb Zd
Zd Zb
f = [ f (x, y)dx]dy = [ f (x, y)dy]dx
a
c
c
a
Por lo tanto el valor de la integral doble se obtiene por integración sucesiva. En particular si f
es una función escalonada podemos escribir
Z Z
Qij
Zyj Zxi
Zxi Zyj
f=
[
f (x, y)dx]dy =
[
f (x, y)dy]dx
yj−1 xi−1
xi−1 yj−1
Calculo de una integral doble por integración unidimensional reitereada
Teorema 1. Sea f una función definida y acotada en un rectángulo Q = [a, b]x[c, d] y supongamos que f es integrable en Q. Supongamos que para cada y fija en [c,d] la integral unidimenRb
sional f (x, y)dx exista y designamos su valor por A(y).
a
Si existe la integral
Rd
A(y)dy es igual a la integral doble
c
RR
RR
f es decir
Q
Rd Rb
f (x, y)dxdy = [ f (x, y)dx]dy
c a
Q
Demostración. Elijamos 2 funciones escalonadas s y t que satisfagan s ≤ f ≤ t en Q. Integrando con respecto a x en [a,b] tenemos
Rb
Rb
s(x, y)dx ≤ A(y) ≤ t(x, y)dx
a
Puesto que
a
Rd
A(y)dx existe podemos integrar todo con respecto a y en [c,d] obteniendo
c
Zd
Z Z
s≤
Q
Z Z
A(y)dy ≤
c
t
Q
2
por consiguiente
Rd
A(y) es un número comprendido entre
c
RR
Q
se
RR
t para todas las funciones
Q
s y t que aproximan f por debajo y por encima, respectivamente puesto que f es integrable en
Q, el único número con esa propiedad es la integral doble de f en Q. Por tanto
Rd
Rb Rd
A(y) = [ f (x, y)dy]dx
c
a c
Interpretación geométrica
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