Práctico 6 Conjuntos Medibles y Funciones Escalonadas

Práctico 6
Conjuntos Medibles y Funciones Escalonadas
Cálculo 1 Anual 2016
1
Ej1 Sean f (x) = 1 + x y g(x) = 1 − x. Calcular: f (2), f (−2), −f (2), f ( 21 ), f (2)
, f (a + b), f (a) +
f (b), f (a)f (b), f (2) + g(2), f (g(2)), f (a) + g(−a) y f (t)g(−t).
Ej2 Graficar las siguientes funciones en el dominio D dado:
a) f (x) = x2 , D(f ) = [0, 2]
b) f (x) = |x − 3|, D(f ) = [−3, 2]
1
, D(f ) = [−4, 4]
x−1
p
e) f (x) = 1 − (x − 3)2 , D(f ) = [1, 5]
3
d) f (x) = −3, D(f ) = [−1, ]
2
1
f) f (x) = x2 − 3 + | |, D(f ) = [−1]
x
c) f (x) =
Ej3 Demostrar que los siguientes conjuntos son medibles y tienen área nula:
a) Un conjunto que consta de un solo punto.
b) El conjunto de un número finito de puntos.
c) La unión de finitos segmentos de recta en el plano.
Ej4 Mostrar que toda región en forma de triángulo rectángulo es medible.
Ej5 Dar una partición P del conjunto A = [0, 2] en cuatro intervalos. Encontrar algún refinamiento P 0
de P y P 00 refinamiento de P 0 .
Ej6 Halle un partición en 5 intervalos del conjunto D = [−3, 7]. Defina una función f : D → R tal que
f sea escalonada. Demuestre que sin importar qué valores se elijan para f , siempre está acotada.
Ej7 Grafique las siguientes funciones f : [−3, 5] → R e investigue si son funciones escalonadas. Para
probar eso, encuentre una partición de P tal que f es constante en cada intervalo de la partición.
a) f (x) = bxc
d) i(x) = bxc + bx +
1
2c
b) g(x) = b x2 c
c) h(x) = bxc − x
e) j(x) = f (x)g(x)
f) k(x) = f (x) + g(x)
Ej8 Para cada función escalonada de la parte anterior, calcular
R5
−3
f (x) dx.
Ej9 Encuentre una función escalonada no nula f : [0, 2π] → R tal que |f | ≤ | sen(x)|.
Ej10 Considere las funciones escalonadas f, g : [0, 1] → R definidas como f (x) =
para i = 0, 1, . . . , 9 y g(x) =
i+1 2
10
si x ∈
i i+1
10 , 10
a) Grafique f y g.
R1
R1
b) Calcule 0 f (x) dx y de 0 g(x) dx.
1
, para i = 0, 1, . . . , 9.
i 2
10
si x ∈
i i+1
10 , 10
,