TEMA 1 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE 1.1 SEPARACIÓN DE RAÍCES. ¿ Qué valores p -llamados raíces- satisfacen la ecuación f(x) = 0 ? (raíces: p0 , p1 , ...., p n ) Debemos considerar dos etapas: (1) Separación de raíces. Establecer los intervalos más pequeños posibles [, ] que contengan una raíz. (2) Mejorar los valores de las raíces aproximadas, hasta que presenten el grado de exactitud deseado. Propiedad de Darboux . Si f C[a, b ] y K es un número comprendido entre f(a) y f(b) , entonces c [a, b ] tal que f(c) = K. NOTA: Por C[a, b ] nos referimos a las funciones continuas en el intervalo [a, b]. Corolario V.1: Si f C[a, b ] asume valores de signo opuesto (+ y -) en los extremos de un intervalo [, ] entonces ese intervalo contendrá al menos una raíz de f(x)=0. 1 PROCESO DE SEPARACIÓN DE RAÍCES: Sea la ecuación f(x) = 0 , con f(x) definida en [a, b ] tal que f(a) > 0 y f(b) < 0 (o viceversa) 1. Tomamos en [a, b ] un número adecuado de puntos: 1, 2 ,... , n 2. Comprobamos los signos de f en cada punto: f(1 ), f(2 ),... , f(n ) Hay una raíz en cada intervalo [k , k+1 ] t. q. los signos f(k ), f(k+1 ) sean opuestos. Ejemplo: Separación de las raíces de la ecuación x3 - 6 x + 2 = 0 . Obtenemos la tabla: x f(x) - (-) -3 (-) -1 (+) 0 (+) +1 (-) +3 (+) + (+) OBSERVACIÓN: En caso de que la derivada, f'(x), sea continua y pueda obtenerse fácilmente los valores que cumplen f '(x) = 0, el asunto se simplifica, pues basta con tomar los signos de f(x) para los ceros de su derivada y para los extremos de [a, b]. Ejemplo: Separación de raíces de x4 - 4 x - 1 = 0. f(x) = x4 - 4 x - 1 , f '(x) = 4 (x3 - 1) x f(x) - (+) +1 (-) f '(x) = 0 para x = 1. + (+) Por tanto la ecuación tiene dos raíces. Teorema del Valor Medio. Si f C[a, b] y es diferenciable en (a, b), entonces existe un número c, a<c<b, tal que f ' (c) f (b) f (a ) ba 2 Teorema del Valor Extremo. Si f C[a, b] , entonces existen dos números c1 , c2 [a, b] t. q. f(c1) f(x) ) f(c2) para todo x [a, b]. Si además, f es diferenciable en (a, b), entonces c1 y c2 estarán en los extremos o allí donde f’(x)=0. Teorema V.2: Sea la ecuación f(x) = 0, y sea p una raíz exacta y x una raíz aproximada, ambas situadas en el mismo intervalo [,]… Y sea m1 un valor minimal de f’(x) en [,], es decir, m1 f’(x) (siendo m > 0 ), para x , entonces se tiene: xp f x m1 Demostración: Por el T. del valor medio se tiene: f ( x ) f ( p ) x p f (c) Donde c es una valor intermedio entre x y p, es decir c[α, β]. Tenemos que f(p) = 0, y, f (c) m1 (si tomamos para m1 el valor minimal de f ( x) para α≤x≤β), entonces: f x f ( p) m1 x p f x m1 ( x p) Por tanto: xp f x m1 3 Ejemplo: Para la ecuación x4 – x – 1 = 0, hemos obtenido la raíz aproximada x = 1.22. Estímese el error absoluto de esta raíz. f ( x ) = x4 – x – 1 f ( x ) = 2.2153 – 1.22 – 1 = -0.0047 (-) Como para el valor x = 1.23, se tiene: f ( x ) = 2.2889 – 1.23 – 1 = 0.0589 (+) la raíz exacta p cae en el intervalo (1.22, 1.23). La derivada f’(x) = 4 x3 – 1, crece monótonamente, por tanto el valor minimal es: m = 4 1.223 – 1 = 6.2632 y el error absoluto es: xp 0.0047 0.000750415 6.2632 1.2 SOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES. Es un método algo burdo, pero sirve para hallar raíces aproximadas de: f(x) = 0 [1] Se trata de sustituir la ecuación [1] por otra equivalente: (x) = (x) [2] Las raíces de [1] (o de [2], que son las mismas) son las abscisas de las intersecciones de las gráficas y = (x) , y ( x) y = (x) [3] . y ( x) Ejemplo: Hallar una raíz aproximada de la ecuación: x log10 x 1 Esta ecuación la escribimos: log 10 x 1 x 4 Las raíces son las abscisas de los puntos de intersección (en este caso sólo uno) de las funciones: y log10 x 1 y x Una raíz aproximada (aunque burda) es x = 2.6 OBSERVACIÓN: Este método es muy útil para el caso de que una de las funciones de [3] tenga forma lineal, o sea: y = ax + b. ( x) a x b que incluye al caso de las ecuaciones del tipo: xn + a x + b = 0 Ejemplo: Resolver aproximadamente la ecuación: x3 – 1.75 x + 0.75 = 0 Tomamos por una parte y = x3, por otra parte, tomamos la función lineal y=1.75+0.75 5 Las y x 3 raíces son p1 = -1.5, p2 = 0.5, p3 = 1 . y 1.75 0.75 6