Algebra Universitaria Im UNIDAD II. NÚMEROS COMPLEJOS 2.1.Forma binómica b z = a + bi z Definición de un número complejo. Es número formado por la suma de un número real y un número imaginario (indicado con la letra i). θ La forma binomial de un número complejo (Z) es: Z =a + bi Donde i = −1 Ejemplos de números complejos son: i. 1+i parte real “1” parte imaginaria “i” ii. 2+4i parte real “2” parte imaginaria “4i” iii. 2i parte real “0” parte imaginaria “2i” iv. 4 Se considera un numero real, ya que “0i” es la parte imaginaria (NO TIENE PARTE IMAGINARIA) Igualdad de un número complejo: Dos números complejos (z1 y z2) son iguales z1 = a+bi y z2 = c + di; si y solo si: a = c y b = d. Conjugado de un número complejo: Un número complejo z1 = a + bi tiene un conjugado definido como: z2 = a – bi. Representación gráfica. Para representar un número complejo, se usa el plano formado por los ejes horizontal que representa los números reales (Re) y el eje vertical que representa el plano complejo o imaginario (Im). Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez a Donde: Im. Re. Z = a + bi a b z θ Re Eje de los números imaginarios (vertical) Eje de los números reales (horizontal) Número complejo valor real (escala en Re) valor imaginario (escala Im) Valor absoluto o norma del número complejo z = a 2 + b 2 representa la distancia desde el origen al punto donde se encuentra el número complejo en el plano Re - Im. Ángulo formado entre el eje de los reales (Re) y el trazo de la norma del número complejo z . Se puede calcular con la ecuación: θ = tan-1(b/a) Ejemplo: Para el número complejo: z = 2 + 6i determine: a) Su norma z b) Su ángulo θ 1 Algebra Universitaria Operaciones y sus propiedades. Las operaciones de los números complejos son las siguientes. Sean z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i Suma: z1+z2 = (a1+a2)+(b1+b2)i Resta: z1- z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i Multiplicación: z1z2 = (a1+b1i)*(a2+b2i) z1 a1 + b1i = z2 a2 + b2i Division: z1 a1 + b1i a2 − b2i = z2 a2 + b2i a2 − b2i (NOTA: hay que multiplicar y dividir por el conjugado de z2) Propiedades de los conjugados. Para el número complejo z = a + bi el conjugado es z’ es z’ = a – bi Demuestra las siguientes propiedades con: z1 = 1+3i; z2 = 3+4i Ejemplo: Para los números complejos z1 = 2+5i y z2 = 10+2i realizar: i. z1+z2 ii. z1-z2 iii. z1*z2 iv. z1/z2 v. z12 3.- El doble conjugado de un número es igual a si mismo: (z1’)’=z1 Si z1 y z2 son dos números complejos 1.- El conjugado de la suma: (z1 + z2)’ = z1’+ z2’ También: (z1+z2+z3+…zn)’=z1’+z2’+z3’+…+zn’ 2.- El conjugado de la multiplicación: (z1*z2)’=z1’*z2’ También: (z1*z2*…zn)’=z1’*z2’*…*zn’ 4.- El conjugado de un número z pertenece a los reales siempre que sea igual a su conjugado z=a+bi pero si b = 0 entonces z=a+0i y z’ = a-0i por lo tanto z = z’ Puedes consultar la siguiente referencia de google books: Matemáticas para las ciencias aplicadas Escrito por Erich Steiner http://books.google.com.mx/books?id=uxauLevnXxUC&pg=PA193&dq=numeros+complejos&lr=&ei=qZaVSuybPImGzATtl-HOBw#v=onepage&q=&f=false Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 2 Algebra Universitaria Práctica en clase 2.1. Forma binómica número complejo. Realice las siguientes operaciones con los siguientes números complejos: z1 = 3 + 10i y z2 = 1+i i. z1+z2 ii. z1-z2 iii. z1*z2 iv. z1/z2 v. z12=z1*z1 De forma opcional, puedes investigar en la biblioteca alguna referencia que contenga el tema revisarlo, aplicarlo en la tarea y colocarlo en tu bibliografía con las rubricas APA; usa la utilidad en WORD para hacerlo; si no sabes como puedes ver este video: http://www.youtube.com/watch?v=0MaRBJ66kso Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS siguiendo las rubricas correspondientes: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx; marcelusoacademico@hotmail.com Colocar en ASUNTO: “Práctica en clase 2.1. Forma binómica número complejo.” Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3