MATEMÁTICA 6º AÑO 2012 -1- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

MATEMÁTICA 6º AÑO 2012
PROFESORAS:
RUHL, CLAUDIA
CURSOS: 6º1º
6º6º
---
-1-
SCARLATO MARÍA DEL CARMEN
6º8º
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
En primer lugar tendremos en cuenta determinada nomenclatura específica y ubicación en la circunferencia trigonométrica del radio,
arco, cuadrantes, etc.
Se llama circunferencia trigonométrica a la circunferencia de radio 1 y centro (0,0)
Tomemos una circunferencia trigonométrica de centro “0” y radio “r”
C (o,r).Al considerar un sistema de ejes cartesianos con
centro en “0” la circunferencia queda dividida en 4 partes iguales llamadas cuadrantes, que se enumeran como indica la siguiente
figura
Y
II Cuadrante
I Cuadrante
P = (x;y)
III Cuadrante
El ángulo
IV Cuadrante
puede estar medido según el sistema que utilicemos.
Sistema de Medición Sexagesimal
La unidad con las que hasta ahora medimos los ángulos son los grados, minutos y segundos. Este sistema de medición se llama
sistema sexagesimal. Se basa en dividir al ángulo de un giro en 360 partes iguales y cada una de esas partes es la unidad que
corresponde a 1º
Sistema Circular La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende,
dividido por el valor del radio.
= longitud del arco
radio
Si el ángulo es 360º (una vuelta completa) y su longitud es L =
360º =
r
360º = 2
r
r (r es el radio), tendremos
Como esta relación es proporcional, si 360º equivalen a 2 radianes encontraremos cuánto vale 1 radián
360º =
º
360º . 1 rad =
1 rad
º
2 rad
1 rad
º = 57º 17´44´´
1 rad =
57º 17´44´´2
rad
EQUIVALENCIA ENTRE LOS ÁNGULOS EN RADIANES Y GRADOS SEXAGESIMALES
-2-
Utilizá la proporción de la página anterior para realizar los siguientes ejercicios
Ejercicio Nº1: Se considera para π = 3,14. 1- Expresar en el sistema circular un ángulo de:
a)
80° =
b)
120° =
c)
161° =
d)
540° =
e) 35° 40´ =
f) 42° 27´ 32" =
g) 42° 59´ 37" =
Respuesta: (4/9).π rad
Respuesta: (2/3).π rad
Respuesta: 2,81 rad
Respuesta: 3.π rad
Respuesta: 0,62 rad
Respuesta: 0,74 rad
Respuesta: 0,75 rad
Ejercicio Nº 2: Expresar en el sistema sexagesimal un ángulo de:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(1/12).π rad =
(1/8).π rad =
(1/5).π rad =
1 rad =
(3/5).π rad =
(2/3).π rad =
Respuesta: 15°
Respuesta: 22° 30´
Respuesta: 36°
Respuesta: 57° 19´ 29,43"
Respuesta: 108°
Respuesta: 120°
Angulos y Arcos Orientados
Sea un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen o, al considerar las rotaciones del semieje
centro o; surgen dos posibilidades:

SENTIDO POSITIVO(contrario al de las agujas del reloj); llamado también

SENTIDO NEGATIVO (opuesto al anterior); llamado sentido horario
sentido antihorario
Obsérvese que en ambos casos coinciden el lado inicial y terminal del ángulo de amplitud + 30° con el de –330°.
con
-4Circunferencia Trigonométrica es aquella cuyo centro coincide con el origen de
coordenadas cartesianas y cuyo Radio (r=1) es la unidad.
Como vemos
sen
Recordando el teorema de Pitágoras lo aplicamos para el triángulo OPQ
OP2 = PQ 2 + OQ 2
1 2 = y2
1
+
= sen2
x2
Según lo expresado anteriormete
+ cos2
Ejercicio Nº3: Marcar en cada circunferencia el ángulo indicado teniendo en cuenta las equivalencias de la página anterior
y su sentido.
= 75º
=-
= /3
= /6
-240º
= -4/3
=-5/6
=-
= - 80º
=-
=5/3
=-
=-
= 2/3
- 270º
-5-
-3-
-5Según la representación anterior y para ver la evolución de las funciones trigonométricas según
aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes.
Los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta
variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.
Con tres colores distintos marcaremos para cada ángulo el seno, coseno y la tangente son sus
correspondientes signos.
Ejercicio Nº4: Ubica en cada circunferencia trigonométrica el ángulo indicado, marca el seno, coseno y la
tangente con sus correspondientes signos.
A)
- 6B)
D)
= 7/6
Ejercicio Nº5: Ubica en cada circunferencia trigonométrica el ángulo indicado, marca el seno, coseno y la
tangente con sus correspondientes signos.
-
-
-350º
-7-
ACTIVIDADNº1 : GRAFICAREMOS LA FUNCIÓN SENO, y = sen x.
Deberás realizar en tu carpeta, utilizando la hoja en forma horizontal, una circunferencia
trigonométrica y la prolongación del eje “x” y del eje “y” como indica el siguiente esquema.
Marca en dicha circunferencia los ángulos
30º=
60º =
210º =
1
x
-1
Recuerda que éste es solo un esquema y que en tu carpeta todas las unidades tiene que ser iguales.
Una vez que marcaste todos los ángulos pedidos sobre la circunferencia trigonométrica, transportaremos,
para cada ángulo, la medida del segmento que corresponde al seno sobre el eje “x” .
Realizaremos ente todos el estudio de ésta función.
ACTIVIDAD Nº 2 : GRAFICAREMOS LA FUNCIÓN COSENO, y = cos x
Vuelve a realizar la misma circunferencia trigonométrica que en la actividad nº 1 y marca los mismos
ángulos.
Una vez que marcaste todos los ángulos pedidos sobre la circunferencia trigonométrica, transportaremos,
para cada ángulo, la medida del segmento que corresponde al coseno sobre el eje “x” .
Realizaremos entre todos el estudio de ésta función.
ACTIVIDAD Nº 3 : GRAFICAREMOS LA FUNCIÓN TANGENTE, y = tg x.
Vuelve a realizar la misma circunferencia trigonométrica que en la actividad Nº 1 y marca los
mismos ángulos.
Una vez que marcaste todos los ángulos pedidos sobre la circunferencia trigonométrica, transportaremos,
para cada ángulo, la medida del segmento que corresponde a la tangente sobre el eje “x” .
Realizaremos entre todos el estudio de ésta función.
Ejercicio Nº6: Utiliza en tu computadora el programa graphmatica
conclusiones
1)
y = sen x
y = 2 sen
2) y = sen x
y =3 sen x
6)
y = sen x
y =sen (2 x )
7)
10)
y = cos x
y = 2 cos
11) y = cos x
y = 3 cos x
14)
y = cos x
y = cos(2 x )
15)
3)
y = sen x
y = sen (3x)
y = cos x
y = cos (3x)
y = sen x
y = 4 sen x
8)
12)
16)
4) y = sen x
y = -2 sen x
y = sen x
y = sen (1/2x)
y = cos x
y = -2 cos x
y realiza las siguientes gráficas. Extrae
9)
5)
y = sen x
y = - 3 sen x
y = sen x
y = sen (1/3x)
13) y = con x
y = -3 cos x
y = cos x
y = cos (1/2x)
17)
y = cos x
y = cos (1/3x)
-8Recordemos que las funciones trigonométricas son seis, las tres que estamos nombrando y la inversa de cada
una de ellas.
seno
= cat, opuesto
hipotenusa
coseno
tangente
= cat, adyacente
hipotenusa
= cat, opuesto
cat. adyacente
cosecante
= hipotenusa
cat. opuesto
secante
hipotenusa
cat. adyacente
=
cotangente = cat. adyacente
cat. opuesto
INVERSA
sen
cosec
cos
sec
tg
cotg
ACTIVIDAD Nº4: Hallaremos el valor del seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante de un
ángulo de 30º.
Utilizando la calculadora hallamos que sen 30º = ½
A partir de allí y según la relación pitagórica de la página 4 tenemos que
sen 2
+ cos 2 = 1
2
reemplazamos
sen 30º + cos 2 30º = 1
(1/2)2 + cos 2 30º = 1 (a partir de aquí despeja cos 30º)
tuviste que haber llegado a que cos 30 = √3 /2
Para calcular la tg 30º nos valemos de la relación en que tg 30º = sen 30º
tg 30º =
½ .
cos 30º
√3 /2
Realiza esta división recordando como se racionaliza el denominador.
Habrás llegado al siguiente resultado
tg 30º = 1
o
tg 30º = √3
√3
2
Utilizando la tabla de las inversas de cada una de las funciones anteriores calcula con los datos de la actividad
Nº4 la cosecante, la secante y la cotangente.
Cosecante:
Secante:
Cotangente:
De esta manera se podrían calcular todos los valores para las seis funciones trigonométricas de los ángulos
particulares y obtendríamos la siguiente tabla
-9-----
Ejercicio Nº7: Sabiendo que cosec 60º = 2 . √ 3
3
hallar las restantes funciones trigonométricas
Ejercicio Nº8: Sabiendo que el sen 150º = 1/2 hallar las restantes funciones trigonométricas teniendo en
cuenta los signos de las mismas. Para ayudarte ubica el ángulo en una circunferencia trigonométrica
= - √ 2 hallar las restantes funciones trigonométricas teniendo en
2
cuenta los signos de las mismas. Para ayudarte ubica el ángulo en una circunferencia trigonométrica
Ejercicio Nº9: Sabiendo que el cos 5/4
I DEN TI DA DES FUN DA M EN TA LES
c o s² α + s en² α = 1
sec ² α = 1 + t g² α
c o s ec ² α = 1 + c o t g² α
tg a = sen
/ cos
Teniendo un solo dato y utilizando las siguientes identidades podremos calcular todos los valores de las
restantes funciones trigonométricas.
EJEMPLO:
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
Primero tendremos en cuenta que estamos en el 2º cuadrante por lo tanto los signos de las funciones
trigonométricas serán: sen + ; cos - y la tg -
sen
= 3/ 5
Ut i l i za n d o l a r e l a c i ó n p i t ag ó r i c a c a l c u l a r em o s e l c o s e n o
cos² α + sen² α = 1
cos² α +
sec
= 1
cos
cosec
tg
cotg
( 3/5)2 = 1
= 1
sen
= sen
cos
1
cos² α = 1 – 9/25
sec
=
cosec
tg
1
-4/5
cos α= √16/25
cos
=- 4/5
sec
= 1
3/5
= 3/5
-4/5
cosec
tg
-3/4)
= - 5/4
cotg
= 5/3
= - 3/4
= - 4/3
-9-
-10-
E j e r c i c i o Nº 1 0: S a b i e n d o q u e t g α = 2 , y q u e 1 8 0 º < α <2 7 0 ° . C a l c u l a r l a s r e s t a n t e s
r a zo n e s t r i g o n om é t r i c a s d e l á n g u l o α .
Ejercicio Nº 11:
Sabiendo que cos
2 70 º < α < 3 6 0 º . C a l c u l a r l a s
= 4 / 3, y q u e
r e s t a nt e s r a zo n e s t r i g o n o m é t r i c a s d e l án g u l o α .
E j e r c i c i o Nº 1 2 :
Sabiendo que cotg
18 0 º < α < 2 7 0 º . C a lc u l a r l a s
= 1/ 3 , y q u e
r e s t a nt e s r a zo n e s t r i g o n o m é t r i c a s d e l án g u l o α .
U t i l i za n d o l a t a b l a d e I d e n t i d a d e s Fu n d a m e n t a l e s d e la p á g i n a 9 ve r i f i c a r e m os
d i s t i n t a s i g u a l d a d e s. P a r a e l l o a n a l i za r e m o s l o s s i g u i e n t e s e j e m p l o s.
Ejemplo A
Reemplazando tg
sen
+ cos = sec
cos
sen
sumamos el 1º término
= sec
sen 2 + cos2
cos . sen
1
= sec
cos . sen
1
1 = sec
cos . sen
Ejemplo NºB
1
= sen
2
a . co s
2
a + cos
4
a
sec2a
Extraemes factor común
1
= c os
sec2a
2
a. 1
1 = cos
s ec 2 a
2
2
a (sen
1
= cos
( 1/ c o s 2 a )
2
a + cos
2
a)
a. 1
E j e r c i c i o Nº 1 3 : Co m p r o b a r la s s ig u ie n t e s id e n t id a d e s
1)
2)
3)
4)
5
5)
5)
6)
cos
2
a = cos
2
a
-11-
7)
8)
9)
10)
11)
12)
1 + tg2
13)
1 + sec
1 - sec
14)
2 sen 2
= sec 2
= cos
cos
+1
-1
- 1 = sen 4
- cos 4
15)
sen α - tg α .cos α = 0
16)
sec ² α .(cosec ² α - 1) = cosec ² α
17)
tg α.tg β.(cotg α + cotg β) = (sen α.cos β + sen β.cos α)/cos α.cos β
18)
sen ² α - sen ² α .cos ² β = sen ² β - sen ² β .cos ² α
19)
(1 + tg α).(1 - tg α) = 2 - sec ² α
-12-
TRI Á N GUL OS OBL I CUÁ N GUL OS
Hasta e l año pas ado apli cábamo s pitá go r as y tr i g o no me tr ía so lo cuando
te íamo s tr iá ngu l o s r e ctángulo s.
Aho r a u ti liz ar e mo s lo s te o r e mas de l se no y de l co se no par a po de r tr abajar
co n cualq uie r ti p o de tr iángu lo s y calcu lar sus lad o s y sus án gulo s
TEOREM A DEL SEN O
Este te o r e ma e stable ce que l a me dida de lo s la do s e s dir e ctame nte
pr o po r cio nal a lo s se no s de lo s á ngulo s o p ue sto s
A
b
C
c
a
sen A =
a
B
sen B =
b
sen C
c
TE O RE M A DE L C O S E NO
E n u n t r iá n g u lo e l c u a d r a d o d e c a d a l a d o e s ig u a l a l a s u m a d e lo s c u a d r a d o s
d e lo s o t r o s d o s m e n o s e l d o b le p r o d u c t o d e l p r o d u c t o d e a m b o s p o r e l
c o s e no d e l á n g u lo q u e f o r m a n .
a2 = b2 + c2 - 2 b c . cos A
b2 = a2 + c2 - 2 a c . cos B
c2 = a2 + b2 - 2 a b . cos C
Aquí tienes algunos ejemplos para luego poder guiarte.
-13EJEMPLOS
A)
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los res tantes
elementos.
Como sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º y aquí de los tres
ángulos tenemos dos de ellos, calculamos el tercero
Veremos si nos sirve el teorema del seno para poder calcular lo que nos pide
sen A =
sen B =
a
b
sen A =
a
b =
sen B
b
sen 45º . 6
sen 30º
sen C
Utilizamos l 1º y la 2º igualdad pues de los cuatro datos poseemos tres
c
sen 30º =
sen 45º
6m
b= √2 / 2
1/2
Despejamos convenientemente y calculamos “b”
b
.6
b=6.√2
Ahora puedes utilizar la 1º y la 3º igualdad o la 2º y la 3º igualdad para calcular el lado c.
Calcula el lado c
-14-
B)
De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Ca lcula los restantes elementos.
Como tenemos solo un ángulo no podemos hallar, como en el caso anterior algún otro ángulo.
Probaremos con el teorema del seno para ver si nos sirve para calcular lo pedido.
sen A = sen B = sen C
a
b
c
Como vemos cualquier igualdad que tomemos siempre tenemos dos incógnitas.
Por lo tanto deberemos probar con el teorema del coseno
a2 = b2 + c2 - 2 b c . cos A
b2 = a2 + c2 - 2 a c . cos B
c2 = a2 + b2 - 2 a b . cos C
Vemos que con los datos podemos utilizar la tercer igualdad. Reemplazamos por los datos y calculamos
c2 = a2 + b2 - 2 a b . cos C
c2 = (10 m)2 + (7 m )2 – 2. 10m. 7m . cos 30º Calcula y despeja “c”
EJERCICIO Nº 14: Calcular todos los lados y todos los ángulos de los siguientes triángulos usando el
teorema del seno o del coseno
A)
Datos: a= 4cn
b= 5 cn
B = 30º
B)
Dato: c = 700 m
a = 1200 m
B = 108º
C). Resolver los siguientes triángulos.
Dibuja los triángulos, nombra sus ángulos y sus lados, añade los datos y resuelve
- 15 1) a = 1792 m b = 4231 m c = 3164 m
2) a = 12 m b = 8 m A = 150º
3) a = 72 m
Solución: A = 22,75º
Solución: c = 4,27 m
b = 57 m C = 75,78º
B = 114,3º C = 42,95º
B = 19,46º
Solución: c = 80,12 m
C = 10,53º
A = 60,6º B = 43,62º
D) 2. Supongamos dos puntos A y B, al segundo de los cuales no podemos llegar. Tomando otro punto C,
que dista del primero 42,6 m , desde los puntos A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento
AC ángulos BAC = 53,7º y BCA = 64º. ¿Halla la distancia entre A y B?
E) Sean A y B dos puntos inaccesibles, pero visibles ambos desde otros puntos accesibles C y D, separados
por la longitud de 73,2 m . Suponiendo que los ángulos ACD = 80,2º; BCD = 43,5º BDC = 32º y ADC = 23,23º
determinar la distancia AB.
F)
G)
H)
I)
J) Un poste está inclinado 11º con respecto a la vertical
y proyecta una sombra de 25m de largo sobre el piso,
cuando el ángulo de elevación del sol es de 20º, ¿Cuál
es la longitud del poste?.
11º
20º
25m
K) Dos rutas se cruzan en un punto P formando un ángulo de 42º. Hay un edificio situado en R que está a 368
m de P, mientras que otro edificio situado en S está a 426 m de P. ¿A qué distancia están los edificios ente
sí?
L)
A
2m
B
D
55º C
4m
El ángulo C MIDE 55º. ¿Cuánto mide cada una de las diagonales del trapecio ABCD?