IMAGINARY - Trucos avanzados para el programa SURFER http://www.argentina.imaginary.org Queremos contarles algunos trucos que se pueden usar en el programa Surfer a la hora de crear la imagen que querramos. En general, empezamos con una ecuación simple, que da origen a una cierta supercie. Por ejemplo, con la ecuación x2 + y 2 + 10z 2 − 1 = 0, que se corresponde con un tipo de supercie llamado elipsoide. Después, los usuarios rotan la supercie, le dan distintos colores y hacen zoom hasta encontrar algo que les guste. Veremos cómo hacer para ir creando supercies cada vez más complejas, cómo usar algunos ejemplos simples para poder construir (casi) cualquier forma que nos guste. Algunos ejemplos z = 0 es la ecuación del plano xy. Surfer, para dibujar las supercies, utiliza un sistema de coordenadas con los ejes x, y y z , que sería como decir "largo, ancho y alto", con el punto origen de coordenadas, mi punto cero, en el centro de la pantalla. Un punto está dado por tres coordenadas (x, y, z), donde las letras toman valores numéricos, e indican cuánto tengo que moverme en cada dirección para llegar desde el cero al punto. En este caso, el plano xy es el conjunto de todos los puntos que tienen coordenada z igual a cero, es decir, que verican la ecuación z = 0. Por ejemplo, los puntos (7, 3, 0) y (4, π, 0) están en este plano, pero (3, −1, 1), no. p x2 + y 2 + z 2 − a2 = 0 es la ecuación de una supercie esférica de radio a. x2 + y 2 + z 2 indica la distancia desde el punto (x, y, z) al origen de coordenadas. a es lo que se llama un parámetro: un número que se puede ir cambiando con la barra deslizadora que aparece. Al usar el deslizador para a agrandamos o achicamos la supercie. Si escribimos x2 + by 2 + z 2 − a2 = 0, tenemos una ecuación que es igual a la anterior, excepto por la letra b. Ahora aparecen dos deslizadores: uno para a y otro para b. Al usar el deslizador para a agrandamos o achicamos la supercie, como antes. El deslizador de b tiene efectos más drásticos: si lo acomodamos para que b sea cero, la supercie se transforma en un tubo. Si hacemos que b esté entre cero y uno, entonces tenemos algo parecido a un huevo (el elipsoide del principio del texto, en verdad). Si lo deslizamos hasta que b valga 1, tenemos una supercie esférica. x2 − by 2 + z 2 − a2 = 0 es la ecuación de un hiperboloide, que se parece a un reloj de arena. La ecuación es igual a la anterior, excepto que cambiamos un signo más por un signo menos. Esto nos muestra una idea general en Surfer: con pequeños cambios en las ecuaciones, podemos hacer grandes cambios en las supercies dibujadas. O quizás estas no cambien mucho. La idea es siempre probar: cambiar los números, los signos, los exponentes en la ecuación, para ver qué pasa en cada caso. También, en este ejemplo, variando los parámetros a y b podemos cambiar la forma de la supercie. Fijate qué es lo que pasa si hacemos esto. Cuando experimenten con esta u otras ecuaciones, tengan en cuenta que Surfer imagina una esfera invisible en el espacio, alrededor del centro de la pantalla, y graca sólo lo que esté dentro de ella. Si tenemos una supercie no acotada como el hiperboloide, una supercie que se extiende innitamente en alguna dirección, a la hora de dibujarla hay que cortarla por algún lado, porque no entraría entera en la pantalla. Una supercie acotada, como la de la esfera, en principio no tiene este problema. Con el deslizador de zoom podemos agrandar o achicar esta esfera imaginaria de corte. Por eso, para ciertos niveles de zoom algunas supercies pueden aparecer cortadas. También puede pasar que haya supercies que al principio no se vean, sin cambiar el zoom que había anteriormente. Hay que experimentar: este efecto puede ser bueno o malo, dependiendo del tipo de supercie y de la imagen que querramos crear. Hasta ahora vimos ejemplos de supercies con las que podés comenzar a experimentar, y algunas cosas básicas que podés hacer para editar tus imágenes. Cuando hayas practicado con esta primera parte, podés probar con los siguientes trucos. Varias supercies Si tenés dos supercies distintas, las podés unir escribiendo la multiplicación de sus ecuaciones. Por ejemplo, x2 + y 2 + z 2 − 4 = 0 es la ecuación de una supercie esférica, y x = 0 es la ecuación de un plano. Si querés gracar ambas supercies a la vez, entonces podés usar la ecuación x(x2 + y 2 + z 2 − 4) = 0, que se formó multiplicando las dos ecuaciones que tenías antes. Repitiendo este procedimiento, multiplicando las ecuaciones individuales con más de dos ecuaciones distintas, podés unir las supercies que vos quieras. Suavizando bordes Las supercies no siempre son redondeadas como una pelota o una papa, a veces tienen bordes o puntos angulosos, como la punta de un cono. Por ejemplo, la ecuación x2 − y 2 + z 2 = 0 nos da dos conos pegados por sus vértices (este es el hiperboloide que vimos antes, también llamado doble cono ). Imaginemos que pudiéramos separar los dos conos. ¾Qué pasaría si pudiéramos tocar con el dedo esos vértices? Sentiríamos un pinchazo. En cambio, al pasar el dedo por el resto de la supercie, sentiríamos siempre la misma forma, como una textura suave. Este experimento imaginario nos indica que la supercie cónica no es suave en esa punta, mientras que en todos los otros puntos, sí. Esta clase de puntos se llaman singularidades. Puede ser, entonces, que si tenemos una supercie, estemos interesados en tener otra parecida pero sin los bordes o puntos angulosos. Un truco que funciona en estos casos es agregar a la ecuación un parámetro de ajuste con alguna de las letras a, b, c o d. Si queremos suavizar el cono del ejemplo, restamos a y nos queda x2 +y 2 −z 2 −a = 0. Si con el deslizador que aparece hacemos que a valga cero, entonces es como si a no estuviera, y Surfer sigue gracando los conos. Si vamos cambiando el valor de a, entonces vemos como la supercie se va transformando y deja de tener ese punto singular en el que se unen los dos vértices, es decir, se suaviza. Unión y suavizado Cuando unimos varias supercies como vimos antes puede ser que la supercie resultante tenga muchos puntos en los que no es suave. Pensando que la unión de dos supercies es otra supercie, intentamos el mismo truco que antes para suavizarla. Siguiendo con el ejemplo anterior, teníamos con x = 0 un plano y con x2 + y 2 + z 2 − 4 = 0 una supercie esférica. Para unirlas, escribimos la ecuación x(x2 + y 2 + z 2 − 4) = 0. De esta ecuación resulta una supercie formada por una esfera y un plano que la atraviesa por el centro. En la parte que se cruzan podemos ver que hay un borde. Para suavizar este borde hacemos x(x2 + y 2 + z 2 − 4) − a = 0, y con el deslizador que aparece introducimos un valor pequeño para a. Así, logramos que la intersección de las supercies se suavice. Dibujando curvas Hasta ahora vimos distintos trucos pero todos tienen algo en común: siempre dibujamos una supercie, algo que tiene ancho y largo pero no espesor, como si fuera una hoja de papel. ¾Qué se puede hacer para dibujar una curva en lugar de una supercie? Bueno, acá tenemos un problema: el Surfer no sabe dibujar curvas, sólo dibuja supercies. Una solución posible a este problema es dibujar una supercie que se parezca mucho a una curva, o sea, una supercie muy angosta, algo así como un hilo nada más. Por ejemplo, si miramos una hoja de papel podemos pensar que es una supercie, una porción de un plano. Supongamos ahora que cortamos la hoja por la mitad. Nos queda una con el mismo largo y la mitad del ancho, sigue siendo una porción de un plano. Si repetimos este proceso varias veces, vamos a llegar a algo que parece un hilo de papel, en lugar de una hoja. Es decir, pasamos de una supercie a algo que sigue siendo una supercie pero se ve casi como una curva. Esta misma idea es la que tenemos que usar para que Surfer dibuje lo más parecido que puede dibujar a una curva. Si tenemos dos supercies denidas por las ecuaciones f = 0 y g = 0, entonces la curva que se genera como intersección de las dos supercies tiene ecuación f 2 + g 2 = 0. Por ejemplo, en el caso del plano y la esfera del ejemplo anterior tendríamos x2 + (x2 + y 2 + z 2 − 4)2 = 0. Pero para hacer que funcione el truco, como con la hoja de papel, tenemos que escribir la ecuación x2 + (x2 + y 2 + z 2 − 4)2 − a = 0 y con el deslizador probar distintos valores de a hasta tener el resultado deseado. Con estos trucos, un poco de imaginación y otro poco de perseverancia van a poder dibujar muchas supercies lindas. Todos estos trucos fueron sugeridos por el profesor Gert-Martin Greuel, director del Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, y de la exhibición Imaginary que se hizo en Alemania.