Hoja de problemas 10

Geometrı́a de Curvas y Superficies. 2o Matemáticas.
Departamento de Matemáticas, UAM.
Curso 2015-16.
Hoja 10: Geodésicas
1. Sea (S, Q) una superficie con métrica de Riemann. Sea Φ(u, v) una parametrización
ortogonal para Q, es decir que se tiene Q ≡ A(u, v) (du)2 + C(u, v) (dv)2 . Demuestra que
las dos condiciones siguientes son equivalentes:
(1) Todos las curvas {v = cte} son lı́neas geodésicas.
(2) Av ≡ 0.
(Indicación: compara la aceleración Riemanniana con la velocidad).
2. En el cuadrante S = {(x, y) : x > 0, y > 0} ponemos la métrica Q ≡ y 2 (dx)2 + x (dy)2 .
Elegimos una constante c > 0, tomamos una solución h(x) de la ecuación
r
h2
c−
,
h0 (x) =
x
0
x (t) = h0 x(t) /y(t)
y después los caminos α(t) ≡ x(t), y(t) solución del sistema
y 0 (t) = h x(t) /x(t)
(a) Comprueba que cada α(t) tiene rapidez Riemanniana constante respecto de Q.
(b) Comprueba que cada α(t) es un camino geodésico para Q.
3. Sean S1 , S2 dos superficies que se cortan a lo largo de una curva α y supongamos que en
cada punto de α el ángulo entre S1 y S2 es recto. Demuestra que α es geodésica en S1 si
y sólo si es lı́nea asintótica en S2 .
4. Sea I la primera forma fundamental de una superficie S. Dado un camino suave α(t)
en S, demuestra que α00 (t)I coincide con α00 (t)> , la componente de α00 (t) tangente a S.
5. Sea Q una métrica de Riemann en una superficie S. Sea α(t) : [a, b] → S un camino
suave. Demuestra que si ϕ : [c, d] → [a, b] es monótona y suprayectiva entonces α y α ◦ ϕ
tienen la misma Q-longitud, aún en el caso de que ϕ no sea estrictamente monótona.
6. Sea S el cilindro de revolución { (x, y, z) : x2 +y 2 = 1 }, con su primera forma fundamental
como métrica. En el plano R2uv ponemos la métrica Euclı́dea (du)2 + (dv)2 .
(a) La aplicación Φ(u, v) : R2uv → S, Φ(u, v) ≡ (cos u , sen u , v) es una isometrı́a local.
Utilı́zala para dar una descripción de las geodésicas de S.
(b) Para m ∈ {0, 1, 3}, sea αm la geodésica del plano uv que empieza en (0, 0) y termina
en (2mπ, 1). Haz un dibujo conjunto de α0 , α1 , α3 . Haz un dibujo del cilindro S
con las geodésicas β0 , β1 , β3 correspondientes a α0 , α1 , α3 ; comprueba que las tres
empiezan en p = (1, 0, 0) y terminan en q = (1, 0, 1) ¿Cuántas geodésicas hay en el
cilindro uniendo p con q?
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7. Sea r(u), z(u) , a ≤ u ≤ b, un perfil con r > 0 y parametrizado por longitud de arco.
Sea S la superficie de revolución parametrizada por Φ(u, θ) ≡ r(u) cos θ, r(u) sen θ, z(u) .
Demuestra que si un camino en S empieza en el paralelo {u = a} y termina en el {u = b}
entonces tiene longitud mayor o igual a b − a. Demuestra que sólo puede tener longitud
igual a b − a si recorre un meridiano monótonamente.
8. Sea C el cilindro de revolución parametrizado por Φ(θ, v) ≡ (cos θ , sen θ , v). Consideramos en este cilindro las dos métricas siguientes:
Q1 ≡ (dθ)2 + (dv)2
Q2 ≡ (dθ)2 − 2 dθdv + 2 (dv)2 .
,
También en el cilindro, consideramos los caminos α(t), β(t), 0 ≤ t ≤ 2π, dados por:
α(t) ≡ Φ(0, t) ,
β(t) ≡ Φ(t, t) ,
que empiezan ambos en el punto p = Φ(0, 0) y terminan ambos en el punto q = Φ(0, 2π).
Comprueba que α y β son geodésicas para Q1 y también lo son para Q2 .
¿Cuál de las dos es más corta en la métrica Q1 ? ¿Cuál es más corta en la métrica Q2 ?
9. Al semiplano { (x, y) : y < 0 } le damos la siguiente métrica de Riemann:
Q ≡
1
1
(dx)2 +
(dy)2 .
−y
−y
Escribe las ecuaciones de loscaminos geodésicos. Deduce de ellas que cada geodésica
unitaria α(s) ≡ x(s) , y(s) lleva asociada una constante m tal que se verifican las
siguientes identidades:
1 0 2
1 0 2
x (s) +
y (s) ≡ 1
−y
−y
,
1 0
x (s) ≡ m .
−y
De acuerdo con el ejercicio 1, las semirrectas {x = cte} son las geodésicas con m = 0.
Para m 6= 0 despeja x0 (s)/y 0 (s) en función de (y, m). Utiliza eso para hallar las fun-
ciones x(y) (déjalas indicadas como una integral indefinida) tales que y 7→ x(y), y
θ
recorre un tramo de una de estas geodésicas. Haz el cambio m2 y = − sen2
en la inte2
gral indefinida y obtén explı́citamente parametrizaciones de la forma x(θ) , y(θ) para
las lı́neas geodésicas. ¿Reconoces las curvas que resultan en el semiplano?
10. Sea S el helicoide parametrizado por Φ(u, v) ≡ u cos v , u sen v , v .
Calcula la primera forma fundamental I. Escribe las ecuaciones
de los caminos geodésicos.
Deduce de ellas que cada geodésica α(s) ≡ Φ u(s) , v(s) , parametrizada por longitud
de arco, lleva asociada una constante m tal que se verifican las siguientes identidades:
u0 (s)2 + (1 + u2 ) v 0 (s)2 ≡ 1 ,
(1 + u2 ) v 0 (s) ≡ m .
(1)
¿Qué curvas en el helicoide son las geodésicas con m = 0?
Buscamos ahora las geodésicas con m = 1. Explica por qué {u = 0} es una de ellas. En
todas las demás vamos a poner v en función de u: haz m = 1 en (1) y despeja v 0 (s)/u0 (s)
en función de u, entonces halla las funciones v(u) que
permiten dar esas geodésicas por
una parametrización de la forma u 7→ Φ u , v(u) . Puedes dejar v(u) indicada como
integral indefinida, pero observa dónde se hace infinita y haz un dibujo en el plano de
parámetros de varias geodésicas con m = 1 (incluye en el dibujo la {u = 0}).
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