Geodésicas y completitud.

Geodésicas y completitud.
1. Prueba que si una curva en una superficie es al mismo tiempo geodésica y lı́nea
de curvatura entonces es una curva plana.
2. Prueba que si una geodésica (sin puntos de curvatura cero) es una curva plana
entonces es una lı́nea de curvatura.
3. Pon un ejemplo de una lı́nea de curvatura en una superficie, S, que sea al mismo
tiempo una curva plana y que no sea geodésica de S.
4. Prueba que si todas las geodésicas de una superficie conexa son curvas planas
entonces dicha superficie está contenida en un plano o en una esfera.
5. Prueba que una curva de una superficie S es al mismo tiempo geodésica y curva
asintótica de S si y sólo si es un segmento de recta.
6. Sea α(s) una curva p.p.a. sobre una superficie S con aplicación de Gauss N .
Llamamos curvatura geodésica de α en α(s) al número
kg (s) = hα00 (s), N (s) ∧ α0 (s)i.
Demuestra que:
a) α00 (s) = kg (s)N (s) ∧ α0 (s) + kn (s)N (s), donde kn es la curvatura normal de
la curva y N (s) = N (α(s)),
b) la curvatura k(s) de α(s) satisface la igualdad k(s)2 = kg (s)2 + kn (s)2 ,
c) α es geodésica en S si y sólo si su curvatura geodésica es cero en todo punto.
7. Calcula la curvatura geodésica de todo paralelo de la esfera de radio 1 centrada
en el origen.
8. Calcula la curvatura geodésica de un paralelo cualquiera en un toro de revolución.
9. Considera dos cı́rculos máximos, C1 y C2 , de una esfera los cuales se cortan en
un punto p, formando un ángulo, θ. Se considera el transporte paralelo del vector
x, tangente a C1 en p, a lo largo de C1 y C2 , desde p hasta su punto antı́poda,
−p, obteniendo respectivamente vectores y1 e y2 . Calcula el ángulo que forman
estos vectores.
10. En el toro de revolución obtenido al girar, alrededor del eje z, la circunferencia de
ecuaciones, (x − R)2 + z 2 = r2 , y = 0, con 0 < r < R, se consideran los paralelos
obtenidos al girar los puntos (R + r, 0), (R − r, 0) y (R, r) de dicha circunferencia.
Comprueba si alguno de ellos es geodésica, curva asintótica o lı́nea de curvatura
del toro.
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11. Sea α(s) = (x(s), y(s), 0), s ∈ I ⊆ R, una curva p.p.a. contenida en el plano
z = 0. Calcula las geodésicas de la superficie S parametrizada por X(s, t) =
(x(s), y(s), t), (s, t) ∈ I × R. Deduce que si I = R entonces S es una superficie
llana completa.
12. Sea w1 (t) un campo de vectores paralelo a lo largo de una curva, α(t), en una
superficie regular, S. Si w2 (t) es otro campo diferenciable y con longitud constante
a lo largo de α(t), prueba que w2 (t) es paralelo a lo largo de esta curva si y sólo
si el ángulo entre w1 (t) y w2 (t) es constante sobre ella.
13. Sea S una superficie de revolución parametrizada como
X(u, v) = (f (v) cos(u), f (v) sen(u), g(v)).
Calcula sus sı́mbolos de Christoffel, las ecuaciones de sus geodésicas y deduce que
a) todo meridiano es una geodésica de S,
b) un paralelo de S a altura g(v0 ) es geodésica si y sólo si f 0 (v0 ) = 0,
c) si γ(s) = X(u(s), v(s)) es una geodésica entonces f (v(s))2 u0 (s) es constante. O equivalentemente, observa que si θ(s) es el ángulo que forma la
geodésica con cada paralelo que corta y r(s) es el radio del paralelo entonces r(s) cos(θ(s)) es constante.
14. Se considera el toro de revolución parametrizado por
X(u, v) = ((R + r cos u) cos v, (R + r cos u) sen v, r sen u) .
Sea γ(s) una geodésica tangente al paralelo u = π/2. Prueba que dicha geodésica
está totalmente contenida en la región del toro definida por −π/2 ≤ u ≤ π/2.
15. Sea α : I ⊆ R−→R3 una curva p.p.a. con normal y binormal n(s) y b(s), respectivamente. Se considera el tubo de radio r > 0 parametrizado por
X(s, v) = α(s) + r (cos(v) n(s) + sen(v) b(s)) .
Calcula las curvaturas geodésicas de las curvas coordenadas.
16. Sea S una superficie y F un movimiento rı́gido de R3 tal que F (S) = S. Si
el conjunto de puntos fijos de F restringido a S es una curva regular C ⊆ S
(no necesariamente conexa), demuestra que cada componente conexa de C es
geodésica de S.
Deduce a partir del resultado anterior que todo meridiano de una superficie de
revolución es una geodésica.
17. Sean ϕ, ψ : S1 −→S2 dos isometrı́as entre dos superficies regulares conexas. Prueba que si existe un punto p ∈ S1 tal que ϕ(p) = ψ(p) y dϕp = dψp entonces ϕ = ψ
sobre todo S1 .
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18. Si denotamos por S2 a la esfera unidad centrada en el origen, demuestra que si
ϕ : S2 −→S2 es una isometrı́a entonces ϕ es la restricción a S2 de un movimiento
rı́gido de R3 que deja fijo el origen.
19. Prueba que sobre una superficie de curvatura de Gauss constante los cı́rculos
geodésicos tienen curvatura geodésica constante.
20. Razona si existen isometrı́as locales entre los siguientes pares de superficies:
a) plano y pseudoesfera,
b) cilindro y cono,
c) paraboloide elı́ptico y esfera.
21. Si S es una superficie completa y p ∈ S, demuestra que la aplicación exponencial
expp : Tp S−→S es una aplicación sobreyectiva.
22. Si S es una superficie completa y acotada para la distancia intrı́nseca de S entonces S es compacta.
23. Sea S una superficie completa y A un subconjunto no vacı́o de S. Demuestra que
S − A no es completa.
24. Demuestra que el cono S = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 = z 2 , z > 0} es una
superficie no completa y, sin embargo, no existe ninguna superficie que lo contenga
propiamente.
25. Demuestra que la superficie parametrizada por
X(u, v) = ((1 + eu ) cos u, (1 + eu ) sen u, v),
(u, v) ∈ R2 ,
es completa y no cerrada en R3 .
26. Da un ejemplo de una superficie no completa para la que cualesquiera dos puntos
suyos puedan ser unidos por una geodésica minimizante.
27. Demuestra que una superficie S es completa si y sólo si S con su distancia intrı́nseca d es un espacio métrico completo (esto es, toda sucesión de Cauchy en
(S, d) converge a un punto de S).
28. Una curva α : [0, ∞)−→S se dice divergente si para todo compacto K de S existe
t0 ∈ [0, ∞) tal que α(t) 6∈ K, ∀t ≥ t0 . Demuestra que S es completa si y sólo si
toda curva divergente tiene longitud infinita.
29. Sean S1 y S2 dos superficies conexas con S1 completa. Si cualesquiera dos puntos
de S2 pueden ser unidos por una única geodésica demuestra que toda isometrı́a
local ϕ : S1 −→S2 es una isometrı́a global.
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