Ruíz Basto, Joaquín. (2002). Geometría analítica. México: Grupo

Ruíz Basto, Joaquín. (2002). Geometría analítica.
México: Grupo Patria Cultural. Pp. 176-177, 180-182,
184-185, 188-189, 192-193, 196-197, 210-212.
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
Joaquín Ruiz Basto
SEXTA REIMPRESIÓN
MÉXICO, 2005
PUBLICACIONES
CULTURAL
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Geometría analítica
Derechos reservados respecto a la primera edición:
© 2002, Joaquín Ruiz Basto
© 2002, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. DE C.V.
bajo el sello de Publicaciones Cultural
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial
Registro núm. 43
ISBN 970-24-0338-3
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas , sean electrónicas o
mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición: 2002
Quinta reimpresión: 2004
Sexta reimpresión: 2005
Capítulo 1
Relaciones y funciones
1.1 Relaciones y funciones
o
o
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1.2 Clasificación de funciones
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1.3 Operaciones entre funciones
1.4 Funciones inversas
o
105 Funciones especiales
Complemento teórico
Capítulo 2
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1t
2(
21
2!
31
Funciones trigonométricas
201 Razones y funciones trigonométricas
202 Ángulos de rotación y medidas
o
o
o
o
o
2.3 Valores de funciones trigonométricas
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204 Gráficas de funciones trigonométricas
2.5 Funciones trigonométricas inversas
206 Ley de los senos
o
207 Ley de los cosenos
Complemento teórico
Capítulo 3
11
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4
41
5(
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5!
6í
61
Funciones exponencial y logarítmica
301 Función exponencial
o
o
302 Modelos exponenciales
3.3 El número e
o
o
o
o
o
304 Función logarítmica
o
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305 Logaritmos comunes y naturales
306 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Complemento teórico
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o
o
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71
8(
81
8!
9í
9(
Conceptos básicos de geometría analítica
Capítulo 4
4.1 Coordenadas cartesianas de un punto.. . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3 División de un segmento en una razón dada . . . . . . . . . . 118
4.4 Pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5 Paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.6 Uso del método analítico para demostrar
propiedades geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.7 Área de un polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Complemento teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Capítulo 5
Discusión de una ecuación
5.1 Intersecciones con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . 150
5.2 Simetrías de una gráfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3 Extensión de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.4 Asíntotas horizontales y verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5 Gráfica de una ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Complemento teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
La línea recta y la ecuación de primer grado
6.1 Forma punto-pendiente de la ecuación de la recta
176
6.2 Forma pendiente-ordenada al origen
de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.3 Forma simétrica de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . 184
6.4 Forma general de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . 188
6.5 La ecuació~ general de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.6 Forma normal de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . 196
6. 7 Distancia entre un punto y una recta . . . . . . . . . . . . . . . 200
'
Complemento teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Capítulo 6
Capítulo 7
Las cónicas y la ecuación de segundo grado
7.1 Secciones de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.2 Las cónicas como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.3 Ecuación general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.4 Traslación de ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.5 Rotación de ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.6 Simplificación de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Complemento teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Capítulo 8
La circunferencia
8.1 La circunferencia como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . 240
8.2 Circunferencia con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . 244
8.3 Circunferencia con centro fuera del origen . . . . . . . . . . . 248
8.4 Ecuación general de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . 252
8.5 Circunferencia que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . 256
Complemento teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Capítulo 9
La parábola
9.1 La parábola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.2 Construcción de la parábola con regla y compás . . . . . . 270
9.3 Parábola con vértice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2}4
9.4 Parábola con vértice fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.5 Ecuación general de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
9.6 Parábola que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.7 Parábolas oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Complemento teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6
Capítulo 10
La elipse
1001 La elipse como lugar geométrico
o
o
o
o
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o
o
o
o
o
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o
o
o
o
o
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o
o
o
o
o
o
o
308
~
1002 Construcción de la elipse con regla y compás
1003 Elipse con centro en el origen
o
o
10.4 Elipse con centro fuera del origen
1005 Ecuación general de la elipse
o
o
o
o
1006 Elipse que pasa por cuatro puntos
Complemento teórico
o
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o
o
o
o
o
o
312
316
322
326
332
336
Capítulo 11
La hipérbola
1101 La hipérbola como lugar geométrico
o
o
o
o
o
o
o
o
o
1102 Construcción de la hipérbola con regla y compás
11.3 Hipérbola con centro en el origen
o
1104 Hipérbolas equiláteras y conjugadas
Complemento teórico
o
o
o
o
o
o
o
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o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
1105 Hipérbola con centro fuera del origen
11.6 Ecuación general de la hipérbola
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
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o
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o
o
o
o
o
o
o
342
346
350
356
360
364
368
6.1
FORMA PUNTO-PENDIENTE DE
LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una propiedad.
ejemplo:
Lugar geométrico (2)
Lugar geométrico (1)
()O Fíjate en lo
· · siguiente...
y
y
ningún punto, una curva o una región del
plano. La definición sólo menciona "conjunto de puntos", sin precisar más.
2. La propiedad puede describirse en lenguaje ordinario o en lenguaje matemático. En este último caso las igualdades
son ecuaciones y las desigualdades inecuaciones.
EJEMPLO:
V
1
l. Un lugar geométrico puede ser un punto,
¡--..._
r7
\
1
o
o
X
1\
'
J
1'---.
X
V
Descripción: Puntos que están a 2
unidades de distancia del eje x.
Descripción: Puntos que están a
unidades de distancia del origen.
Ecuación: y
Ecuación: x 2 + y 2
= 2
Identificación: recta horizontal situada dos unidades arriba del eje x .
Propiedad
-J
= 9
1dentificación: circunferencia
centro en el origen y radio igual a 3.
En lenguaje ordinario: Puntos cuya ordenada es mayor o igual a 2.
En lenguaje algebraico: {(x,y) iy ~
2}
(se lee: conjunto de puntos (x,y) tales que
y~
2)
Representación grafica:
La propiedad geométrica que caracteriza a una recta es que sus puntos no
de dirección. Esto significa que la pendiente entre dos cualquiera de ellos es
pre la misma. Así:
Recta como lugar geométrico
y
Una recta es el lugar geométrico de los puntos que tienen entre sí
la misma pendiente.
2
o
X
Si conocemos la pendiente m de la recta, y un punto de ella P 1(x 1,y1),
terpretar algebraicamente esta condición de la siguiente manera: para
otro punto P (x,y) de la recta, la pendiente entre P y P 1 debe ser igual a m:
Ampliando
el conocimiento
Un enfoque dinámico para el lugar geométrico:
En ocasiones conviene pensar en un lugar
geométrico como la figura generada por
un punto móvil (sujeto a alguna condición).
Analogías:
a) En tres dimensiones: la trayectoria que
describe un insecto durante su vuelo.
b) En el plano: el trazo que describe la punta de.un lápiz al dibujar.
y- y ¡
X - X¡
Esto equivale a escribir y - y 1
=m
=m
(x- x 1).
Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente
La recta con pendiente m, que pasa por el punto P 1 (x 1 ,yJ
tiene por ecuación:
Escribiendo la ecuación de una recta
la ecuación de la recta cuya pendiente se indica y que pasa por el
dado.
•
(6, -10)
Forma punto-pendiente
= 2(x
-4
- 4 = 2(x
Ejemplo:
La recta vertical formada por los puntos con
abscisa igual a -5, puede describirse como:
El lugar geométrico del punto que se
mueve en el plano a una distancia de 5
unidades a la izquierda del eje y.
=2; (-1, 4)
=-5/3;
El "punto móvil" es: en a) el insecto, y en
b) la punta del lápiz.
-(-1))
Sustituyendo 2 por m, -1 por x 1, 4 por y 1
+
Simplificando signos
1)
- y1 = m(x - x 1)
· ' siguiente...
r
Forma punto-pendiente
- (-10) = (-5/3) (x - 6) Sustituyendo -5 por m, 6 por x 1 , -10 por y 1
t 10 = (-5/3) (X- 6)
()O Fíjate en lo
Simplificando signos
La ecuación de la circunferencia xz. +
= 9
puede obtenerse de la forma siguiente:
1) tomas el punto móvil P(x , y) sobre este
lugar geométrico. 2) Aplicas la condición
geométrica:
Distancia de P al origen = 3, es decir:
Obteniendo información de una gráfica
ilrir la ecuación punto-pendiente de las rectas mostradas en las gráficas.
y
!
b)
y
'
F!/
2
~
'
'
'
"
'
/
V
/
1
1
o
1
1
1
+ CY -
o) 2 = 3
Simplificando y elevando al cuadrado:
/f/
1
---....
1
1
1
0) 2
V
-
~
V ex -
X
V
Vó
V
61
X
n
Observaciones
'Importantes
1
Para hallar la ecuación de una recta deberás obtener siempre su pendiente.
~ución
[Ira escribir la ecuación necesitamos conocer la pendiente. Con dos puntos de
gráfica podemos obtenerla: A( -1, 2.5) y B(2 , 2).
1
~ )-5 -2=
-1 - 2
~mos
EJEMPLO 2&
2 = _ _!_
- 3
6
ahora utilizar A o B para escribir la ecuación.
"simplicidad elegimos By reemplazamos
1
-6
por m , 2 por xv 2 por y 1 :
1
-2= - - (X -2)
6
recta pasa por (0, 0) y P(8, 6). La pendiente es inmediata:
:6-0 =6=3
8="0 8 4"
Indo este valor y las coordenadas (0, 0), por ser más simples, obtenemos:
=tx.
~-----------------177-----------------------
()O Fíjate en lo
· ' siguiente...
Después de las rectas horizontales y verticales, la recta que pasa por el origen tiene la
ecuación más simple.
6.2
FORMA PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGE
DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
La ordenada al origen de esta recta es O. La ordenada al origen de esta recta'
y
Y I/
1
~
1
()O Fíjate en lo
1
~
V
?
J
· · siguiente...
1
1
1/
1
l. Las rectas del ejemplo ilustrativo tienen la
misma inclinación o pendiente.
~.
' ~
3. Si en vez de sumar a la primera ecuación
4 unidades le restamos dicho valor, la recta inicial hubiera descendido 4 unidades:
!
~
1
1
.' l
-2
o
-,
1
1
1
-¡
V
1
1
•X
o
1¡
~
/
y= 2x
'
1
al origen Así, en el primer caso b
1
= O, y en el segundo b = 4.
Conociendo el punto (0 , b) de la recta y su pendiente m , podemos obtener su a
ción, e incluso, escribirla de manera muy simple y sugestiva, por la información
proporciona
11
X
1
y - y1
1/
11~
1 1~·
y = 2x-4
¡
1
¡,
i
1
1
:
ji
1
o¡
1
1
1
1
1
1
1
1
J
La ordenada del punto (0, b) donde la recta intersecta al eje y, se llama orden
1/
-~
1
1
1
V
m= 2
1
1
1
2. La ordenada al origen sumada a la primera ecuación hizo que la segunda ascendiera 4 unidades.
1
1
/?
=
m(x - x 1)
y- b = m(x- O)
~
Ampliando
el conocimiento
1- La ordenada al origen b, considerada desde un punto de vista dinámico, es el ptmto de la recta, sobre el eje y, que puede
deslizarse sobre dicho eje (hacia arriba si
b es positivo, hacia abajo si b es negativo,
o quedar en el origen cuando b = 0),
manteniendo la recta su inclinación.
2. La ecuación y = mx + b adopta la forma
y = mx, cuando b = O.Así:
La ecuación de una recta
que pasa por el origen tiene
la forma y= mx.
y = mx + b
Forma punto-pendiente
Sustituyendo O por x 1 , b por y 1
Simplificando y transponiendo b
Ecuación de la recta en la forma
p endiente-ord enada al or igen
La recta con pendiente m, y ordenada al origen b, tiene por ecuaciÓil
y=mx+b
•=-•~···1::.1{•--=-Ecuaciones usando pendiente e intersecl
Escribir la ecuación de la recta en la forma pendiente-ordenada al origen.
a) m= -1 ;
b=3
1
1
b)m = - .
2'
b=--
'""11~
3
y
Solución
a) y = mx
y = -x
1
+b
Forma pendiente-ordenada
al origen
+
Sustituyendo - 1 por m,
3 por b
3
:J
'>
,
o
-- - ·
180
""'""'1""
1
1
¡
1""
·"'J
1
'
~
~\
___,
mx
+
Forma pendiente-ordenada al origen
b
Sustituy~ndo
1
2
e
y
por m,
1
3
1
-3 porb
/
o
V
1 /
~
/
/
/
l,.......-- V _¡
X
3. Todas las rectas paralelas con la misma
inclinación) se dice que forman una familia de rectas. La recta representante
de cada familia es la que pasa por el origen porque a partir de ella, sumando o
restando la ordenada al origen, se obtienen las demás.
V
y
6
2
1
2
m =-
3
Ecuación a partir de la gráfica
X
la ecuación de cada una de las rectas mostradas.
b)
-2
y
....
~
~
EJEMPLO l
~
~
1
......____
iRecuerda
..... ~
o
1~
X
b,.
b
2
3'
b
= 6;
= 1;
Para localizar una fracción común como 2/3,
divides la unidad en 3 partes iguales y tomas
2 de ellas:
o
y=x+6
2
y =--x
3
+
1
1
2
3
3
1
X
EJEMPLO 2
Televisión por cable
básico de televisión por cable cuesta $270 al mes y comprende 40 caElese:as contratar un servicio Plus adicional, que amplía canales con un costo
de $25 por cada canal solicitado.
()O Fíjate en lo
· ' siguiente...
a) Para obtener la pendiente se usaron los
puntos eo, 6) y e-6, O) mostrados en la
gráfica. De este modo,
un modelo lineal para el pago mensual
6-0
0+6
6
6
m = - - - = - = l.
b) De igual forma, para hallar la pendiente
de esta otra recta obtuvimos los puntos
eo, 1) y ei.S, O) a partir de su gráfica.
este modelo para calcular el pago mensi tienes acceso a 46 canales.
la gráfica de tu modelo. ¿Qué represen-
181--------------------
m=
1- o
O- 1.5
1
- 1.5
2
=-3·
EJEMPLO 3
IJ'Recuerda
Para localizar un segundo punto de una rec-
ta, cuando conoces uno de ellos y la pendiente, tienes dos opciones:
1" Aritmética: sumar a la abscisa del punto
conocido el denominador de la pendiente y
a la ordenada el numerador:
)'
m= -=- ,
."'C
.Solución
a) Pago mensual = Renta fija
y= 270 + 25x.
+
costo por canal X número de canales el
b) La pendiente de la recta es el coeficiente de x. Representa el costo por c:uul
cional.
·¡
+
e) Hay seis canales adicionales. Para x = 6 se obtiene: y= 270
renta mensual ascenderá a $420.
25(6)
=
d) Localiza la intersección y de la recta.A partir de este punto asciende verti
te 25 unidades (en escala 1:1, o 0 .25 en escala 1:100).Avanza después h
talmente una unidad para obtener otro punto de la recta. Une ambos p
intersección y representa la renta fija básica.
1
~se 1:1 po
y
5
'Vi
~
o.
V
2" Geométrica. Utilizada en el ejemplo. A
-- --
4.2
4
V
-;::¡
partir del punto localizado subes o bajas verticalmente (según el signo de la fracción) y
unidades, y avanzas x unidades, horizontalmente hacia la derecha.
"'
~
.!:!
~
~o
u
11
....,
3
2.7
-
-- --
- -- --
---------
-
,...-- ~
f.-
-- -¡_.;.- ,...--
--
¡.....-
,_
1
2
1
EJEMPLO 3
o
(l
2
1
Observaciones
'Importantes
Un tercer método consiste en hallar la intersección x de la recta. De hecho, antes de graficar es conveniente conocer ambas, la
intersección x y la intersección y de la recta
para determinar el tamaño de las escalas
en cada eje.
~ Sugerencias a
"""ó los ejercicios 6.2
9. Expresa metros en km ( o viceversa).
6
X
7
EJERCICIOS 6.2
Ejercicios 1 a 5. Escribe la ecuación de la recta en la forma pendiente-<>
al origen.
l. a) m= 2, b = 6 ;
b) m= 8 , b = -3
2. a) m= 4, b= -2;
b) m= O, b = -12
1
7
b) m =6, b = 1
3. a) m=z-, b = 3;
5
--¡;
4.
a) m= 5, b =
5.
a) a= 60°, b=Vz·
b) m =1, b=O
b) a = 135°,b = 5
'
10. 15% = 0.15. Escribe el modelo para el
pago a la compañía. Para incorporar el
impuesto multiplica el miembro que
contiene a x por 1.15.
4
5
3
x = Canales (0-40)
6. ¿Cuál de las rectas siguientes es la recta generatriz de la familia
de
y= -3x + b?
a) y
=
-3x
+
2
b) y
=
c) y
3x
7. Escribe la ecuación de la recta paralela a
=
-3x
1
y =3x- 7,
a) Situada dos unidades arriba de ella sobre el eje y.
b) Situada tres unidades arriba del origen.
e) Situada seis unidades arriba del origen.
---------------------182----------------
6.3
FORMA SIMÉTRICA DE LA ECUACIÓN
DE LA RECTA
Dos puntos es todo lo que necesitamos para determinar una recta.
Cuando estos puntos son las intersecciones de la recta con los ejes cn,orttenadl
ecuación adopta una forma sencilla y útil.
()O Fíjate en lo
1
1
~ y 1
siguiente...
i\
l
l. Determinar una recta significa trazarla
\
geométricamente o describirla algebraicamente mediante una ecuación.
b
(y - O) = - - (x - a)
a
\
-~ -~
- o
1
5 es la abscisa al origen de la recta y 8 es la ordenada al origen, es decir,
abscisa y la ordenada de los puntos (5, 0) y (0, 8) donde la recta corta a los
denados.
Forma simétrica de la ecuación de la recta
ay= -b(x- a) Multiplicando por a
+ ba
La recta que intersecta a los ejes coordenados en (a, O) y (0, b)
por ecuación
Simplificando
X
ay+bx=ba
__?!__
a
+ 1:'._
b
= 1
5
y
8
+-
\
y = _ __!!____ (x - a) Simplificando
a
ay= -bx
X
\
?
2. Al escribir la ecuación en la forma puntopendiente (y -O) = - ~ (x - a) se observa que sólo aparecen las constantes a y b.
Al buscar una forma sencilla donde aparezcan una sola vez estas constantes obtenemos la forma simétrica.
3. Transformaciones para llegar a la forma simétrica (a, b * 0):
Ecuación simétrica: -
Transponiendo - bx
Dividiendo por ab
y
-+-=1
a
b
con a,b -:f. O
0-b
b
--.Con uno de
a -o
a
tos de intersección podemos escribir su ecuación en la forma oumo~oellCII
En efecto, la pendiente de esta recta es m
= --- = -
b
Con (a, O) tenemos: (y - O) = - - (x - a) . Simplificando y ac<>m<)daJ!l41
x
y
a
ecuación llegamos a: - - + -- = l.
a
b
Escribiendo ecuaciones en la forma
Obtener la ecuación simétrica de las rectas cuyas intersecciones x, y son:
a) a= -3, b = 4
b) (-10,0),(0, -5)
Solución
X
a) - -
a
X
y
+ -b
y
=
- +- =
-3
4
1
1
Forma simétrica
Sustituyendo -3 por a, 4 por b.
--------------------184----------------·
y
X
-+-=1
a
b
(l
y
Forma simétrica
ObservaCiones
'Importantes
=
~+_L= 1 Sustituyendo -10 por a,
-10
-5
-5 por b.
~
- (}---._
~
o
~
Ni a ni b pueden ser cero en la forma simétrica, es decir, el origen está excluido de la
forma simétrica de la ecuación de la recta.
X
"-,...
-J
'--....
1
1
t---.._
'-1
iendo información de ecuaciones y gráficas
las intersecciones x, y de la recta
T+ L
- -7
Esto significa que para las rectas que pasan
por el origen no existe forma simétrica de
su ecuación.
Dicho de otra manera:
No puede escribirse en la forma simétrica la
ecuación de una recta que pasa por el origen.
= l.
2
EJEMPLO J
_,,bte111er la ecuación de la recta cuya gráfica se muestra:
()O Fíjate en lo
y
'>
-'
·~
· · siguiente...
~
~
~
~
-
La forma simétrica como suma de dos términos iguales a 1 se conserva siempre, aunque los denominadores sean negativos. Sólo
así, sin simplificación alguna, pueden identificarse las intersecciones en la ecuación.
~~~
o
2
· ~
1
-~
1
2'
tTa:mbi.én:· a =
1
2,
EJEMPLO 2b
intersección y: -7
b =
1.!
1
( 2' 0),
o
b = -7
()O Fíjate en lo
(0, -7)
· ' siguiente...
=_l._
2
2
la recta tiene como ecuación ~ +
3
L -
l...-
Como fracción decimal b = l. 5
1
2
1
2
Como fracción mixta
b = 1
Como fracción común
b=-z
Deforestación de bosques
adjunta forma parte de un reporte sobre la tala inmoderada de árboles en
región. El estudio alerta sobre el riesgo de devastación ecológica si continúa al
ritmo la tala inmoderada de árboles y no se toman urgentemente medidas
para reforestar la zona.
,....,
11 150 t-.t::~:S~~-jrl----+-----l
·a
1lo 10o
-e
·<
..,
11
para describir la situación
la población de árboles.
50
o
25
50
75
x=Años(O ~ 1990)
100
.------------------185---------------------
3
Dado que todas estas expresiones son
equivalentes (representan el mismo número), puede utilizarse cualquiera de
ellas al escribir la ecuación. Para graficar,
generalmente es más útil usar la fracción
mixta, ya que muestra el entero y la fracción que le sigue.
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN
DE LA RECTA
Todas las ecuaciones de la recta, una vez simplificadas, adoptan la forma:
Ax +By= C.
Así:
()O Fíjate en lo
y - 2
=
· ' siguiente...
y - 2
= - 4x +
En la forma general los términos con las variables quedan en un lado de la ecuación y el
término constante queda solo en el otro lado.
-4 (x - 3)
Ecuación de la recta que pasa por (3, 2) con m =
12
Efectuando el producto
4x +y= 14
4x + y
Transponiendo y simplificando términos
= 14 es la forma general de la ecuación de la recta y
- 2 = - 4(x -
3~
La forma Ax + By ·= C expresa que la suma de los términos que contienen a las
fiables x, y, es constante.
(l
Observaciones
'Importantes
Forma general de la ecuación de la recta
La ecuación de cualquier recta puede escribirse, simplificándola,
en la forma general:
l. La forma general recibe este nombre
Ax -r BJ
por dos razones:
1". Sin excepción alguna, las ecuaciones
de todas las rectas pueden escribirse
de esa manera.
2•. Una vez simplificadas y escritas de este modo, las distintas formas de ecuación para una misma recta, coinciden
o son equivalentes.
2. La forma general recibe también el nombre de forma estándar.
Es posible pasar de la forma de una ecuación a otra, si existe esta última, re
do transformaciones algebraicas.
Escribiendo ecuaciones en la forma gen
Escribir en la forma general las ecuaciones de las rectas que se proporcionan a
tinuación.
3
a) y - 5 = - - (x
2
= 5x-
b)y
EJEMPLO J
()O Fíjate en lo
· ' siguiente...
b ) En el primer paso se obtiene la forma general. El paso adicional es opcional si se
desea que el coeficiente de x sea positivo.
e) Para eliminar denominadores basta multiplicar ambos lados de la ecuación por el
mínimo común múltiplo de ellos (en este caso 4). También puede multiplicarse
por el producto de ambos (8) pero habrá que simplificar al final (se obtiene
4x + 2y = 8 y hay que dividir aún entre
2 la ecuación).
(
+
1)
8
y
X
c)2+4=
1
Solución
y - 5
a)
2y - 10
==
2y - 1O =
3x
_l__ (x
2
-3(x
+ 1)
- 3x -
+ 2y = 7
-5x +y= -8
5x
X
~y=
y
2x+y=4
Efectuando el producto indicado
Ecuación en la forma pendiente-intersección:Y
Transponiendo y simplificando
Multiplicando por -1
8
c)2+4=
3
Multiplicando por 2 ambos lados
Transponiendo y simplificando
y= 5x -8
b)
+ 1) Ecuación en la forma punto-pendiente
1
Ecuación en la forma simétrica
Multiplicando por 4 y simplificando
188--------~
Pasando la forma general a otras formas
-24 a la forma:
EJEMPLO 2
()O Fíjate en lo
· · siguiente...
a) En la forma pendiente-intersección-y la
variable y está despejada. La técnica es entonces despejar y en la forma general.
+ 2y = -24
2y
=
-24 -6x
b) La técnica consiste en dividir primero
por el término constante. Se simplifican
por último las fracciones existentes.
Forma general
Transponiendo 6x
6x =~· _q_=_!L
y= -12- 3x
Dividiendo por 2
y= -3x- 12
Ordenando términos
+ 2y
=
-24
-24
-4 '
-24
-12
No siempre los coeficientes son divisibles
entre sí. En tal caso quedan fracciones.
Forma general
Así, partiendo de 4x - 3y = 2 obtenemos
4x
2
y=--3
3
Dividiendo por -24
y
X
tificando rectas mediante la forma general
2
que pasa por los puntos ( 4, 7) y (2, 1) tiene por cada punto una ecuación
forma punto-pendiente:y -7 = 3(x -4); y - 1 = 3 (x - 2). Conociendo
estas ecuaciones, ¿cómo podríamos saber que representan la misma recta?
y
-+-=1
4
-2
3
este último caso multiplicas primero
por -1 para tener -r entre x y y . Al llegar a
(En
-4x ~
-2 + -2
=
1
conviertes
las ecuaciones a la forma general. Deben coincidir o ser equivalentes.
y- 1
= 3(x-
2)
y-1=3x-6
3x-y=5
Ecuación dada
Efectuando el producto
Transponiendo y simplificando
Demanda de renta de videos
con un amigo y pones un negocio para renta de películas en video. Ohal término del primer mes que cuando el precio del alquiler es de $26 por
la renta promedio diaria es de 60 películas y cuando es de $31 , el alquiler
a 30 películas.
para hacer que los coeficientes de x y y
sean iguales a 1).
~Recuerda
Multiplicar por un número equivale a dividir
entre su recíproco.
6
6(8) = (
! );
2x=~·
J._'
un modelo que relacione precio de alquiler y con núx de videos alquilados.
2
2.x=~
3
.2.
5
Ampliando
el conocimiento
un solo día a tus clientes
película gratis, ¿cuántos videos
bll<J>ndlias para ello?
qué precio nadie rentaría películas en tu nego-
189----------
Las ecuaciones que relacionan el precio de
un producto con su demanda en el mercado
son llamadas en economía ecuaciones de
oferta y demanda. Las más sencillas son lineales y en condiciones económicas normales las variables son positivas.
LA ECUACIÓN GENERAL
DE PRIMER GRADO
Hasta aquí hemos visto que la ecuación de cualquier recta es una ecuación
mer grado en dos variables.
La pregunta es ahora:¿todas las ecuaciones de primer grado, sin excepción,
sentan una línea recta? La respuesta es si y es muy sencillo demostrar
ti'Recuerda
Las ecuaciones de rectas horizontales o verticales, aunque muestran una sola variable,
pueden interpretarse como ecuaciones con
dos variables:
Recta
horizontal
X=
X+ Qy
+ y=4
Fe u -rció11 geueral de primer grPd e11 dos z•ariable
Toda ecuación de la forma Ax
By
C
O donde A y B no son
neamente cero, representa una línea recta.
Recta
vertical
y =4
El proceso se reduce esencialmente a transformar la ecuación buscando
alguna de las formas conocidas que adopta la ecuación de la recta.
-3
=
-3
La variable que no vemos está en la ·ecuación
con coeficiente cero.
El análisis de la ecuación general de primer grado permite establecer res:ultadq
les para obtener directamente de la ecuación información importante sobre
ta que representa.
Jdelltificacióll de la recta e11 la ecuación
de primer grmlo
Ampliando
el conocimiento
Ecuacion
Para que Ax + By + e = O sea una ecuación
de primer grado, al menos uno de los coeficientes A o B debe ser distinto de cero.
Ax +By+ C= O
Ax
* 0:
-1}
=
ordenada al origt:n b =
--ff
3.
Identificando rectas a través de su
* 0) se tendría
·- d e una recta
B'e que es 1a ecuac10n
y = -
¿Qué tipo de recta representa cada ecuación?
horizontal.
a) -4x
si B
b)3x- 6y =O
=
O, entonces A no puede ser cero y
la ecuación Ax + By + e = O se reduce a
Ax
x
+
=-
e
=
O. Al despejar
Horizontal
de cero y los que no están son cero.
2. Si en la ecuación anterior A fuese cero
(es posible, porque B
Vertical
O
En cada caso los coeficientes escritos son distintos
s·
Identificamos aquí la recta con pendienu.
m
+ C=
Pasa por el origen
By+ C= O
e
Ax
y=----
B
Con m=
Ax +By= O
Para analizar esta ecuación veamos qué ocurre en estos casos.
l. Podemos despejar y cuando B
Rectl'
X
obtenemos
.¡. ,que es la ecuación de una rt.cta
+ 5y -
20
=
O
e) 8x -4 =O
d) 3y -15 =o
vertical.
192 - - - -- - -
4. Puede ocurrir que ni A ni B sean cero, pe-
+ 5y -
20 = O. La ecuación contiene todos sus términos, así que no pasa
el origen ni es paralela a ninguno de los ejes coordenados.
- 6y = O. Falta el término constante o independiente. La recta pasa por el
ro tal vez sea
e=
O. En tal caso la ecua-
ción adopta la forma Ax
corresponde a la recta y
=
+ By
-Ax
B
= O que
cuya or-
denada al origen es cero, es decir, la recta
- 4 = O. La recta es vertical. Contiene sólo la variable x y el término constante.
pasa por el origen .
- 15 =O. La recta es horizontal.Aparece sólo y y el término constante.
b)
y
-
....
fl
,
~
/
V
/
l. Una manera visual de obtener la pendien-
/
/
-y
Observaciones
'Importantes
..
/()
X
te y la ordenada al origen a partir de la
ecuación Ax + By + e = O es
V
Ax
+ By+ e= O
e
A
B
d)
y
B
m
b
~
/
a) El coeficiente central B se asigna como
divisor para los otros dos coeficientes.
~
:J
b) Se cambia el signo a uno de los dos tér-
"'
.
-2
-1
o
minos del cociente .
Ejemplo:
X
6x
-6J
m = --
Obteniendo elementos en la ecuación
el tipo de recta que representa cada ecuación así como sus elementos.
-y=
6
+ 6y-
42
=o
L-42
Cambiamos
el signo
b = -
6
2. Es posible con un poco de práctica manejar los signos cuando está aislado el término constante e en el otro lado de la
ecuación:
12x- 6y = 24,
o
12
m=6=2,
b = - 24 = -4
6
- 4y = 10. Igualamos la ecuación con cero: 6x - 4y - 10 = O. La pendienA
6
6 3
larectaesm= - - = - B
-4
4 2
'u'"'""'''-'" al origen es b = -
-10
_
4
5
=
2
- 4 = O. Como se trata de una recta vertical despejamos para obtener la disa la que está situada respecto al eje x .Así, x = _!__ No existe pendiente.
9
-y= O. Recta que pasa por el origen con m= - _g = ___g_ = 12.
-1
1
193 - - - - - - - - -
En este caso,para b no cambias el signo
en el cociente (debido a que la transposición de términos modificó su signo).
FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN
DE LA RECTA
La forma normal de la ecuación de la recta se obtiene al dividir la forma gem
Ax + By = C entre ±VA2 + B2 , con igual signo que C.
4x + 3y
(l
Observaciones
'Importantes
l. En la forma normal, los coeficientes y el
término constante proporcionan información muy relevante. Así, en la ecuación
\/42 + 32 = 5
4x+3y =2
5
Forma normal:
4.x+_k=2
5
5
La ecuación normal de la recta Ax
Forma general
Sustituyendo 4 por A, 3 por B
en \/A2 + B2
Dividiendo entre 5
+ By =
C se obtiene dividiendo
sus términos entre
el valor 2 es la distancia del origen a la
4
= 10
3
recta y los valores 5Y 5son el seno y el
coseno del ángulo que forma esta distan-
con igual signo que C.
cia con la dirección positiva del eje x.
EJEMPLO 1
·:
Ecuación de una recta en la forma
Obtener la ecuación normal de cada recta e indicar su distancia al origen.
a) -x +y=
V2
b) 6x- By = -5
4
3
d= 2 sena=- cosa='
5 '
5
2. El radical ± V A2 + B2 se llama módulo
y se toma con igual signo que C para que
la distancia d resulte positiva.
Solución
a) Dividiendo - x
+ y = V2 entre V (-1 )2 + 12 = V2
se obtiene
-x
y
- - + - - = 1· d= 1
V2
V2
'
3. Con esta interpretación geométrica la
ecuación normal equivale a
b)Dividiendo 6x- By = -5 entre
- V 62 +(- B)2 = -10, se obtiene
xsena+ycosa=d
4. la distancia d siempre se considera positiva.
6x
~
-5
-10
-10
-10
3x
4y
1
-5 +-5-=2
1
d=T
------------------~ 196 ----------------~
EMPLO 2
,.
Distancias y construcción de caminos
comwúcar el fraccionami~nto Las Palmas
15r---~--~--~---r--~
.1:1
la carretera que une los poblados de Hi, y Cerritos, se construirá un camino
de asfalto. ¿A qué distancia de la entrada
ccionamiento quedará la carretera?
2y = 24
Ubicación de los poblados
~
6
()O Fíjate en lo
3
l. Como C =-S, el radical se tomó negativo.
'-../
· · siguiente...
Modelo para la carretera
que los une
24
Forma normal
2. En el primer reemplazo se obtiene
vT3
o
6x
2
Sv
-5
= -- 10
-10
- - - _::::¿__
( Km)
24
=v'i3 = 6.65, proporciona la distancia a la en-
cia de la recta al origen, d
El segmento a se llama normal ae la recta
(de allí el nombre de la ecuación escrita en
esta forma). El ángulo a puede variar de 0° a
360°.
EJEMPLO Jb
,..... 9
9),C(6, 3)
Ampliando
el conocimiento
del fraccionamiento: d = 6.65 km.
-10
Se simplifican signos y fracciones.
EJEMPLO 3
()O Fíjate en lo
tMPLO 3
aliando la distancia entre dos rectas paralelas
la distancia entre las rectas paralelas siguientes:
=-X+ 4;
= 2x
+ 5;
y=- X + 10
y=2x-6
· · siguiente...
Para determinar si las rectas quedan a un mis-
mo lado del origen, o bien si éste queda comprendido entre ellas, puede prescindiese de
las gráficas: si nos fijamos en los signos de los
términos constantes.
l. Si los términos constantes tienen igual
enemas primero la distancia al origen de cada recta.
X+ y= 10
1~
1~
Forma general
2. Si los términos constantes difieren en sig-
Forma normal
no, las rectas quedan una arriba del origen y la otra abajo. las distancias deben
suM;¡rse.
Para corroborar la validez de lo anterior
puedes pasar las ecuaciones a la forma
pendiente-intersección y .
y
1~
•v
~~~~=4.2
1~
.,
1\h_,
1""'
/
/
o
signo, las rectas quedan ambas arriba o
abajo del origen. En este caso se restan las
distancias.
1""' ""'
""'1 ~
'Í""' ~
X
~
---------------- 197 --------------------
SECCIONES DE UN CONO
7.-1
La figura muestra un cono y algunos de sus elementos.
Vértice
()O Fíjate en lo
siguiente...
l. La directriz de un cono puede ser cual-
quier curva cerrada.
2. El vértice está fuera del plano que contiene a la directriz.
3. La posición del eje determina si el cono
es recto u oblicuo.
La base del cono es la región delimitada por su directriz.
La generatriz es la recta que genera a la superficie cónica cuando recorre la
llamada directriz, manteniéndose fija en el vértice (punto exterior al plano de la
rectriz).
Cuando la base es un círculo, el cono se denomina cono circular. Si su eje (
que une el centro del círculo con el vértice) es perpendicular a la base, el cono
denomina cono circular recto.
Si un plano secciona a un cono circular, la curva de intersección es una cóni
Cono no circular
1
1
1
1
--- -\---Circunferencia
Elipse
Cono circular oblicuo
Cono circular recto
Parábola
Hipérbola
---------------------2 10 ------------------1
:JEMPLO 1
Obteniendo la circunferencia
1
(l Observaciones
'Importantes
de corte es paralelo a la base.
l. Aunque la circwúerencia puede obtener-
se como un caso particular de la elipse,
por su importancia se considera por separado, distinguiendo el plano oblicuo de la
elipse del plano de la circwúerencia paralelo a la base. Observa, sin embargo, que
en ambos casos, los dos tipos de plano
cortan todas las generatrices del cono.
Vista lateral
2. La circwúerencia quedará comprendida
dentro de la elipse si consideramos ésta
como la curva que se obtiene al cortar
con un plano todas las generatrices del
cono.
3. Los brazos de una parábola tienden a separarse lentamente, como si fueran paralelos (en forma de U).
4. La hipérbola está formada por dos ramas
distintas cuyos brazos, a diferencia de los
de una parábola, tienden a divergir rápidamente en cada rama (en forma de V).
Perspectiva
Obteniendo la elipse
Existen casos límites para las posiciones
del plano de corte que dan origen a los casos de c6nicas degeneradas en un punto, en rectas o en ningún lugar geométrico.
Las figuras muestran estas posibilidades:
Elipse
Parábola
de corte es oblicuo a la base.
Un punto
Una recta
Vista lateral
Ningún lugar geométrico
Hipérbola
Perspectiva
Dos rectas cruzadas
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~Información
~ Histórica
EJEMPLO 3
El plano de corte es paralelo a la generatriz.
En un principio las cónicas fueron obtenidas
por Menecmo, variando el ángulo en el vértice de los conos y manteniendo fijo el corte.
Éste siempre era perpendicular a la generatriz del cono y el ángulo en el vértice de éste podía ser agudo, recto u obtuso. Esto se
ilustra en las siguientes figuras:
Vista lateral
Elipse: cono acutángulo
Parábola: cono rectángulo
Perspectiva
1
EJEMPLO 4
Obteniendo la hi
.
El plano de corte intersecta las dos superficies cónicas.
Hipérbola: cono obtusángulo
Vista lateral
Perspectiva
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