06a. Ecuaciones logaritmicas

ECUACIONES
1º BCT
6.- ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Definición
Ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que aparece la incógnita aparece como argumento de un
logaritmo.
Ejemplos:
2 log x = log (x + 20) + 1 ; 2 log(7x – 9) = 2 – log(3x – 4)
2
Resolución:
Para resolver este tipo de ecuaciones se aplican las propiedades de los logaritmos hasta obtener que
cada miembro sea el logaritmo de un valor, con el fin de aplicar la siguiente relación:
log A = log B ⇔ A = B
(es decir, dos logaritmos que tienen la misma base son iguales si tienen los mismos argumentos).
Una vez resuelta la ecuación algebraica hay que analizar siempre las soluciones obtenidas para
desechar las que no cumplan la ecuación logarítmica (se desecharán aquellas que den el logaritmo de
un número negativo).
Ejemplos:
1) 2 log x = log (x + 20) + 1
a) Comprobamos que todos los logaritmos tienen la misma base, si no es así, se reducen a la
misma base empleando la formula del cambio de base.
b) Utilizando las propiedades de los logaritmos para expresar cada miembro de la ecuación como un
único logaritmo:
Cualquier número se puede expresar como un logaritmo: n = log a a
n
2 log x = log (x + 20) + 1 → log x = log (x + 20) + log 10 → log x = log [10(x + 20)]
2
2
c) Aplicamos la relación: log A = log B ⇔ A = B
2
x = 10(x + 20)
d) Resolvemos la ecuación resultante:
x – 10x – 200 = 0 → x = 20, x = - 10
2
e) Comprobamos las soluciones:
La solución x = -10 no es válida ya que al sustituir en la ecuación logarítmica obtenemos:
2log(-10) – log 10 = 1 (no está definido el logaritmo de números negativos)
f) Por tanto, la solución de la ecuación logarítmica es x = 20
Luisa Muñoz
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ECUACIONES
1º BCT
2) log x + log 20 = 3
log 20x = log 1000 ( se ha utilizado que log1000 = 3) → 20x = 1000 ⇒ x = 50
3) 2log x = log (10 – 3x)
Aplicamos las propiedades de los logaritmos para obtener una igualdad de logaritmos:
log x = log (10 – 3x) → x = 10 – 3x → x + 3x + 10 = 0
2
2
2
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son x = 2, x = -5.
La única solución válida es x = 2 , ya que no existe log(-5).
4) Log (5x + 4) – log 2 = 0´5 log (x + 4)
Aplicamos las propiedades de los logaritmos:
1
log
5x + 4
5x + 4
2
= log ( x + 4) 2 →
= x + 4 → (5x + 4) = 4 (x + 4)
2
2
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
25x + 40x + 16 = 4x + 16 → 25x + 36 x = 0
2
2
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son x = 0 , x = −
36
,
25
de las cuales sólo es válida x = 0, pues para la 2ª solución obtenemos el logaritmo de un número
negativo al sustituir en log (5x + 4)
Luisa Muñoz
2