Problema PTC0004-30 Una señal triangular de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar: a) El espectro de la señal original. b) El espectro de la señal modulada. c) Repetir el apartado anterior para distintas amplitudes de la señal modulante. Solución PTC0004-30 Apartado a) Sabemos que la señal modulante puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión f (t ) = 1 ∞ ∑ c fne jωnt T n =−∞ en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con: c fn = ∫ T /2 −T / 2 f (t )e − jωn t dt Según se puede calcular (ver problema PTC0004-09) π c fn = ATSa 2 n − ATSa ( nπ ) 2 siendo A la amplitud de la señal triangular. Cada armónico vale M fn = c fn T + c− fn T ∀n > 0 y sustituyendo π M fn = 2 ASa 2 n 2 ∀n > 0 El espectro de amplitud se refleja en la figura siguiente 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -10 -5 5 10 Para obtener los valores de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores esperados serán M M fndBVRMS = 20 log fn ∀n > 0 2 Los resultados son los siguientes Frecuencia Armónico (en Khz.) (en dBV) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -∞ -4.83 -∞ -23.92 -∞ -32.79 -∞ -38.64 -∞ -43.00 -∞ Apartado b) Llamando g(t) a la señal modulada sabemos que g (t ) = Ap [1 + m ⋅ f (t ) ] cos (ω p t ) siendo m el índice de modulación. Su representación gráfica es la siguiente 7.5 5 2.5 0.5 -2.5 -5 -7.5 1 1.5 2 2.5 3 Para calcular su espectro escribimos g (t ) = Ap cos (ω p t ) + Ap m f (t ) cos (ω p t ) G (ω ) = F [ g (t ) ] = F Ap cos (ω p t ) + Ap m f (t ) cos (ω p t ) G (ω ) = F Ap cos (ω p t ) + F Ap m f (t ) cos (ω p t ) El primer sumando corresponde a la portadora senoidal y su espectro será P(ω ) = F Ap cos (ω p t ) de donde G (ω ) = P(ω ) + F Ap m f (t ) cos (ω p t ) Por otra parte, el segundo sumando vale G2 (ω ) = F Ap m f (t ) cos (ω p t ) = G2 (ω ) = ∞ ∫ A m f (t ) e ∞ ∫ A m f (t ) cos (ω t ) e p Ap m jω p t p 2 ∞ ∫ f (t )e ( ) − j ω −ω p t +e 2 dt + −∞ G2 (ω ) = Ap m G2 (ω ) = 2 dt −∞ −∞ G2 (ω ) = − jωt p F (ω − ω p ) + − jω p t ∞ Ap m 2 Ap m 2 e − jωt dt ∫ f (t )e ( ) − j ω +ω p t dt −∞ F (ω + ω p ) Ap m F (ω − ω p ) + F (ω + ω p ) 2 Por lo tanto, finalmente, el espectro de una señal modulada en amplitud vale Am G (ω ) = P(ω ) + p F (ω − ω p ) + F (ω + ω p ) 2 Análogamente cgn = c pn + Ap m 2 c fn ,ω p + Ap m 2 c fn ,−ω p donde cfn,ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la magnitud fp; mientras que cfn,-ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la magnitud -fp. En las figuras siguientes se reflejan respectivamente cada uno de los dos sumandos del espectro de amplitud de la señal modulada, cfn,-ωp y cfn,ωp. -20 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 -10 10 20 -20 -10 10 20 El espectro de amplitud completo de la señal modulada, cgn, se refleja en la figura siguiente 2.5 2 1.5 1 0.5 -20 -10 10 20 Análogamente, para los armónicos podemos escribir Am Am M gn = M pn + p M fn ,ω p + p M fn ,−ω p 2 2 expresión en la que Mfn,ωp representa a los armónicos (bilaterales) correspondientes al espectro de la modulante centrado en ωp. Los valores numéricos de los armónicos son los siguientes Frecuencia Armónico (en Khz.) (en dBV) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 -∞ -30.59 -∞ -28.47 -∞ -23.92 -∞ -15.69 -∞ 3.15 10.97 3.14 -∞ -15.81 -∞ -24.49 -∞ -30.11 -∞ -34.25 -∞ Apartado c) En la figura se representan las señales moduladas y sus espectros cuando la amplitud de la modulante es, respectivamente, de 0.5V y de 0.1V. 2.5 6 2 4 2 1.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 -2 0.5 -4 -6 -20 -10 10 20 2.5 4 2 2 1.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 -2 0.5 -4 -20 -10 Los valores numéricos de los armónicos son Frecuencia Armónico (en dBV) (en Khz.) A=1V A=0.5V 0 -∞ -∞ 1 -30.59 -36.61 2 -∞ -∞ 3 -28.47 -34.49 4 -∞ -∞ 5 -23.92 -29.94 6 -∞ -∞ 7 -15.69 -21.71 8 -∞ -∞ 9 3.15 -2.87 10 10.97 10.97 11 3.14 -2.88 12 -∞ -∞ 13 -15.81 -21.83 14 -∞ -∞ 15 -24.49 -30.51 16 -∞ -∞ 17 -30.11 -36.14 18 -∞ -∞ 19 -34.25 -40.27 20 -∞ -∞ 10 A=0.1V -∞ -50.59 -∞ -48.47 -∞ -43.92 -∞ -35.69 -∞ -16.85 10.97 -16.86 -∞ -35.81 -∞ -44.49 -∞ -50.11 -∞ -54.25 -∞ 20