1) Ecuación del movimiento Ecuación de la cantidad de movimiento la dinámica relativa del punto M : y1 I y M F̄ + F̄I = mγ̄20 O tiene un movimiento circular uniforme de centro O1 , radio a y velocidad aω: ~t ~n O v̄01 = aω~t O γ̄01 2 = aω ~n O1 ~n = r̄ ϕ θ ωt 2 M ωt Q 1 ~ur x1 0 θ = O\ 1 OM ~uϕ O OO1 = cos θ~ur − sin θ~uϕ ; |OO1 | ~t = ~n ∧ ~k = − sin θ~ur − cos θ~uϕ x Q, el punto de intersección del aro A y el eje Ox, describe una hipocicloide de La Hire (diámetro de la circunferencia exterior). El triángulo O1 OQ es isósceles, \1 y QOO \1 son iguales. Si O tiene porque |O1 O| = |OQ| = R, luego los ángulos OQO \ un movimiento circular uniforme y sale desde el eje O1 x1 , el ángulo QO 1 O = ωt Luego: ω̄01 = −ω~k, dω̄01 |1 = 0̄ dt ᾱ01 = r = a (implícita en polares) r̄ = r~ur → OM = a~ur (paramétrica en polares) v̄ = ṙ~ur + rϕ̇~uϕ → M v̄20 = aϕ̇~uϕ γ̄ = (r̈ − rϕ̇2 )~ur + (2ṙ ϕ̇ − rϕ̈)~uϕ → M γ̄20 = −aϕ̇2 ~ur + aϕ̈~uϕ F̄ = F̄D + F̄L F̄D = 0̄ (sin fuerzas directamente aplicadas) F̄L = F̄R + N̄ F̄R = 0 (contacto liso) N̄ = N~ur F̄I = F̄IA + F̄IC O F̄IA = −m[ γ̄01 + ᾱ01 ∧ OM + ω̄01 ∧ (ω̄01 ∧ OM )] → | {z } | |{z} {z } 0̄ ω 2 OO1 F̄IC = −2mω̄01 ∧ − maω 2 (cos θ~ur − sin θ~uϕ ) + maω 2 ~ur −ω 2 OM M v̄20 → − 2maω ϕ̇~ur Las ecuaciones resultan: · ~ur ) −maϕ̇2 = N −maω 2 cos θ + maω 2 −2maω ϕ̇ | {z } (1) 2maω 2 sin( θ2 ) · ~uϕ ) ϕ̈ = sin θ ma maω (2) \ Los tres ángulos del triángulo isósceles O1 OQ suman π y el ángulo O 1 OQ mide θ − ϕ, luego se tiene: θ−ϕ+2ωt= π θ̇−ϕ̇+2ω = 0 θ̈−ϕ̈ =0 Sustituyendo la tercera relación, la ecuación (2) resulta: θ̈ = ω 2 sin θ = 1 dθ̇2 2 dθ R → θ̇2 = C − 2ω 2 cos θ (3) 2) Cuadraturas y análisis cualitativo. Condiciones iniciales: t=0:θ=π v̄0 = aϕ̇0 ~uϕ0 = (2 + Λ)aω~uϕ0 ⇒ ϕ̇0 = (2 + Λ)ω ⇒ θ̇0 = Λω C = (Λ2 − 2)ω 2 (Constante de integración) θ despejando → θ̇2 = ω 2 [Λ2 − 4 cos2 ( )] 2 r R θ θ̇ = sign(Λ)ω Λ2 − 4 cos2 ( ) → 2 t= sign(Λ) ω Z θ π sustituyendo en (3) → dθ q Λ2 − 4 cos2 ( θ2 ) Ẽ = Λ2 (Nivel energético adimensionalizado) θ Ṽ = 4 cos2 ( ) (Potencial adimensionalizado) 2 Casos de movimiento: Λ2 = 0 (rojo): Reposo en θ = π. Equilibrio estable. 0 < Λ2 < 4 (verde): Libración entre puntos de parada y retorno θp = π ± α Λ2 = 4 (azul): Movimientos asintóticos hacia θ = {0, 2π} para Λ = {−2, 2} respectivamente. Λ2 > 4 (violeta): Rotación (no hay puntos de parada) 3) Ley horaria Z θ H: tan( θ4 )>0 dθ 1 θ = ln | tan( )| ⇒ θ ω 4 π 2 sin 2 θ θ θ̇(θ) = 2ω sin( ) ϕ̇(θ) = 2ω[1 + sin( )] 2 2 Λ = 2, 1 t= ω 4) Reacción normal en función de la posición (1) → θ N (θ) = −4maω 2 sin( ) 2 5) Análisis del desprendimiento θ sin( ) = 0 ⇒ 2 lı́m θ(t) = 2π, t→∞ θ = 2kπ, (k ∈ Z) lı́m O1 M (t) = 0̄, (M → O1 ) t→∞ dN (θ) (θ = 2π) = 2maω 2 > 0, dθ (Corte seco: habría desprendimiento, pero no llega nunca) N (θ = 2π) = 0, θ(t) = 4 arctan(eωt ), θ ∈ [π, 2π) (hipótesis verificada)