ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Toda ecuación de primer grado entre las coordenadas (x, y) de un punto variable representa una recta Ax + By + C = 0 es entonces la forma mas general de la ecuación de una recta. La cual puede ser transformada en cualquiera de las formas vistas anteriormente a) si despejamos y y = _ Ax _ C B B que es la forma principal b) dividiendo por C y pasando el término constante al segundo miembro, tenemos: x + y =1 -C/A -C/B que es la ecuación de segmentos c) para transformar la ecuación general a la normal si el sistema es ortogonal Multiplicamos la ecuación general por un factor indeterminado R, resulta RAx + RBy + RC = 0 Determinamos R de modo que RA = cosα RB = sinα Elevando al cuadrado estas dos igualdades R²A² = cos²α R²B² = sin²α Sumando miembro a miembro R²A² + R²B² = cos²α + sin²α factorizando el primer miembro R²(A² + B²) = 1 De donde obtenemos que: R= 1 ± A² + B² El signo de la raíz debe elegirse de modo que RC resulte negativo, para que RC sea igual a –p. La ecuación transformada es entonces cos α = A ± A² + B² Ax + By + C ± A² + B² cos β = sin α = B ± A² + B² =0 Los cosenos directores de la normal positiva de la recta son por lo tanto Debiéndose dar a la raíz el signo contrario de C. Ejemplo: dar la forma normal a la ecuación x – 2y + 3 = 0 Solución : En este caso A = 1, B =- 2, C > 0, luego 1 R= - 5 la ecaución t ransformad a es entonces 1 3 2 x+ y− =0 5 5 5 d) el sistema de coordenadas es oblicuo con ángulo del sistema ω También en este caso multiplicamos por R, y tenemos RAx + RBy + RC = 0 y lo determinamos de modo que RA = cosα RB = cosβ Pero β = α - ω, es decir ω = α - β De donde cosαcosβ + sinαsinβ = cosω Sustituyendo en esta ecuación cos α = RA, cos β = RB , snα = 1 − R ² A² , sinβ = 1 − R ² B² Obtenemos la siguiente ecuación para calcular R R² AB+ (1 − R² A²)(1 − R² B ²) =cos ω Despejando R resulta R= sinω ± A² + B² − 2 AB cos ω El signo de R queda determinado por la condición RC < 0 , y la ecuación transformada es: ( Ax + By + C ) sin ω ± A² + B ² − 2 AB cos ω =0 Ejemplo: Dar la forma normal a la ecuación x + 2y + 3 = 0 siendo ω = 60° Solución: en este caso A = 1, B = 2, C > 0 sinω = √3/2, cosω = ½, de donde A² + B² - 2ABcosω = 3, la ecuación transformada es, entonces: ( x + 2 y + 3) − 3 1 3 2 =0 O después de algunas transformaciones _1x_y_1 =0 2 2