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MC-2415 Vibraciones Mecánicas
Universidad Simón Bolívar
I. Introducción
II. Sistema de 1-GDL
Descripción
Ec. de movimiento
Resp. libre
Resp. forzada
III. Sistemas de N-GDL
IV. Medición / diagnóstico
V. Bibliografía
Un sistema masa – resorte - amortiguador
está formado por:
• Una masa, en donde se concentra toda
la masa e inercia del sistema (energía
cinética)
• Un resorte, donde se concentra toda la
rigidez / flexibilidad del sistema
(energía potencial elástica)
k
m
• Un amortiguador viscoso lineal, donde
se concentran todas las fuentes de
disipación de energía del sistema
(energía de disipación)
c
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Euro Casanova, 2006
MC-2415 Vibraciones Mecánicas
Universidad Simón Bolívar
Ecuación de movimiento (i): Newton
I. Introducción
II. Sistema de 1-GDL
Descripción
Ec. de movimiento
Resp. libre
Resp. forzada
p.e.e. . . . Posición de equilibrio estático
g
Lo . . . Longitud indeformada del resorte
c
δs
k
. . . Deformada estática del resorte ( kδs = mg )
p.e.e.
k(x + δs )
cx&
x(t)
m
III. Sistemas de N-GDL
IV. Medición / diagnóstico
f(t)
x& &x&
m
N
V. Bibliografía
f(t)
mg
Ecuación diferencial, ordinaria, de 2do
orden, lineal, no-homogénea
m&x&(t ) + cx&(t ) + kx(t ) = f (t )
Condiciones
iniciales:
Euro Casanova, 2006
x(t =0 ) = x 0
x&(t =0 ) = v 0
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Universidad Simón Bolívar
Ecuación de movimiento (ii): Lagrange
I. Introducción
II. Sistema de 1-GDL
Descripción
Ec. de movimiento
Resp. libre
Resp. forzada
g
Lo . . . Longitud indeformada del resorte
c
k
δs
p.e.e.
m
III. Sistemas de N-GDL
IV. Medición / diagnóstico
f(t) x& &x&
V. Bibliografía
Qx =
x(t)
. . . Deformada estática del resorte ( kδs = mg )
p.e.e. = Posición de equilibrio estático
D = 12 c x& 2
Fuerza Generalizada Qx = f (t )
Energía Cinética
T = 12 m x& 2
Energía Potencial U = − mg (δ + x ) + 1 k (δ + x ) 2
s
s
2
Función de Disipación
∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂U ∂D
+
+
⎜
⎟−
∂t ⎝ ∂x& ⎠ ∂x ∂x ∂x&
Condiciones x(t = 0 ) = x 0
iniciales:
x&(t =0 ) = v 0
m&x&(t ) + cx&(t ) + kx(t ) = f (t )
Ecuación diferencial, ordinaria, de 2do
orden, lineal, no-homogénea
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Euro Casanova, 2006
MC-2415 Vibraciones Mecánicas
Universidad Simón Bolívar
Ecuación de movimiento (iii)
I. Introducción
II. Sistema de 1-GDL
Descripción
Ec. de movimiento
Resp. libre
Resp. forzada
Definiendo:
• Frecuencia natural del sistema:
ωn =
• Factor de amortiguación:
ζ =
[r/s]
III. Sistemas de N-GDL
IV. Medición / diagnóstico
[adimensional]
k
m
c
≥0
2mω n
V. Bibliografía
La ecuación de movimiento se expresa:
&x&(t ) + 2ζω n x&(t ) + ωn2 x(t ) =
Euro Casanova, 2006
f (t )
m
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MC-2415 Vibraciones Mecánicas
Universidad Simón Bolívar
Respuesta Libre (i)
I. Introducción
II. Sistema de 1-GDL
Descripción
Ec. de movimiento
Resp. libre
Resp. forzada
III. Sistemas de N-GDL
IV. Medición / diagnóstico
V. Bibliografía
Ecuación de movimiento:
&x&(t ) + 2ζω n x&(t ) + ωn2 x(t ) = 0
Sol. propuesta:
x(t ) = Aeλ t
Ecuación característica:
λ2 + 2ζω n λ + ω n2 = 0
Valores de λ en función de ζ:
λ = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
• Sist. sub-amortiguado (oscila)
0 ≤ ζ < 1 ⇒ λ = −ζω n ± iωd
ωd = ω n 1 − ζ 2
Frecuencia natural
amortiguada
• Sist. críticamente-amortiguado (no oscila)
ζ = 1 ⇒ λ = −ωn
• Sistema sobre-amortiguado (no oscila)
Euro Casanova, 2006
ζ > 1 ⇒ λ = −ζωn ± ωn ζ 2 − 1
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Universidad Simón Bolívar
Respuesta Libre (ii)
I. Introducción
II. Sistema de 1-GDL
Descripción
Ec. de movimiento
Resp. libre
Resp. forzada
k
λ = −ζω n ± iωd
m
c
Solución:
x(t ) = e −ζωnt [ A1Cos(ωd t ) + A2 Sen(ωd t )]
III. Sistemas de N-GDL
p.e.e.
x(t)
1.5
IV. Medición / diagnóstico
1
Dependen de las condiciones
iniciales x(t = 0 ) = x0
x&(t =0 ) = v0
A1 = x0
A2 =
0.5
x(t) [m ]
V. Bibliografía
0
-0.5
v0 + ζωn x0
-1
ωd
-1.5
0
4
8
12
16
20
24
28
Tiem po [s]
Euro Casanova, 2006
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