Curso Vibraciones Mecanicas EQR 2014

Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Vibraciones Mecánicas Teoría & aplicaciones Por : Euro CASANOVA Departamento de Mecánica, USB Ofc.: MEU-317B email: ecasanov@usb.ve web: http://prof.usb.ve/ecasanov E. Casanova, diciembre 2014 1 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Esquema del curso E. Casanova, diciembre 2014 • • • • Introducción Sistemas de 1-GDL Sistemas de N-GDL Bibliografía y formulario 2 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Importancia del estudio de vibraciones Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario • • • • • • E. Casanova, diciembre 2014 Todas las estructuras mecánicas, son susceptibles de experimentar problemas de vibraciones (resonancia). Los esfuerzos dinámicos producidos por las vibraciones, además de ser alternativos (fatiga), pueden ser varias veces mayores que los esfuerzos estáticos (amplificación dinámica). Los problemas de vibración generalmente se traducen en altos costos de operación y mantenimiento debido al desgaste prematuro y/o la falla. Un sistema mecánico bien diseñado puede vibrar en un rango específico sin producir mayores problemas. Las mediciones de vibración pueden dar información sobre la condición de los equipos y pueden ayudar a diagnosticar o evitar una falla. La vibración normalmente es un problema por una de dos razones: o la amplitud de vibración es suficientemente grande para causar esfuerzo excesivo en la estructura, o es suficientemente grande para generar molestia o temor en la gente cerca de la estructura que vibra. Para la mayoría de las estructuras, la vibración generará molestias (o temor!) mucho antes que el esfuerzo sea excesivo. Sin embargo, muchos equipos (eléctricos, ópticos, de precisión, etc.) son más sensibles que la gente a la vibración. 3 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Importancia del estudio de vibraciones Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL El cuerpo humano puede ser considerado como un sistema viscoelástico y como tal posee frecuencias naturales y puede experimentar resonancias. Las frecuencias propias del cuerpo y de sus órganos varían enormemente debido a que hay gran variabilidad en la contextura de las personas. Las vibraciones pueden tener efectos nocivos para el hombre, a menudo debido a que algún órgano entra en resonancia. El rango de frecuencias se extiende desde 0.4Hz (produciendo molestia ligera), hasta sobre los 1000Hz (siendo capaz de dañar el tejido humano). Bibliografía & formulario Algunos de los efectos de la vibración sobre el hombre: Disminuir la calidad del trabajo Problemas de visión Dificultad respiratoria Problemas de coordinación de mano o pie Dolor en el pecho E. Casanova, diciembre 2014 0.7 a 30 Hz 0.8 a 50 Hz 1.0 a 4 Hz 2 a 3 Hz 3 a 10 Hz FRECUENCIAS NATURALES DEL CUERPO HUMANO Órgano Cuerpo completo sentado Cuerpo completo de pie Cabeza Ojos Cara y quijada Cuello Pecho Pulmones Abdomen Columna (región lumbar) Hombros Manos, Pies Frec. natural (Hz) 4–6 6–15 8–40 12–17 4–27 6–27 2–12 4–8 4–12 4–14 4–8 2–8 4 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción del fenómeno vibratorio (i) Un sistema mecánico es cualquier sistema material que tenga masa (acumula energía cinética) y rigidez (acumula energía potencial), e.g. equipos rotativos, sistemas de tuberías, estructuras civiles, etc. La vibración de un sistema mecánico se puede entender como una transferencia de energía cinética (T) en energía potencial (U). Péndulo simple Bibliografía & formulario T U Tmin, Umax Tmax, Umin E. Casanova, diciembre 2014 5 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Descripción del fenómeno vibratorio (ii) Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Disipación cualquier mecanismo que extrae energía del sistema, e.g. roce seco, amortiguación viscosa, etc. Excitación cualquier mecanismo que introduce energía al sistema e.g. fuerzas armónicas, desbalance, choques, etc. Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Excitación Disipación Péndulo con base móvil Bibliografía & formulario f(t) T E. Casanova, diciembre 2014 U 6 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Modelos utilizados en el estudio de vibraciones (i) Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Modelos de 1 grado de libertad (1-gdl), simplificación donde toda la masa del sistema se concentra en una partícula y toda la rigidez en un resorte (descritos por una Ec. diferencial ordinaria) Modelos discretos de N-gdl, modelos simplificados donde se utilizan varios modelos de 1-gdl vinculados entre sí, con el fin de simular mejor el sistema (descritos por un sistema de Ecs. diferenciales ordinarias) Bibliografía & formulario Modelos continuos, Modelos continuos modelos que simulan perfectamente el comportamiento del sistema usando las ecuaciones de mecánica del continuo (descritos por una Ec. diferencial en derivadas parciales) discretizados, modelos numéricos que transforman la Ec. diferencial en derivadas parciales en un sistema de Ecs. diferenciales ordinarias). E. Casanova, diciembre 2014 7 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Modelos utilizados en el estudio de vibraciones (ii) Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL Viga ( r, E, I, A, L) Modelo de 1-gdl k Sistemas de N GDL m Modelo de N-gdl k1 m1 k2 m2 k3 m3 Bibliografía & formulario Modelo continuo 2 2  2   w x ,t   r  w x ,t  EI  0 x 2  x 2  A t 2 w0,t   0 EI w' ' L ,t   0 w'0,t   0  EI w' ' ' L ,t   0 Modelo continuo discretizado w x , 0   w0  x  E. Casanova, diciembre 2014 w  x , 0   v0  x  8 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Energía cinética Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Energía que se acumula en la masa del sistema cuando el mismo está en movimiento (velocidad). Modelo de 1-gdl Modelo de N-gdl N N 1 1 T T  T  mi x Ti x i T  m x x   i i 1 i 1 2 2 1 1 T  m x Tp x p  ωT I pω  x Tp ω  mrc  2 2 Modelo continuo T 1 T  x x r dv  2 Modelo continuo discretizado 1 1 T   x T x r dv  q T Mq 2 2 T M   N N r dv E. Casanova, diciembre 2014  9 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Energía potencial de deformación Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL Energía de deformación que se acumula en el sistema cuando el mismo se deforma. Modelo de 1-gdl f 1 U  k x2 2 x f  k x k Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Modelo continuo σ ε 1 U   σT ε dv 2 Modelo de N-gdl N N 1 U  U i   ki xi2 i 1 i 1 2 k = constante elástica del resorte x = deformación relativa Modelo continuo discretizado T 1 1 U   σ ε dv  qT Kq 2 e 2 T K   B D B dv e E. Casanova, diciembre 2014 10 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL Rigideces equivalentes de vigas, barras y ejes fs keq  s  f s keq  s Viga empotrada-libre fs L Viga simplemente apoyada 3EI L3 keq  48EI L3 keq  AE L keq  GJ L fs Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario f s L3 s  3EI keq  L Barra en tensión/compresión L f s L3 s  48EI fs s  fs L AE Eje en torsión E. Casanova, diciembre 2014 L T TL s  GJ 11 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Rigideces equivalentes de vigas, barras y ejes Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Viga empotrada/empotrada fs 192 EI L3 keq  3EIL a 2b 2 keq  12 EI L3 keq  3EI a 2 ( L  a) L Viga simplemente apoyada fs Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL keq  a Bibliografía & formulario b L Viga empotrada/empotrada deslizante fs L Viga en apoyos simples con carga en voladizo fs E. Casanova, diciembre 2014 L a 12 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Energía potencial de deformación Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Resortes en paralelo k1 f f k2 x1 x2 f f k eq Bibliografía & formulario x1 keq   ki i x2 Resortes en serie f k1 x1 f k2 x2 x3 f f k eq E. Casanova, diciembre 2014 x1 x2  1 keq     i ki  1 13 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Disipación Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL Roce seco o fricción de Coulomb. k m m f r  m N Signx  m = coeficiente de fricción N = normal a la superficie Amortiguación viscosa (damping) fa fa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario c f a  c x c = constante del amortiguador x = vel. relativa entre los extremos Charles Coulomb (1736-1806) - La amortiguación viscosa en general no es igual a la amortiguación presente en las estructuras, la cual está normalmente relacionada con la fricción o sobre esfuerzo local. - Una regla usual es usar factores de amortiguación de 2% para el acero, 6% para el concreto y 1% para tuberías, y doblar estos valores en el caso de un sismo fuerte. - Estos valores funcionan bien para diseño pero no son particularmente precisos Amortiguación interna del material (histerética) σ k f i  i k x  = factor de pérdida del material i = variable compleja ε E. Casanova, diciembre 2014 k = rigidez del material x = deformación relativa 14 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Disipación Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL En todas las estructuras existe algo de amortiguación y su valor es función del material, del tipo de construcción y del estado de esfuerzo al que está sometida la estructura Nominal Stress level Stress at Yield (% damping) (% damping) Welded 2–3 5–7 Bolted 5–7 10–15 Riveted 5–7 10–15 Prestressed 2–3 5–7 Reinforced 2–3 7–10 Bolted 5–7 10–15 Nailed 5–7 15–20 Steel Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Concrete Wood E. Casanova, diciembre 2014 15 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL • Excitaciones determinísticas Origen: interno / humano / mecánico • • Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Periódicas • Armónicas simples (e.g. desbalance) • Armónicas complejas (e.g. vibraciones acústicas, flujo pulsante) f (t ) t f (t ) t No-periódicas • Transitorias (e.g. arranque o parada de un equipo, pérdida de un alabe) • Impulsivas (e.g. válvula de alivio, golpe de ariete, choques, flujo tapón, etc.) f (t ) t • Excitaciones aleatorias Origen: externo / natural / físico • • E. Casanova, diciembre 2014 Estacionarias (estadística no depende del tiempo) f (t ) t No-estacionarias (estadística depende del tiempo) (e.g. ola, viento, sismos) 16 Universidad Simón Bolívar Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Introducción Importancia Fenómeno vibratorio Modelos usados Ener. cinética Ener. potencial Disipación Excitaciones Tipos de vibración Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario E. Casanova, diciembre 2014 • Vibraciones libres • Respuesta transitoria ante condiciones iniciales • Vibraciones forzadas • Respuesta transitoria ante excitaciones diversas • Respuesta permanente ante excitaciones periódicas 17 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Un sistema masa – resorte - amortiguador está formado por: • Una masa, en donde se concentra toda la masa e inercia del sistema (energía cinética) • Un resorte, donde se concentra toda la rigidez / flexibilidad del sistema (energía potencial elástica) k m • Un amortiguador viscoso lineal, donde se concentran todas las fuentes de disipación de energía del sistema (energía de disipación) E. Casanova, diciembre 2014 c 18 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Ecuación de movimiento (i): Newton Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Intergración directa g c Lo . . . Longitud indeformada del resorte k s p.e.e. . . . Deformada estática del resorte ( ks = mg ) p.e.e. . . . Posición de equilibrio estático x(t) m Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario f(t) x x k(x  s ) cx ê2 m N f(t) mg ê1 Ecuación diferencial, ordinaria, de 2 do orden, lineal, no-homogénea E. Casanova, diciembre 2014 f eÊ2  maeˆ2 mxt   cxt   kxt   f t  Condiciones iniciales: xt 0   x 0 xt 0   v0 Isaac Newton (1642-1727) 19 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Ecuación de movimiento (iii) Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Definiendo: • Frecuencia natural del sistema: [r/s] • Factor de amortiguación: n    [adimensional] k m c 0 2mn La ecuación de movimiento se expresa: xt   2 n xt   n2 xt   E. Casanova, diciembre 2014 f t  m 20 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Libre (i) Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Intergración directa Sistemas de N GDL Ecuación de movimiento: xt   2 n xt   n2 xt   0 Sol. propuesta: xt   Ae  t Ecuación característica: 2  2 n   n2  0 Valores de  en función de :    n  n  2  1 Bibliografía & formulario • Sist. sub-amortiguado (oscila) 0    1     n  id • Sist. críticamente-amortiguado (no oscila)  d  n 1   2 Frecuencia natural amortiguada  1    n • Sistema sobre-amortiguado (no oscila) E. Casanova, diciembre 2014   1     n  n  2  1 21 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Respuesta Libre: Sub-amortiguada (ii) k    n  id m c Solución: xt   e nt A Cosd t   B Send t  xt   X e nt Cosd t    X  A B 2 2 x(t) p.e.e. 1.5 B  A   tg 1   TD 1 TD  2 D Dependen de las condiciones iniciales x(t) [m] 0.5 0 -0.5 xt 0   x0 xt 0   v0 A  x0 B v0   n x0 -1 d -1.5 0 4 8 12 16 20 24 28 Tiempo [s] E. Casanova, diciembre 2014 22 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Intergración directa Respuesta Libre: Decremento Logarítmico (iii) Estimación del factor de amortiguación a partir de la respuesta libre del sistema Respuesta libre 1.5 t1 x1  xt1  x2  xt2  z(t) [m] Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario t2  t1  n TD n TD 1 TD  0.5 xt   X e nt Cosd t    -1.5 3 6  x1  2 n     n nTD   2 n  2 1   x2  E. Casanova, diciembre 2014 D -0.5 0 x1 e  n nTD   n t1  nTD   e x2 e   Ln 2 0 -1  n t1 t2 9 12 15 18 21 Tiempo [s]    2 n 23 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Fuerza constante (i) k Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa m f(t)= f0 c p.e.e. x(t) f0 m Ecuación de movimiento: xt   2 n xt   n2 xt   Solución propuesta: xt   xht   x p t  Solución homogénea: (transitoria) xht   e nt A Cosd t   B Send t  Solución particular: (permanente) x p t   Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Solución total: Cond. iniciales E. Casanova, diciembre 2014 f0 k xt   e  nt A Cosd t   B Send t   xt 0   x0 xt 0   v0 f A   x0  0  k  f0 k f v0   n  x0  0  k  B d 24 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Resp. forzada: Fuerza constante (ii) Si las condiciones iniciales son nulas i.e. xt   f0 x0  v0  0    n  n t   Cosd t   1 e Send t  k d    2 Si  = 0 xt   f0 =0  = 0.1  = 0.3  = 0.5 =1 1.8 1  Cosnt  k 1.6 1.4 x(t)/(Fo/k) Introducción 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Tiempo [s] E. Casanova, diciembre 2014 25 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación armónica simple de amplitud constante (i) Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario k f(t)=f0 Sen( t) m Frecuencia de excitación c p.e.e. x(t) xt   2 n xt   n2 xt   Solución propuesta: xt   xht   x p t  Solución homogénea: (transitoria) xht   e nt A Cosd t   B Send t  Solución particular: (permanente) x p t   X Sen t    Amplitud de la respuesta permanente X f0 k Desfasaje  2 r  2  1  r   1   tg 1  1  r   2 r  2 2 2 Relación de frecuencias E. Casanova, diciembre 2014 f0 Sent  m Ecuación de movimiento: r  n 26 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Resp. forzada: Excitación armónica simple de amplitud constante (ii) f 1 2 r   x p t   X Sen t     0 Sen  t   k 1  r 2 2  2 r 2 1 r 2    Factor de amplificación dinámica (adimensional) G( r , )   1  1  r   2 r  2 2 2 Factor de amplificación dinámica Relación entre la amplitud dinámica (X) y la amplitud estática que produce fo X f0 k Desfasaje 6 180 160 G( r )  5 Sistemas de N GDL 1 1  r   2r  2 2 140 2 4 Bibliografía & formulario G( r , )  2r  2  1 r    tg 1  120  3  = 0.001  = 0.1  = 0.2  = 0.3  = 0.5  = 0.7  =1 2 1 100 80  = 0.001  = 0.1  = 0.2  = 0.3  = 0.5  = 0.7  =1 60 40 20 0 0 E. Casanova, diciembre 2014 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Relación de frecuencias, r 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Relación de frecuencias, r 3.5 4 27 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Resp. forzada: Excitación armónica simple de amplitud constante (iii) xt   xh t   x p t   e  nt A Cosd t   B Send t   f0 G( r , ) Sen t    k 3 Dependen de las condiciones iniciales xt 0   x0 T x(t) = xh(t)+ xp(t) 2 xt 0   v0 A  x0  B 1 d  f0 k f0 k 1 G( r , ) Sen( ) v0   n x0  x(t) [m] Introducción G( r , )  n Sen ( )  Cos ( )  f(t)=f0 Sen( t) k 0 -1 T -2 m c E. Casanova, diciembre 2014 p.e.e. 2  -3 0 x(t) 5 10 15 20 25 30 35 Tiempo [s] 28 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación armónica por desbalance (i) Newton: Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa (m  m0 ) g g m0 e  (t ) N (m  m0 ) x(t ) c p.e.e. ê1 f eÊ2  (m  m0 )ae(ˆ2m m0 )  m0 aeˆm20 f eÊ2  (m  m0 ) g  m0 g  cx  k ( x   s ) ae(ˆ2mm0 )  x Sistemas de N GDL  aeˆm20  x  e 2 Sen( )  eCos( ) Bibliografía & formulario  mx  c x  k x  m0e  2 Sen( )  Cos( ) Si la velocidad de giro es constante: E. Casanova, diciembre 2014 ê2 m0 g k ( x   s ) c x (m  m0 ) k Sistema de 2 gdl: x(t) , t)       ctte    0 ;   t xt   2 n xt   n2 xt   m0e 2  Sent  m 29 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación armónica por desbalance (ii) Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa g e  m0 xt   2 n xt   n2 xt   (t)   t (m-m0 ) k Factor de amplificación 6 mX  m0 e 5 x(t) c m0 e  2 Sent  m p.e.e. r2 1  r   2r  2 2 4  = 0.001  = 0.1  = 0.2  = 0.3  = 0.5  = 0.7  =1 Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario E. Casanova, diciembre 2014 mX 3 m0 e x p t   X Sen t    X m0 e m r 2 1 2 1  r   2 r  2 2 2 2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Relación de frecuencias, r 30 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación armónica por mov. de la base (i) Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Newton g Sistema de 2 gdl: x(t) , zt) mg ê2 m N x(t ) k k(x  z  s ) c y (t ) l0   s  z(t ) Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Definiendo: ê1 c( x  z) f eÊ2  maeˆ2  mg  k ( x  z   s )  c( x  z)  mx yt   xt   zt  myt   cy t   kyt   mzt  Desplazamiento relativo Si: zt   z0 Sen(t ) m Z 0 2 yt   2 n y t    yt   Sent  m 2 n E. Casanova, diciembre 2014 31 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación armónica por mov. de la base (ii) Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa g 2 m Z  0 yt   2 n y t   n2 yt   Sent  m m Factor de amplificación x(t) 6 k c y(t) Y  Z0 5 z(t) = Z0 Sen( t) r2 1  r   2r  2 2 2 4 Sistemas de N GDL Y Z0 Bibliografía & formulario y p t   Y Sen t    Y  Z0 3 2 r2 1 1  r   2 r  2 2  = 0.001  = 0.1  = 0.2  = 0.3  = 0.5  = 0.7  =1 2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Relación de frecuencias, r E. Casanova, diciembre 2014 32 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación armónica por mov. de la base (iii) Acelerómetro Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario y p t   Y Sen t    m   Y  Z0 r 2      x(t) k c y(t)   0.7 r  0.7 E. Casanova, diciembre 2014 2 G( r , ) 5 G( r , )  1 1 2 2 2 2  = 0.001  = 0.1  = 0.2  = 0.3  = 0.5  = 0.7  =1 2  Z  1 n2 1  r   2r  3 cte.  2 Y  Z 0 r  Z 0     n  Amplitud medida 2 2 4 n     1  r   2 r      6 z(t) = Z0 Sen( t) Si: 1 2 1 0 0 0 Aceleración de la base 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Relación de frecuencias, r 33 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación armónica simple : Fuerza transmitida a la fundación Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL k m f(t)=f0 Sen( t) DCL de la fundación c kxp t  cx p t  x(t) p.e.e. x p t   XSen (t   ) f tr  cx p t   kxp t  x p t   XCos (t   ) f tr  X cCos (t   )  kSen(t   )  X k 2  (c) 2 Sen (  )Cos (t   )  Cos (  ) Sen(t   )  X k 2  (c) 2 Sen(t     ) Bibliografía & formulario f tr  X k 2  (c) 2 E. Casanova, diciembre 2014 f (t )  f 0 Sen(t ) X f0 G( r , ) k f tr  f 0G( r , ) 12  (2r ) 2 f (t )  m0e2 Sen(t ) X m0e 2 r G( r , ) m f tr  (m0en2 ) r 2G( r , ) 12  (2r ) 2 34 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Resp. forzada: Excitación armónica : fuerza transmitida a la fundación DCL de la fundación k f(t)=f0 Sen( t) m kxp t  c f tr  cx p t   kxp t   c x p t  x(t) Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa p.e.e. Transmisibilidad ( f0 = f0( 2) ) Transmisibilidad ( f0 = cte.) 6 6 5 5 Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario f tr  cx p t   kxp t  f tr  f0 4 f tr f0 f tr  r2 2 men 1  2r  2 1  r   2r  2 2 2 2 2 1  r   2r  2 2 f tr 3 Men2  = 0.001  = 0.1  = 0.2  = 0.3  = 0.5  = 0.7  =1 2 1 1 0 0 E. Casanova, diciembre 2014 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Relación de frecuencias, r 2 4  = 0.001  = 0.1  = 0.2  = 0.3  = 0.5  = 0.7  =1 3 1  2r  4 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Relación de frecuencias, r 35 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Resp. forzada: Excitación periódica (i) f (t ) T  2  f (t ) periódica f (t ) Función continua: T 2 C f j   f t Cos j t  dt T 0  f 0C  C    f j Cos j t    f jS Sen j t  2 j 1 j 1 T 2 f   f t Sen j t  dt T 0 S j j  0,1, 2, Función discreta: 2 N  2 j ti  C f j   f i Cos  N i 1  T  j  0,1, 2, E. Casanova, diciembre 2014 Jean Baptiste Fourier (1768-1830) Frecuencia fundamental de excitación Serie de Fourier Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario t 2 N  2 j ti  f   f i Sen  N i 1  T  j 1, 2, S j j 1, 2, 36 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Resp. forzada: Excitación periódica (ii) Serie de Fourier f (t )   f 0C  C    f j Cos j t   f jS Sen j t  2 j 1 f Definiendo: * j j f C j f jS f (t ) Cos ( j )  f jS Sen( j )  f jC Multiplicando y dividiendo los términos de la suma por: f j* f j*  f   f  C 2 j S 2 j f j* f 0*  *    f j Sen j t   j  2 j 1 Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Amplitud f j*  f E. Casanova, diciembre 2014 2   f t Cos j t  dt T 0 1 S 2 j T C j  f jC  Fase  j  Tg  S   f j  f   f  C 2 j T 2 f   f t Sen j t  dt T 0 S j j  0,1, 2, j 1, 2, 37 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación periódica (iii) Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa f t   f1sen(1t )  f 2 sen(2t ) f j* 8 1  50Hz f2  5 2  60Hz j Espectro 6   300 Fase 200 180 6 5 160 4 140 4 2 120 0 3 100 80 -2 2 60 -4 40 1 -6 -8 0 f1  2 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 t f t   f1sen(1t )  f 2 sen(2t ) 0 f 8 6 0 50 100 150 200 250  20 0 0 50 100 150 200 250  50 100 150 200 250  50 100 150 200 250  j * j 6 300 5 250 4 200 3 150 2 100 1 50 4 2 0 Sistemas de N GDL -2 Bibliografía & formulario -6 -4 -8 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 t f t   e  t sen(1t ) 0 0 50 100 150 200 250  j f j* 3.5 0 0 100 0.03 80 3 0.025 60 2.5 40 0.02 2 20 1.5 0.015 1 0 -20 0.01 0.5 -40 0.005 0 -0.5 0 E. Casanova, diciembre 2014 -60 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 t 0 0 50 100 150 200 250  -80 0 38 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Resp. forzada: Excitación periódica (iv) f t   e nt A Cosd t   B Send t  f t   e  nt f1  2 1  50Hz f2  5 2  60Hz j Espectro t A Cosd t   B Send t   X Sen t      300 Fase  j -4 10 2 x 10 4.5 8 1.5 4 t 6 1 3.5 4 0.5 3 2 2.5 0 -2 2 -0.5 -4 1.5 -1 -6 1 -1.5 -8 0.5 -2 0 -10 0 500 f t   e 15  nt 1000 1500 2000 0 2500 0 50 100 150 200 A Cosd t   B Send t  X Sen t     2Rand 250 300 50 100 150 200 250 300 350 350 -4 4 2.5 x 10 2 3.5 10  0 1.5 3 5 1 2.5 0 -5 0.5 2 0 1.5 -0.5 -1 1 -1.5 -10 0.5 E. Casanova, diciembre 2014 -15 0 500 1000 1500 2000 2500 0 -2 0 50 100 150 200 250 300 350 -2.5 0 50 100 150 200 250 300 39 350 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Resp. forzada: Excitación periódica (v) k m c f (t ) f 0*  *    f j Sen j t   j  2 j 1 x(t) Armónicas de la frecuencia fundamental de excitación Ecuación de movimiento: *  f * f x  2 N x   N2 x  0   j Sen j t   j  2m j 1 m xt   xht   x p t  Solución propuesta: Sol. homogénea (transit.): xht   e nt A Cosd t   B Send t  Sol. particular (permanente): Superposición ! * f 0*  f j x p t     G( r j , ) Sen j t   j   j  2k j 1 k E. Casanova, diciembre 2014 40 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Resp. forzada: Excitación periódica (vi) * f 0*  f j x p t     G( r j , ) Sen j t   j   j  2k j 1 k G( r j , )   2 rj   2   1  rj  1 1  r   2 r  2 2 j 2 j  xp rj  j  j  tg 1  N Respuesta en el dominio de la frecuencia (espectro) 3 2 Sistemas de N GDL  Bibliografía & formulario t 0 t t Respuesta en dominio del tiempo E. Casanova, diciembre 2014 t 41 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación periódica (vii) Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa xt   xh t   x p t  C f  e  nt A Cos d t   B Sen d t   0  2k  f * j   G( r j , ) Sen  j t   j   j  j 1 k Dependen de las condiciones iniciales xt 0   x0 xt 0   v0 Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario * f 0*  f j A  x0    Gr j , Sen j   j  2k j 1 k  B  n d d v0  f j* j 1 k  E. Casanova, diciembre 2014 *   f 0*  f j   Gr j , Sen  j   j    x0  2k j 1 k   Gr j ,  j  Cos  j   j  42 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Resp. forzada: Excitación periódica (viii) k m c f (t ) T 2  f0 x(t) f (t ) Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario f (t ) f(t) es impar f 0*  *    f j Sen j t   j  2 j 1 f 0*  f 0  f0 f j*  j j  0 f (t ) t   f  f0     0  Sen j  t  2 j 1  j    f  f0 x p t      0 G( r j , ) Sen j t   j  2k j 1  jk  G( r j , )  E. Casanova, diciembre 2014 1 (1  rj2 ) 2  (2 rj ) 2 ; rj  j n  2 rj   ;  j  tg 1   (1  r 2 )  j   43 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Resp. forzada: Excitación periódica (ix) 2.5 Respuesta para varias relaciones de frecuencia ( = 0.1) F(t) r = 0.5 r =1 r =2 2 Respuesta permanente (  = 0.1 ), [m] Introducción 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 0.5 1 1.5 2 Tiempo, [s] 2.5 3 3.5 4 2.5 F(t ) Sistemas de N GDL Respuesta permanente, [m] Bibliografía & formulario  = 0.05  = 0.1  = 0.3  = 0.5 = 1 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 Respuesta para varios factores de amortiguación (r = 0.5) -1 -1.5 E. Casanova, diciembre 2014 0 0.5 1 1.5 2 Tiempo, [s] 2.5 3 3.5 4 44 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación periódica (x) 0.35 Sistemas de 1 GDL Espectro de la excitación 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 10 15 20 25 30 35 Armónicos de frecuencia 40 45 50 Coeficientes de la respuesta, [m] 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 Espectro de la respuesta (r = 0.5 ,  = 0.1) 0.1 0 E. Casanova, diciembre 2014 5 0.8 Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario 0.3 Coeficientes de la excitacion, [N] Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa 0 5 10 15 20 25 30 35 Armónicos de frecuencia 40 45 50 45 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación impulsiva (i) Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario k m Impulso de la fuerza f(t) f̂   f t  dt 0 c p.e.e. x(t) 0 t0 t Hipótesis: • Fuerzas impulsivas tienen una magnitud muy grande (infinita) y actúan durante un intervalo de tiempo muy pequeño (instantáneas) • La posición del sistema no cambia durante la aplicación de la fuerza impulsiva debido a que la misma es casi instantánea • Condiciones iniciales son: xt 0   x0 xt 0   v0 , • A partir del tiempo t0 el sistema responde libremente Ec. de movimiento: t0 Integrando: xt   2 n xt   n2 xt   t0 f (t ) t0 t0 2    x dt  2  x dt    t   n t   n xt dt   0 E. Casanova, diciembre 2014 t0 f (t ) 0 Se obtienen las siguientes cond. al tiempo t0: 0 xt0   x0 xt0   f̂  v0 m 0 m f (t ) m dt 46 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Resp. forzada: Excitación impulsiva (ii) La aplicación de un impulso se traduce en la imposición de condiciones iniciales a partir del tiempo t0 , por lo cual el sistema responde libremente. Luego, redefiniendo el tiempo t0 como el nuevo tiempo 0 tenemos : k m c p.e.e. x(t) xt0   x0   x0 xt0   x0   f̂  v0 m xt   e nt A Cosd t   B Send t  x0   x0 x0   f̂  v0 m xt   xt   2 n xt   n2 xt   0 Condiciones iniciales : Solución : Bibliografía & formulario E. Casanova, diciembre 2014 Ec. de movimiento : A  x0 B v   n x0 f̂  0 md d   v   n x0 f̂ e  nt Send t   e  nt  x0Cosd t   0 Send t  md d   47 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Resp. forzada: Excitación impulsiva (iii) Respuesta a partir del tiempo t0: xt   f̂ ht   e  n t Resp. debida al impulso   v0   n x0 Send t   x0Cosd t   d   Resp. debida a las condiciones iniciales Función respuesta impulsiva unitaria : (amortiguada) Función respuesta impulsiva unitaria : (no-amortiguada) Si las cond. iniciales son nulas, i.e.: xt 0  t  t0  xt 0   0 1  nt ht   e Send t  md 1 ht   Sennt  mn xt   f̂ ht  t 0 xt   f̂ ht   t  f (t ) Si la fuerza impulsiva se aplica en el tiempo  E. Casanova, diciembre 2014 (cond. inic. nulas) 0  t 48 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación general (i) Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario f (t ) k f(t) m c Impulso de 0 la fuerza x(t) p.e.e. Se puede considerar como una colección de impulsos xt    f   ht     La respuesta del sistema es la suma de las respuestas de los impulsos t + Resp. debida a las cond. iniciales Límite   0   v   n x0 xt    f  ht  d  e  nt  x0Cosd t   0 Send t  d   0 t Resp. debida a la excitación (Integral de Duhamel) Si las cond. iniciales son nulas, i.e.: xt 0  Resp. debida a condiciones iniciales  xt 0   0 t xt    f  ht  d 0 E. Casanova, diciembre 2014 49 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Resp. forzada: Excitación general (ii) Escalón infinito (cond. iniciales son nulas) f (t ) f t   f 0 t  0 f0 t 0   f0    n t  xt   1  e Cos (d t )  Sen(d t )  2   k  1     t 0 2  0 1.5 x(t)/(Fo/k) Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario xt   f0 1  Cos(nt ) k = 0  = 0.1  = 0.3  = 0.5 = 1 1 0.5 0 0 E. Casanova, diciembre 2014 2 4 6 8 Tiempo [s] 10 12 14 50 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Resp. forzada: Excitación general (iii) Escalón infinito desplazado (cond. iniciales son nulas)  0 0  t  t0 f t     f 0 t  t0 f (t ) f0 t t0 0   f0    n ( t t0 )  xt   1  e Cosd (t  t0 )   Send (t  t0 )  2   k  1     t  t0 2  0 Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario xt   f0 1  Cosn (t  t0 ) k = 0  = 0.1  = 0.3  = 0.5 = 1 1.5 x(t)/(Fo/k) Introducción 1 0.5 0 0 E. Casanova, diciembre 2014 2 4 6 8 Tiempo [s] 10 12 14 51 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Resp. forzada: Excitación general (iv) Rampa infinita (cond. iniciales son nulas) f (t ) f t   f0 xt   f0 t t 0 t0 t t0 0  f0  n  t  (2 2  1) Sen(d t )   2  nt  e n  2 Cos(d t )  k t0n  d   t 0 1  0 Bibliografía & formulario f xt   0 k t  1  Sen (  t ) n    t0 t0n  = 0  = 0.1  = 0.3  = 0.5 = 1 0.8 x(t)/(Fo/k) Introducción 0.6 0.4 0.2 0 0 E. Casanova, diciembre 2014 2 4 6 8 Tiempo [s] 10 12 14 52 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Resp. forzada: Excitación general (v) Escalón finito f0 t0 0 t xt     f0   1  e  nt  Cos (d t )  Sen(d t )    k  1  2    xt      f 0   n (t t0 )    e Cos(d (t  t0 )  Sen(d (t  t0 ))   e  nt  Cos(d t )  Sen(d t )      k  1  2 1  2      0  t  t0 t  t0 2 = 0  = 0.1  = 0.3  = 0.5 = 1 1.5 Sistemas de N GDL  0 1 x(t)/(Fo/k) Bibliografía & formulario xt   f0 1  Cos(nt ) k 0  t  t0 f xt   0 Cosn (t  t0 )   Cos(nt ) t  t0 k E. Casanova, diciembre 2014  f 0 0  t  t0 f t     0 t  t0 f (t ) (cond. iniciales son nulas) 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 3 6 9 12 Tiempo [s] 15 18 21 53 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Resp. forzada: Espectros de respuesta (i) Impulso sinusoidal (cond. iniciales son nulas)  f 0 sen( t ) 0  t  T f t    t T 0 f0 0   t T t T ~ t  n t xt    f  ht  d xt 0   xt 0     0 0 t 1 xt   mn f  0 k f  0 k  f 0 n Sen(t )   Sen(nt ) mn (n2   2 ) ~ 2T 2T 1 ~ Sen 2 T t  Sen ( t ) T T f n n f 0 Sen( ) Sen[n (t   )]d    Sen  t  Sen( t )       k   1   1 0 n  n  n  n n 0  f 0 Sen( ) Sen[n (t   )]d  f 0 Sen[n (T  t )]   Sen(nt ) mn (n2   2 ) 2T Sen 2T  ~ t  Sen(~ t)   Sen[ (T  t )]  Sen( t )  f    k   1   1 0 n  n n n  2 0t T 2T 2 Tn  T  Tn n 2 1 xt   mn E. Casanova, diciembre 2014 f (t ) 0 Tn Tn  t T 2T 2 Tn 54 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Resp. forzada: Espectros de respuesta (ii) f (t ) ~ ~     Sen  t   Sen( t )    1 ~ ~ x   Sen   t   Sen( t )    1 2T Tn x~t  f0 f0 0 T t 2T Tn 2T Tn 2T 2 Tn k ~ t f0 0t T T 2T Tn t T Tn 2T 2 Tn k Espectro de respuesta a un pulso sinusoidal 1.768 1.8 1.6 1.4   x~t   f0  k     max 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 E. Casanova, diciembre 2014 0 0.5 1 0.81 1.5 2 2.5 3 3.5 T Tn 55 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Espectros de respuesta (iii) Espectros de respuesta a choque (shock response spectra SRS) Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario f (t ) x~t  f0 f0 0 T t f (t ) f0 0 T t f (t ) f0 0  t k f0 k x~t  f0 f0 T  t T k     2T 2 1 Tn ~ ~ Sen 2 TTn  t  Sen(n t ) 2T Tn  0t T 2T Tn      1  t T 2T 2 Tn ~  t 1 ~ ~  1  Cos( t )   Sen( t ) 2 T Tn  2 T Tn    0t T  1 1 ~ ~ ~   Cost   Sen( t )  Sen t  2 2 T Tn  2 T Tn     1  T  2 k x~t  f0  Cos(~t )  2T Tn    k x~t  t  k x~t  f0 E. Casanova, diciembre 2014 x~t  f0 f (t ) 0  k f0 T Tn   Sen 1 ~t   Sen(~t ) 2T Tn x~t  T   ~  Cos t  2 k x~t  f0 0t T k x~t  f0  1  Cos (~ t ) Tn  T Tn  ~t  Sen(~t ) 1  T T  t T  0t T2  ~t  Sen(~t )  2Sen~t     T T Tn 2 t T n  1  T T  n  Sen(~t )  2Sen~t     Sen~t  2   T Tn T t T Tn 56 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Resp. forzada: Espectros de respuesta (iv) Espectros de respuesta a choque (shock response spectra SRS) f (t ) f0 0 f (t ) T t  x   f   0 k  max 4 3.5  2 f0 3 2.5 0 T t 2 f (t ) 2 f0 1.5 1 0.5 0 f (t ) T 2 f0 E. Casanova, diciembre 2014 0 T t 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 T Tn t 57 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada: Excitación sísmica (i) Espectros de respuesta a sismos (Earthquake response spectra) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario yt   xt   zt  m x(t) k yt   2 n y t   n2 yt   zt  yt   z(t) d   n Aceleración del suelo 1 n t  ( t  )   z e n Sen [n (t   )]d  0 1 n W(t ) W(t ) EL Centro Earthquake 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0 10 Desplazamiento espectral: E. Casanova, diciembre 2014 Coordenada relativa al suelo y0   y 0   0 c y (t) Ground acceleration (g) Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa 20 30 Time (sec) S d (T , )  ymax  1 n 40 Wmax 50 60 Wmax  m s  1 Pseudo-velocidad espectral: Sv (T , )  Wmax  n Sd (T , ) S d (T , )  Pseudo-aceleración espectral: Sa (T , )  n Wmax  n2 Sd (T , ) Sa (T , )  n Sv (T , ) n Sv (T , ) 58 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario E. Casanova, diciembre 2014 Resp. forzada: Excitación sísmica (ii) Espectros de respuesta a sismos (Earthquake response spectra) Espectro de respuesta de pseudovelocidad: gráfico de S v (T , ) vs. T (pseudovelocity response spectrum) Espectro promedio de respuesta de pseudovelocidad: (average pseudovelocity response spectrum) 59 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Excit. constante Excit. armónica Excit. periódica Excit. impulsiva Excit. genérica Espectros de resp. Excit. sísmica Intergración directa Resp. forzada: Excitación sísmica (iii) Espectros de respuesta a sismos (Earthquake response spectra) Espectro de diseño (design spectrum) Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Period (sec) E. Casanova, diciembre 2014 Con base en los espectros de diseño se puede calcular el desplazamiento máximo, la velocidad máxima y la aceleración máxima para cualquier sistema de un GDL 60 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Respuesta libre Respuesta forzada Intergración directa Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Resp. forzada: Integración directa f (t ) k f (t ) m c p.e.e. t 0 x(t) Ec. de movimiento: xt   2 n xt    xt   2 n Aprox. velocidad: x(t )  21t x(t t )  x(t t )  Aprox. aceleración: x(t )  1t 2 x(t  t )  2 x(t )  x(t t )  1 t 2 x ( t  t ) x(t  t )   1 t 2  2 x(t )  x(t t )   2 n  2 n  1 1 1 2 t m 1 2 t x ( t  t )  x0   x0 f (t ) x0   v0  x(t t )   n2 x(t )  m1 f (t )  f (t )  n2  2t 2 x(t )  x(  t )  x( 0)  t x( 0)  ( 2t ) x(0) 2 E. Casanova, diciembre 2014 1 m El método es condicionalmente estable: El paso de integración debe ser bastante menor que esta condición para tener precisión Cond. iniciales  1 t 2  2 n 1 2 t x  ( t  t ) x0   m1 f (0)  n2 x0   2 n x0  t  tcr  2 n Condición de CourantFriederichs-Levy 61 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario Un sistema discreto de N gdl está formado por: • Varias masas, donde se concentra toda la masa e inercia del sistema (energía cinética). Se puede tratar de N masas con 1 gdl cada una, ó 1 masa con N gdl, ó cualquier combinación de masas y gdl que resulte en N gdl. • Varios resortes, que vinculan las masas y donde se concentran todas las rigideces / flexibilidades del sistema (energía potencial elástica) • Varios amortiguadores viscosos lineales, donde se concentran todas las fuentes de disipación de energía del sistema. f1(t ) E. Casanova, diciembre 2014 f 2(t ) m1 m2 x1 x2 f j (t )  mj xj f N (t )  mN xN 62 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Ecuaciones de movimiento (i) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario Si el sistema es lineal, utilizando las Ecuaciones de Lagrange o haciendo los diferentes diagramas de cuerpo libre y aplicando la 1ra y 2da Ley de la Mecánica, se obtienen N ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas y de 2do orden, que describen el movimiento del sistema Definiendo el vector de coordenadas físicas como:  x1(t )    x t      x   N (t )  Las N ecuaciones se pueden escribir en forma matricial como: Mxt   Cx t   Kx t   ft  Con las condiciones iniciales: E. Casanova, diciembre 2014 x t  0   x 0 x t 0   v 0 63 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Ecuaciones de movimiento (ii) Sistemas de 1 GDL Mxt   Cx t   Kx t   ft  Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario Matriz de masa: Matriz de amortiguación: m1 0 M   0 c1  c2  c2  c c c 2 2 3 C     0  0 0  0  m2  0       0  mN  Matriz de rigidez: k1  k 2  k 2  k k k 2 2 3 K     0  0 E. Casanova, diciembre 2014  0  0      cN  Vector de fuerzas:  0  0       kN   f1  f    f t    2     f N  64 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Cálculo de M y K (viga simplemente apoyada) (i) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Integración directa Hipótesis: • Viga uniforme (densidad, sección, material) • Viga modelada como sistema de 3 GDL • Masas concentradas y método de los coef. de influencia Viga ( r, E, I, A, L) Sección de la viga h Bibliografía & formulario x1 x3 x2 b L A  bh b h3 I 12 M  r AL 1: Se divide la viga en 4 segmentos de igual longitud y masa m m m m m m r AL 4 L4 (typ) E. Casanova, diciembre 2014 L 65 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Cálculo de M y K (viga simplemente apoyada) (ii) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Integración directa 2: La mitad de la masa de cada segmento se coloca en los extremos del mismo (partículas) m 2 m m m m 2 m r AL 4 L Bibliografía & formulario 3: Las partículas de los extremos de las vigas se desprecian debido a que esos puntos están fijos a tierra (no acumulan energía cinética). Los segmentos son reemplazados por resortes. m x1 m x2 m  x1    x t    x2  x   3 M 1 0 4  0 r AL  0 1 0 0 0 1 x3 4: Se aplica el método de los coeficientes de influencia para determinar los valores de la matriz de rigidez. E. Casanova, diciembre 2014 66 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario Cálculo de M y K (viga simplemente apoyada) (iii) Método de coeficientes de influencia Ec. de movimiento (dinámica): Mxt   Cx t   Kx t   ft  Ec. de movimiento (estática): Kx s  f Solución: x s  K 1f  G f  x1   g11    x s   xi    g i1 x   g  N   N1 Si: g1 j g ij g Nj f f j  0  0 g1N   f1    g iN   f j   G f  g NN    fN  fj 0  0 Matriz de flexibilidad N xi   g ij f j i  1 N xi  gij f j i 1N j 1 T gij se calcula como la deflexión del punto i cuando se aplica una carga en el punto j: g ij  xi fj j  1 N j  1 N i 1N j  1 N La deflexión del punto i (xi) se mide experimentalmente, o se obtiene mediante expresiones teóricas P a x(z) z E. Casanova, diciembre 2014  b L x z   Pb z 2 L  b2  z 2 6E I L  P a ( z  L) 2 a  z 2  2L z 6E I L  0 z  a  a  z  L 67 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Cálculo de M y K (viga simplemente apoyada) (iv) Aplicación del método de coef. de influencia a la viga P 1 Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Integración directa L4 x1 g i1  x3 x2 xi f1 x1 9 L3 g11   1 768EI x2 11L3 g 21   1 768EI x3 7 L3 g 31   1 768EI xi f2 x2 16 L3 g 22   1 768EI x3 7 L3 g 32   1 768EI L P 1 Bibliografía & formulario x1 x2 L2 gi 2  x3 L g33  g11 Por simetría: E. Casanova, diciembre 2014 9 L3  G 11 768EI   7 11 16 11 7 11 9  g12  g 21 g13  g31  23 192 E I  K G   22 7 L3   9 1  22 32  22 g 23  g32 9  22 23  68 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario Respuesta Libre (no amortiguada) Ecuación de movimiento: Mxt   Kx t   0 Solución propuesta: xt   φei t Problema de autovalores en la forma generalizada: K   M φ  0 K   M φ  0 2 N autovalores reales positivos Frecuencias propias al cuadrado  j   2j j  1 N Φ  φ1 φ2  φ N  Matriz modal Cambio de variable (coord. físicas a coord. modales) xt   Φpt  N autovectores reales Modos propios Ecuación de movimiento en coord. modales: E. Casanova, diciembre 2014 (armónica)  m1   M  ΦT MΦ     masa modal  m N  t   Kpt   0 Mp 1   K  ΦT KΦ     rigidez modal   N  69 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario Naturaleza de los autovalores y autovectores K   M φ  0 2 Kφ   2Mφ Suponemos autovectores complejos: φ  a  bi K (a  bi)   2M(a  bi) Pre-multiplicando por el transpuesto conjugado del autovector: (a  bi)T K(a  bi)   2 (a  bi)T M(a  bi) (a  bi)T K (a  bi)   (a  bi)T M(a  bi) 2 Recordando que M y K son simétricas y definidas positivas aT Ka  bT Kb   T 0 a Ma  bT Mb 2 aT Ka  bT Kb  ibT Ka  iaT Kb   T a Ma  bT Mb  ibT Ma  iaT Mb 2 K  KT xT Kx  0 MM x Mx  0 T T x  0 0  12  22  32    N2 Los autovalores son reales positivos ! Los modos son reales ! E. Casanova, diciembre 2014 70 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Ortogonalidad de los modos Se escribe el problema para dos autovalores diferentes: Kφi  i2Mφi Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario i2   2j Kφ j   2j Mφ j Pre-multiplicando por el transpuesto del autovector correspondiente al otro autovalor: φTi Kφ j   2j φTi Mφ j φTj Kφi  i2φTj Mφi I Transponiendo la expresión II y recordando que K y M son simétricas φTj Kφi   2j φTj Mφi III Restando III de I :  2 i    φ Mφi  0 2 j T j φ Mφi  0  i  j Los autovectores son ortogonales respecto a M φ Kφi  0  i  j Los autovectores son ortogonales respecto a K T j De I : φ Kφi   φ Mφi  0 T j E. Casanova, diciembre 2014 II 2 i T j T j φTj Mφ j  m j Masa modal asociada al modo j φTj Kφ j   j Rigidez modal asociada al modo j 71 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario Normalización de los modos Si ~   φ también es un modo φ j es un modo Kφ j   2j Mφ j entonces φ j j ~   2Mφ ~ Kφ j j j Kφ j   2j Mφ j Normalización respecto a la componente máxima unitaria ~  φ j 1 φj max( φ (i ) j ) Kφ j   2j Mφ j Normalización respecto al módulo unitario ~  φ j 1 φ φj T j φj Normalización respecto a la matriz de masa ~  φ j 1 φ Mφ j T j φj ~ T Mφ ~ 1 mj  φ j j ~ T Kφ ~  2 j φ j j j ~ φ ~  φ ~  Φ  φ 1 2 N E. Casanova, diciembre 2014 1  M  ΦT MΦ      I  1 12    2 K  ΦT KΦ    Ω 2    N 72   Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Solución numérica del prob. de autovalores Kφ   2Mφ 0  12  22  32    N2 Métodos de resolución: • Métodos basados en la Ecuación Característica y el Determinante • Métodos iterativos • Método de Graffe • Secuencia de Sturm • Iteración inversa o directa • Iteración con traslación espectral (shift) • Métodos basados en transformaciones sucesivas (matriz diagonal (requieren una transformación inicial al problema estándar vía la transofmación de Choleski) [K  M]φ  0  M  LLT • Método de Jacobi • Método de Housholder  φ  LT ψ  [L1KLT  I]ψ  0 Bibliografía & formulario • Métodos por sub-espaciós Criterios de selección de un método E. Casanova, diciembre 2014 • Método de iteración por sub-espacios • Método de Lanczos • Dimensión del problema (número de gdl) • Número de autovalores a calcular y su posición en espectro frecuencial • Extracción de modos rígidos • Tasa de convergencia • Costo numérico 73 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Solución numérica del prob. de autovalores Modos propios de vibración Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Modo 1 (409Hz) Modo 4 (572Hz) Bibliografía & formulario Modo 9 (1217Hz) E. Casanova, diciembre 2014 Modo 11 (1241Hz) Modo 15 (1706Hz) 74 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario Respuesta Libre: amortiguación proporcional (i) C  M  K 1  C  ΦT CΦ  ΦT  M   K Φ   M   K       N   j  mj    j Definiendo: 1 j     2 j 2 m j j Coeficiente de amortiguación modal asociado al modo j j 2 j j      2j  j  2  j   0 j  0 j A partir de 2 medidas: E. Casanova, diciembre 2014  a , a   b , b   2( bb   aa ) 2ab ( ab   ba )   (b2  a2 ) (b2  a2 ) 75 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario Respuesta Libre: amortiguación proporcional (ii) 1  amortiguación C  ΦT CΦ     modal   N  C  M  K N  C    j M M 1 K  ( j 1) j 1 Ecuación de movimiento en coord. modales: t   Cp t   Kpt   0 Mp N ecuaciones de la forma: m j p j   j p j  jp j  0 j  Definiendo: j j  mj  j j t A Cos( j Aj  p j ( 0) Bj  E. Casanova, diciembre 2014 dj dj   j 1   j2 t )  B j Sen(djt ) p j (0) p j ( 0)   j j p j ( 0) dj 2 m j j p j  2 j j p j   2j p j  0 N ecuaciones de la forma: p j (t )  e j p j ( 0) j  1 N  j  1 N j  1 N Condiciones iniciales en las coordenadas modales 76 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Libre: amortiguación proporcional (iii) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario Condiciones iniciales en las coordenadas modales en función de las cond. iniciales en las coordenadas físicas Aj  p j ( 0)  Bj  Solución: N 1 mj p(0) j  1 mj φTj Mx (0) p (0)  M 1ΦT Mx (0) p (0) j  1 mj φTj Mx (0) φTj Mx (0) p j ( 0)   j j p j ( 0) dj N  j 1 x(t )   φ j e j 1  j j t j 1 1 mj x (t )  Φp (t )   φ j p j   φ j e N φTj M 1dj x ( 0)    j j t x ( 0)   j 1 2j A Cos t  B Sin t  j dj 1 T  1 x  T 1 φ Mx Cos (  t )  φ M  dj ( 0) j ( 0 ) dj j m m  j j   La solución es una combinación lineal de los modos E. Casanova, diciembre 2014 p(0)  M 1ΦT Mx (0) La solución decae en el tiempo j j 1 2 j dj  x ( 0) Sin (dj t )   La solución es armónica 77 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario Respuesta Libre: amortiguación general Ecuación de movimiento: Mxt   Cx t   Kx t   0 Solución propuesta: xt   φe t Problema de autovalores en la forma cuadrática: M   C  K φ  0 Problema de autovalores en la forma estándar:   M 1C  M 1K   φ 0    I       0    I   φ  0 2N autovalores complejos conjugados (parte real < 0)  j  a j  b j i 2N autovectores complejos conjugados φ j  φRj  φI j i Solución: N x(t )   φ j e j 1 E. Casanova, diciembre 2014 2 a j b j i t N  φ je j 1 2N constantes que dependen de las condiciones iniciales: a j t j  1 N A Cosb t  B Sinb t  j x t  0   x 0 x t 0   v 0 j j j La solución decae en el tiempo ! 78 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Libre: Péndulo compuesto (i) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario E. Casanova, diciembre 2014 k a L Fuerzas generalizadas: Q1  Q 2  0 c m 1 Energía cinética: 1 1 T  mL212  mL222 2 2 m 2 1 Energía potencial: U  mgLCos1   mgLCos 2   ka2 Sen( 2 )  Sen(1 ) 2 2 2 1 Energía de disipación: D  ca 2 2Cos( 2 )  1Cos(1 )  2   T  T U D Q j        t   j   j  j  j     1 mL21  ca 2 2Cos ( 2 )  1Cos (1 ) Cos (1 )  2 mL22  ca 2 2Cos ( 2 )  1Cos (1 ) Cos ( 2 )   mgLSen(1 )  ka2 Sen( 2 )  Sen(1 ) Cos (1 )  0  mgLSen( 2 )  ka2 Sen( 2 )  Sen(1 ) Cos ( 2 )  0 79 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Libre: Péndulo compuesto (ii) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa k a L Suponiendo pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio: c m m 1 1  0 Cos(1 )  1 Sen(1 )  1 2  0 Cos( 2 )  1 Sen( 2 )   2 2   mL   ca      mgL mL21  ca 2 2  1  mgL1  ka2  2  1   0 1 2 2 2 2 2 1 2  ka2  2  1   0 Bibliografía & formulario Ecuación de movimiento linealizada: mL2   0 0  1   ca 2     mL2  2   ca 2 M E. Casanova, diciembre 2014 x(t )  1  0      mgL  ka2   2  0  ca 2  1  mgL  ka2     ca 2  2    ka2 C x (t )  ka2 K x (t ) f (t ) 80 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Libre: Péndulo compuesto (iii) Sistemas de 1 GDL Problema no amortiguado: Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Mxt   Kx t   0 k a L c 1  Frecuencias propias y modos: m m K   M φ  0 2 2    mgL  ka2   2 mL2 det   ka2   det K   M  0 2 mgL  ka   mL   ka  0   2  2 2 2 2 2 2 Bibliografía & formulario   Polinomio característico en 2:    m2 L42  2mL2 mgL  ka2   mgL  ka2  k 2 a 4  0 mgL  ka2  ka2    mL2 1  g L 2  g 2ka2  L mL2 2 E. Casanova, diciembre 2014  0 mgL  ka2   2 mL2   ka2 2 Frecuencias propias 81 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Libre: Péndulo compuesto (iv) Sistemas de 1 GDL Cálculo de modos: Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario K   M φ k a L 2 j c 1 2 j 2   1 j  0      mgL  ka2   2j mL2   2 j  0   ka2  mgL  ka   mL   2 2 j ka2 2 1j Arbitrariamente escogemos: 1 j  1 j 1 j2 Matriz modal: E. Casanova, diciembre 2014  0  mgL  ka2   2j mL2   ka2  m m j 12  g L g 2ka2    L mL2 2 2 21  1   1 φ1   11      21  1 2 j  1    1  φ 2   12      22   1 1 1    φ1 φ 2     1  1 82 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Libre: Péndulo compuesto (v) Sistemas de 1 GDL Cálculo de matrices modales: Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario k a L mL2 M  0 c m m 1 2 0   mL2  mgL  ka2 K 2   ka 2mL2 0  M  Φ MΦ   2  0 2mL  T  ca 2 C 2  ca   mgL  ka2   ka2  ca 2   ca 2  1 1    1  1 0 0  C  ΦT CΦ   2 0 4ca  0 2mgL  K  ΦT KΦ   2   0 2(mgL  2ka ) t   Cp t   Kpt   0 Mp p1  2 11 p1  12 p1  0 p2  2 22 p1   p1  0 2 2 E. Casanova, diciembre 2014 1  g L 2  g 2ka2  L mL2 1  0 2   ac 2 mL2 mgL  2ka2  83 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Libre: Péndulo compuesto (vi) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario k a L 1  c 1 N x(t )   φ j e  j j t j 1  x (t )   φ j  1 m1 ac 2 d 1  1  1 T  1 T 1  m j φ j Mx ( 0)Cos(dj t )  m j φ j M dj x ( 0)   d 2  2 1   22 j 1 1( 0)  0 1( 0)   0   x ( 0)    , x      ( 0)    0   2( 0)  0  2( 0)    Cálculo de la respuesta para: N 1 1    1  1 g 2ka2  L mL2 mL2 mgL  2ka2 2 j 1  1 mj φ Mx ( 0)Cos ( j t ) T j  Mx ( 0) 2 j  x ( 0) Sin (dj t )   c  0  2  0 mL2 0   0  1 2   mL       0 2 0  0 mL   0  φ1φ1T Mx ( 0 )Cos (1 t )  m12 φ 2φT2 Mx ( 0)Cos (2 t ) 1 1 1 mL2 0  1  1 1 Cos (  t )  1  1     Cos (2 t ) 1 2 mL2   2 mL2  1 0  1      0 1 1  20  Cos (1 t )  20  Cos (2 t ) 1  1  E. Casanova, diciembre 2014 2  1  0  2  m m g L mL2 0 84 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Libre: Péndulo compuesto (vii) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa 1  k a L m m 1 x ( 0) 2 g L 2  g 2ka2  L mL2  1( 0)   0  1( 0)   0    , x      ( 0)    0   2 ( 0 )      2( 0)   0 1(t )  0 1 0  1  x (t )    Cos (  t )   2 Cos(2 t ) 1 2   1  1  2(t )  1(t )  2 Cos1t   Cos2t  0 (2  1 ) t 2 (  1 )  2 t 2 Bibliografía & formulario 0 Cos(1 )  Cos(1 )  Cos(   )  Definiendo:  2(t )  2 Cos1t   Cos2t  Cos(2 )  Cos(   ) Cos(   )  Cos( ) Cos( )  Sen( ) Sen( ) 1(t )  2 Cos 0 E. Casanova, diciembre 2014  2 1 2   t Cos 2 1 2 t   2(t )  2 Sin 0  2 1 2   t Sin 2 1 2 t  85 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Libre: Péndulo compuesto (viii) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL a L E. Casanova, diciembre 2014 m m 1 Si: k  0  2   Sin  1(t )  2 Cos 2 1  2(t )  2 2 1 0 2 2 2 0 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 150 Tiempo 200 250 300 2 0 -0.2 100 2 1 t 0 0.8 50 2  2(t )  2 Sin2 t  Sin1  2 t  1 0  t 2 1  2  1     2   2   2  1     1  2  2  1 0   t Sin  t Cos g 2ka2   1   2 L mL 1(t )  2 Cos2 t Cos1  2 t  -1 g 2ka2  L mL2 2  0 1(t) Bibliografía & formulario k 2(t) Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa 1  g L -1 0 50 100 150 Tiempo 200 250 300 86 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Libre: Viga simplemente apoyada (i) Viga ( r, E, I, A, L) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario h x1 x3 x2 k1 k2 m c1 k2 m x1  x1    x t    x2  x   3 k1 m c2 c2 x2 c1 x3 Frecuencias propias (sin amortiguación): 1  9.86659     EI 2   39.1918 4   83.2128 r AL  3   Modos propios: φ2 b h3 I 12 b L φ1 M M  r AL 1 0 0 0 1 0  4 0 0 1 r AL   23  22 9  192 E I  K  22 32  22 3  7L  9  22 23  2 1ex      9.8696     2 EI   EI  39.4784 2ex   4  4 4   9 2  r AL 83.8264 r AL  3ex      φ3   φ1 φ 2 E. Casanova, diciembre 2014 A  bh  1 φ 3    2  1 1 1 0 2  1  1  87 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Libre: Viga simplemente apoyada (ii) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario M  Φ MΦ  T Datos: 2 0 0 0 1 0  2 0 0 2  97.35 EI  K  Φ KΦ  3  0 L  0 r AL  2 0 0 M  390 0 1 0kg 0 0 2 L  10 m b  h  0.1m M  780kg  1   2   3  3% 0 0 0.016  K  10  0 0.128 0 N m   0 0 1.15 7 A  0.01m2 0.68 C  10  0  0 3 0 1.34 0 0 0 N s m  5.69 1  14.42 r s 2  57.29 r s 3  121.63 r s d1  14.41 r s d 2  57.26 r s d 3  121.58 r s 1  2.29Hz 2  9.09Hz 3  19.32Hz d1  2.29Hz d 2  9.09Hz d 3  19.31Hz N x(t )   φ j e  j j t A Cos t  B Sin t  j j 1 Aj  p j ( 0)  Bj  E. Casanova, diciembre 2014 0 0 0 E  200 GPa r  7800 kg m3 I  8.3 106 m4    6924.4 0 768 T 1 mj j dj φTj Mx (0) p j ( 0)   j j p j ( 0) dj dj  1 mj φTj M 1dj x ( 0)   j 1 2j x ( 0)   88 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre No amortiguada Amort. proporcional Amort. general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Respuesta forzada Integración directa Bibliografía & formulario Respuesta Libre: Viga simplemente apoyada (iii) Cond. iniciales T x (0)  0 2 0 x ( 0)  0 x2 1 A1  B1  0.015 1 2 0.5 A2  0 B2  0 A3  B3  0.015 1 2 1 2 3 4 5 t 1 2 3 4 5 -0.5 Cond. Iniciales (similar a modo 1) x (0)  1 2 1 1 T 2 x ( 0)  0 x2 A1  0.6 B1  0 A2  0.1 B2  0.02 A3  0 E. Casanova, diciembre 2014 B3  0.003 1 0.75 0.5 0.25 -0.25 -0.5 -0.75 t 89 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada armónica: amortiguación proporcional (i) Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Ecuación de movimiento: Mxt   Cx t   Kx t   fO Sen( t ) xt   x ht   x p t  Solución propuesta: Solución homogénea (transitoria): N x h (t )   φ j e  j t j 1 A Cos t  B Sin t  j dj Ecuación de movimiento en coord. modales: M  ΦT MΦ j dj x p t   Φp p t  Solución particular (permanente): Bibliografía & formulario t   Cp t   Kpt   f0 Sen( t ) Mp K  ΦT KΦ N ecuaciones de la forma: p j  2 j j p j   2j p j  E. Casanova, diciembre 2014 Frecuencia de excitación f j* mj C  ΦT CΦ f0  ΦT f0 excitación modal Sen( t ) j  1 N 90 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario Resp. forzada armónica: amortiguación proporcional (ii) Solución: Superposición modal N N f j* j 1 j 1 j x p (t )  Φp p (t )   φ j p j   φ j G( r j , j )  1 1  r   2 r  2 2 j 2 j j Gr j , j Sin  t   j   2 j rj   2   1  rj   j  tg 1  rj   j La amplitud de la solución para cada gdl se puede obtener : N f j* j 1 j x p (t )   φ j Gr j , j Sin ( t   j )  f j*    φ j Gr j , j  Sin ( t )Cos ( j )  Cos ( t ) Sin ( j )  j 1    j N x p (t ) E. Casanova, diciembre 2014 91 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario Resp. forzada armónica: amortiguación proporcional (iii) Definiendo: N f j* j 1 j ac   φ j N f j* j 1 j Gr j , j Cos ( j ) ; a s   φ j Gr j , j Sin ( j ) x p (t )  ac Sin( t )  a sCos( t ) x   p (t ) i i  tg 1 (ac )i2  (a s )i2 Sin( t i ) Amplitud del gdl i: x  x  p (t ) i   ( a s )i ( a c )i  (ac )i2  (a s )i2 12        10 p (t ) i 8 p2 p1 G( r , ) 6 4 p3  0.01  0.05  0 .1  0 .2  0 .3  0 .7  1 .0 2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 r 1 E. Casanova, diciembre 2014 Frecuencias propias 2 3  92 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada armónica: amortiguación general (i) Desfasaje entre las fuerzas Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario Ecuación de movimiento: Mxt   Cx t   Kx t   fOe xt   x ht   x p t  Solución propuesta: i (  t  j ) Frecuencia de excitación Solución homogénea (transitoria): N x h (t )   φ j e a j t A Cosb t  B Sinb t  j j 1 Solución particular (permanente): Sistema de N ecuaciones con N incógnitas en variable compleja: x p t   ψe j  j i t  j    M  iC  K ψe 2 j i j  fO e i j Solución álgebra real 1 ψ R  K   M  C  fOR       2 ψ K   M  fOI   I   C 2 E. Casanova, diciembre 2014 fOR  fOCos ( j )    fOI  fO Sen( j )  93 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Resp. forzada armónica: Troncatura modal Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario Mxt   Cx t   Kx t   fOei t Ecuación de movimiento: N N f j* j 1 j 1 j x p (t )   φ j p j   φ j Solución:  2 j rj   2  1  r j   1 G( r j , j )   j  tg 1  1  r   2 r  2 2 j G( r j , j ) Sin  t   j  2 j j rj   j Para los modos de alta frecuencia (i.e. j >> ) se cumple que: rj   j 0  jN f j* j G( r j , j ) jN  f j* j 1 1  r   2 r  2 2 j  2 j j f j* j 0 jN Solución aproximada: xp x p (t )  E. Casanova, diciembre 2014 m N φ j 1 j pj  m N φ j 1 f j* j j j G( r j , j ) Sin  t   j  1 2 3  94 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Viga simplemente apoyada (i) Introducción f t   f 0 Sin( t ) Sistemas de 1 GDL Viga ( r, E, I, A, L) Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario h x1 x3 x2  x1    x t    x2  x   3 f t   f 0 Sin( t ) k1 k2 m c1 k2 m k1 m c2 c2 b h3 I 12 b L c1 M x1 x2 x3 Frecuencias propias (sin amortiguación): A  bh M  r AL  23  22 9  192 E I   K  22 32  22 3  7L   9  22 23  1 0 0 0 1 0  4 0 0 1 r AL  0   f t    0 Sin  t  f   0 1   9.8659      EI 2   39.1918 4   83.2128 r AL  3   Modos propios: φ2 φ3 Φ  φ1 φ 2 E. Casanova, diciembre 2014 φ1  1 φ3    2  1 1 1 0 2  1  1  95 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Viga simplemente apoyada (ii) Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario E  200 GPa r  7800 kg m3 Datos: I  8.3 106 m4 0.68 2 0 0 M  390 0 1 0kg C  103  0  0 0 0 2 0 1.34 0 0 0 0 0.016 0 N s m  K  107  0 0.128 0 N m   0 5.69 0 1.15 1   f  10 1 Sin  t N   1   Respuesta permanente: N N f j* j 1 j 1 j x p (t )  Φp p (t )   φ j p j   φ j G( r j , j )  f1*  j  tg 1  1  r   2 r  2 2 j 2 j j 2  57.29 r s 5 1  6.25 10 m f 2* G( r j , j ) Sin  t   j   2 j rj   2  1  r j   1 1  14.42 r s E. Casanova, diciembre 2014 L  10 m b  h  0.1m A  0.01m2 f 0  10 N M  780kg  1   2   3  3% 3  121.63 r s 5  2  0.78110 m f 3* rj   j  1   2   3  3% 5  3  0.087 10 m 96 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Respuesta Forzada: Viga simplemente apoyada (iii) Coordenadas modales 10 Sistemas de 1 GDL 9 Bibliografía & formulario 8 1( )  ( ) 2 3( ) 150 i 100 i 7 Angulo de desfasaje,  Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Amplitud de la respuesta, log| p | Sistemas de N GDL 200 p1( ) p2( ) p3( ) 6 5 4 3 50 0 -50 -100 2 -150 1 0 0 20 40 60 80 100 120 140 Frecuencia de excitación,  160 180 -200 200 Coordenadas físicas 10 20 40 60 80 100 120 Frecuencia de excitación,  140 160 180 200 x 1( ) x 2( ) x 3( ) 9 8  1( )  ( ) 2  3( ) 150 100 i Amplitud de la respuesta, log| x | 0 Angulo de desfasaje,  i 7 6 5 4 3 50 0 -50 -100 2 -150 1 0 E. Casanova, diciembre 2014 0 20 40 60 80 100 120 Frecuencia de excitación,  140 160 180 -200 0 20 40 60 80 100 120 Frecuencia de excitación,  140 160 180 97 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Coordenadas físicas -3 Sistemas de N GDL Escala lineal x 2( ) i x 3( ) 1 0.5 10 x 1( ) x 2( ) x 3( ) 9 0 Bibliografía & formulario x 10 x 1( ) Amplitud de la respuesta, | x | Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa 1.5 0 20 40 60 80 100 120 140 Frecuencia de excitación,  160 180 200 8 i Sistemas de 1 GDL Respuesta Forzada: Viga simplemente apoyada (vi) Amplitud de la respuesta, log| x | Introducción 7 6 5 4 3 2 Escala logarítmica E. Casanova, diciembre 2014 1 0 0 20 40 60 80 100 120 Frecuencia de excitación,  140 160 180 98 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Viga simplemente apoyada (iv) Introducción 10 9 Sistemas de N GDL 8 Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa x 1( ) x 2( ) x 3( ) i Amplitud de la respuesta, log| x | Sistemas de 1 GDL Coordenadas físicas: 7 6 5 4 3 2 1 0 0 20 40 60 80 100 120 Frecuencia de excitación,  140 160 180 10 x T1( ) x T2( ) x T3( ) 9 8 i Amplitud de la respuesta, log| xt | Bibliografía & formulario Coordenadas físicas: troncatura modal (2 modos) 7 6 5 4 3 2 1 0 E. Casanova, diciembre 2014 0 20 40 60 80 100 120 Frecuencia de excitación,  140 160 180 99 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación periódica (i) Introducción f j (t ) Sistemas de 1 GDL f1(t ) Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario f 2(t ) m f1(t ) f 2(t ) f 3( t ) m m T  2 x1 x2 x3 f (t ) periódica  f (t )  f 0*  *    f k Senk t  θ k  2 k 1 T 2 f   f t Cosk t  dt T 0 t Frecuencia fundamental de excitación Serie de Fourier C k f 3( t ) T k  0,1, 2, 2 f   ft Senk t  dt T 0 S k k 1, 2, Ecuación de movimiento: Mx(t )  Cx (t )  Kx (t ) E. Casanova, diciembre 2014 f 0*k  *    f k Senk t  θ k  2 k 1 100 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación periódica (ii) Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario • Amortiguación de Rayleigh Hipótesis: • Interés en la respuesta permanente x(t )  Φp(t ) • Superposición modal Ec. de mov. en espacio modal:  (t )  Cp (t )  Kp (t ) Mp  f 0C  S   Φ    f k Senk t  θ k   2 k 1  T  f 0*  *  m j p j   j p j   j p j  φ    f k Senk t  θ k   2 k 1  T j Definiendo: j  j j  mj j 2 m j j  f 0*  *  p j  2 j j p j   p j  m j φ    f k Senk t  θ k   2 k 1  2 j 1 T j Solución para la coord. modal j: p j (t ) E. Casanova, diciembre 2014 j  1 N   f 0k  f k* φ    G( rk , j , j ) Senk t  θ k   k , j  2   j k 1  j  j  1 N T j 101 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación periódica (iii) Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Solución en coord. modales:   f 0*k  f k* p j (t )  φ    G( rk , j , j ) Senk t  θ k   k , j  2   j k 1  j  1   1  2 j rk , j  G( rk , j , j )    tg 2 k, j 2  1 r 2  1  rk2, j  2 j rk , j  k, j   T j   Solución en coord. físicas: x ( t )  Φp (t )  rk , j  k j N φ j 1 j p j (t )   f 0*k  f k*   φ jφ    G( rk , j , j ) Senk t  θ k   k , j  2  j 1  j k 1  j  N Bibliografía & formulario x(t ) T j Sol. aproximada: Troncatura serie Fourier (q términos) Troncatura modal (m términos, m<<N) m  q q  f 0*k  f k* x(t )   φ j φ    G( rk , j , j ) Senk t  θ k   k , j  2  j 1  j k 1  j  * * q m N m N T f0k T fk x(t )   φ j φ j    φ jφ j G( rk , j , j ) Senk t  θ k   k , j  2 j k 1 j 1 j j 1 m N T j E. Casanova, diciembre 2014 102 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación periódica (iv) Introducción Sistemas de 1 GDL Viga ( r, E, I, A, L) f t  f (t ) Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa x1 x3 x2  f0 L f t  k1 k2 m c1 k2 m c2 xt   x1 x2 x3 M  23  22 9  192 E I  K  22 32  22 3  7L  9  22 23  f (t ) m x2 T t k1 c2 x1 Bibliografía & formulario E. Casanova, diciembre 2014 T  2 c1 f (t )  f0 2    k0 Senk  t  f k 1 x3 1 0 0 0 1 0  4 0 0 1 r AL  0      f 0 0 12   k1 Senk  t   1 k 1   1   9.8659      EI 2   39.1918 4   83.2128 r AL  3   Φ  φ1 φ 2  1 φ3    2  1 1 1 0 2  1  1  103 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación periódica (v) Introducción E  200 GPa r  7800 kg m3 Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Datos: L  10 m b  h  0.1m A  0.01m2 f 0  1N T  1.5s M  780kg  1   2   3  3% I  8.3 106 m4 2 0 0 M  390 0 1 0kg 0 0 2 0.68 C  10  0  0 3 1  14.42 r s 0 1.34 0 0 0 N s m  5.69 2  57.29 r s 3  121.63 r s 1      f 0  1  12   k1 Sen k  t N    1 k 1   f (t ) Bibliografía & formulario 0 0 0.016  K  10  0 0.128 0 N m   0 0 1.15 7 f (t )   4.188 r s  1 50 1   f 0  2   k Senk  t   k 1  Espectro de la excitación 1.2 0.35 Excitación 0.6 (t) F , [N] 0.8 0.4 0.2 0 -0.2 E. Casanova, diciembre 2014 Espectro excitación 0.3 Coeficientes de la excitacion, [N] 1 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.5 1 1.5 2 Tiempo, [s] 2.5 3 3.5 4 0 0 5 10 15 Armónicos de frecuencia 20 25 104 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación periódica (vi) Introducción Sistemas de 1 GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario x (t )   φ j p j (t ) 1 G( rk , j , j )  1  r   2 2 k, j 2 r 0   T   f0  1  φ j 0  2   k1 G( rk , j , j ) Sen k t   k , j   1  j  k 1    2 j rk , j   2  1  r k, j    k , j  tg 1   2 j k, j rk , j  k j 0   T   f0  1 1     φ j φ j 0  G Sen k  t    ( r ,  ) k , j 2 k    k,j j j 1  1  j  k 1   3 x(t ) -4 2.5 x 10 p1(t) p2(t) p3(t) Coord. modales 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 E. Casanova, diciembre 2014 p j (t ) j 1 Respuesta permanente en coord. modales, [m] Sistemas de N GDL 3 0 0.5 1 1.5 2 Tiempo, [s] 2.5 3 3.5 4 105 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación periódica (vii) Introducción Sistemas de 1 GDL -6 12 x 10 Coord. físicas Sistemas de N GDL x 1(t) x 2(t) x 3(t) 10 6 4 2 0 -2 Bibliografía & formulario 0 0.5 1 1.5 2 Tiempo, [s] 2.5 3 3.5 0 5 10 15 Armónicos de frecuencia 20 25 4 Espectro x2 , [m] 2.5 2 1.5 1 0.5 Espectro x3 3.5 3(t) 3 Coeficientes de la respuesta x , [m] 1 -6 3.5 2(t) 1.5 x 10 4 Coeficientes de la respuesta x 2 4 -6 E. Casanova, diciembre 2014 2.5 0 x 10 0 3 0.5 -4 -6 Espectro x1 3.5 1(t) , [m] 8 Coeficientes de la respuesta x Respuesta permanente coord. físicas, [m] Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa -6 x 10 4 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 5 10 15 Armónicos de frecuencia 20 25 0 0 5 10 15 Armónicos de frecuencia 20 25 106 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación general (i) Introducción Sistemas de 1 GDL f1(t ) f 2(t ) Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario m x1 m x2 f 2(t ) f j (t ) f 3( t ) m t x3 Mx(t )  Cx (t )  Kx (t )  f(t ) Ecuación de movimiento: Hipótesis: f1(t ) f 3( t ) • Amortiguación de Rayleigh • Superposición modal x(t )  Φp(t ) (t )  Cp (t )  Kp(t )  Φ f(t ) Ec. de mov. en espacio modal: Mp T E. Casanova, diciembre 2014 m j p j   j p j   j p j  φTj f(t ) j  1 N p j  2 j j p j   2j p j  j  1 N 1 mj φTj f(t ) j  j mj j  j 2 m j j 107 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación general (ii) Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario p j  2 j j p j   2j p j  1 mj φTj f(t ) Solución para la coord. modal j: t p j t    φTj f h j t  d  e  j  j t 0 h j t   1 m jdj e dj   j 1   j2  j j t   p j ( 0)   j j p j ( 0)     p Cos  t  Sen  t  j (0) dj dj   dj   Sendjt  p j ( 0)  Resp. impulsiva unitaria asociada a la coord. modal j 1 mj p j ( 0)  φTj Mx (0) 1 mj φTj Mx (0) N Solución en coord. físicas: x (t )  Φp (t )   φ j p j (t ) j 1 t N x (t )   φ j φ j 1 φ e E. Casanova, diciembre 2014  f h j t  d  Resp. debida a la excitación (Integral de Duhamel) 0 N j 1 T j j  j  j t 1 T  1 x  T 1 φ Mx Cos (  t )  φ M  dj ( 0) j ( 0 ) dj j m m  j j   Resp. debida a condiciones iniciales j 1 2 j  x ( 0)  Sen(djt )   108 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación general (iii) Introducción Sistemas de 1 GDL Viga ( r, E, I, A, L) f t  f (t ) Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa x1 x3 x2 L 0 f t  k1 k2 m c1 xt   x1 k2 m c2 x1 Bibliografía & formulario x2 f(t ) 0    0 f (t ) 1   k1 m c2 x2 x3 T M  23  22 9  192 E I  K  22 32  22 3  7L  9  22 23  E. Casanova, diciembre 2014 f0 t0 t  f 0  t  t0 f t    0  0 t  t0 c1 x3 1 0 0 0 1 0  4 0 0 1 r AL  1   9.8659      EI 2   39.1918 4   83.2128 r AL  3   Φ  φ1 φ 2  1 φ3    2  1 1 1 0 2  1  1  x0   x 0   0 109 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación general (iv) Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario E  200 GPa r  7800 kg m3 Datos: I  8.3 106 m4 2 0 0 M  390 0 1 0kg 0 0 2 L  10 m b  h  0.1m A  0.01m2 M  780kg  1   2   3  3% f 0  100 N t0  7 s 0.68 C  103  0  0 0 1.34 0 0 0 N s m  5.69 0 0 0.016 K  107  0 0.128 0 N m   0 0 1.15 1  14.42 r s 2  57.29 r s 3  121.63 r s d1  14.41 r s d 2  57.26 r s d 3  121.58 r s N x (t )  Φp (t )   φ j p j (t ) j 1 0 t   p j t    φTj f  h j t  d  φTj 0 f  h j t  d 0 1 0   t x0   x 0   0 ht   1 m jdj e  j j t Sendjt  0 t     φ j φTj  f  h j t  d   φ j φTj 0 f  h j t  d j 1 j 1 0 1 0   110 3 x0   x 0   0 E. Casanova, diciembre 2014 x(t ) dj   j 1   j2 t 3 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación general (v) Introducción Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario 0   p j t   φ 0 f 0j 1     j j t   Cos (djt )  1  e   0   p j t   φ 0 f 0j 1     j j (t t0 )   Cos[dj (t  t0 )]  e   T j T j j 1 2j  Sen(djt )   j 1 2j 0  t  t0   t Sen[dj (t  t0 )]   e j j  Cos (djt )    j 1 2j  Sen(djt )   t  t0 0.035 p1(t) p2(t) p3(t) Coord. modales 0.03 (t) Sistemas de N GDL Respuesta en coord. modales p Sistemas de 1 GDL 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 0 3 6 9 12 15 18 21 Tiempo [s] E. Casanova, diciembre 2014 111 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación general (vi) Introducción Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Bibliografía & formulario 0   x t    φ j φ 0 f 0j j 1 1     j  j t   Cos (djt )  1  e   0   x t    φ j φTj 0 f 0j j 1 1     j j (t t0 )   Cos[dj (t  t0 )]  e   3 T j 3 j 1 2 j  Sen(djt )   0  t  t0 j 1 2 j   t Sen[dj (t  t0 )]   e j j  Cos(djt )    j 1 2 j  Sen(djt )   t  t0 2 x 10 -3 x 1(t) x 2(t) x 3(t) Coord. físicas 1.5 (t) Sistemas de N GDL Respuesta en coord. físicas x Sistemas de 1 GDL 1 0.5 0 -0.5 -1 0 3 6 9 12 15 18 21 Tiempo [s] E. Casanova, diciembre 2014 112 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación sísmica (i) Introducción x3(t ) Bibliografía & formulario c2 m1 x1(t ) k2 y1(t ) k1 c1 z(t ) Hipótesis: My(t )  Cy (t )  Ky (t )  M 1 z(t ) T Aceleración del suelo EL Centro Earthquake 0.4 18 Mayo 1940, El Centro, California, USA 0.2 0 -0.2 -0.4 0 10 20 30 Time (sec) 40 50 60 • Amortiguación de Rayleigh • Superposición modal • Condiciones iniciales nulas Ec. de mov. en espacio modal: E. Casanova, diciembre 2014 1 1 1 1 Coordenadas relativas al suelo y2 ( t ) m2 x2 ( t ) y ( t )  x ( t )  1 z( t ) y3 ( t ) k3 c3 Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa m3 Ground acceleration (g) Sistemas de 1 GDL y (t )  Φp(t ) y 0   y 0   0 (t )  Cp (t )  Kp(t )  ΦT M 1 z(t ) Mp m j p j   j p j   j p j  φTj M 1 z(t ) j  1 N p j  2 j j p j   2j p j   m1j φTj M 1 z(t ) j  1 N p j 0   p j 0   0 j  j mj j  j 2 m j j 113 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación sísmica (ii) Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa p j  2 j j p j   2j p j   m1j φTj M 1 z(t ) p j 0   p j 0   0 j  1 N Solución para la coord. modal j: p j t   1 t m jdj T  φ j M 1 z( )e  j j ( t  ) Sen [dj (t   )]d 0 dj   j p j t   1 m j j t φ M 1  z( ) e T j  j j ( t  ) Sen [ j (t   )]d  0 1 m j j φTj M 1W j (t ) W j (t ) Bibliografía & formulario Sv (T j , j )  W j max S d (T j , j )  Sa (T j , j ) 1 Sv (T j , j ) j   j Sv (T , j j) N N 1 j 1 j 1 m j j x (t )  Φp (t )   φ j p j (t )   E. Casanova, diciembre 2014 φ j φTj M 1W j (t ) 114 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Excitación sísmica (iii) Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Excit. armónica Excit. periódica Excit. genérica Excit. sísmica Integración directa Problema: cómo calcular la respuesta máxima para el i-ésimo GDL del sistema debido a un sismo de espectro Sv (T j , j ) ? El valor máximo del i-ésimo GDL debido al modo j se puede obtener mediante: max t xi (t )  Sin embargo, cada modo j alcanza su máximo en un tiempo t diferente por lo que el valor máximo del GDL i no es igual a la suma de los máximos para cada modo: j Bibliografía & formulario m j j ij φTj M 1 Sv (T , j j) N max xi (t )   max xi (t ) t Existen varias aproximaciones que permiten estimar respuesta máxima del i-ésimo GDL del sistema: 1 t j 1 j • Square root of sum of squares (SRSS) • Complete quadratic combination (CQC) • Naval research laboratory sum (NRLS) • Double sum (DSUM) La aproximación más usada es las raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS) max xi (t ) t E. Casanova, diciembre 2014 2 N  1   T    ij φ j M 1 Sv (T j , j )    j 1  m j j    1 2 115 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Integración directa Introducción f1t  Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Integración directa Conceptos DFC Ejemplo Bibliografía & formulario f 2 t  k1 k2 m c1 x1 Ventajas: m c3 x2 Ec. de movimiento: k4 k3 c2 f 2(t ) f j (t ) f 3 t  m f1(t ) c4 t f 3( t ) x3 Mx(t )  Cx (t )  Kx (t )  f(t ) x 0   x 0 Cond. iniciales x 0   v 0 Excitación general Amortiguación general No linealidades (e.g. contacto, grandes deformaciones, roce, etc.) Desventajas: Métodos explícitos Ecuación de movimiento en t Gran costo computacional (tiempos de cálculo y recursos) Validez de la solución depende del método usado y sus parámetros Diferencias finitas centradas Runge-Kutta 4to orden Runge-Kutta Felhberg Métodos implícitos Ecuación de movimiento en t+t Huboult Wilson  Newmark Crank-Nicolson Estabilidad: Un método es incondicionalmente estable si la solución para cualesquier juego de condiciones iniciales (e.g. debidas a errores numéricos) no crece ilimitadamente para cualquier paso t, en particular cuando t/T es grande. Precisión: E. Casanova, diciembre 2014 Método produce o no elongación del período y/o decaimiento de las amplitudes 116 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Integración directa Introducción Sistemas de 1 GDL Sistemas de N GDL Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Integración directa Conceptos DFC Ejemplo Método de las diferencias finitas centradas (explícito) Aprox. velocidad: x (t )  21t x(t  t )  x(t t )  Aprox. aceleración: x(t )  ( 1t )2 x(t  t )  2x(t )  x(t t )  Substituyendo en : 1 t 2 (I) Mx(t )  Cx (t )  Kx (t )  f(t ) (II) (III) Mx(t t )  2x(t )  x(t t )   21t Cx(t t )  x(t t )   Kx (t )  f(t ) Bibliografía & formulario Reordenando : x(t  t )  Para arrancar el cálculo es necesario conocer x (  t )  1 t 2  f  K  M  21t C 1 (t ) 2 t 2  M x(t )   1 t 2  M  21t C x(t t ) x(  t )  x( 0)  t x ( 0)  ( 2t ) x(0)  2 De I y II para t = 0 De III para t = 0  x( 0)  M 1 f( 0)  Cx ( 0)  Kx ( 0)  El método es condicionalmente estable: E. Casanova, diciembre 2014 El paso de integración debe ser menor que el inverso de la mitad de la máxima frecuencia propia del sistema t  tcr  TN   2 N 117 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Integración directa (Newmark) Introducción Sistemas de 1 GDL y2 y1 Viga ( r, E, I, A, L) Sometida al sismo El Centro Registro vertical y3 Sistemas de N GDL 0.2 L k1 k2 m c1 Bibliografía & formulario y1 k2 m c2 0.15 z(t) 0.1 k1 m c2 y2 Aceleración tierra [g] Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Integración directa Conceptos DFC Ejemplo 0.05 0 -0.05 -0.1 c1 -0.15 -0.2 y3 -0.25 0 10 20 30 40 50 60 Tiempo [s] M y  C y  K y  M1z(t ) M y 0   y 0   0 Datos: E. Casanova, diciembre 2014 1 0 0  0 1 0  4  0 0 1 r AL  y t   y1 y2 y3 E  200 GPa r  7800 kg m3 I  8.3 106 m4  23  22 9  192 E I   K  22 32  22 3  7L   9  22 23  T L  10 m b  h  0.1m M  780kg  1   2   3  3% A  0.01m2 118 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Respuesta Forzada: Integración directa (Newmark) Introducción Newmark 0.015 Sistemas de 1 GDL x 2(t) Sistemas de N GDL Bibliografía & formulario Respuesta en coord. físicas x2(t) [m] Descripción Ec. de movimiento Cálculo de M y K Respuesta libre Respuesta forzada Integración directa Conceptos DFC Ejemplo 0.01 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 0 10 20 30 40 50 60 Tiempo [s] E. Casanova, diciembre 2014 119 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Universidad Simón Bolívar Introducción Bibliografía general vibraciones (pregrado) Sistemas de 1 GDL • Rao, S.; Mechanical vibration, Adison Wesley, 1990. Sistemas de N GDL • Dimaragonas, A.; Vibration for engineers, Prentice Hall, 1996. Bibliografía & formulario Bibliografía • Thompson, W., Vibration theory and applications, Prentice Hall, 1980. • Balachandran, B.; Magrab, E.; Vibraciones, Thomson, 2006 Bibliografía general vibraciones (postgrado) • Géradin, M.; Rixen, D.;Théorie des vibrations, Masson, 1996. • Craig, R.; Structural dynamics, Wiley, 1981. • Meirovitch, L.; Fundamentals of Vibrations, McGraw Hill, 2001 • De Silva, C.; Vibration: Fundamentals and Practice, CRC, 2007 • Wirsching, P.; Paez, T.; Ortiz, K.; Random Vibrations: Theory and practice, Dover books, 2006 • Lutes, L.; Sarkani, S.; Random vibrations, Elsevier, 2004 • Newland, D.; Random vibrations, spectral & wavelet analysis, Dover books, 2005 • Elishakoff, I.; Probabilistic theory of structures, Dover books, 1999 E. Casanova, diciembre 2014 120 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Formulario I Universidad Simón Bolívar Frecuencia natural Sist. masa-resorte-amortiguador de 1GDL k f (t ) m Ec. de mov.: c p.e.e n  xt   2 n xt   n2 xt   m1 f (t ) x(t ) f t   0 k m Cond. iniciales EDO de 2do orden, lineal, no homogénea Resp. libre: xt   xht   e nt ACos (d t )  BSen (d t )  A2  B 2 Cos(d t   ) A  x0 v   n x0 B 0 Cond. iniciales x0   x0 mxt   c xt   k xt   f (t ) x0   v0 F(t) constante: f t   f 0 Decremento logarítmico d xt   xht   x p t  x p t   f0 k Factor de amortiguación   Deflexión estática del resorte c 2mn s  x0   v0 x0   x0 Frecuencia natural amortiguada Desfasaje  d  n 1   2  x1  2 n     2 n  2 x 1   2 xt   xht   x p t  Desbalance: x p t   f t   m0 e Sen(t ) 2 Td  2   Ln f x p t   0 G( r , ) Sen(t   ) k m0e 2 r G( r , ) Sen(t   ) m x p t   z0 r 2G( r , ) Sen(t   ) f t   mz0  Sen(t ) Fuerza transmitida a la base: f tr  cx p t   kxp t   f tr Sen(t     ) E. Casanova, diciembre 2014 d Deflexión estática del resorte ante la fuerza fo Movimiento de la base: 2     tg 1 B A F(t) armónica: f t   f 0 Sen(t ) mg k 1 Factor de amplificación G( r , )  Desfasaje con la excitación   tg 1  Relación de frecuencias r (1  r 2 ) 2  (2 r ) 2  2 r  2 1  r   n f tr  f 0G( r , ) 1  (2r ) 2 f tr  (m0en2 ) r 2G( r , ) 1  (2r ) 2 121 Formulario II Universidad Simón Bolívar Factor de amplificación Factor de amplificación F(t) = f0 Desfasaje G( r )  5 1 6 r 2G  160 1  r   2r  2 2 4 5 2  = 0.001  = 0.1  = 0.2  = 0.3  = 0.5  = 0.7  =1 2 1  2r  2  1 r    tg 1   100 0.5 1 1.5 2 2.5 3 60 40 3.5 r 4 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 5 4 f tr f0 3 2 2  = 0.001  = 0.1  = 0.2  = 0.3  = 0.5  = 0.7  =1 3 2 1 4 0 r 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 r F(t) depende de  2 6 6 f tr  f0 1  2r  2 1  r   2r  2 2 2 5  = 0.001  = 0.1  = 0.2  = 0.3  = 0.5  = 0.7  =1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 f tr  r2 men2 1  2r  2 1  r   2r  2 2 2 4 f tr Men2  = 0.001  = 0.1  = 0.2  = 0.3  = 0.5  = 0.7  =1 3 2 1 E. Casanova, diciembre 2014 2 2 r 2G( r , ) F(t) = f0 Fuerza transmitida a la base: 1  r   2r  4  = 0.001  = 0.1  = 0.2  = 0.3  = 0.5  = 0.7  =1 80 20 0 r2 140 120 3 0 F(t) depende de  2 180 6 G( r , ) Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos 1 r 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 r 122 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Formulario III Universidad Simón Bolívar F(t) periódica: f 0*  * f t     f j Sen  j t   j  2 j 1 f j*  f   f  C 2 j S 2 j xt   xht   x p t   f jC   j  tg  S   f j  1 Rel. Frecuencia para armónico j T f C j 2   f t Cos j t  dt T 0 T 2 f   f t Sen j t  dt T 0 Integral de Duhamel F(t) genérica: rj  2  T S j * f 0*  f j x p t     G( r j , ) Sen j t   j   j  2k j 1 k j n Factor de amplificación para armónico j Función respuesta impulsiva unitaria   v   n x0 xt    f  ht  d  e  nt  x0Cosd t   0 Send t  d   0 f (t ) f0 t 0 f (t ) f xt   0 1  Cos (nt ) k  0 f0 0 t0 t 0 f xt   0 1  Cos (nt ) 0  t  t0 k f xt   0 Cosn (t  t0 )   Cos(nt ) k E. Casanova, diciembre 2014 ht   t  t0 xt   t t0 f (t ) xt    0 f0 0 1  nt e Send t  md  0 f0 t 0  j  tg 1  (1  rj2 ) 2  (2 rj ) 2 Respuesta debida a las cond. iniciales  0  2 rj  2 1  rj  1 G( r j , )  t f (t ) Desfasaje para armónico j t0 t f0 1  Cosn (t  t0 ) k t t f0 k 0 t  1  Sen (  t ) n    t0 t0n  t 0 123 Formulario IV Universidad Simón Bolívar Sistema de N GDL   mj Ecuación de movimiento para un sistema lineal f N (t ) f j (t ) f1(t ) m1 Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos Mxt   Cx t   Kx t   ft  mN Cond. iniciales Note que: x1 x  x Nx1 Resp. libre no amortiguada:   2 Sólo tiene solución no trivial si se cumple: Los autovectores se calculan a partir de: xj C  C NxN M M NxN f t   0 Mxt   Kx t   0 C0 K   M φ  0 det K   M  0 K   M φ j j 0 j  1 N Cambio de coordenadas: xt   Φpt  Resp. libre amortiguada: Amortiguación proporcional: C  M  K Cambio de coordenadas: xt   Φpt  E. Casanova, diciembre 2014 xN K  K NxN f  f Nx1 En general: Solución propuesta: x t   φ e i  t x 0   x 0 M  MT Sist. de N EDO de 2do orden, acoplado, lineal, no homogéneo x 0   v 0 C  CT K  KT K   M φ  0 2 Problema de autovalores y autovectores de dimensión N en la forma generalizada Esto produce un polinomio en  de grado N, cuyas raíces son los autovalores 1, 2, … N 1  2     j  N Matriz modal: Φ  φ1 φ2  φ N  1   m1      T t   Kpt   0 Mp K  Φ KΦ   M  Φ MΦ          N  m N  1   T C  Φ CΦ       N  Sist. de N EDO de 2do orden, t   Cp t   Kpt   0 Mp desacoplado, lineal, no homogéneo T 124 Formulario V Universidad Simón Bolívar Resp. libre amortiguada (amortiguación proporcional): Existen N ecuaciones de la forma: Mxt   Cx t   Kx t   0 m j pt    j p t    j pt   0 p j t   p h j t   e  j j t Solución en las coordenadas físicas: A Cos( j d j t )  B j Sen (d j t )  Aj  p j ( 0)  N x h t   Φp h t    φ j p h j (t )   φ j j 1 e T m j φ j Mx 0 T j 0 Existen N ecuaciones de la forma: dj j 2 m j j d 1 d j f j*(t ) depende de la forma de d   j 1   j2 j 1  1 m jd j j φTj Mv 0   j j x 0  φTj Mv 0   j j x 0 Sen(d j t ) xt   Φpt  pt   2 j j p t    2j pt   p p j t  Frecuencia propia amortiguada del modo j p j ( 0)   j j p j ( 0) Bj  φ Mx Cos( t) Mxt   Cx t   Kx t   ft  Resp. forazada amortiguada (amortiguación proporcional): Solución en las coordenadas físicas: j 1 1 mj j  1  j j t t   Cp t   Kpt   0 Mp Factor de amortiguación del modo j j mj j  N φ1T f (t )   f1*(t )      f  ΦT f         φT f   f *   N (t )   N (t )  xt   Φpt  Frecuencia propia del modo j pt   2 j j p t    2j pt   0 Solución: Vibraciones Mecánicas Especialización en Equipos Rotativos  t   Cp t   Kpt   ft  Mp mj f j*(t ) p j t   p h j t   p p j t  Solución: (i.e. armónica, periódica, impulsiva o genérica) N x p t   Φp p t    φ j p p j (t ) j 1 Excitación armónica simple: p p j t   Solución en las coordenadas físicas: f  f0 Sen( t ) φTj f 0 j G( r j , j ) Sen( t   j ) G( r j , j )  1 1  r   2 r  N N (φTj f 0 ) j 1 j 1 j x p t   Φp p t    φ j p p j (t )   φ j E. Casanova, diciembre 2014 pt   2 j j p t    2j pt   f j*(t )  φTj f0 Sen( t ) 2 2 j 2 j j G( r j , j ) Sen( t   j )  2 j rj   2  1  r j    j  tg 1  1 mj φTj f0 Sen( t ) rj   j 125

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