1 Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones: a) Si

Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL homogéneo 10 × 10 tiene una matriz aumentada reducida con 9
pivotes, entonces el sistema tiene solución única.
b) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es homogéneo.
c) Si un SEL homogéneo 8 × 8 tiene una matriz aumentada reducida con 6
pivotes, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
d) Si un SEL tiene solución única, entonces el sistema debe de tener el mismo
número de incógnitas que de ecuaciones.
e) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cumple y donde no se
cumple.
2) Falso: En toda situación que puedo construir no se cumple.
3) Cierto: En toda situación que puedo construir se cumple.
Solución
a) Si la aumentada es 10 × 10 el sistema tiene 10 ecuaciones y 9 incógnitas.
Los 9 pivotes se van a distribuir sobre estas 10 columnas. Pero como el
sistema es homogéneo la columna de constantes tendrá ceros: como las
operaciones elementales de renglón no cambian las columnas de ceros, la
matriz reducida final también tendrá ceros en su columna de constantes. Es
decir, que no podrá haber pivote en la columna de constantes. Por lo tanto,
los 9 pivotes deberán estar en las columnas de las incógnitas. Resumiendo:
no habrá pivotes en la columna de las consntantes y en la columna de cada
variable habrá pivote. Concluimos que el sistema tiene solución única. La
afirmación es cierta.
b) Cierto: porque los sistemas homogéneos son siempre consistentes (la solución con todas las incógnitas cero es una solución)
c) Como en el inciso a): los 6 pivotes caerán en algunas de las 7 columnas de
las incógnitas (habrá una sin pivote): por tanto, el sistema será consistente
con infinitas soluciones. Cierto
d) Si un SEL tiene solución única, entonces el sistema debe de tener el mismo
número de incógnitas que de ecuaciones. Es falso que deba. Por ejemplo,
en el análisis para


1 0 1
 0 1 2 
0
0
0
da solución única y el sistema es de 3 ecuaciones y 2 incógnitas.
e) Si un SEL 7×7 tiene una matriz aumentada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. No hay suficiente información
para concluir. Sabemos que los 3 pivotes caerán en algunas de las 7
columnas. Cabe la posibilidad de que uno de ellos caiga en la última columna, y en este caso darı́a un sistema inconsistente. Si ninguno de los 3
pivotes cayeran en la columnas de las constantes, serı́a consistente y como
habrá 6 variables en una de ellas no habrá pivote y en ese caso darı́a infinitas soluciones. Pero resumiendo: caben las dos posibilidades: inconsistente
o infinitas soluciones