Álgebra Lineal. Curso 2008/2009 UAM Colección de ejercicios no 2 Instrucciones. Bajo el tı́tulo común de colección de ejercicios queremos ofreceros la oportunidad de profundizar en los conceptos y resultados de la asignatura. El propósito es aprender planteando, y en el mejor de los casos resolviendo, cada uno de los problemas propuestos. Método de Gauss 1. Calcula la inversa (por la derecha) por Gauss-Jordan. En cada caso, comprueba que también es inversa por la izquierda: 1 −1 1 −1 1 1 1 1 2 1 1 −2 3 −4 . 1 −3 6 1 2 1 , 1 −4 1 2 1 1 1 2 ¿Te sugieren algo las columnas de la segunda matriz? 2. Calcula las inversas por 1 1 1 Gauss-Jordan: 1 1 1 1 1 , 1 10 01 1 . 10 001 1 0 0 1 1 001 1 1 1 01 ¿Ha variado mucho la matriz? ¿Ha variado mucho su inversa? 3. Sea An×n triangular superior. Demuestra que A es invertible si y sólo si no tiene ninguna entrada nula en la diagonal. Caso de ser A invertible, demuestra que A−1 también es triangular superior. Mismas cuestiones para triangular inferior. 4. Llamamos suma telescópica a una suma de diferencias de la forma (a1 − a0 ) + (a2 − a1 ) + · · · + (an − an−1 ), en la que cada minuendo es igual al sustraendo de la siguiente diferencia. Claramente, el valor de una tal suma es an − a0 . Utilizando las identidades: (k + 1) − k = 1 , (k + 1)2 − k 2 = 2k + 1 , (k + 1)3 − k 3 = 3k 2 + 3k + 1 , demuestra las siguientes identidades, poniendo cada suma en forma telescópica: n−1 X k=0 1=n , n−1 X n−1 X k=0 k=0 (2k + 1) = n2 , (3k 2 + 3k + 1) = n3 . Después, razona que esas tres igualdades equivalen al Pn−1 k=0 1 1 Pn−1 1 2 k=1 k = Pn−1 2 1 3 3 k=1 k sistema: n n2 , n3 Pn−1 Pn−1 2 y despeja de ahı́ fórmulas para k=1 k y P k=1 k . Del mismo modo, resolviendo n−1 3 un sistema 4 × 4, halla una fórmula para k=1 k y demuestra la identidad: 13 + 23 + · · · + m3 = (1 + 2 + · · · + m)2 . Colección de ejercicios no 2 Álgebra Lineal. Curso 2008/2009 UAM 5. Denotamos por X la matriz incógnita 2 × 2 y por Y la matriz incógnita 3 × 3. Para cada una de las siguientes ecuaciones matriciales, averigua si tiene solución y en caso afirmativo halla la solución general. · ¸ · ¸ · ¸ 1 2 1 1 4 1 X +X + 2X = . 3 5 0 1 3 0 · ¸ · ¸ · ¸ µ ¶ −1 1 1 2 1 −1 0 0 X +X = . 1 −1 1 2 0 1 0 0 · ¸ £ ¤ £ ¤ £ ¤ −2 4 1 3 X − 0 1 X = 1 −3 . 1 −2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 Y − Y 0 1 1 = 0 0 0 . 0 −1 1 0 −1 1 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 Y − Y 0 1 1 = 0 0 1 . 0 −1 1 0 −1 1 0 1 0 6. Cada una de las ecuaciones matriciales siguientes tiene dos incógnitas. Se pide: – Determina el tamaño de X y el de Y (pueden variar de una ecuación a otra). – Averigua si la ecuación tiene o no solución. – Si hay solución o soluciones, halla la solución general. · ¸ · ¸ £ ¤ 3 5 −2 X 2 1 + Y = . 2 4 −1 · ¸ · ¸ · ¸ 1 −1 1 −1 1 0 X +Y = . 2 −2 1 −1 0 2 · ¸ · ¸ · ¸ 1 −1 1 −1 1 0 X +Y = . 2 −2 1 −1 0 1 7. A continuación se da un sistema de ecuaciones (de primer grado) con dos incógnitas matrices. Determina el tamaño de cada incógnita, averigua si tiene solución y en caso afirmativo halla la solución general. · ¸ · ¸ · ¸ · ¸ 2 2 2 −2 2 0 −2 X + Y = 5 5 −1 1 3 −4 1 £ ¤ £ ¤ 2 −1 X + Y = 0 0