Universidad de Montevideo Macroeconom´ıa II Optimización

Universidad de Montevideo
Macroeconomı́a II
Danilo R. Trupkin
Notas de Clase (preliminar)
Optimización Dinámica:
Aplicación al Modelo de Crecimiento Óptimo
En el curso estudiaremos dos formas alternativas para resolver problemas de optimización dinámica en tiempo discreto:
1. Método Secuencial (Lagrange, Kuhn-Tucker): se eligen las secuencias óptimas de las
variables endógenas del problema.
2. Método Recursivo (programación dinámica): se elige en base a ecuaciones funcionales
que muestran decisiones óptimas, las que se repiten periodo a periodo (de aquı́, su
carácter recursivo).
Nos concentraremos por el momento en la primera metodologı́a de resolución. Más
adelante veremos el método recursivo, en particular aplicado a modelos estocásticos.
1
Método Secuencial
1.1
Problema del Planificador
Consideremos un consumidor que decide su corriente de consumo para T periodos, donde
las preferencias son:
U (c0 , c1 , ..., cT ) =
T
X
β t u(ct )
t=0
La función U (·) hace referencia a la utilidad total del consumidor a lo largo de su
horizonte de planificación (o lifetime utility, como se la conoce en la literatura). La función
u(·) refiere a la utilidad periódica o instantánea para cada periodo.
Por el momento, nos concentraremos en un horizonte de planificación finito. Debajo
extenderemos este procedimiento para el caso en que el horizonte es infinito.
Notemos que la función de utilidad periódica se asume constante o estacionaria, i.e.,
no depende del tiempo (alternativamente, se podrı́a haber considerado una función ut (ct )).
Asimismo, 0 < β < 1 es el factor de descuento (constante), el cual además muestra el peso
intertemporal de cada consumo en la utilidad total.
1
Consideremos el modelo neoclásico de crecimiento, en tiempo finito:
max
{ct ,kt+1 }T
t=0
sujeto a
T
X
β t u(ct )
t=0
ct + kt+1 ≤ f (kt ) ≡ F (kt , n) + (1 − δ)kt
ct ≥ 0, kt+1 ≥ 0 ∀t = 0, ..., T ;
k0 dado.
Supuestos:
• F es continuamente diferenciable, estrictamente creciente, homogenea de grado 1, y
estrictamente cuasicóncava, con
F (0, n) = 0, Fk (k, n) > 0, Fn (k, n) > 0 ∀k, n > 0
lim Fk (k, 1) = ∞,
k→0
lim Fk (k, 1) = 0.
k→∞
• f es continuamente diferenciable, estrictamente creciente, y estrictamente cóncava,
con
f (0) = 0, f 0 (k) > 0,
lim f 0 (k) = ∞,
k→0
lim f 0 (k) = 1 − δ
k→∞
• u es estrictamente creciente, con limc→0 u0 (c) = ∞. Esto implica que la restricción
de recursos estará siempre “binding” (los recursos no serán desperdiciados en ningún
periodo) y, además, ct = 0 no será óptimo en ninguna circunstancia – podemos ignorar
la restricción de no-negatividad sobre el consumo.
Resolviendo ahora por Kuhn-Tucker:
L=
T
X
β t {u(ct ) − λt [ct + kt+1 − f (kt )] + µt kt+1 }
t=0
Luego, las condiciones necesarias para un máximo son:
Lct
Lkt+1
= β t [u0 (ct ) − λt ] = 0,
= β t [−λt + µt ] + β t+1 λt+1 f 0 (kt+1 ) = 0,
t = 0, ..., T
(1)
t = 0, ..., T − 1
(2)
Para el periodo T :
LkT +1 = β T [−λT + µT ] = 0
2
(3)
Además,
= ct + kt+1 − f (kt ) = 0
Lλt
kt+1 ≥ 0, λt ≥ 0, µt ≥ 0,
(4)
(5)
y, finalmente, la condición de holgura:
µt kt+1 = 0.
(6)
Sustituyendo (1) en (2) (y dado que β t > 0 para todo t), encontramos
u0 (ct ) − µt = βu0 (ct+1 )f 0 (kt+1 ),
t = 0, ..., T − 1.
(7)
Utilizando también (1), y dado que u0 (c) > 0 para todo c, luego tenemos en (3) que
u0 (cT ) = λT = µT > 0.
Luego, la condición complementaria de holgura (6), para t = T, implica que kT +1 = 0.
Esta condición se la llama condición de transversalidad, i.e., nuestra condición terminal
para el problema de optimización.
Por otro lado, sabemos que ct > 0 para todo t, y f (0) = 0. Observando la restricción
de recursos, notamos entonces que también debe cumplirse kt+1 > 0, para t = 0, ..., T − 1,
y por lo tanto µt = 0, para t = 0, ..., T − 1. Todo lo anterior implica, en (7), que
u0 (ct ) = βu0 (ct+1 )f 0 (kt+1 ),
t = 0, ..., T − 1.
(8)
Esta ecuación se la denomina Ecuación de Euler, clave en la determinación del comportamiento intertemporal. El lado izquierdo de (8) se refiere a la utilidad perdida, si se
invierte una unidad más (costo marginal de ahorrar). El lado derecho en (8) podrı́a dividirse
en dos componentes. El primero, βu0 (ct+1 ), es el incremento descontado de la utilidad del
siguiente periodo por unidad incrementada en ct+1 . El segundo componente, f 0 (kt+1 ), es el
retorno a la unidad invertida, i.e., por cuantas unidades puedo aumentar el consumo en el
próximo lapso.
De esta manera, la solución a nuestro problema de crecimiento se resume a través de
las siguientes condiciones necesarias (y suficientes, dados los supuestos esgrimidos sobre las
funciones y las restricciones):
1. Ecuación de Euler;
2. Restricción de recursos;
3
3. k0 dado;
4. kT +1 = 0.
Si introducimos la restricción de recursos de cada periodo en la ecuación de Euler:
u0 (f (kt ) − kt+1 ) = βu0 (f (kt+1 ) − kt+2 )f 0 (kt+1 ),
t = 0, ..., T − 1,
tendremos que la solución a nuestro problema estará descripta por un sistema de T + 2
ecuaciones y T + 2 incógnitas (kt para t = 0, ..., T + 1). Bajo condiciones “apropiadas”
sobre las primitivas del modelo, tendremos solución única. Esencialmente, necesitamos que
tanto u como f sean cóncavas – esta última es para asegurar que la restriccion de recursos
sea un conjunto convexo.
Para el caso en que el horizonte de planificación es infinito, la solución descripta arriba
queda casi inalterada. Las razones por las cuales se formulan frecuentemente modelos con
horizonte infinito pueden encontrarse en la existencia de altruı́smo (los individuos, si bien
no viven por siempre, pueden estar intersados en sus herederos, pudiéndose interpretar cada
β t como el peso que el consumidor de hoy le asigna a la t-ésima familia) o, en términos
prácticos, debido a la simplicidad técnica (los modelos de horizonte infinito son estacionarios
por naturaleza).
La solución al problema de crecimiento con horizonte infinito se resume de la misma
manera que aquel con horizonte finito, excepto que ahora la condición de transversalidad
(condición 4 arriba) cambia por la siguiente:
4’. limt→∞ β t u0 (ct )kt = 0.
Esto significa que no puede ser óptimo para el consumidor elegir una secuencia para
el capital tal que, en términos de utilidad llevada a valor presente, el valor sombra de kt
(recordemos que λt = u0 (ct ) en el óptimo) permanezca positivo cuando t tiende a infinito.
1.2
Equilibrio Competitivo
Hasta aquı́ hemos formulado el problema de crecimiento desde el punto de vista del planificador social. Nos preguntamos ahora, qué estructura de mercado o mecanismo de asignaciones podrı́a ser utilizado para resolver el problema descentralizado?
Para ello, veremos un modelo sin fricciones, en particular, un modelo con equilibrio
competitivo. Aquı́, las familias o dinastı́as planifican teniendo en cuenta un horizonte
infinito. Las mismas son idénticas y su cantidad asciende a un número lo suficientemente
grande, de modo que, individualmente, no tienen capacidad para influir sobre los precios.
4
Por lo anterior, la familia puede ser interpretada como un agente tı́pico o representativo,
con lo cual, en la realidad, no habrá transacciones. Es decir, los precios ajustarán de modo
que los mercados se vacı́en y que las familias, en definitiva, no interactúen.
Overview:
• Tanto el capital como el trabajo son propiedad de las familias.
• La tecnologı́a es “propiedad” de las firmas.
• Decisión de las familias: cantidad ofrecida de factores y cantidad demandada de bienes
de consumo.
• Decisión de las firmas: volumen de producción y demanda de factores.
• Cómo se juntan compradores y vendedores? En el mercado, a través del cual se
determinan los precios.
• Brevemente, un equilibrio competitivo es un vector de precios y cantidades que satisfacen la “consistencia agregada” (los mercados se vacı́an):
1. Las familias eligen las cantidades que maximizan su utilidad, dados su riqueza
y los precios.
2. El conjunto de cantidades de elección es “feasible”.
3. Las firmas maximizan sus beneficios, dados los precios.
Dado que nos concentraremos en formular el equilibrio para un modelo dinámico, debemos especificar entonces de qué manera ocurrirı́an las transacciones a través del tiempo.
Generalmente, se pueden definir varias estructuras de mercado para un mismo environment fı́sico y para las mismas asignaciones.
Tal como afirmábamos en la introducción, se puede formular y resolver el equilibrio competitivo dinámico de dos maneras: 1) la elección de secuencias infinitas, o 2) recursivamente,
con formas funcionales que describan las decisiones óptimas. Nuevamente, estudiaremos por
el momento la primera metodologı́a de resolución.
La cuestión central aquı́ es determinar el conjunto de commodities que serán involucradas en las transacciones. Dado que éste es un modelo dinámico, debemos encontrar una
forma de definir las commodities para cada punto del tiempo:
1. Una forma directa de extender el concepto de equilibrio estático a su versión dinámica
es hacer que los bienes sean “fechados” (c0 , c1 , ...) como si hubiera una secuencia infinita de commodities y, tal como en un modelo estático, hacer luego que el intercambio
5
de commodities suceda de una vez y para siempre. Este es un arreglo económico à la
Arrow-Debreu, donde todas las transacciones de la economı́a ocurren al momento 0,
y en la cual no hace falta el intercambio de activos.
2. Alternativamente, se pueden introducir activos de forma de permitir transacciones
secuenciales.
1.2.1
Equilibrio con Intercambios al Momento 0
Supuestos y definiciones:
• El consumidor es dotado con una unidad de tiempo para cada t, con 0 ≤ nt ≤ 1.
• Tanto la función de utilidad como la función de producción son aquellas definidas
arriba (seguimos asumiendo que sólo el consumo brinda utilidad, al tiempo que ambos,
el trabajo y el capital, son usados en el proceso de producción).
• El consumidor es dueño del capital, el cual lo alquila a las firmas a cambio de rt
unidades de bien final por cada unidad de capital, en cada periodo t. El capital se
deprecia a tasa constante δ.
• En cada periodo, el consumidor alquila los servicios de su trabajo a la firma a cambio
de un salario wt .
• El precio del bien de consumo se define como pt , para cada t.
• El precio (en términos de consumo) de los servicios del capital: pt rt .
• El precio (en términos de consumo) de los servicios del trabajo: pt wt .
Definición 1 Un equilibrio competitivo es un set de secuencias de:
∗ ∞
∗ ∞
Precios: {p∗t }∞
t=0 ,{rt }t=0 ,{wt }t=0 , y
∗
∞
∗ ∞
Cantidades: {c∗t }∞
t=0 ,{kt+1 }t=0 ,{nt }t=0 tales que
∗
∞
∗ ∞
1. {c∗t }∞
t=0 ,{kt+1 }t=0 ,{nt }t=0 resuelven el problema del consumidor:
∗
{c∗t , kt+1
, n∗t }∞
t=0
sujeto a
∞
X
= arg
p∗t [ct + kt+1 ] =
t=0
∞
X
max
{ct ,kt+1 ,nt }∞
t=0
(∞
X
)
t
β u(ct )
t=0
p∗t [rt∗ kt + (1 − δ)kt + wt∗ nt ]
t=0
ct ≥ 0, kt+1 ≥ 0 ∀t;
Nota: wt > 0, luego n∗t = 1 ∀t.
6
k0 dado.
∗ ∞
2. {kt∗ }∞
t=0 ,{nt }t=0 resuelven el problema de la firma:
∀t : (kt∗ , 1) = arg max{p∗t F (kt , nt ) − p∗t rt∗ kt − p∗t wt∗ nt }
kt ,nt
Nota: la firma resuelve un problema estático. Toda la dinámica del modelo viene de la
acumulación del capital llevada a cabo por el consumidor.
Esta condición también puede escribirse como
∀t
:
(rt∗ , wt∗ ) satisfacen:
rt∗ = Fk (kt∗ , 1)
wt∗ = Fn (kt∗ , 1)
3. Feasibility (Equilibrio de Mercado):
∗
c∗t + kt+1
= F (kt∗ , 1) + (1 − δ)kt∗
Caracterización del equilibrio:
β t u0 (c∗t ) = p∗t λ∗
[ct ] :
β t+1 u0 (c∗t+1 ) = p∗t+1 λ∗
[ct+1 ] :
En consecuencia,
p∗t
u0 (c∗t )
=
p∗t+1
βu0 (c∗t+1 )
(9)
Por otro lado,
[kt+1 ] :
lo que implica que
∗
λ∗ p∗t = λ∗ p∗t+1 [rt+1
+ 1 − δ],
p∗t
∗
= rt+1
+ 1 − δ.
p∗t+1
(10)
Notemos que si sustituimos el precio de los servicios del capital que surge del item 2.
de la definición de equilibrio, la ecuación anterior queda
p∗t
∗
= Fk (kt+1
, 1) + 1 − δ.
p∗t+1
(11)
Combinando las condiciones (9) y (11), obtenemos finalmente la Ecuación de Euler
hallada en el problema del planificador:
∗
u0 (c∗t ) = βu0 (c∗t+1 )[Fk (kt+1
, 1) + 1 − δ].
7
Esto muestra que el equilibrio competitivo es óptimo, pues satisface el problema del
planificador (Primer Teorema del Bienestar). Notemos que, dado que asumimos un consumidor representativo, el óptimo de Pareto se obtienee simplemente de la maximización
de la utilidad.
1.2.2
Equilibrio con Intercambio Secuencial
En esta estructura de mercado, introducimos el mercado de activos. Denotamos con at al
monto de préstamos, por un periodo, al momento t. Los precios ahora son:
• El precio de los servicios del capital en t: rt .
• El precio del trabajo: wt .
• El retorno sobre los préstamos: ra,t .
∗ , w ∗ , c∗ , k ∗ , n∗ , a∗ }∞
Definición 2 Un equilibrio competitivo es una secuencia {rt∗ , ra,t
t t
t+1 t=0
t+1 t
tal que:
∗ , n∗ , a∗ }∞ resuelve el problema del consumidor:
1. {c∗t , kt+1
t
t+1 t=0
∗
{c∗t , kt+1
, n∗t , a∗t+1 }∞
t=0 = arg
sujeto a
max
(∞
X
{ct ,kt+1 ,nt ,at+1 }∞
t=0
)
β t u(ct )
t=0
∗
ct + kt+1 + at+1 = rt∗ kt + wt∗ nt + at (1 + ra,t
) + (1 − δ)kt
k0 > 0, a0 = 0 dados.
"∞
#−1
Y
∗
N P G condition :
lim at+1
= 0.
(1 + ra,t
)
t→∞
t=0
2. {kt∗ , n∗t }∞
t=0 resuelve el problema de la firma:
∀t : (kt∗ , 1) = arg max{F (kt , nt ) − rt∗ kt − wt∗ nt }
kt ,nt
3. Feasibility (Equilibrio de Mercado):
∗
c∗t + kt+1
= F (kt∗ , 1) + (1 − δ)kt∗ .
Asimismo, para todo t,
a∗t = 0
(equilibrio en el mercado de assets)
8
Nuevamente, tal como procedimos arriba, la condición de primer orden intertemporal
del consumidor resulta de la siguiente manera:
β t u0 (c∗t ) = β t λ∗t
[ct ] :
β t+1 u0 (c∗t+1 ) = β t+1 λ∗t+1
[ct+1 ] :
En consecuencia,
λ∗t
u0 (c∗ )
= 0 ∗t
∗
λt+1
u (ct+1 )
Por otro lado,
[kt+1 ] :
lo que implica que
∗
β t λ∗t = β t+1 λ∗t+1 [rt+1
+ 1 − δ],
λ∗t
∗
= β[rt+1
+ 1 − δ].
λ∗t+1
Además,
∗
β t λ∗t = β t+1 λ∗t+1 [1 + ra,t+1
].
[at+1 ] :
Luego, la “no-arbitrage-condition” (para hallar solución interior en bonos y capital
fı́sico), implica:
∗
∗
ra,t+1
= rt+1
− δ.
Asimismo, del problema de la firma tenemos que:
rt∗ = Fk (kt∗ , 1)
wt∗ = Fn (kt∗ , 1).
Luego,
∗
∗
ra,t+1
= Fk (kt+1
, 1) − δ.
Finalmente, combinando las ecuaciones anteriores, hallamos nuevamente la Ecuación de
Euler del problema del planificador:
∗
u0 (c∗t ) = βu0 (c∗t+1 )[Fk (kt+1
, 1) + 1 − δ].
• Esto muestra que el equilibrio competitivo en su forma secuencial es igual al equilibrio
expresado a través de intercambios al momento inicial (à la Arrow-Debreu), y ambos
son Pareto óptimos ya que resultan en las mismas asignaciones que en el problema
del planificador.
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