Lección 3. 2. Independencia del camino

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 3. Cálculo vectorial.
2. Independencia del camino. Campos conservativos.
Hay ocasiones en las que la integral de un campo vectorial F , definido en una región U ⊆ \ 3 , a lo
largo de una curva no depende de la curva en sí, sino únicamente del extremo inicial y del extremo
final de la curva. Estos campos tienen una gran importancia en las aplicaciones físicas y reciben el
nombre de campos conservativos.
EJEMPLO. Consideremos el campo vectorial F : ( x, y ) ∈ \ 2 → F ( x, y ) = ( y, x) ∈ \ 2 y el segmento
que C1 : t ∈ [ 0,1] ⊆ \ → C1 (t ) = (t , t ) ∈ \ 2 que une los puntos (0, 0) y (1,1). Entonces
∫
F ⋅ dC =
C1
∫
1
F (C1 (t )) ⋅ C1′(t )dt =
0
∫
1
(t , t ) ⋅ (1,1)dt =
0
∫ 2tdt = 1.
1
0
Si ahora consideramos al arco de parábola C2 : t ∈ [ 0,1] ⊆ \ → C2 (t ) = (t , t 2 ) ∈ \ 2 que une los puntos (0, 0) y (1,1), obtenemos
∫
F ⋅ dC =
C2
∫
1
F (C2 (t )) ⋅ C2′ (t )dt =
0
∫
1
(t 2 , t ) ⋅ (1, 2t )dt =
0
∫ 3t dt = 1. En
1
2
0
general, sea C : t ∈ [ a, b ] ⊆ \ → C (t ) = ( x(t ), y (t )) ∈ \ 2 una curva regular que une los puntos (0, 0)
y (1,1). Esto significa que C (a) = ( x(a), y (a)) = (0, 0) y C (b) = ( x(b), y (b)) = (1,1). Entonces
∫
C
F ⋅ dC =
∫
b
F (C (t )) ⋅ C ′(t )dt =
a
∫
b
( y (t ), x(t )) ⋅ ( x′(t ), y′(t ))dt =
a
∫ ( y(t) x′(t ) + x(t ) y′(t ))dt
1
0
= ( x(t ) y (t ) ]a = x(b) y (b) − x(a) y (a) = 1.
b
Es decir, la integral del campo F en cualquier curva regular que una los puntos (0, 0) y (1,1) vale
lo mismo, esto es 1. Igualmente se puede comprobar que esto ocurre no solamente con estos puntos,
sino con cualquier pareja de puntos de \ 2 . A este tipo de campos son a los que llamaremos conservativos.
DEFINICIÓN. Se dice que un conjunto U ⊆ \ 3 es conexo si todo par de puntos de U se puede unir
mediante arcos de curvas regulares, contenidos en U .
DEFINICIÓN (CAMPO CONSERVATIVO). Sean A y B dos puntos de un conjunto conexo U ⊆ \ 3 . Se
dice que la integral de línea entre A y B de un campo vectorial continuo
F : ( x , y , z ) ∈ U ⊆ \ 3 → F ( x, y , z ) ∈ \ 3
es independiente del camino seguido en U si dadas dos curvas regulares C1 y C2 contenidas en U
de forma que ambas empiezan en A y terminan en B se verifica que
∫
C1
F ⋅ dC =
∫
F ⋅ dC . Dire-
C2
mos que un campo vectorial continuo F : U ⊆ \ 3 → \ 3 es un campo conservativo en un conjunto
conexo U si para cada par de puntos A, B ∈ U la integral de línea de F entre A y B es independiente del camino.
1
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Lección 3. Cálculo vectorial.
OBSERVACIÓN. Es fácil ver que un campo vectorial F : U ⊆ \ 3 → \ 3 es conservativo si, y sólo si,
la integral de F sobre cualquier curva cerrada regular contenida en U es cero.
La regla de Barrow que veremos ahora proporciona un ejemplo típico de un campo vectorial F que
es conservativo. Dicho campo es la diferencial de un campo escalar.
TEOREMA (REGLA DE BARROW). Sea f : ( x, y, z ) ∈ U ⊆ \ 3 → f ( x, y, z ) ∈ \ un campo escalar definido en un conjunto abierto conexo U con derivadas parciales continuas. Sea C una curva regular
con extremo inicial A y extremo final B. Entonces
∫ Df ⋅ dC = f (B) − f ( A).
C
DEM. Sea C : t ∈ [ a, b ] ⊆ \ → C (t ) ∈ \ 3 una parametrización de la curva C , siendo C (a) = A y
C (b) = B. Entonces
∫
C
Df ⋅ dC =
∫ Df (C (t )) ⋅ C′(t )dt = ( f (C (t ))]
b
a
b
a
= f (C (b)) − f (C (a)) = f ( B ) − f ( A).
La regla de Barrow para integrales de línea asegura que la diferencial de un campo escalar es un
campo vectorial conservativo: la integral de línea sólo depende de los puntos inicial y final de la
curva sobre la que se integra.
DEFINICIÓN. Si un campo vectorial F es la diferencial de un campo escalar f en un conjunto
abierto conexo U ⊆ \ 3 , se dice que F deriva de un potencial y la función f se llama función potencial de F .
OBSERVACIÓN. 1) Es fácil comprobar que dos funciones potenciales de un mismo campo vectorial
se diferencian en una constante.
2) La regla de Barrow asegura que si un campo vectorial F deriva de un potencial con derivadas
parciales continuas en un conjunto abierto conexo U , entonces F es conservativo en U . A continuación estudiaremos la cuestión recíproca: si todo campo conservativo admite una función potencial. También estudiaremos una condición manejable que nos permita determinar cuándo un campo
vectorial deriva de un potencial.
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Lección 3. Cálculo vectorial.
TEOREMA (FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA INTEGRALES DE LÍNEA). Sea U ⊆ \ 3 un conjunto
abierto conexo y sea F : ( x, y, z ) ∈ U ⊆ \ 3 → F ( x, y, z ) ∈ \ 3 un campo vectorial conservativo en
U . Fijamos un punto A ∈ U y definimos el campo escalar
f : B ∈ U ⊆ \ 3 → f ( B) :=
∫
F ⋅ dC ∈ \,
C (B)
donde C ( B) es cualquier curva regular contenida en U que une A con B. Entonces
función potencial de F .
f es una
DEM. Pongamos F ( x, y, z ) = ( P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )). Tenemos que comprobar que
Df ( x, y, z ) = F ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ U ,
es decir, f x ( x, y, z ) = P( x, y, z ), f y ( x, y, z ) = Q( x, y, z ) y f z ( x, y, z ) = R( x, y, z ) para todo punto
( x, y, z ) ∈ U . Sólo probaremos la primera de estas tres igualdades. Por definición de derivada parf ( x + t , y , z ) − f ( x, y , z )
. Consideremos una curva cualquiera C1
cial tenemos que f x ( x, y, z ) = lim
t →0
t
que una el punto A con el punto ( x, y, z ), una curva cualquiera C2 que una el punto A con el punto ( x + t , y, z ) y, por último, denotemos por C3 el segmento que une los puntos ( x, y, z ) y
( x + t , y, z ). Por la definición del campo escalar f tenemos que f ( x, y, z ) =
∫
F ⋅ dC y también
C1
que f ( x + t , y, z ) =
∫
F ⋅ dC. Como los arcos C1 , C2 y C3 forman una curva cerrada en U y F es
C2
∫
un campo conservativo, obtenemos que
C1
f ( x + t , y , z ) − f ( x, y , z ) =
F ⋅ dC +
∫
C3
F ⋅ dC =
∫
F ⋅ dC. Entonces
C2
⎡C (u ) = ( x + u, y, z ), 0 ≤ u ≤ t ⎤
F ⋅ dC = ⎢
⎥=
C3
⎣C ′(u ) = (1, 0, 0)
⎦
∫
Dividiendo por t en la igualdad anterior obtenemos
1
t →0 t
y, en consecuencia, f x ( x, y, z ) = lim
∫ P( x + u, y, z)du.
t
0
f ( x + t , y , z ) − f ( x, y , z ) 1
=
t
t
∫ P( x + u, y, z)du
t
0
∫ P( x + u, y, z)du = P( x, y, z) como queríamos demostrar.
t
0
COROLARIO. Sea U ⊆ \ 3 un conjunto abierto conexo y F : ( x, y, z ) ∈ U ⊆ \ 3 → F ( x, y, z ) ∈ \ 3 un
campo vectorial continuo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) F deriva de una función potencial f : ( x, y, z ) ∈ U ⊆ \ 3 → f ( x, y, z ) ∈ \.
2) F es conservativo en U .
3) La integral de línea de F es cero en cualquier curva contenida en U que sea regular y cerrada.
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Lección 3. Cálculo vectorial.
OBSERVACIÓN. 1) Si
v∫ F ⋅ dC ≠ 0 para una determinada curva regular y cerrada C ⊆ U , en virtud
C
del corolario anterior, deducimos que F no es conservativo en U , o lo que es lo mismo, que no
deriva de un potencial.
2) Las condiciones que recoge el corolario anterior no son manejables para determinar si un campo
deriva de un potencial. El objetivo del resto de la sección será el estudiar una condición sobre las
derivadas parciales de las funciones componentes del campo con utilidad práctica que nos permita
determinar si un campo es conservativo.
TEOREMA. Sea U un conjunto abierto conexo en \ 3 y sea F = ( P, Q, R) : U ⊆ \ 3 → \ 3 un campo
vectorial con derivadas parciales continuas. Si F deriva de un potencial, entonces las derivadas
parciales de sus funciones componentes P, Q y R verifican Py = Qx , Pz = Rx y Qz = Ry .
DEM. Si F deriva de un potencial, entonces existe una función potencial, digamos
f : ( x, y , z ) ∈ U ⊆ \ 3 → f ( x, y , z ) ∈ \ ,
con derivadas parciales segundas continuas tal que Df ( x, y, z ) = F ( x, y, z ) para todo ( x, y, z ) ∈ U .
Entonces, P ( x, y, z ) = f x ( x, y, z ), Q( x, y, z ) = f y ( x, y, z ) y R( x, y, z ) = f z ( x, y, z ). Puesto que f
tiene derivadas parciales de segundo orden continuas que
Py = f xy = f yx = Qx , Pz = f xz = f zx = Rx , Qz = f yz = f zy = Ry .
DEFINICIÓN. Sea F = ( P, Q, R) : U ⊆ \ 3 → \ 3 un campo vectorial definido en un conjunto abierto
U ⊆ \ 3 . Se llama rotacional de F en el punto ( x, y, z ) ∈ U al vector
rot F ( x, y, z ) := ( Ry ( x, y, z ) − Qz ( x, y, z ), Pz ( x, y, z ) − Rx ( x, y, z ), Qx ( x, y, z ) − Py ( x, y, z ) ) ,
o simplemente, rot F := ( Ry − Qz , Pz − Rx , Qx − Py ) . Se dice que F es irrotacional en U si para todo
( x, y, z ) ∈ U , se verifica que rot F ( x, y, z ) = (0, 0, 0). En el caso de un campo bidimensional dado
por F = ( P, Q) : U ⊆ \ 2 → \ 2 , se llama rotacional de F en el punto ( x, y ) ∈ U al escalar
rot F ( x, y ) := Qx ( x, y ) − Py ( x, y ),
o simplemente, rot F := Py − Qx . Se dice que F es irrotacional en U si para todo ( x, y ) ∈ U , se verifica que rot F ( x, y ) = 0.
OBSERVACIÓN. Con esta terminología, el teorema anterior asegura que si F : U ⊆ \ 3 → \ 3 es un
campo vectorial con derivadas parciales continuas, definido en un conjunto abierto conexo en
U ⊆ \ 3 , que deriva de un potencial (o equivalentemente, es conservativo en U ) , entonces F es
irrotacional en U . Esta condición es necesaria pero no es suficiente. Un campo vectorial puede ser
irrotacional en un conjunto abierto conexo U y no ser conservativo en U . Un ejemplo es el campo
⎛ −y
x ⎞
F ( x, y ) := ⎜ 2
, 2
, con ( x, y ) ≠ (0, 0). Este campo verifica Py ( x, y ) = Qx ( x, y ) para todo
2
2 ⎟
⎝x +y x +y ⎠
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Lección 3. Cálculo vectorial.
( x, y ) ≠ (0, 0) y, sin embargo, no es conservativo en U := \ 2 − {(0, 0)} porque
v∫ F ⋅ dC = 2π ,
C
siendo C es la circunferencia unidad, como se comprueba con facilidad. El hecho de que un campo
vectorial sea conservativo no depende sólo de las funciones componentes, sino que también depende del conjunto donde estemos considerando el campo. Por ejemplo, el campo F sí es conservativo
⎛ y⎞
en el abierto conexo U := (1, 2) × (1, 2), donde admite la función potencial f ( x, y ) = arctan ⎜ ⎟ . La
⎝x⎠
2
diferencia entre los conjuntos \ − {(0, 0)} y U := (1, 2) × (1, 2) es que éste es convexo y el primero
no lo es. De hecho, vamos a comprobar que si el conjunto de referencia es convexo, la condición
necesaria es también suficiente. Recordemos que un conjunto U es convexo si el segmento rectilíneo que une dos puntos cualesquiera de U está contenido en U . En particular, cualquier conjunto
convexo es un conjunto conexo.
TEOREMA. Sea U ⊆ \ 3 un conjunto abierto convexo y sea F = ( P, Q, R) : U ⊆ \ 3 → \ 3 un campo
vectorial con derivadas parciales continuas que es irrotacional en U . Entonces F deriva de un potencial en U . En otras palabras, en un conjunto abierto convexo un campo es conservativo si, y sólo
si, es irrotacional.
DEM. Haremos la prueba suponiendo que (0, 0, 0) ∈U . Para la prueba procederemos directamente,
es decir, construiremos la función potencial f ( x, y, z ) de forma que f x = P, f y = Q y f z = R.
Consideremos la curva C : t ∈ [0,1] ⊆ \ → C (t ) = (tx, ty, tz ) ∈ \ 3 que une el origen de coordenadas
con el punto ( x, y, z ). Definimos ahora el campo escalar f ( x, y, z ) :=
C
que Df ( x, y, z ) = F ( x, y, z ). Como C ′(t ) = ( x, y, z ) tenemos que
f ( x, y, z ) :=
∫
F ⋅ dC =
C
∫ F ⋅ dC y vamos a comprobar
∫ ( xP(tx, ty, tz) + yQ(tx, ty, tz) + zR(tx, ty, tz) ) dt.
1
0
Entonces
f x ( x, y , z ) =
∫
1
0
⎡Qx = Py ⎤
⎥
⎣ Rx = Pz ⎦
( P(tx, ty, tz ) + xPx (tx, ty, tz )t + yQx (tx, ty, tz )t + zRx (tx, ty, tz )t ) dt = ⎢
∫ ( P(tx, ty, tz) + ( xP (tx, ty, tz) + yP (tx, ty, tz) + zP (tx, ty, tz) ) t ) dt
d
⎛
⎞
= ( P(tx, ty, tz ) + DP(C (t )) ⋅ C ′(t )t ) dt = ⎜ P(tx, ty, tz ) + P(C (t ))t ⎟ dt
∫
∫⎝
dt
⎠
=
1
x
y
z
0
1
1
0
0
⎡u = t , du = dt
⎤
⎢
⎥=
=
⎢ dv = d P(C (t ))dt , v = P(C (t )) ⎥
⎢⎣
⎥⎦
dt
= P(C (1)) = P( x, y, z ).
∫
1
0
P(tx, ty, tz )dt + ( tP(C (t )) ]0 −
1
∫ P(C (t ))dt
1
0
Acabamos de comprobar que f x ( x, y, z ) = P ( x, y, z ). Igualmente se comprueba la coincidencia de
las otras dos derivadas.
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Lección 3. Cálculo vectorial.
EJEMPLO. Consideremos el campo vectorial F ( x, y, z ) = ( y + 4 x3 z 3 , x + 2 yz 3 ,3z 2 ( y 2 + x 4 ) ) , definido
en \ 3 . Observemos que P( x, y, z ) := y + 4 x3 z 3 , Q( x, y, z ) := x + 2 yz 3 y R ( x, y, z ) := 3z 2 ( y 2 + x 4 ). Es
fácil comprobar que el campo F es irrotacional y, por tanto, deriva de un potencial que vamos a
calcular mediante la fórmula
∫ ( xP(tx, ty, tz) + yQ(tx, ty, tz) + zR(tx, ty, tz) ) dt
= ( x ( ty + 4t x t z ) + y ( tx + 2tyt z ) + z ( 3t z (t y + t x ) ) ) dt
∫
= ( 2txy + 7t x z + 5t y z ) dt = ( xyt + t y z + x z t ⎤⎦ = xy + y z + x z .
∫
f ( x, y , z ) =
1
0
1
3 3 3 3
3 3
2 2
2
2
4
4
0
1
6
4 3
4
2 3
2
5
2 3
4 3 8 1
2 3
4 3
0
0
OBSERVACIÓN (CONSTRUCCIÓN DE LA FUNCIÓN POTENCIAL). Si sabemos que un cierto campo
F = ( P, Q, R) deriva de un potencial y queremos hallar una función potencial f , entonces podemos
construir la función potencial que nos da el teorema fundamental del cálculo para integrales de línea
(integrando a lo largo de un segmento) o bien plantear el sistema de tres ecuaciones diferenciales
f x = P, f y = Q y f z = R y resolverlo. Por ejemplo, consideremos el campo vectorial
F ( x, y, z ) = (2 xyz + z 2 − 2 y 2 + 1, x 2 z − 4 xy, x 2 y + 2 xz − 2)
definido en \ 3 que tiene rotacional cero, como se comprueba sin dificultad. El teorema anterior
asegura que F tiene una función potencial f . Vamos a calcularla. Sabemos que
f x ( x, y, z ) = 2 xyz + z 2 − 2 y 2 + 1,
luego f ( x, y, z ) = x 2 yz + z 2 x − 2 y 2 x + x + g ( y, z ), siendo g ( y, z ) una función arbitraria de dos variables. Entonces la derivada parcial con respecto a y es
f y ( x, y, z ) = x 2 z − 4 xy + g y ( y, z ) = x 2 z − 4 xy,
con lo que g y ( y, z ) = 0 y nos queda g ( y, z ) = h( z ), siendo h( z ) una función arbitraria de una variable. Entonces f z ( x, y, z ) = x 2 y + 2 zx + h′( z ) = x 2 y + 2 zx − 2, luego h′( z ) = −2 y h( z ) = −2 z + C.
En definitiva tenemos que f ( x, y, z ) = x 2 yz + z 2 x − 2 y 2 x + x − 2 z + C. La constante C se suele determinar con alguna condición puntual sobre la función potencial.
EJERCICIO 1. En cada uno de los siguientes casos, determina si F es o no es el gradiente de un
campo escalar. En caso afirmativo, calcula una función potencial.
(1) F ( x, y ) = (2 xy, x 2 + 1).
(2) F ( x, y ) = ( x, y ).
(3) F ( x, y ) = (3x 2 y, x3 ).
(4) F ( x, y ) = ( sen y − y sen x + x, cos x + x cos y + y ) .
(5) F ( x, y ) = ( x + y 2 , 2 xy ).
(6) F ( x, y ) = ( x 2 + y 2 , 0).
(7) F ( x, y, z ) = ( x + z , − y − z , x − y ).
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Lección 3. Cálculo vectorial.
EJERCICIO 2. Prueba que el campo F ( x, y ) = (3x 2 y + 3, x3 + 2 y + 2) es conservativo y halla una
función potencial f tal que f (1, −1) = 1.
EJERCICIO 3. Consideremos el campo vectorial F : \ 2 → \ 2 dado por
⎛
F ( x, y ) = ⎜ sen( xy ) + xy cos( xy ) + by, x 2 cos( xy ) +
⎝
∫e
x
0
at 2
⎞
dt ⎟ .
⎠
Determina los valores de a y b sabiendo que F es un campo conservativo en \ 2 y calcula también una función potencial de F .
EJERCICIO 4. Sea F : \ 2 → \ 2 el campo vectorial definido por F ( x, y ) = (ax, by ) cos( xy ). ¿Para
qué valores de los parámetros a y b es F un campo conservativo? Para estos valores, calcula una
función potencial.
⎛ y 1⎞
EJERCICIO 5. Sea F el campo F ( x, y ) = ⎜ − 2 , ⎟ , x ≠ 0. ¿Es conservativo? Describe dominios
⎝ x x⎠
donde lo sea y halla sus funciones potenciales. Siendo C el arco de la parábola x = 2 y 2 que va desde A = (2,1) hasta B = (2, −1) calcula
∫ F ⋅ dC.
C
⎛
4x2 ⎞
EJERCICIO 6. (1) Dado el campo vectorial F ( x, y ) = ⎜ 2 y − 6 x,3 x −
⎟ , definido en el semiplano
y ⎠
⎝
superior, esto es, en R = {( x, y ) ∈ \ 2 : y > 0}, prueba que este campo no es el gradiente de ningún
campo escalar.
(2) Encuentra una función de la forma μ ( x, y ) = xy a de manera que μ F sí sea el gradiente de un
campo escalar y determina las correspondientes funciones potenciales.
EJERCICIO 7. Calcula una función potencial para cada uno de los siguientes campos escalares:
(1) F ( x, y ) = (6 xy − y 3 , 4 y + 3 x 2 − 3xy 2 );
(2) F ( x, y, z ) = (2 x, 2 yz, y 2 + z cos z + sen z ).
EJERCICIO 8. Considera el campo vectorial definido por
F ( x, y, z ) = (1 + 2 xy sen z , ze y + x 2 sen z , 2 z + e y + x 2 y cos z ).
(1) Justifica que F es un campo conservativo sin calcular una función potencial.
(2) Calcula una función potencial del campo F .
(3) Enuncia y demuestra la regla de Barrow para integrales de línea.
(4) Calcula la integral
∫ F ⋅ dC donde C es un meridiano de la esfera x
2
+ y 2 + z 2 = 4, recorrido
C
desde el polo norte hasta el polo sur.
7