Práctico 5 una función entera. Demostrar que si existe n tal que |f(z

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Análisis complejo - Curso 2009
Práctico 5
1. Sea f : C → C una función entera. Demostrar que si existe n tal que |f (z)| < |z|n
para todo z ∈ C entonces f es un polonomio.
2. Sea f una función entera. Demostrar que la condición f (z) → ∞ para z → ∞
implica que f es un polinomio.
3. Sea f meromorfa en todo el plano (i.e. sus singularidades son aisladas y son polos).
Demostrar que si f (1/z) también es meromorfa entonces f es el cociente de dos
polonomios.
4. Mostrar que si f es holomorfa en un entorno del origen existe N tal que |f (n) (0)| <
n!nn para todo n > N .
5. Sean f, g holomorfas en un entorno del origen y tales que el origen es un polo de
orden m para f y de orden n para g . ¾Que se puede decir sobre el orden del polo
en el origen para f g, f /g y f + g ?
6. Calcular la integral en el círculo de centro cero y radio uno de ez z −n .
7. Probar que si la parte real de una función holomorfa está acotada por arriba en el
entorno de una singularidad aislada entonces dicha singularidad es evitable.
8. Clasicar las singularidades de :
z/sin(z)
exp(1/z)
z cos(1/z)
1/(z(ez − 1)
cot(z)
1