PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 1. Un peso de 8 lb. está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte está estirado 6 pulgadas. En el instante t = 0 el peso se desplaza 3 pulgadas hacia abajo de su posición de equilibrio y se impulsa para ser puesto en movimiento con una velocidad inicial de 2 pies/s, dirigida hacia arriba. a. Establecer la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que modelen el problema. b. Determinar el desplazamiento resultante y la velocidad del peso como una función del tiempo. Escribir también la forma alterna de la solución. c. Determinar la amplitud, el perı́odo y la frecuencia del movimiento. d. Calcular el primer tiempo en que el peso se encuentra a 1/8 de pie abajo de su posición de equilibrio. e. Calcular el instante en el que el peso pasa por tercera vez por su posición de equilibrio y su velocidad en ese instante, determinando hacia dónde se mueve. √ √ π π 2 cos(8t) sen(8t) − , x(t) = sin(8t − ), v(t) = 2 2 cos(8t − ). Solución: (b) x(t) = 4 4 4 4 4 √ 2 π 4 pies; (segundos), (oscilaciones por segundo). (d) t = (c) 4 4 π 0.1963s. (e) t = 0.8835s, v = 2.8284 pies/s, hacia abajo. 2. Un resorte tiene la capacidad de estirarse 6 pulgadas cuando se le cuelga un peso de 25 libras. El resorte está suspendido del techo, tiene en su extremo inferior un peso de 16 lb. y el peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio. Después se desplaza 4 pulgadas hacia abajo de su posición de equilibrio y se suelta en t = 0 con una velocidad inicial de 2 pies por segundo, dirigida hacia arriba. a. Establecer la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que modelen el problema. b. Determinar el desplazamiento resultante como una función del tiempo. 2 c. Determinar la amplitud, el perı́odo y la frecuencia del movimiento resultante. d. Calcular el instante en el que el peso pasa primero por su posición de equilibrio y su velocidad en ese instante. √ cos 10t sen10t − . (c) 34/15 pies; π/5 (segundos), 3 5 5/π (oscilaciones por segundo). (d) 0.103 (segundos); 3.888 pies/segundo. Solución: (b) x =