ρ θ θ

MODELOS DE CRECIMIENTO ENDÓGENO
1. El Modelo AK
El comportamiento de los hogares
Nota: voy a denotar las variables cambiantes en el tiempo de esta
forma: xt, en lugar de x(t) como correspondería a un modelo en tiempo
continuo.
Problema del hogar:
 ct1  1 
Max  e 
dt   0,   0
0
ct 
 1 
sujeto a: at  (rt  n)at  ct
(1)

 t
dado a0
Solución de este problema:
 ct1  1 

H  e 
(
r
n
)
a
c




t
t 
 t t
1





Sea t  t e  t   t  e  t t  t .
 t


CPO :
ct t
H

 0  ct  t   
ct t
ct

(2)
H
  t  e  t t  t 
at
 e  t t (rt  n)  e  t t  t 




t
-  rt  (   n).
t
lim at e  t t  0.
t 
Por tanto, las condiciones de optimalidad son:
ct 1
  rt  (n   ) .
ct 
at  ( rt  n)at  ct
junto con (4).
(3)
(4)
(5)
(6)
El comportamiento de las empresas
Max f (kt )  ( r   ) kt
kt
sujeto a: f (kt )  Akt
(7)
CPO:
rt  A    r  A   , t
(8)
El equilibrio
Dado que esta economía es cerrada, en equilibrio
debe ocurrir que at  kt .
Def. Un equilibrio consiste en unas asignaciones
ct , at , kt  y unos precios rt  tales que:
a) ct , at  resuelven el problema del hogar, dado
rt  ;
b) kt  resuelve el problema de la empresa dado
rt  ;
c) Los mercados se vacían  kt  at , es decir
ct  kt  ( n   )kt  Akt



 
Consumo
Inversión
Producto
En definitiva, las condiciones de optimalidad del
problema son (sustituyendo (8) y kt  at en (4)-(6)) :
ct  kt  ( n   )kt  Akt
(9)
ct 1
  A  (    n) 
ct 
(10)
lim kt e  ( A n ) t  0,
(11)
t 
ya que de (3) t    A  (    n)  t 
 t  e
 A (    n ) t
 lim kt e  t e
t 
0 
 A (    n ) t
0  lim kt e  ( A n ) t  0.
t 
Es fácil ver de (10) que es una ecuación diferencial
en la variable ct, con parámetros constantes, cuya
solución es:
1
ct  c(0) e

( A    n ) t
(12)
Supondremos que el crecimiento del consumo es
positivo, es decir, A      n . Además
supondremos que la suma de utilidades descontada
está limitada o acotada, es decir, el consumo no
puede crecer más rápido que el descuento:


0
e
 t

ct1  1
dt     e  t (ct1  1) dt  
0
1


  e c dt   e  t dt  
0
0



  t 1
t
0  1 

  e  t ct1 dt  
0

 e
0


c0 (0, )


0

 1

 
( A    n )  t


 1
0
c dt  
e
 1

 
( A    n )  t



1

dt  
(A   n  )  0
esto es, la “condición de utilidad acotada o
limitada”.
En definitiva, existe solución con crecimiento del
consumo positivo si
1
A     n 
( A      n)  n   .

Dinámica de transición
Ahora demostramos que el modelo carece de
dinámica de transición, y calculamos el valor óptimo
del consumo inicial. Con esto tendremos resuelto
analíticamente el problema:
Sustituyendo (12) en (9) tenemos:
1
kt  ( A    n) kt  c0 e ct , donde  c  ( A      n)

La solución a esta ecuación es (ver apéndice 1):

 ( A n ) t
c0
c0

kt   k 0 
e
e c t ,

( A    n)   c 
( A    n)   c

donde ( A    n)   c  0 por la condición de "utilidad
acotada o limitada".
Si sustituimos esta expresión en la condición de
transversalidad (11) tenemos:
 

c0
c0

 c ( A  n )t 

e
lim   k0 
0

t 
( A    n)   c  ( A    n)   c
 



c0
c0
 c ( A  n )t
 lim  k0 

0
e
lim

t 
t 










A
n
A
n
(
)
(
)


c 
c 

 0 porque  c  ( A  n )  0


c0
 lim  k0 
0
t 
( A    n)   c 

Para que se satisfaga esta expresión, tiene que cumplirse
que el consumo inicial óptimo sea:
c0   ( A    n)   c  k0
(13)
Por tanto, la solución al problema es:
1
Dado k0 y  c = (A    n   ) :

kt  k0 e
 c t
,
ct   ( A    n)   c  kt   ( A    n)   c  k0 e
 c t
,
yt  Ak0 e c  ,
kt  ( n   )kt  c  (n   )
s

yt
A
 t
Todas las variables que crecen lo hacen a la misma
tasa constante.
El problema del planificador
Max
ct 


0
e
 t
 ct1  1 

dt
 1 
sujeto a: kt  Akt  (  n)kt  ct
dado k0
Puede demostrarse que las condiciones de
optimalidad son:
ct  kt  (n   ) kt  Akt
(14)
ct 1
 (A   n  )
ct 
(15)
lim kt e  ( A n ) t  0.
(16)
t 
Estas condiciones son las mismas que obteníamos en
el equilibrio competitivo. Por tanto, podemos decir
que el equilibrio competitivo es óptimo y que
podemos encontrar unos precios (unos tipos de
interés y un precio sombra o variable de coestad0)
tales que la solución del planificador coincida con el
equilibrio competitivo. En definitiva, se satisfacen
los dos teoremas del bienestar.
Apéndice 1
*Solución de la ecuación homogénea  kt =( A    n)kt  :
kt  B e( A n )t , donde B es una constante arbitraria.
*Una solución particular: kt  D e ct  kt   c D e ct :
Sustituyendo esta solución particular en kt =( A    n)kt - c0e ct
se tiene que D 
c0
.
A   n c
Nótese que, por la condición de utilidad limitada: A    n   c >0.
*Solución general (sumando la solución a la ec. homogénea y la
solución particular):
kt  B e( A n )t 
c0
e c t .
A   n c
*Solución completa: teniendo en cuenta que k (0)  k0 , dado:
entonces B  k0 
c0
.
A   n c
Por tanto, la solución es:

 ( A n ) t
c0
c0
kt   k 0 
e
e c t


A  n c 
A   n c
