Examen de EDPs (conv. Junio)

Dpto de Matemáticas de la UAM
12 de junio de 2013
Grado de Matemáticas / Licenciatura de Matemáticas
Curso 2012-2013
(grupos 14454 y 16469)
Examen de EDPs (conv. Junio)
1. (i) Calcular la solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en la bola
de radio R > 0 del plano R2 con datos de contorno regulares u(x) = g(x) para |x| = R.
(ii) Hallar la solución explı́cita cuando los datos son g1 (x) = cos(θ) y cuando son g2 (x) =
(cos(θ))2 , siendo x = R(cos θ, sin θ).
2. Se dice que una función u(x, t) es calórica en un dominio Ω de Rn+1 si es regular en ese
dominio y ut = ∆u. Si se tiene ut ≤ ∆u se dice que es subcalórica, si ut ≥ ∆u se dice
supercalórica.
(i) Demostrar que si u ≥ 0 es una función calórica Ω, entonces v = log(1 + u) es
supercalórica, escribiendo primero la ecuación que satisface.
(ii) Bajo las mismas hipótesis, decir qué sucede con w = eu .
3. (i) Demostrar unicidad de soluciones da la ecuación del calor planteada para x ∈ Ω un
dominio acotado del plano y con 0 < t < T . Poner el resto de datos necesarios para
enunciar el problema correctamente.
(ii) Mismo ejercicio con la ecuación del calor modificada ut = ∆u − u.
(iii) Mismo ejercicio con la ecuación del calor modificada ut = ∆u + u.
4. (i) Se sabe que la incógnita u(x), x ∈ R, de un problema diferencial satisface
u′′ − u′ = 0 for x ̸= 0,
u(−∞) = 0. u(∞) = 1.
Se sabe además que u es continua en x = 0. Calcularla. ¿Es única?
(ii) Explicar que pasa en x = 0. En particular, ¿Se satisface la ecuación? ¿Se puede
explicar lo que pasa escribiendo algún tipo de ecuación válida para todo x ∈ R?
(iii) Decir qué pasa si los datos de contorno son u(−R) = 0, u(R) = 1.
Instrucciones. Identificar claramente el grupo al que pertenece, G(rado) o L(icenciatura),
y/o situación especial, en la hoja oficial de examen.
Poner : Apellidos, Nombre en mayúsculas en la parte superior de cada hoja entregada.
Hacer cada problema en hojas separadas de los otros.
No se permite el Uso de Libros, Apuntes, Calculadora, Tablas etc.
Tiempo aproximado de duración 3 horas.
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