coeficientes constantes

Tema 1: Ec. Dif. lineales con coeficientes constantes
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Tema 1: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES
CONSTANTES
Ecuaciones lineales de orden superior
1. Resolver las siguientes ecuaciones lineales de orden superior a uno con coeficientes constantes.
a) y 00 + 4y = 3x + 1 + ex
b) y 00 − y 0 − 2y = 0
c) y 00 + 2y 0 + y = cos3x
d) y 00 − 4y = x2 e3x
e) y 00 − y 0 = x2
f ) y 00 + 25y = 5
g) y 00 − 3y 0 + 2y = e5x
h) y 00 − 6y 0 + 9y = 2xe3x
i) y 00 + 9y = 5sen3x + 2cos3x
j) y 000 − 2y 00 − 5y 0 + 6y = ex + x2
k) y 000 + y 00 − 5y 0 + 3y = e−x + sen x
l) y 000 + 3y 00 − 4y = e−2x
m) y 000 + y 00 − 2y = xex + 1
n) y 000 + y 0 = sen1
x
o) y 00 − 6y 0 + 9y =
e3x
x2
p) y 00 + 4y = sen4 2 2x
q) y 00 − 4y 0 + 3y =
1
1+e−x
r) y 00 − y =
1
1+e−x 2
s) y 00 − y = e−x sen e−x + cos e−x
2. Determinar las soluciones de los siguientes problemas de valores iniciales.
a) y 00 + y = 2e−x , y(0) = 0, y 0 (0) = 0
b) y 00 − y 0 − 2y = cos x − sen 2x, y(0) = −7/20, y 0 (0) = 1/5
c) y 00 − y = ex − e−x + 2, y(0) = 0, y 0 (0) = 0
d) y 00 − 7y 0 + 10y = x2 − 4 + ex , y(0) = 3, y 0 (0) = −3
e) y 000 + 2y 00 − 9y 0 − 18y = −18x + 22, y(0) = −2, y 0 (0) = −8, y 00 (0) = −12
f) y 000 − 2y 00 + 5y 0 = −24e3x , y(0) = 4, y 0 (0) = −1, y 00 (0) = −5.
3. El movimiento de un sistema resorte-masa con amortiguación está regido por
x00 (t) + bx0 (t) + 16x(t) = 0,
x(0) = 1, x(0) = 0.
Encuentre la ecuación del movimiento y trace su gráfica para b = 6, 8 y 10.
4. El movimiento de un sistema resorte-masa con amortiguación está regido por
x00 (t) + 10x0 (t) + kx(t) = 0, x(0) = 1, x(0) = 0.
Encuentre la ecuación del movimiento y trace su gráfica para k = 20, 25 y 30.
5. Una masa de 20 kg estira un resorte 98 cm al llegar al reposo en equilibrio. La constante
de amortiguación del sistema es 140 N·seg/m. Si la masa se tira 25 cm hacia abajo de la
posición de equilibrio y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba de 1 m/seg, ¿en qué
momento regresará a su posición de equilibrio?.
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6. Una masa de 8 kg se sujeta a un resorte suspendido del techo. Esto ocasiona que el resorte
se estire 1.96 m al llegar al reposo en equilibrio. En el instante t = 0, se aplica una fuerza
externa f (t) = cos 2t N al sistema. La constante de amortiguación del sistema es 3 N· seg/m.
Determine la solución estacionaria del sistema.
7. Una masa m, libre para moverse por el eje x, es atraı́da hacia el origen con un fuerza
proporcional a su distancia al origen. Hallar el movimiento a) si se pone en marcha en
x = x0 partiendo del reposo y b) si se pone en marcha en x = x0 con una velocidad inicial
v0 , alejándose del origen.
8. A una barca se le comunica una velocidad inicial de 6 m/s. A los 60 segundos del comienzo
del movimiento, esta velocidad ha disminuido a la mitad. Hallar la ley del movimiento de
la barca, si la resistencia del agua es directamente proporcional a la velocidad de la barca.
9. Una masa de 1 Kg. se halla sujeta a un resorte con constante de recuperación k = 4N/m.
Estando la masa en equilibrio en t = 0, se le aplica una fuerza externa F (t) = (1+t+sen 2t).
Se sabe que si el muelle se estira una longitud 1/2 + π/4 (o más) desde su posición de
equilibrio, se romperá. Supóngase que no hay amortiguamiento y hallar el tiempo que tarda
en romperse el resorte.
10. Consideremos el circuito de la figura, donde se tiene una resistencia R, un condensador
de capacidad C, una autoinducción L y una fuerza electromotriz E(t). Si q(t) es la carga
presente en el circuito e i(t) = q 0 (t) es la intensidad de corriente, se tiene la ecuación
L
d2 i
di
1
+
R
+
i = E 0 (t).
dt2
dt C
Si se supone que inicialmente no hay carga, y la intensidad de corriente es cero, resolver la
ecuación cuando la fuerza electromotriz E verifica:
a) E=cte.
b) E = E0 cos wt.
11. Supóngase que en el circuito anterior no hay resistencia. ¿Qué ocurre si E = E0 cos wt?
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12. Consideremos el sistema masa-resorte siguiente:
Si se supone que no hay amortiguamiento, las posiciones u1 y u2 de las masas verifican el
sistema:
u001 + 5u1 = 2u2 , u002 + 2u2 = 2u1 .
Despejar u2 en la primera ecuación y sustituirla en la segunda para obtener una ecuación
de cuarto orden para u1 . A partir de aquı́, determinar u1 y u2 .
(a) Encontrar la solución que cumple u1 (0) = 1, u01 (0) = 0, u2 (0) = 2, u02 (0) = 0.
(b) Determinar la solución que cumple u1 (0) = −2, u01 (0) = 0, u2 (0) = 1, u02 (0) = 0.
(c) Comparar las dos soluciones anteriores.
13. Una boya en forma de cubo de lado l con densidad de masa por unidad de volumen ρ flota en
un lı́quido de densidad de masa por unidad de volumen ρ0 , con ρ0 > ρ. Si la boya se sumerge
ligeramente en el lı́quido y se suelta, oscila hacia arriba y hacia abajo. Si suponemos que
solamente actúan sobre la boya la fuerza de la gravedad y la resistencia del agua, obtenemos
la ecuación diferencial ρl2 x00 + gρ0 x = 0. Determinar la amplitud del movimiento si ρ0 = 1
g/cm3 , ρ = 0.25 g/cm3 , l = 100 cm, g = 980 cm/seg2 , x(0) = 25 cm y x0 (0) = 0.
14. Una viga horizontal de longitud 1 está sujeta por sus extremos, y sufre una desviación de la
posición de equilibrio debido a la gravedad. Si la forma de la viga está dada por la función
y = s(x), 0 ≤ x ≤ 1, se cumple la ecuación diferencial
EI
d4 s
= w(x),
dx4
donde E, I son constantes relacionadas con la estructura de la viga y w(x) representa la
distribución de masa de la viga. Resolver la ecuación en el caso en que E = I = 1, w(x) = 48
y s(0) = s0 (0) = 0, s(1) = s0 (1) = 0.
15. Resolver la ecuación de la viga en el ejercicio anterior si EI = 1 y w(x) = x(1 − x), con las
mismas condiciones iniciales.
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16. Resolver las siguientes ecuaciones lineales de orden superior a uno con coeficientes constantes.
1
cos x
a) y 000 + 3y 00 + 3y 0 + y = e−x (x − 5)
b) y 00 + y =
c) y 00 + 9y = e5x
d) y 00 − y = ex (x2 − 1)
e) y 00 + 4y 0 + 4y = cos 2x
f ) y 00 + 4y = cos 2x
g) y 00 + 2y 0 + 2y = e−x (x cos x + 3sen x)
h) y 00 + y = sen1 3 x
i) y 00 + y = 1 − sen1 3 x