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P9.- La complianza de fluencia de un determinado tipo de propileno, a 35 ºC, viene dada por:
J(t)=1.2t0.1 GPa-1 donde t viene
expresado en segundos.
Dicho material exhibe el principio de superposición tiempo-temperatura y obedece a la
ecuación de Arrhenius con una energía de activación de ΔH = 170 kJ.mol-1. Determinar la
complianza de fluencia para dicho propileno a 40 ºC.
R.- 1.33t0.1 GPa-1.
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SOLUCIÓN
El principio de superposición tiempo-temperatura permite obtener a partir de
experimentaciones directas de corta duración a temperaturas altas (T) información acerca de
las propiedades a temperaturas bajas (T0) que se tardaría mucho tiempo en obtener (larga
duración)
Se demuestra que
JT (a t )  JT (t )
T
0
Donde aT es el factor de traslación, que se define como el cociente:
aT 
donde :
τ(T) = Tiempo de relajación a la temperatura T.
τ(Tr) = Tiempo de relajación a la temperatura de referencia Tr.
 (T )
 (Tr )
JT (a t )  JT (t )
T
0
Se supone que T0 es la temperatura a la que se conoce el valor de los datos, es decir de la
complianza de fluencia, que en nuestro caso la temperatura es 35 ºC y la complianza de
fluencia es: J(t) = 1.2t 0.1 e
J 40 (a t )  J 35 (t )
Entonces:
40
Realizando el cambio de variable: a40t = u , t = u/a40 se obtiene:
El factor de traslación se deduce de la ecuación de Arrhenius:


u
J 40 (u )  J 35 
 a 
40 

H
aT 
 (T ) Ce
 H  e
 (T0 ) Ce RT
RT
0
a e
T
Por tanto:
H
R
1 1 
170000 J / mol  1
1 
  



T T 
0   e 8.31 J / K .mol  313 308   0.346

J 40 (u )  J 35
Con lo cual

u
0.346 

 1.2 u
0.346 
0.1
J(t) = 1.33t0.1 GPa-1.
 1.33u 0.1
H  1 1 
  
R  T T0 
P10.- Se requiere conocer la complianza de fluencia a la temperatura de 300 K y a la edad de
10 años, de un nuevo polímero que ha sido sintetizado hace un año, de tal modo que no es
posible conocer datos reales de el. Si se realiza la determinación a la temperatura de 350 K,
¿Cuánto tiempo se requerirá para conocer el valor del parámetro deseado?.
Datos: ΔH = 120 kJ.mol-1.
SOLUCIÓN
El factor de traslación se deduce de la ecuación de Arrhenius:
H
 (T ) Ce RT
aT 

e
 (T0 ) CeH RT
H  1 1 
  
R  T T0 
0
a e
T
H
R
1 1 
120000 J / mol  1
1 
  



T T 
0   e 8.3144 J / K .mol  350 300   1.035 x103

Y como: t1 = aTt0 se tiene:
t1 = aTt0 = 1.035x10-3x10=0.01035 años (=90.67 horas ≈ 3.8 días)
P23.- Un determinado grado de polipropileno tiene un módulo de relajación dado por la
ecuación:
E(t) = 1.8t -0.1
donde E(t) esta en GN/m2 y t en segundos. La temperatura del material es de 20 ºC. Usar la
ecuación de Williams, Landel y Ferry (WLF) para determinar el módulo del material a 60 ºC y a 1
año. La temperatura de transición vítrea del polipropileno es de -10 ºC.
R.- 0.14 GN/m2.
SOLUCIÓN
Williams, Laundel y Ferry han probado que log(aT) puede ser descrito empíricamente por la
siguiente ecuación
0
log  aT   
C1 (T  T0 )
C20  (T  T0 ) 
donde C10 y C20 son constantes y T0 es una temperatura de referencia. Si T0 se toma como Tg,
entonces C10 = C1g y C20 = C2g y toman los valores 17.4 y 51.6, respectivamente, válidos para
prácticamente todos los polímeros amorfos.
17.4(T  Tg )
log  aT  
51.6  (T  Tg )
log  aT  
 
17.4(T  Tg )
51.6  (T  Tg )
log aT 
17.4(20  10) 522

51.6  (20  10) 81.6
 
17.4(60  10) 1218

51.6  (60  10) 121.6
1
log aT
2

τ(T) τ(Tr) [aT=τ(T)/τ(Tr)]<1
log(aT) < 0
aT 
 (T )
 (Tr )
τ(T) = Tiempo de relajación a la temperatura T (= 60 ºC)
τ(Tr) = Tiempo de relajación a la temperatura de referencia Tr (= 20 ºC)
 
 
log  aT   log aT  lo g aT
1
aT  2.4 x104
2

E60 (t )  E20 t
1 año = 3.15x106 s

17.4(20  10) 17.4(60  10) 522 1218



 3.62
51.6  (20  10) 51.6  (60  10) 81.6 121.6
2.4 x104
E60 (t )  0.78t
 
 1.8 t
0.1
2.4 x104


 0.78 3.15 x10
0.1

 0.78t 0.1
6 0.1
 0.14 GN / m 2