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MINISTERIO DE EDUCACIÓN - ARGENTINA
ACCEDE - INGENIERÍA ELECTRÓNICA
PROBLEMA Nº 1
SITUACIÓN
Una herramienta importante utilizada para el análisis de los sistemas lineales e invariantes en el
tiempo (lit) (también llamados “lineales estacionarios” ), son los conceptos elementales de la
convolución y de la transformada de Fourier de señales, tanto de tiempo continuo (tc) como de
tiempo discreto (td). Por ejemplo, utilizando el par transformado de Fourier en tiempo discreto:
x[n ] =
1
X(Ω)e jΩn dΩ
∫
2π
2π
+∞
X (Ω ) =
∑ x[n ] e − jΩn
n = −∞
es posible asociar la secuencia particular x[n ] con su contenido espectral en frecuencias (Ω) a
través de su transformada de Fourier X (Ω) . Utilizando esta transformación de señales es
posible obtener la respuesta en frecuencia de un sistema lit, como así también su respuesta
temporal.
Otro concepto importante es la integral de convolución entre dos señales de tiempo continuo
y(t)=x(t)*h(t). La integral de convolución está directamente asociada a la respuesta temporal de
sistemas lit en tiempo continuo y puede ser calculada como:
y( t ) =
∞
∫ x ( τ)
h ( t − τ) dτ
−∞
.
Utilizando estos conocimientos resuelva el siguiente cuestionario:
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SUBPROBLEMA 1.1
Encuentre la respuesta en frecuencia del sistema cuya salida es y[n] = (1/4)n µn cuando la
entrada es x[n] = (1/2)n µ[n] donde µ[n] es el escalón unitario. También exprese su respuesta al
impulso discreto.
RESPUESTA AL SUBPROBLEMA 1.1
Primero obtenemos la transformada de Fourier de ambas secuencias
Y ( Ω) =
1
;
1 − (1 / 4)e − jΩ
X ( Ω) =
1
;
1 − (1 / 2)e − jΩ
luego la función de transferencia del sistema es H (Ω) =
H (Ω ) =
Y ( Ω)
;
X ( Ω)
1 − (1 / 2)e − jΩ
1
= 2−
− jΩ
1 − (1 / 4)e
1 − (1 / 4)e − jΩ
finalmente la respuesta al impulso está dada por su antitransformada:
h[n] = (2 δ[n]-(1/4)n) µ[n] donde δ[n] es el impulso discreto.
SUBPROBLEMA 1.2
Dado el sistema causal en tiempo continuo
d ( x ( t ))
+ 2x ( t ) = f ( t )
dt
Halle x(t) cuando la entrada es f(t) = µ(t-1) donde µ(t) es el escalón unitario y x(1)=0. La
respuesta del sistema a una entrada impulso está dado por h(t)=e-2t µ(t). Use la integral de
convolución para obtener la respuesta.
RESPUESTA AL SUBPROBLEMA 1.2
Por propiedad de invariancia en el tiempo de un sistema (lit), desplazar la entrada de un
sistema es equivalente a desplazar la salida. Entonces resolvemos primero la respuesta del
sistema a una entrada escalón sin desplazar con condición inicial x(0)=0. Aplicando la
integral de convolución se tiene
t
t
0
0
z( t ) = ∫ e − 2( t − τ) dτ = e − 2 t ∫ e 2 τ dτ =
1 − e −2 t
µ(t)
2
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finalmente la solución se tiene desplazando la salida en y(t) = z(t-1) valida para todo t
mayor o igual a uno y cero para t menor que uno.
y( t ) =
1 − e −2( t −1)
µ(t-1)
2
SUBPROBLEMA 1.3
Un canal de transmisión de amplitud modulada esta formado por el producto de la señal x(t) que
se quiere transmitir y una portadora. La señal resultante y(t) consiste en
y(t) = x(t) cos(ωpt)
donde ωp = 2πf es la frecuencia de la portadora. Si x(t) no tiene componentes de frecuencias
mayores que f0=10 kHz, ¿Cuál es la separación mínima entre frecuencias portadoras que debe
respetarse para poder transmitir dos canales idénticos simultáneamente?.
RESPUESTA AL SUBPROBLEMA 1.3
Por la propiedad que establece que la transformada de Fourier de un producto de señales es
la convolución entre las transformadas de cada señal, se tiene que
F
y( t ) = x ( t ) cos(ω p t ) → Y(ω) =
1
X(ω) * P(ω)
2π
donde Y(ω), X(ω) y P(ω) son las transformadas de Fourier de y(t), x(t) y la portadora
respectivamente, * significa convolución. La transformada de la portadora está dada por
P(ω) = π[δ(ω − ω p ) + δ(ω + ω p )
donde δ(.) es la función delta de Dirac. Luego la convolución entre P(ω) y X(ω) resulta en
un desplazamiento en frecuencia de tal manera que Y(ω) queda
1
Y(ω) = [X(ω − ω p ) + X(ω + ω p ) ]
2
por lo que la portadora deberá estar separada 20 KHz para que no haya superposición de los
espectros individuales.
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