Fundamentos de la Teoría de Señales y Sistemas Alfredo Restrepo Palacios, Ph.D Bogotá, Agosto 2012 Índice general 0. Bases matemáticas 0.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2. Relaciones y Funciones . . . . . . . . . . . . . . 0.2.1. Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.2. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . 0.2.3. Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.4. Partición . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.5. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . 0.2.6. Suprémum, Infímum . . . . . . . . . . . 0.2.7. Máximo y mínimo . . . . . . . . . . . . 0.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.1. Sobreyección . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.2. Inyección. (función uno-a-uno) . . . . . 0.3.3. Biyección. (correspondencia uno-a-uno) 0.4. Relaciones Ternarias . . . . . . . . . . . . . . . 0.4.1. Propiedades de relaciones ternarias . . 0.5. Estructuras algebráicas . . . . . . . . . . . . . . 0.5.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5.2. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 6 6 6 7 11 12 12 13 13 15 15 15 18 19 20 21 23 ÍNDICE GENERAL 0.5.3. Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5.4. Matrices y Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5.5. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.6. Los Números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.6.1. Orden lineal para N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.6.2. Divisor y múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.6.3. Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.6.4. Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.6.5. Máximo común divisor, mínimo común múltiplo . . 0.6.6. Conjuntos contables y no contables . . . . . . . . . . 0.6.7. Conteos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.6.8. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.7. Los Números Enteros Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.7.1. La relación de orden lineal entre los números enteros 0.7.2. Intervalos enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.7.3. Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.7.4. Congruencias módulo N . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.8. Los Números Racionales Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.8.1. Relación de orden lineal para los números racionales 0.8.2. Fallas geométricas y algebráicas de los racionales . . 0.8.3. Fallas topológicas de los racionales . . . . . . . . . . . 0.8.4. Cortes de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.9. Topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.9.1. Topología estándar para números reales R . . . . . . 0.10. Los Números Reales R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.10.1. Aproximación de reales con racionales . . . . . . . . 0.10.2. Aproximación de ū con racionales . . . . . . . . . . . 0.10.3. Relación de orden lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.10.4. Congruencia entre números reales . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 26 26 27 29 30 30 30 30 31 32 32 32 33 34 34 35 35 39 40 41 42 44 44 45 47 47 47 48 iv ÍNDICE GENERAL 0.10.5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.10.6. Subconjuntos densos en ninguna parte . . . . . . . . . . 0.11. La circunferencia S1 = T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.11.1. Circularidad de S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.11.2. Definiciones Básicas y Notación . . . . . . . . . . . . . . 0.11.3. El promedio Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.11.4. Promedio y mediana en S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.11.5. La línea proyectiva P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.11.6. La esfera de dimensión n (Sn ) . . . . . . . . . . . . . . . . 0.11.7. El toro de dimensión n (Tn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.11.8. El espacio proyectivo de dimensión n (RPn ) . . . . . . . 0.12. Los números complejos C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.12.1. Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.12.2. Equivalencias de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.12.3. Estructura algebráica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.12.4. Equivalencia entre las representaciones rectangular y polar de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.12.5. Interpretación geométrica del producto complejo . . . . 0.12.6. Inverso multiplicativo en coordenadas polares . . . . . . 0.12.7. Complejo conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.12.8. La proyección estereográfica . . . . . . . . . . . . . . . . 0.12.9. Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.12.10.Excepciones a la fórmula (za )b = zab . . . . . . . . . . . . . 0.12.11.Transformaciones de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . 0.13. Los cuaternios (H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.13.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.13.2. Suma y producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.13.3. Partes escalar y vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.13.4. Conjugado, magnitud e inverso . . . . . . . . . . . . . . 49 50 50 51 53 54 55 55 55 56 56 56 61 62 62 63 65 67 68 69 70 71 71 74 74 75 76 77 ÍNDICE GENERAL 0.13.5. Nomenclatura para rotaciones en R3 . . . . . . . . . . . . 0.13.6. H como una estructura de anillo para C × C . . . . . . . 0.14. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.14.1. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.15. Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.15.1. Bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.15.2. Métrica para S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.15.3. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.15.4. Espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.15.5. Límite de una sucesión de números . . . . . . . . . . . . 0.15.6. Convergencia en sentido de Cauchy . . . . . . . . . . . . 0.15.7. Sucesiones y subsucesiones de números reales . . . . . . 0.15.8. Espacios completos y completados . . . . . . . . . . . . . 0.16. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.16.1. Re-ordenamiento de los términos de una serie . . . . . . 0.16.2. Criterios de convergencia de series de números reales y de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.16.3. La serie geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.16.4. La transformada zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.17. Puntos de Rn y Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.18. Intervalos de Rn y de Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19. Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.1. Límite de una sucesión de funciones . . . . . . . . . . . . 0.19.2. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.3. Límite de una función, dadas topologías con base para el dominio y el rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.5. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.6. Con respecto a la continuidad de funciones con rango S1 v 78 80 81 83 84 85 85 86 86 87 87 88 90 93 94 95 97 98 100 101 102 102 103 104 105 105 106 ÍNDICE GENERAL vi 0.19.7. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.8. Interpretación geométrica de la derivada compleja . . . . 0.19.9. Aproximación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.10.Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.11.Diferenciabilidad real y las ecuaciones de Cauchy- Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.12.Extensión en series de potencias . . . . . . . . . . . . . . 0.19.13.Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.14.Integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.15.Particiones de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.16.Variación de una señal continua . . . . . . . . . . . . . . 0.19.17.La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.18.La integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . 0.19.19.Integral de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.20.Transformada zeta inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.21.Teorema de representación de F. Riesz . . . . . . . . . . . 0.19.22.Transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.23.La distribución de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.24.La distribución constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.19.25.La distribución con núcleo escalón . . . . . . . . . . . . . 0.19.26.La distribución valor principal de 1/x y la transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Señales y sistemas 1.0. INTRODUCCIÓN . . . . . . . 1.1. Clasificación de las señales . . 1.2. Funcionales . . . . . . . . . . 1.3. Sistemas . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Espacio vectorial . . . 1.3.2. Transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 108 109 110 110 112 115 115 115 116 117 118 125 125 127 127 128 129 129 130 148 148 153 158 159 161 161 ÍNDICE GENERAL vii 1.3.3. Normas Elepé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 1.4. La norma ele-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 1.5. Variación de señales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 1.6. Variación de señales continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 1.7. Variación promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 1.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 2. Convolución y sistemas de convolución 176 2.0. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 2.1. Convolución (lineal) discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 2.2. Convolución (lineal) continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2.2.1. Curvígrafos(“Splines”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 2.2.2. Convolución de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 2.3. Sistemas de convolución continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 2.3.1. Respuesta escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 2.3.2. Función característica (respuesta impulso) de sistemas de convolución continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 2.3.3. Respuesta a una entrada constante . . . . . . . . . . . . . 194 2.3.4. Respuesta a la derivada de la entrada . . . . . . . . . . . 194 2.3.5. Identificación de sistemas de convolución . . . . . . . . . 195 2.3.6. Una aplicación del teorema fundamental del cálculo . . 196 2.3.7. La carga (la integral o el área) de la respuesta de un sistema de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 2.4. La transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 2.5. Sistemas de convolución discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 2.6. Impedancia y respuesta impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 2.7. Correlación determinística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 2.8. La convolución de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 2.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 ÍNDICE GENERAL viii 3. Señales periódicas (Fourier) 214 3.0. Señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 3.0.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 3.0.2. Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 3.0.3. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 3.1. Sumas de señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 3.1.1. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 3.1.2. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 3.1.3. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 3.2. Señales semi periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 3.2.1. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 3.2.2. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 3.3. Exponenciales complejas y sinusoides . . . . . . . . . . . . . . . 224 3.3.1. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 3.3.2. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 3.4. Señales periódicas contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 3.4.1. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 3.4.2. Propiedades de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 3.4.3. Fórmula de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 3.4.4. Series de sinusoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 3.4.5. Sumas parciales de una serie de Fourier . . . . . . . . . . 234 3.5. Convolución circular continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 3.6. Series de Fourier de funciones discontinuas y fenómeno de Gibbs240 3.7. Señales periódicas discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 3.7.1. Sumas tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 3.7.2. Sumas tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 3.7.3. Una biyección de CN a CN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 3.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 ÍNDICE GENERAL 4. Transf. de Fourier de señales continuas 4.0. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. La transformada de Fourier L-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Propiedades de la transformada de Fourier L-1 . . . . . . . . . . 4.3. Convolución en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Transformada de Fourier L-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Respuesta a sinusoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. Filtro pasa bajas RC de un polo . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. Comportamiento transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4. Análisis del comportamiento asintótico . . . . . . . . . . 4.5.5. representación de un sistema con respuesta escalón discontinua en términos de una suma de sistemas identidad (linea de retardo o filtro pasa todas) y un sistema con respuesta escalón continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Distorsión de fase y distorsión de amplitud . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Filtro ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Distorsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3. Filtro pasa todas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4. Décadas y octavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5. Frecuencias de corte y decibeles . . . . . . . . . . . . . . 4.7. La transformada de Fourier L-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Distribuciones temperadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1. Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Modulación SSB y la transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . 4.9.1. Pares de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix 257 257 258 262 263 267 281 287 290 292 294 298 299 299 302 302 302 305 306 307 314 315 315 316 319 321 x ÍNDICE GENERAL 4.10. Apéndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Apéndice II: Análisis en tiempo contra análisis en frecuencia . . 4.11.1. Respuesta del circuito RC pasa bajas de primer orden a una señal onda cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11.2. Respuesta escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11.3. Respuesta de estado estable a una onda cuadrada . . . . 4.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. DFT y DTFT 5.0. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.0.1. Transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Propiedades de la DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Frecuencias grandes y pequeñas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Filtros discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Respuesta en frecuencia sistemas de convolución . . . . . . . . . 5.5. Polos y ceros de H(z) y H(ω) correspondiente . . . . . . . . . . . 5.6. Sistemas de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. Respuesta a exponenciales complejas discretas . . . . . . 5.7. Transformada Discreta de Fourier DFT . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1. Propiedades de corrimiento circular y modulación de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2. Simetría circular par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.3. Convolución circular discreta . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4. Interpretación de lo convolución circular en términos de señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.5. Relación de Parseval para la DFT . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Propiedades de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1. Conjugada simétrica y conjugada antisimétrica . . . . . . 5.8.2. Implicaciones de las propiedades de simetría para transformadas de señales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . 322 324 324 326 326 327 347 347 351 351 354 357 358 363 365 365 366 368 370 370 372 374 374 375 377 ÍNDICE GENERAL xi 5.9. Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Señal muestreada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.1. Muestreo de señales continuas . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.2. Reconstrucción de la señal continua a partir de sus muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.3. Fórmula para la interpolación trigonométrica de señales contínuas a partir de muestras equiespaciadas . . . . . . 5.11. Resumen gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Resumen de las transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13. Resumen para la propiedad de Parseval . . . . . . . . . . . . . . 5.14. Resumen convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Propiedades de los sistemas 6.0. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Sistemas no lineales: los filtros L . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. Estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4. Estadísticas de orden . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5. Mediana, mínimo y máximo . . . . . . . . . . 6.2.6. Algunas estadísticas L . . . . . . . . . . . . . . 6.2.7. Notación vectorial para las estadísticas L . . . 6.2.8. Estadísticas móviles o filtros de ventana móvil 6.2.9. Filtros L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.10. Señales raíz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Invarianza y Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Invarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 381 382 385 388 390 392 394 396 398 405 405 407 409 410 411 411 412 412 413 413 414 414 415 416 417 418 xii ÍNDICE GENERAL 6.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Sistemas homogéneos e invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Sistemas de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1. Causalidad de un sistema de convolución . . . . . . . . . 6.6.2. Estabilidad de un sistema de convolución . . . . . . . . 6.7. Sistemas lineales e invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1. Con dominio Lp , p ∈ [1, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Representabilidad con convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1. Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2. Sistemas contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.3. El teorema de representación de Riesz y su relación con los sistemas contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Sistemas de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1. Sistemas de Volterra discretos . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 422 422 422 423 423 425 428 428 428 428 431 433 434 434 435 Notación A continuación se da el significado de parte de la terminología matemática que se usa. Se asume que se tiene cierta familiaridad con lógica matemática así como con la teoría de conjuntos: en particular, se asume que conoce el significado de la conjunción ∧, de la disyunción ∨, de la implicación ⇒ y de la doble implicación ⇔. Las letras son símbolos de elementos, conjuntos, etc. x ∈ A : x pertenece a A (o, x es miembro de A). P(x) : x cumple con la propiedad P. ∃ x ∈ A : para algún (o existe un) elemento x en el conjunto A ∀x ∈ A : para cada (o para todo) elemento x del conjunto A a = b : quiere decir que los símbolos a y b representan la misma cosa. : tal que B = {x ∈ A : Q(x)} : B es el conjunto de los elementos de A que cumplen con la propiedad Q. A ⊃ B : el conjunto A contiene al conjunto B. A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}. A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}. S Ba = {x : ∃ a ∈ A, x ∈ Ba }. a∈A T Ba = {x : ∀ a ∈ A, x ∈ Ba }. a∈A Conjunto vacío ∅; ∀x, x 3 A ⇒ A = ∅. 1 2 ÍNDICE GENERAL [a] : clase de equivalencia del elemento a. [x]N : x módulo N. [a, b] : intervalos cerrados, elementos de R2 . [a, b, c, d] : elementos de RN . {x : P(x)} : el conjunto de los elementos que cumplen con la propiedad P. {xi } : sucesiones. (a, b) : pares ordenados. (a, b) : intervalos abiertos. (a, b, c, d) : n-tuplas. ]a, b[: intervalos abiertos de RN . Una operación (clausurativa) entre los elementos de un conjunto A es una función ◦ : A × A → A := : que se define como. =: : que se abrevia como. EL ALFABETO GRIEGO α, A: alfa β, B: beta γ, Γ : gama δ, ∆ : delta , E : épsilon ζ, Z : zeta η, H : eta θ, ϑ, Θ : teta ι, I : yota κ, K : kapa λ, Λ : lambda o labda µ, M : my ν, N : ny ÍNDICE GENERAL ξ, Ξ : xi o, O : omicron π, $, Π : pi ρ, P : ro σ, ς, Σ : sigma τ, T : tau υ, Υ : upsilon φ, ϕ, Φ : phi f i χ, X : ji ψ, Ψ : psi ω, Ω : omega 3 Capítulo 0 Bases matemáticas 0.1. INTRODUCCIÓN La mayoría de los términos que se usan con un sentido técnico es este libro se definen matemáticamente. En este capítulo se ven algunos conceptos matemáticos que son usados durante el resto del libro. La mayoría le serán probablemente conocidos, otros no tanto. Parte de lo que se pretende es acordar la nomenclatura a ser usada. Otros objetivos son: adquirir familiaridad con las “congruencias módulo ene”, repasar los conceptos de dominio, rango y función y, finalmente, ver las bases de la integral de Riemann-Stieltjes. El lector iniciado, interesado en un tema particular en teoría de señales, puede saltar este capítulo y referirse a él en caso necesario. Ejercicio. Demuestre que A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A ¿Qué son conjuntos disyuntos? ¿Qué es el conjunto potencia de un conjunto? Ejercicio. Demuestre que 4 0.1. INTRODUCCIÓN 5 i {a, b} = {b, a} ii {1, 2, 2} = {1, 2} Entre las personas que en tiempos modernos relacionó la lógica y las matemáticas está el lógico italiano Giuseppe Peano (1858-1932). Peano dio una lista de propiedades que cumplen los números naturales. En París en 1900 durante la segunda conferencia internacional de matemáticas Peanó entregó a B Rusell una copia de su “Formulario” donde trataba la axiomatización de las matemáticas. La teoría de conjuntos, originada por Georg Cantor1 , se usa como base para las matemáticas hoy en día. La idea de basar las matemáticas en la teoría de conjuntos y, a la larga en lógica, tomó así fuerza desde finales del siglo XIX. Los resultados de Gödel (1906-1978) indicando la imposibilidad de obtener sistemas formales completos en los cuales basar las matemáticas, quizás le restaron algo de ímpetu a esta tendencia racionalista en las matemáticas de comienzos de siglo. Poincaré sostuvo la importancia de la intuición en las matemáticas a comienzos del siglo XX. 1 Georg Cantor (1845-1918) Destacado matemático ruso, entre muchos avances matemáticos se destacan su interés por la idea del infinito, su definición del continuo y su teoría de conjuntos. 6 0.2. CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Relaciones y Funciones De los varios conceptos que se definen en este capítulo, el lector seguramente tendrá una idea intuitiva clara. Sin embargo, en aras de anclar la intuición con el método axiomático, los definimos en todo caso. Así el caso de par ordenado, que definimos de dos maneras dentro de la teoría de conjuntos. 0.2.1. Par ordenado Un par ordenado es una estructura de dos componentes en la cual hay una asimetría que permite diferenciarlos. El origen del concepto tal vez se remonte a los estudios de Fermat y Descartes en relación con lo que hoy llamamos geometría analítica. Dado que {a, b} = {b, a}, el conjunto {a, b} no define el par ordenado (a, b). Definición 1. (a, b) = {a, {b}} Definición 2. (a, b) = {a, {a, b}} Ejercicio. ¿Qué axiomas de la teoría de conjuntos son necesarios para dar la definición 1? ¿Para dar la definición 2? Similarmente, la n-tupla (x1 , x2 , . . . , xn ), puede ser definida en la teoría de conjuntos. 0.2.2. Producto cartesiano El producto cartesiano A × B de los conjuntos A y B es el conjunto de los pares ordenados cuya primera componente es un elemento de A y cuya segunda componente es un elemento de B. A × B = {(a, b) : a ∈ A, ∧ b ∈ B} 0.2. RELACIONES Y FUNCIONES 7 Figura 1: El producto cartesiano de A y A El producto cartesiano no es una operación conmutativa: si A , B entonces A × B , B × A, además, el producto cartesiano tampoco es una operación asociativa ya que A × (B × C) , (A × B) × C dado que (a, (b, c)) , ((a, b), c), con cualquiera de las definiciones dadas de par ordenado, es decir, por ejemplo con la definición 2 de par ordenado, tenemos que (a, (b, c)) = {a, {a, {b, {b, c}}}} mientras que ((a, b), c) = {{a, {a, b}}, {{a, {a, b}}, c}} y así, a ∈ (a, (b, c)) pero a < ((a, b), c) y entonces, (a, (b, c)) , ((a, b), c). Sin embargo, podemos definir tripla con (a, b, c) := {(a, (b, c)), ((a, b), c)} y A × B × C como el conjunto de las triplas (a, b, c), con a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C. Ejercicio. Dé un ejemplo de un producto cartesiano que no conmute. Podemos generalizar la noción de tupla y definir las n-tuplas para cada entero positivo n. Ejercicio. Defina 4-tuplas. 0.2.3. Relación Una relación entre los elementos de un conjunto es algún subconjunto del producto cartesiano del conjunto con sí mismo. 8 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS A = {0, 1, 2} A × A = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)} Sea R = {(1, 0), (2, 1)} decimos entonces que 1 R 0 y 2 R 1. (Se lee: 1 está relacionado con 0 y 2 está relacionado con 1, o R relaciona a uno con cero, R relaciona a dos con uno; también, “uno erre cero”, “dos erre uno” y “uno no erre dos”.) Ejemplo. Propiedades de relaciones Sea R una relación entre los elementos del conjunto A. i) R es una relación reflexiva si ∀a ∈ A, (a, a) ∈ R Figura 2: Para una relación reflexiva R, la diagonal de A × A debe estar en R ii) R es una relación simétrica si ∀a, b ∈ A, (a, b) ∈ R ⇒ (a, b) ∈ R 0.2. RELACIONES Y FUNCIONES 9 Figura 3: Una relación simétrica iii) R es una relación transitiva si ∀a, b, c ∈ A, (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R Figura 4: Transitividad. Si ψ está relacionada con δ y δ con χ entonces ψ está relacionada con χ Con respecto a la figura 4, note que (a, b) y (b, c) determinan dos vértices opuestos de un rectángulo y que uno de los vértices restantes es (b, b) que está “sobre la diagonal”, el vértice restante, (a, c) es el requerido por la propiedad de transitividad. Ejemplo. ⊂ es transitiva y reflexiva. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C, A ⊂ A 10 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Ejemplo. ∈ no es transitiva. A ∈ B, B ∈ C ; A ∈ C iv) R es una relación conectada si ∀a, b ∈ A, a , b ⇒ (a, b) ∈ R o (b, a) ∈ R Figura 5: A la izquierda, relación conectada. A la derecha, una de corrimiento circular: para cada fila y cada columna hay por lo menos un elemento de relación v) R es una relación antireflexiva si ∀a ∈ A, (a, a) < R vi) R es una relación antisimétrica si ∀a, b ∈ A, (a, b) ∈ R ∧ (a, b) ∈ R ⇒ a = b vii) R es una relación de corrimiento circular si ∀a ∈ A, ∃! b ∈ A a , b, tal que: (a, b) ∈ R, o, (b, a) ∈ R Ejercicio. Muestre o dé un contraejemplo para la siguiente afirmación: si una relación es simétrica y transitiva, entonces es reflexiva. Ejercicio. Muestre o dé un contraejemplo para la siguiente afirmación: si una relación es simétrica, transitiva y conectada, entonces es reflexiva. 0.2. RELACIONES Y FUNCIONES Ejercicio. Muestre que n P m=0 11 (nm ) = 2 Ejercicio. ¿Cuántas relaciones se pueden definir entre los elementos de un conjunto de n elementos? Relaciones de equivalencia y clases de equivalencia La relación de equivalencia en muy útil en matemáticas. Decimos que una relación es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. Sea E una relación de equivalencia entre los elementos de un conjunto A. Para cada elemento a de A definimos su clase de equivalencia como el conjunto de los elementos de A que son equivalentes a a y se denota [a] : [a] = x ∈ a : (x, a) ∈ E Ejercicio. Muestre que b ∈ [a] si y sólo si la [a] = [b]. Ejercicio. Muestre que, dados (a, b) ∈ A, [b] = [a], o, [a] ∩ [b] = ∅ Ejercicio. Muestre que A = 0.2.4. S [a] a∈A Partición Una partición de un conjunto A es una colección de subconjuntos disyuntos de A cuya unión es A. Ejercicio. Dé una partición de {0, 1, 2} Ejercicio. Demuestre que, dado un conjunto A, la colección de las clases del equivalencial determinadas por cada uno de los elementos de A es una partición de A. 12 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Ejercicio. ¿En cuántas clases de equivalencia particiona la relación congruencia módulo 3 al conjunto de los números naturales? Ejercicio. Dada una partición de A, diga cómo definir una relación de equiva- lencia entre los elementos de A, tal que las clases de equivalencia resultantes sean los elementos de la partición dada. 0.2.5. Relaciones de orden R es un orden parcial si es una relación transitiva, antisimétrica y reflexiva. R es un orden lineal si es un orden parcial y es una relación conectada. El orden parcial típico es el dado por “ser subconjunto de” entre el conjunto de subconjuntos de un conjunto dado, por ejemplo en la figura 6 se muestra el orden , para los subconjuntos de {0, 1, 2} Figura 6: Un orden parcial, no conectado 0.2.6. Suprémum, Infímum Sea A un conjunto linealmente ordenado por la relación ≤. Sea B un subconjunto de A y sea q un elemento de A. Si ∀b ∈ B, se tiene b ≤ q, se dice que q es una cota superior de B. q es una cota superior mínima (suprémum) de B si: 0.3. FUNCIONES 13 1. q es una cota superior de B. 2. Para cada cota superior r de B en A, q ≤ r. Similarmente, sea A un conjunto linealmente ordenado por la relación ≤. Sea B un subconjunto de A y sea q un elemento de A. Si ∀b ∈ B, se tiene que q es una cota inferior de B. q es una cota inferior máxima (infímum) de B si: 1. q es una cota inferior de B. 2. Para cada cota inferior r de B en A se tiene que r ≤ q. Ejercicio. Demuestre que el suprémum de un subconjunto de un conjunto linealmente ordenado, si existe, es único. 0.2.7. Máximo y mínimo Sea A un conjunto linealmente ordenado por la relación ≤. Sea B un subconjunto de A. Si B tiene suprémum r que pertenece a B, decimos que r es el máximo de B. Similarmente, si B tiene infímum t, y t pertenece a B, decimos que t es el mínimo de B. Ejemplo. En los reales, en el intervalo abierto (0, 1) no tiene ni máximo ni mínimo, 0 es su cota inferior máxima o infímum y 1 es su cota superior mínima o suprémum. Ejemplo. En los racionales {q ∈ Q : q2 ≤ 2} no tiene ni suprémum, ni infímum. 0.3. Funciones Una función es una tripla ( f, A, B) donde f es un subconjunto del producto A×B, que no contiene dos pares ordenados con la misma primera componente y que se conoce como la gráfica de la función; el conjunto A es el dominio de la función y el conjunto B es el rango de la función. Ademas , cada elemento del dominio es la primera componente de uno y solo un par de la gráfica. Tal 14 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS función también se denota como, f : A → B. Note que dos funciones pueden diferir solamente en el rango. Normalmente (a, b) ∈ f , se denota como f (a) = b; y se dice que b es la imagen de a. Otra forma de decir que no hay dos pares de f con la misma primera componente es: (a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = c Como se dijo, todo elemento de A es la primera componente de algún elemento de f : ∀a ∈ A, ∃ x ∈ f : x = (a, b) Sin embargo, no todos los elementos del rango son necesariamente segundas componentes de pares de la gráfica. En caso de que lo sean, se dice que la función es sobreyectiva. Figura 7: Diagrama de una función con dominio A y rango B Abusando la notación descrita, si C es un subconjunto del dominio de f , decimos que f (C) es el conjunto de las imágenes de los elementos de C, o imagen de C. También, si D es un subconjunto del rango de f , ponemos f −1 (D) = {a ∈ A : f (a) ∈ D}. Ejercicio. Si C y D son subconjuntos del dominio de ( f, A, B), demuestre o dé un contraejemplo para cada una de las afirmaciones siguientes: 0.3. FUNCIONES 15 i) f (C ∪ D) = f (C) ∪ f (D) ii) f (C ∩ D) = f (C) ∩ f (D) Ejercicio. Si C y D son subconjuntos del rango de ( f, A, B), demuestre o dé un contraejemplo: i) f −1 (C ∪ D) = f −1 C) ∪ f −1 (D) ii) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) 0.3.1. Sobreyección f : A → B es una sobreyección si ∀b ∈ B∃ a ∈ A (a, b) ∈ f , es decir, una sobreyección es una función donde todo elemento del rango es la segunda componente de algún par de la gráfica de la función. Figura 8: f es una sobreyección de A en B, pero no una inyección 0.3.2. Inyección. (función uno-a-uno) f : A → B es una inyección si f no contiene dos pares con la misma segunda componente. En símbolos, (a, b) ∈ f ∨ (c, d) ∈ f ⇒ a = c. 0.3.3. Biyección. (correspondencia uno-a-uno) Una biyección es una función que es uno-a-uno y también sobreyectiva. 16 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Figura 9: f es una inyección de A en B, pero no es sobreyectiva Figura 10: Una biyección 0.3. FUNCIONES 17 Ejercicio. (Cantor) Muestre que no es posible establecer una biyección entre ningún conjunto y su conjunto potencia. (El Conjunto potencia o partes de de un conjunto dado, se define como el conjunto de los subconjuntos del conjunto dado.) Nota. Se puede argumentar que parte de la labor de un ingeniero consiste en cuantificar las variables que modela y en diseñar con base en éstas. Así, el uso de números se convierte en una segunda naturaleza para el ingeniero. En las secciones siguientes se dan definiciones de los números naturales, enteros, racionales, reales, complejos y de los cuaternios. Dado que en ingeniería las magnitudes se cuantifican se podría argumentar que es importante tener una idea clara de cada uno de estos tipos de números. Los naturales se definen con base en nociones de la teoría de conjuntos, los enteros con base en los naturales, los racionales con base en los enteros, los reales con base en los racionales. En cada uno de estos casos tenemos una relación de orden lineal y las operaciones de suma y producto. Luego, tenemos RN , en donde tenemos la operación de suma. En R2 tenemos además el producto complejo, y en R4 el producto de cuaternios. Definición 3. Una biyección p : A → A de un conjunto finito a sí mismo, se conoce como una permutación de éste. Definición 4. Una función t : A → A de un conjunto finito A con al menos dos elementos, a sí mismo, se conoce como una transposición si A tiene exactamente dos elementos a1 y a2 para los que t(a1 ) = a2 y t(a2 ) = a1 y, para el resto de los elementos α de A, f (α) = α. Ejercicio. Muestre que si una permutación se descompone como una composi- ción de transposiciones en dos formas, el número de transposiciones es, en ambos casos, par, o en ambos casos impar. (Dado el resultado positivo del ejercicio anterior, clasificaremos las permutaciones en pares e impares). 18 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Ejercicio. Escriba y clasifique las permutaciones de los elementos del conjunto A = {0, 1, 2} en pares e impares. 0.4. Relaciones Ternarias Una relación ternaria entre los elementos de un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A3 . Ejemplo. Para el conjunto A = {0, 1, 2}, donde A×A×A= {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 2), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 2, 0), (0, 2, 1), (0, 2, 2), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 2), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 2), (2, 0, 0), (2, 0, 1), (2, 0, 2), (2, 1, 0), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 0), (2, 2, 1), (2, 2, 2)} considere la relación R = {(0, 1, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1)} Figura 11: Un ordenamiento circular para {0, 1, 2} 0.4. RELACIONES TERNARIAS 0.4.1. 19 Propiedades de relaciones ternarias Sea R una relación ternaria entre los elementos del conjunto A. i) R es una relación ternaria dinámica si ∀(a, b, c) ∈ R, a , b, b , c, c , a ii) R es una relación ternaria circulable si es cerrada con respecto a permutaciones pares de sus elementos: (a, b, c) ∈ R ⇒ (b, c, a) ∈ R, (c, a, b) ∈ R iii) R es una relación ternaria de orientación si no contiene ninguna permutación impar de ninguno de sus elementos: (a, b, c) ∈ R ⇒ (a, c, b) < R, (b, a, c) < R, (c, b, a) < R iv) R es una relación ternaria total si: ∀a ∈ A ∃ (x, y, z) ∈ R a = x ∨ a = y ∨ a = z v) R es una relación ternaria transitiva si: (a, b, c) ∈ R, (b, d, c) ∈ R ⇒ (a, b, d) ∈ R, (d, c, a) ∈ R vi) R es una relación ternaria circular si cumplen. Ejercicio. Muestre que dados dos puntos a y b, elementos de un conjunto A en el que se ha definido una relación circular R, resulta la partición A = {a, b} ∪ {x ∈ A : (a, x, b) ∈ R} ∪ {x ∈ A : (b, x, a) ∈ R} que podríamos llamar el teorema de Jordan para conjuntos circularmente ordenados. Dado un conjunto circularmente ordenado, podemos definir los intervalos (a, b) = {x ∈ A : (a, x, b) ∈ R} y (b, a) = {x ∈ A : (b, x, a) ∈ R} ahora podemos definir una topología con base dada por estos intervalos. 20 0.5. CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Estructuras algebráicas Las transformaciones lineales juegan una papel importante en ingeniería.¿Qué es una transformación lineal? Para responder a esta pregunta se hace necesario el concepto de espacio vectorial; aunque el lector probablemente haya trabajado en repetidas ocasiones con espacios vectoriales. Para una definición formal, necesitamos antes los conceptos más básicos de grupo y anillo. Sean A un conjunto y o una operación o: A × A → A entre los elementos de A Cuando el conjunto A es finito y pequeño, puede ser conveniente especificar la operación con una tabla. a b c d a a c d b b d b a c c b a c a d c d b d Tabla 1: La tabla de una opración posible entre los elementos de {a, b, c, d} Así, decimos que un grupoide (A, o) está dado por un conjunto no vacío A y una operación entre los elementos o de éste. Note que no se requiere la asociatividad de la operación. Ejemplo. Considere el conjunto {a, b, c, d} y la operación en la Tabla 1 Un semigrupo (A, o) es un grupoide en el que la operación es asociativa. La propiedad asociativa de la operación o se expresa así: ∀a, b, c ∈ A a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c Ejemplo. (N, +) es un semigrupo. 0.5. ESTRUCTURAS ALGEBRÁICAS 21 Ejercicio. Dé un ejemplo de una operación no asociativa.(Loas octoniones) Ejercicio. Diga si la operacion del grupoide en la tabla 2 es asociativa. Un monoide (o un módulo) es un semigrupo en el cual hay un elemento identidad. Es decir, debe existir un elemento e en el conjunto tal que: ∀a ∈ A a ◦ e = e ◦ a = a. Esta propiedad define a e como elemento identidad del monoide. Ejemplo. (N, +) es un monoide, con identidad dada por 1. Ejercicio. Diga si un monoide puede tener más de un elemento identidad. Ejercicio. Dé un ejemplo de un semigrupo que no sea un monoide. α β γ δ α β γ γ α β α δ β β γ δ γ δ γ δ α β δ α β γ δ Tabla 2: La tabla de una operación entre los elementos del conjunto finito α, β, γ, δ, 0.5.1. Grupos Un grupo es un monoide (G, o) en el que cada elemento tiene un inverso con respecto a la operación definida el cual es un elemento que al multiplicarlo por el elemento dado da el elemento identidad.Así un inverso de g ∈ G es un elemento h ∈ G tal que gh = e. (G, o) es un grupo abeliano (o conmutativo) si: ∀g, h ∈ G, g ◦ h = h ◦ g. 22 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Ejercicio. Muestre que en un grupo, si gh = e entonces hg = e. Ejercicio. Muestre que entonces en un grupo, cada elemento tiene uno y sólo un inverso. La teoría de grupos resultó impulsada inicialmente en forma importante por los trabajos de Galois 2 , quien fue un matemático francés que estudió la posibilidad de resolver con raíces, sumas, restas, productos y cocientes, las ecuaciones polinómicas de orden arbitrario. El matemático Noruego Abel 3 , contemporáneo de Gauss y de Galois, trabajó en la imposibilidad de la solución general algebráica de la ecuación de quinto grado.4 Ejercicio. Dé un ejemplo de un grupo no abeliano. Ejercicio. Sea G = {ej0 , ej2π/3 , ej4π/3 } y como operación o, la multiplicación de complejos. Muestre que (G, o) es un grupo abeliano. Dé la tabla de multiplicación correspondiente: ef = fg = eg = ee = fe = ff = Tabla 3: Complete la tabal mostrada e = e j ge = gg = 2π0 3 , f = ej 2π 3 , g = ej 4π 3 (H, ◦) es un subgrupo del grupo (G, o), si H es un subconjunto de G y (H, o) es un grupo. De ahora en adelante abreviaremos (G, ◦) como G. 2 Évariste Galois (1811-1933) fue un matemático francés reconocido, junto con Abel, por su estudio de las raíces de los polinomios y la idea de cuerpo (“field”). 3 Niels Henrick Abel (1802-1829) matemático Noruego, demostró que no existe una operación algebráica explícita con forma de raíces, productos, cocientes, sumas y restas, para encontrar las raíces de un polinomio de orden 5. 4 Tanto Galois como Abel murieron bastante jóvenes, Galois a causa de una herida recibida en un duelo y Abel a causa de la tuberculosis. 0.5. ESTRUCTURAS ALGEBRÁICAS 23 El espacio cociente G/H. Dado un subgrupo H del grupo G, el conjunto de los subconjuntos gH := {gh : h ∈ H, g ∈ G} de G se denota como G/H. El espacio cociente es un grupo con respecto a la operación g1 H · g2 H = (g1 ◦ g2 )H si y sólo si H es normal, es decir, si Hg = gH para cada g en G (en donde Hg := {hg : h ∈ H, g ∈ G}). K es un conjunto de generadores del grupo G, si el subgrupo más pequeño de G que contiene a K es G mismo. Homorfismos de grupos 1 −1 i −i j −j k −k 1 1 −1 i −i j −j k −k −1 −1 1 −i i −j j −k k i i −i −1 1 −k k j −j −i −i i 1 −1 k −k −j j j j −j k −k −1 1 −i i −j −j j −k k 1 −1 i −i k k −k −j j i −i −1 1 −k −k k j −j −i i 1 −1 Tabla 4: La tabla de los cuaterniones 0.5.2. Anillos Un anillo (A, +, ·) es un conjunto de elementos A junto con 2 operaciones “+” y “·” en donde: i) (A, +) es un grupo abeliano. (Denote el módulo con 0). ii) (A, ·) es un semigrupo. 24 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS iii) la operación · distribuye con respecto a la operación +, vale decir que, ∀a, b, c ∈ A : a · (b + c) = (a · b) + (a · c) y (b + c) · a = (c · a) + (c · a) A es un anillo conmutativo si la operación “·” es conmutativa. A es un anillo con unidad si (A, ·) es un monoide, es decir, si existe un elemento identidad (denote este elemento identidad con 1) para la operación “·”; éste se conoce como módulo multiplicativo. (0 es el módulo aditivo.) r ∈ A es un divisor de cero, si ∃r, s ∈ A, r , 0, s , 0, r · s = 0 Ejercicio. Muestre que el anillo /0, N − 1/ con respecto a las operaciones de suma y producto módulo-N, tiene divisores de cero si y sólo si N no es primo. Un dominio de enteros (“ integer domain”) es un anillo conmutativo, que no tiene divisores de cero. Ejemplo. El conjunto de los números enteros con respecto a las operaciones usuales de suma y producto, es un dominio de enteros. Ejercicio. Dé un ejemplo de un dominio de enteros finito. Un anillo de división es un anillo (A, +, ·) donde (A − {0}, ·) es un grupo. Ejercicio. ¿Es todo anillo de división finito conmutativo? Un cuerpo (“field”)es un anillo de división conmutativo. Ejercicio. Todo dominio de enteros finito es un cuerpo Un anillo de división no conmutativo se conoce como un cuerpo torcido (“skew field”). Ejercicio. Demuestre que cada dominio de enteros finito es un cuerpo. 0.5. ESTRUCTURAS ALGEBRÁICAS 25 IDEALES Cuando se tiene una relación de equivalencia tipo módulo-N entre los elementos de un anillo A, denotamos la clase de equivalencia que contiene al cero (módulo aditivo) como la clase NA. Al escoger un elemento e cada una de las clases de equivalencia obtenemos otro anillo, que denotamos A/NA. Ideales y Cocientes de anillos Sea (A, +, ·) un anillo. Sea BCA tal que (B, +) es un grupo. y ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, ab ∈ Byba ∈ B. Decimos entonces que B es un ideal del anillo A, si en el espacio cociente (A, +)/(B, +) = a + B : a ∈ A..... que la operación (a1 + B)(a2 + B) := a1 a2 + B resulta un anillo que llaman el cociente de anillos A/B. Homorfismos de anillos 0.5.3. Espacio vectorial Un espacio vectorial (V, ⊕, K, +, ⊗, ·) lo costituyen un grupo abeliano (V, ⊕)(de “vectores”), con módulo 0 y un cuerpo (K, +, ⊗) (de “escalares”), con módulo aditivo 0, normalmente, el origen (0 o módulo aditivo) de los espacios vectoriales lo representaremos con la letra griega teta: θ. Para R5 , θ = [0, 0, 0, 0, 0], y módulo multiplicativo 1, en donde, para cada α, β ∈ K y casa v, w ∈ V, se tiene que: i) Hay un elemento en V que se expresa α · v(· : K × V) ii) α · (v ⊕ w) = (α · v) ⊕ (α · w) iii) (α + β) · v = (α · v) ⊕ (β · v) iv) α · (β · v) = (α ⊗ β) · v vi) 1 · v = v 26 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Ejercicio. Demuestre que 0 · v = 0 Ejercicio. Demuestre la base de un espacio vectorial, si la dimensión de un espacio es finita... 0.5.4. Matrices y Determinantes si se tienen espacios vectoriales V, W con vases finitas {e1 , e2 , . . . , en } y { f1 , . . . , fm }. Sea T una tranformación lineal de V a W. Sean: X V(ei ) = αi j fi i ∈ [1, n], j ∈ [1, m] j α11 α12 . . . α1m α21 α22 . . . α2m de escalares de W le decimos una αij tales que el arreglo . .. αn1 αn2 . . . αnm matriz. Note si p = {1, ..., m} → {1, ..., m} es una permutación, entonces podemos Q hablar de producto m i=1 αi , p(i), definimos el determinante de la matriz como: X Y detM = (−1)q(p) αip(i) permutacionesp (hay m! permutaciones) donde q(p) es el signo de la permutación (+ si es par y − se es impar). 0.5.5. Homomorfismos Cuando se tiene una función, cuyo dominio y rango cuentan con alguna estructura algebráica y ésta es respetada por la función, se dice que se tiene un homomorfismo si la función es una biyección, se dice que los espacios dominio y rango, son algebraicamente equivalentes o que son isomorfos. 0.6. LOS NÚMEROS NATURALES 27 Por ejemplo, si (A, +) y (B, ·) son semigrupos, W es una función de A en B y ∀a, b ∈ A W(a + b) = W(a) · W(b), entonces A y B son homomórficos y W es un homomorfismo. Terminología de “vectores” y de “escalares” se originó con Hamilton, cuando hizo los estudios que culminaron con la definición de los cuaternios. Si recordamos la fórmula del producto de cuaternios: (a1 + bi + cj + dk)(α1 + βi + γj + δk) = (aα − bβ − cγ − dδ)1 + (aβ + bα + cδ − dγ)i + (aγ − bδ + cα + dβ)j + (aδ + vγ − cβ + dα)k tenemos que el producto (bi + cj + dk)(βi + γj + δk) esta dado por (−bβ − cγ − dδ)1 + (cδ − dγ)i + (−bδ + dβ)j + (bγ − cβ)k y su parte escalar es (−bβ − cγ − dδ), mientas que la parte vectorial es (cδ − dγ)i + (−bδ + dβ)j + (bγ − cβ)k, compare con: [b, c, d] = [β, γ, δ] y [b, c, d] × [β, γ, δ]. 0.6. Los Números Naturales Aunque todos tenemos una idea intuitiva de los números naturales, ellos se pueden definir axiomáticamente, con base en la teoría de conjuntos. Los números naturales se pueden definir en forma inductiva, así: Sea N el conjunto que: i) contiene al conjunto vacío como elemento: ∅ ∈ N. ii) si x ∈ N, entonces x ∪ {x} ∈ N. Nota. x ∪ {x} se conoce como el sucesor de x y lo denotamos S(x). iii) ∀x ∈ N S(x) , φ. 28 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS iv) El único elemento de N que no es el sucesor de algún elemento de N es φ. v) ∀x, y ∈ N n , y ⇒ S(x) , S(y). Ejercicio. Demuestre las propiedades iii y v a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos. A los elementos de N los llamamos números naturales. Así, los siguientes 4 conjuntos son números naturales: {}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}} y los denotamos: 0 := ∅ = {} 1 := {∅} = {{}} 2 := {0, 1} = {{}, {{}}} 3 := {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}} note que S(n) = {0, 1, 2, . . . , n} Nota. El conjunto de los subconjuntos que acabamos de definir tiene la propiedad de que si un elemento es subconjunto de otro, también es elemento. Por esta razón la relación ∈ para los elementos de N nos da una relación transitiva. Peano 5 fue el primero en dar una definición axiomática de los números naturales. Los axiomas de Peano se pueden expresar así: 1) 0 ∈ N 2) si n ∈ N entonces S(n) ∈ N (Cada elemento tiene sucesor) 3) ∀n ∈ N S(n) , 0 (Cero no es sucesor de nadie) 4) ∀n, m ∈ N n , m implica S(n) , S(m) (Elementos diferentes tienen sucesores diferentes) 5 Giuseppe Peano (1858,1932), fue un matemático italiano reconocido por sus aportes a la axiomatización de la matemáticas, entre los que se destacan axiomas para el conjunto de los números enteros y sobre la estructura de un espacio vectorial, también la definición del concepto de aplicación lineal. 0.6. LOS NÚMEROS NATURALES 29 5) Si P es una propiedad del elemento 0 y el sucesor de cada elemento con la propiedad tiene la propiedad, entonces cada elemento de N tiene la propiedad. (Principio de inducción) Ejercicio. m, n ∈ N ⇒ m ∩ n = m o m ∩ n = n [[conceptodevariable]] [[conceptodex ← y]] [[algoritmo]] [[Operaciones!mveces; porcadalementodemcalculeS(n)m0 ← m0 −1; m0 = 0?; n0 ← S(n0 )]] [[n̄ ← n; ∀i ∈ m; n̄ ← S(n̄)]] 0.6.1. Orden lineal para N La relación “ser subconjunto de” determina una relación de orden lineal entre los elementos de N. Por ejemplo, 7 ⊃ 5 y 1 ⊃ 0. Además, podemos definir el elemento máximo y el mínimo de dos números así: máx(m, n) = m ∪ n y mı́n(m, n) = m ∩ n. Ejemplo. El máximo de 3, 7, y 10 es 3 ∪ 7 ∪ 10 {0, 1, 2} ∪ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = 10 Ejercicio. Muestre que N no tiene cota superior. Ejercicio. Muestre que cada subconjunto no vacío de N tiene un mínimo. Ejercicio. ¿Es (N, +) un grupo? Ejercicio. ¿Es (N, ·) un monoide? 30 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 0.6.2. Divisor y múltiplo El número natural m es un divisor del número natural n si, para algún número natural k, n = km. Escribimos m | n. Decimos que n es un múltiplo de m. 0.6.3. Números Primos El número natural p es un número primo si sus únicos divisores son 1 y p. 0.6.4. Factor El número natural f es un factor del número natural n si: i. f |n ii. f es una potencia de un número primo: f = pk , con p prima y k entera. iii. pk+1 = p f no divide a n. Factorización única de los números naturales Muestre que la factorización en números primos de cada número natural n, n = pk1 pk2 · · · pkt , p1 < p2 < · · · < pt es única. (Gauss) [[Elaborar]] Ejercicio. Muestre que hay infinitos números primos. 0.6.5. Máximo común divisor, mínimo común múltiplo Sean m y n números naturales. Si el número natural d divide a m y a n y ningún natural D con D > d, divide a m y a n, decimos que d es el máximo común divisor de m y n. Escribimos d = [m, n]. También, si C es un múltiplo de m y de n y ningún natural menor que C es múltiplo de m y de n, decimos que C es el mínimo común múltiplo de m y n. Escribimos C = (m, n) 0.6. LOS NÚMEROS NATURALES 31 Ejercicio. Muestre que mn = [m, n](m, n) Como dijimos al comienzo del capítulo, el uso de números es fundamental en la labor de ingeniería. Aunque un amplificador sea desde cierto punto de vista simplemente una estructura sólida en silicio, su diseño es impensable sin el uso de números. Definición 5. a y b son primos relativos si [a, b] = 1 0.6.6. Conjuntos contables y no contables Se dice que un conjunto A es finito si hay una inyección de A a un número natural N. Se dice que un conjunto A es contable (o enumerable) si existe una inyección de A al conjunto N de los números naturales. note que según esta definición, un conjunto finito es contable. Ejemplo. El conjunto de los números naturales pares es contable. Figura 12: Una inyección del conjunto de los números pares al conjunto de los números naturales Ejercicio. Muestre que todo subconjunto finito de N tiene un máximo. Ejercicio. Muestre que N no es finito. 32 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Ejercicio. Diga si el conjunto de los naturales es contable. Explique. Ejercicio. Muestre que si A es un conjunto contable infinito, entonces hay una biyección de N a A. 0.6.7. Conteos Una biyección de N a un conjunto A se conoce como un conteo de A. 0.6.8. Cardinalidad Es una función de el “conjunto de los conjuntos” a N ∪ {contable infinito, no contable} Figura 13: Clasificación de conjuntos según su cardinalidad 0.7. Los Números Enteros Z Probablemente la humanidad haya hecho uso de los números enteros por primera vez para llevar la contabilidad de los préstamos de dinero. Los antiguos prestamistas probablemente usaron colores diferentes para diferenciar los números positivos (¿negro?) de los negativos (¿rojo?). Se dice que en algunos casos se usaba como tinta en el pergamino del prestamista la sangre del deudor. 0.7. LOS NÚMEROS ENTEROS Z 33 El conjunto de los números enteros se puede definir en la siguiente forma; inicialmente consideramos el conjunto {(x, y) : x ∈ {0, 1}, y ∈ N − {0}} = {0, 1} × N − {0}, en donde tenemos dos copias de los números naturales; una de los enteros de la forma (0, n) que llamamos positivos, y la otra de enteros no positivos (1, n); luego, identificamos los elementos (0, 0) y (1, 0), de tal forma que sólo haya un cero entero que, sin embargo, no tendrá signo. Formalmente, definimos el conjunto de los números enteros así: Z = {(0, y) : y ∈ N} ∪ (1, y) : y ∈ N} ∪ {θ} donde θ = {(0, 0), (1, 0)}. Esta definición y la notación que comúnmente usamos para los números enteros se relacionan así: “+n”=“n”= (0, n), n > 0, (números positivos) “−n”= (1, n), n < 0, (números negativos) “0”= θ. Por convención, el número entero cero θ no es ni positivo, ni negativo. Esta convención la mantendremos para el cero racional y para el cero real. Similarmente, en el caso de los números complejos resulta contraproducente definirle ángulo al origen del plano complejo, o cero complejo, y para usar una sola convención en todos los casos hemos decidido no definir signo para el cero en ningún caso.(A diferencia de la convención adoptada aquí, algunos matemáticos usan la convención que el cero es negativo y positivo) Ejercicio. Muestre que Z es contable. 0.7.1. La relación de orden lineal entre los números enteros La relación de “menor o igual que” entre los números enteros x = (x1 , x2 ) y y = (y1 , y2 ), está dada por el conjunto {((x1 , x2 )(y1 , y2 )) : x1 = 1 ∧ y1 = 0 o x1 = 1 ∧ y1 = 1 ∧ y2 ≤ x2 o x1 = 0 ∧ y1 = 0 ∧ x2 ≤ y2 } Aunque los números enteros se pueden contar, no se pueden contar manteniendo este orden lineal. (¿Por qué?) 34 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Ejercicio. Muestre que aunque los enteros son contables, no se pueden contar manteniendo el orden lineal definido. Es decir, para cada conteo b : N → Z, para algún natural n, b(n + 1) < b(n) y para algún natural m, b(m + 1) > b(m). 0.7.2. Intervalos enteros El intervalo entero /n, m/, donde n y m son números enteros, es el conjunto de números enteros mayores o iguales que n y menores o iguales que m. Ejemplo. /5, 9/ = {5, 6, 7, 8, 9} Ejemplo. /9, 5/ = ∅ Ejercicio. Muestre que (Z, +, ·) es un grupo. Ejercicio. ¿Es (Z, +, ·) un anillo?. 0.7.3. Algoritmo de la división El algoritmo de la división dice que, dado un número entero a y el número natural positivo N, hay números enteros únicos c (el cociente) y r (el residuo), con 0 ≤ r < N, tales que: a = cN + r. Escribimos r = JaKN y leemos “a módulo N”. Ejemplo. J5K3 = 2, J−1K3 = 2 Ejercicio. Demuestre el algoritmo de la división. [[algoritmo de Euclides]] 0.8. LOS NÚMEROS RACIONALES Q 0.7.4. 35 Congruencias módulo N K.F. Gauss6 fue tal vez la persona que reconoció por primera vez la utilidad y la generalidad de este tipo de relación. Considere el conjunto Z de los números enteros; sean m y n números enteros y sea N un entero positivo; se dice que los números m y n son congruentes módulo N, si su diferencia es un múltiplo entero de N, es decir, si ∃ r ∈ Z m − n = rN. Ejercicio. Muestre que la relación de congruencia módulos 3 es una relación de equivalencia. ¿Cuál es la clase de equivalencia [2], del número 2, con respecto a la relación de equivalencia congruencia módulo 3? Ejercicio. Sean m, n, c1 , c2 , r1 , r2 números enteros tales que: m = 3c1 + r1 , 0≤ r1 < 3 y n = 3c1 + 21 , 0 ≤ r2 < 3. Note que | r1 − r2 |< 3 y muestre que: hay una k entera tal que m − n = 3k, si y solo si r1 = r2 Ejercicio. Muestre que los números enteros m y n son congruentes módulo N si y sólo si los residuos (según el algoritmo de la división) al dividirlos por N son iguales. Ejercicio. Muestre que si m es congruente con n, módulo N, y que si a es congruente con b, módulo N, entonces m + a es congruente con n + b, modN . Ejercicio. Muestre que si m es congruente con n, módulo N, y que si a es congruente con b, módulo N, entonces ma es congruente con nb, modN . 0.8. Los Números Racionales Q El término razón tiene entre otros sentidos los de proporción y de explicación así también los términos griego λoγoσ y el latino ratio. La relación entre 6 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Matemático alemán en su tesis doctoral demostró el teorema fundamental del algebra e hizo grandes contribuciones en astronomía y física. 36 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS dos números es un concepto al que los pitagóricos dieron gran importancia y lo que inicialmente tenía como sentido razón de ser, pasó a tener también en de cociente. Así, en número racional es una relación entre dos enteros. El término racional tiene pues los dos sentidos mencionados anteriormente desde el nacimiento de la cultura occidental, y no es raro que la implicación del teorema de Pitágoras de la existencia de longitudes irracionales, o inconmensurables, fuera causa de incomodidad. El conjunto de los números racionales es el tercer conjunto de números que definimos. Como veremos, también es un conjunto contable (lo cual podría sorprendernos inicialmente). Desde ciertos puntos de vista, es similar al conjunto de los números reales que definiremos en la siguiente sección; sin embargo, los racionales con respecto a los reales adolecen de ciertas fallas geométrica, topológica, algebráica y analítica. Sin embargo, en su definición, son más intuitivos que los reales. Ejercicio. Encuentre un conteo del conjunto Z × Z Considere el producto cartesiano Z × (N − {0}) del conjunto de los números enteros y el conjunto de los números naturales con excepción del cero. Considere allí la relación ≡ determinada por (x, y) ≡ (n, m) si y solo si xm = yn. Ejercicio. Demuestre que la relación ≡, acabada de definir es efectivamente una relación de equivalencia entre los elementos del conjunto Z × (N − {0}). Con la notación usual, el elemento (x, y) de Z × (N − {0}) es la fracción No queremos, sin embargo, definir el conjunto de los números naturales como Z × (N − {0}) porque tendríamos representaciones múltiples para un mismo número racional (por ejemplo (1, 2) ≡ (2, 4)). Adoptamos la siguiente definición. x y. Γn [[n + m =i ∈ m= n ∪ S(n) ∪ S(S(n)) ∪ . . .]] | {z } mveces 0.8. LOS NÚMEROS RACIONALES Q 37 Definición 6. Con base en la relación de equivalencia dada, el conjunto Q de los números racionales está dado por las clases de equivalencia resultantes de la relación ≡ en Z × (N − {0}). En símbolos, Q = {[(x, y)] : x ∈ Z ∧ y ∈ (N − {0})} Así, cada número racional es una clase de equivalencia, un subconjunto de Z × (N − {0}). Las líneas de la figura 14 indican estas clases de equivalencia. Figura 14: Cada línea representa un número racional p Ejemplo. El conjunto B = { q ∈ Z : p2 q < 2} es acotado superiormente pero no tiene suprémum. p CASO 1. Si ( q )2 < 2 entonces existe un número entero δ tal que, 2 p 2 p + ( 1δ ) < 2 ( ) < q q entonces x = pδ−1 qδ > p q y x ∈ B. Como, 2 !2 p + ( 1δ ) p = + q q 2p δ + q2 y queremos (p + 1δ ) q2 − p2 p2 <2− 2 2 q q 1 δ2 38 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS por lo que necesitamos 2p δ + 1 δ2 q2 de donde p2 q2 <2− 2p 1 + 2 < 2q2 − p2 δ δ 2pδ + 1 < (2q2 − p2 )δ2 la anterior tiene solución para un valor de δ suficientemente grande, 14δ+1 < δ2 p 1 (e.g. q = 75 y 1δ = 15 ) p 2 CASO 2. Si ( q ) > 2, decimos que existe un número entero δ tal que, 2 p + ( 1δ ) p2 < 2 < q q2 entonces x = pδ−1 q es el infímum de B. Como, p − q 1 2 δ p2 = 2 − q 2p δ − 1 δ q2 y queremos p2 p − − q2 q 1 2 δ p2 < 2 − 2 q por lo que necesitamos 2p δ − q2 1 δ2 < p2 −2 q2 2pδ − 1 < δ2 (p2 − 2q2 ) la anterior tiene solución para un valor de δ suficientemente grande, 284δ − 1 < p 1 1 164δ2 (e.g. q = 142 100 y δ = 2 ) 0.8. LOS NÚMEROS RACIONALES Q 0.8.1. 39 Relación de orden lineal para los números racionales Decimos que el número racional [(x, y)] es menor o igual que el número racional [(m, n)], o que [(x, y)] ≤ [(m, n)] si, 1. 0 ≤ m y x ≤ 0 2. x ≥ 0, m ≥ 0, xn ≤ ym 3. x ≤ 0, m ≤ 0, ym ≤ xn Note que este orden se puede interpretar con base en el dibujo de la figura a14. Si una línea q está después que otra p moviéndose en sentido horario, el número q es menor que el número p. Note que dadas dos líneas p y q, se puede encontrar un punto de Z × (N − {0}) entre las dos líneas (entre dos racionales siempre hay otro racional) y por lo tanto, hay otra línea que contiene el punto mencionado y que está entre p y q según el orden definido. Ejercicio. Dados los números racionales p y q, encuentre un número racional r entre p y q tal que mı́n(p, q) < r < máx(p, q). Ejercicio. Muestre que hay conjuntos de racionales con cota superior pero sin cota superior mínima. Ejercicio. ¿Es Z2 contable? (sugerencia: considere un camino en espiral que parte del origen) Ejercicio. ¿Es Z × (N − {0}) contable? Ejercicio. ¿Es Q contable? Como se puede mostrar, el conjunto de los números racionales es contable; sin embargo, no se puede contar manteniendo el orden lineal definido, ¿por qué? ¿cómo se puede contar? 40 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Ejercicio. Muestre que si c : N → Q es una biyección, hay racionales p, q con p ≤ q, tales que c(q) ≤ c(p). Ejercicio. Muestre que (Q, +, ·) es un cuerpo. 0.8.2. Fallas geométricas y algebráicas de los racionales Como se descubrió en la Grecia antigua, si la geometría Euclídea es válida, entonces el conjunto de los números racionales es insuficiente como modelo para longitudes. Considere el triangulo mostrado en la figura 15 ¿es cierto que los tres lados son conmensurables? La pregunta la podemos expresar así: ¿si dos de las longitudes son números racionales, es la tercera racional también? ¿Hay una unidad de longitud d, no importa que tan pequeña, que nos permita expresar las longitudes de los tres lados como múltiplos enteros de esta unidad? La pregunta probablemente se la hicieron los griegos antiguos por primera vez, con muchas otras, y para su sorpresa encontraron que en muchos casos, por ejemplo si el triangulo es rectángulo isósceles, los lados no son conmensurables. El hecho de que todo no sea “proporcionable” fue fuente de una sensación de malestar inmensa entre algunos pitagóricos quienes trataron de mantener secreto este hecho. Figura 15: Un triángulo rectángulo: si x = y y l es una unidad de longitud tal que x = nl y y = nl con m, n ∈ Z, para ninguna p ∈ Z se tiene que n = pl Por lo tanto, si quisiéramos mantener la hipótesis de la conmensurabilidad tendríamos que negar la existencia de ciertos triángulos rectángulos, en par- 0.8. LOS NÚMEROS RACIONALES Q 41 ticular de triángulos rectángulos isósceles. Esta es una falla geométrica de los racionales. Ejemplo. Un falla algebráica es que x2 = 2 no tiene solución en los racionales. Ejercicio. Demuestre que no existe ningún número racional q tal que qq = 2. Tenemos entonces que no hay ningún número racional q tal que qq = 2. Ésta es una falla algebráica de los racionales: no son cerrados con respecto a la toma de raíces cuadradas (otra falla algebráica que heredan de los reales es la no solución de q2 = −1). 0.8.3. Fallas topológicas de los racionales A continuación mostramos que los racionales presentan también una falla topológica. Esta consiste en la existencia de colecciones contables de intervalos de racionales, cerrados y encajonados, cuya intersección es nula: decimos que Q tiene huecos. Un intervalo cerrado de racionales [a, b] está dado por el conjunto de los números racionales menores o iguales que el racional b y mayores o iguales que el racional a. El intervalo de racionales [a, b] es no vacío si y sólo si a ≤ b. Considere el intervalo (de racionales) I0 = [a0 , b0 ] = [0, 1]; el conjunto de los racionales es contable y por lo tanto también lo es el intervalo de racionales [0, 1]. Sea {rn } un conteo de los racionales entre 0 y 1. Luego encontramos el subintervalo [a0 , b1 ] de I0 , donde b1 es la rm con mínima m tal que a0 < rm < b1 . Luego encontramos el intervalo [a1 , b1 ] donde a1 es la rm con mínima m tal que a0 < rm < b0 . Continuamos de la misma manera: a partir del intervalo [an , bn ] encontramos el intervalo [an , bn+1 ] con bn+1 = rm con m mínima tal que an < rm < bn (entre dos racionales siempre hay otro racional)luego, [an+1 , bn+1 ] donde an+1 = rm , m mínima tal que a0 < rm < b1 . Así definimos una colección contable {Ik : k ∈ N}, decreciente Ik+1 ⊂ Ik , de intervalos de racionales no 42 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS vacíos. La colección resultante tiene intersección vacía, ya que si existiera una S q ∈ k ∈ NIk , q = rl para alguna l ∈ N, pero por construcción rl < Il y tenemos una contradicción. Decimos entonces que el conjunto de los números racionales tiene huecos (es decir, hay subconjuntos acotados de Q que no tienen suprémum racional). Note cómo la existencia de huecos es consecuencia de la contabilidad de Q. Más adelante veremos que los racionales tienen otra falla, esta vez analítica: hay sucesiones de racionales que tienden a agruparse cada vez más (estas sucesiones se conocen como sucesiones de Cauchy) y sin embargo no convergen. Es interesante que estas fallas, excepto una de las algebráicas, quedan resueltas en los reales, que Dedekind7 definió usando ciertas particiones de Q y Cauchy8 definió usando ciertas clases de equivalencia de sucesiones de racionales. Ejemplo. A = {k ∈ Q : k = 1 − n1 , n ∈ Q} es un conjunto acotado con suprémum. 0.8.4. Cortes de Dedekind Habiendo definido los conjuntos de los números naturales, los números enteros y los números racionales, ¿Cómo definir los números reales? ¿Cómo darles carta de ciudadanía a estos huecos de los racionales? Desde la época de Pitágoras, de alguna forma se usan, sin haber sido definidos, estos números que llamamos “reales” debido a que inicialmente a los número complejos se les llamó “imaginarios” porque no se les podía visualizar, y así el nombre resultó por oposición. 7 Willian Dedekind (1831-1916) Matemático Alemán alumno de Gauss, es reconocido por desarrollar la idea de que los números racionales y los irracionales forman un continuo: los número reales. Cada número irracional divide el conjunto de los números racionales de manera particular. 8 Auguste Louis Cauchy (1789-1857) Matemática francés es reconocido por su trabajo en el análisis y en teoría de permutación de grupos. Trabajó en convergencia y divergencia de series infinitas, ecuaciones diferenciales y física matemática, entre otros. 0.8. LOS NÚMEROS RACIONALES Q 43 A mediados del siglo XIX se sintió una necesidad de rigor, por ejemplo al hablar de límite; hubo un renacimiento de la importancia de la lógica en las matemáticas, y se empezó axiomatizando el conjunto de los números naturales. A partir de los Axiomas de Peano, de las ideas de Frege y Russell9 y de la teoría de conjuntos, se dieron definiciones para los diferentes tipos de número. Riemann10 y Weierstrass11 dieron definiciones de integral y de límite. Quizás la definición más difícil de dar fue la de los números reales. Así a finales del siglo XIX la pregunta era muy pertinente pero la respuesta no era nada obvia. Richard Dedekind, un matemático alemán amigo de Riemann, dio la primera definición axiomática de los número reales. El concepto básico de su idea es un corte. Un corte de Dedekind es una partición Q = k ∪ l ∪ m del conjunto de los números racionales donde k y m no son vacíos y l es un conjunto unitario o vacío, tal que, para cada k ∈ k, l ∈ l, m ∈ m, se tiene que k < m y, si l no es vacío, k < l < m; además, ni k tiene máximo (racional) ni m tiene mínimo (racional). Un corte de Dedekind es una forma de partir el conjunto de los racionales (osea expresar como una partición). Ejemplo. {q ∈ Q : q2 < 2 ∨ q < 0} ∪ ∅ ∪ {q ∈ Q : q2 > 2 ∨ q > 0} es un corte de Dedekind. Este corte se usa para definir el número real raíz de dos, en la sección siguiente. Ejemplo. {q ∈ Q : q < 3}∪{3}∪{q ∈ Q : q > 3}. También es un corte de Dedekind. (Este corte se usa para definir el número real 3, en la sección siguiente) Algunos matemáticos abrevian y dicen que un corte de Dedekind es sólo 9 Bertrand Russell (1872-1970) Matemático y filósofo inglés se le conoce como el fundador de la lógica moderna. 10 Georg Riemann (1826-1866) Matemático alemán conocido por sus desarrollos en geometría no euclídea, teoría analítica de números y por sentar las bases para la topología moderna. 11 Karl Weierstrass (1815-1897) Matemático alemán tutor de Cantor y Engel entre otros. Aunque no publicó ningún artículo, sí escribió 3. 44 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS la componente k del corte formalmente definido anteriormente. La razón es que la componente k determina unívocamente el corte y así es una cómoda forma de abreviar. Además el énfasis al hablar de corte pasa, de ser una forma de partir los racionales, a ser un conjunto de racionales. 0.9. Topología Definición 7. La clausura de un conjunto está dada por A ∪ Aa l donde Aa l es el conjunto de los puntos de acumulaciòn de A Definición 8. Un subconjunto X de un conjunto Y es denso si X̄ = Y Definición 9. Un conjunto X es denso en ninguna parte si para ningún intervalo I, I ∩ X es denso en I. Una base para un espacio topológico es una colección de conjuntos abiertos tal que cada conjunto abierto en el espacio es una unión de elementos de la base. Aac : Conjunto de los polos de acumulación de A. Suponga que |Aac | ≤ 1 entonces A es contable y denso en ninguna parte. Ejercicio. Suponga que (Aac )ac = ∅. 1) Cubra Aac con intervaloos disyuntos que incluyen cada uno exactamente un punto de Aac . Resulta una unión contable de contables que es contable. Tenemos un teorema: Si en un espacio topológico con base contable el conjunto de puntos de acumulación de un conjunto A no tiene puntos de acumulación, A es contable. 0.9.1. Topología estándar para números reales R Es la que resulta al considerar como base el conjunto de los intervalos abiertos. Note que los intervalos abiertos de la línea (p,q), p,q ∈ Q también dan 0.10. LOS NÚMEROS REALES R1 45 una base, que es contable. Teorema: Un subconjunto A de R con (Aa l)a l = ∅ se puede expresar como una sucesión sn consn ≤ sn+1 Demostración. Ordene los intervalos que lo cubran. 0.10. Los Números Reales R1 Podemos decir que tanto R como Q son modelos de longitudes bastante aceptables. La relación entre estos modelos y la realidad está dada por la intuición. Los racionales son un modelo que no nos permite tener triángulos rectángulos isósceles. Los reales, por otra parte, predicen longitudes y duraciones que no podemos medir en el laboratorio. El modelar magnitudes físicas con los números reales no cuadra entonces dentro del positivismo lógico, defendido por Mach. Tanto los ingenieros como los físicos dicen que usan el conjunto de los números reales, o un intervalo de éstos como modelo para ciertas magnitudes tales como el tiempo, el voltaje, la temperatura, etc. En realidad se trata de un modelo intuitivo que sólo en parte usa las propiedades matemáticas de los números reales. Comúnmente, tal modelo no es exactamente lo que los matemáticos entienden por números reales; por ejemplo, ¿tiene sentido diferenciar una coordenada de tiempo, o un valor de voltaje, racional de uno irracional? Es claro que ningún instrumento tiene tal precisión; además, es posible que no tenga sentido hablar de intervalos de tiempo, o de longitudes arbitrariamente pequeños (ni arbitrariamente grandes). Así, actualmente hay una situación de compromiso: la física usa un modelo que no tiene base experimental, porque no hay nada mejor. El teorema de Pitágoras nos permite argumentar que los números racionales no son suficientes para modelar longitudes, si es que los triángulos rectángulos isósceles van a existir. La física cuántica ha mostrado que los números 46 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS reales probablemente tampoco son adecuados (¿quizás los conjuntos difusos?). Comúnmente, ni el ingeniero ni el físico se preocupan por tales consideraciones; ellos trabajan con un modelo, en parte intuitivo y en parte axiomático, de la línea de los números reales. Veamos a continuación el modelo axiomático de los números reales, que ya esbozamos en la sección anterior, desarrollado por R. Dedekind y G. Cantor. Definición 10. Cada corte de Dedekind k ∪ l ∪ m se denomina un número real. R1 es el conjunto de los números reales. R1 hereda a Q: para cada elemento r de Q, tenemos el corte: {q ∈ Q : q < r} ∪ {r} ∪ {q ∈ Q : q > r} y el número real correspondiente {q ∈ Q : q < r}. Los cortes para los que la componente l del corte es vacía, determinan un número real que no tiene correspondiente racional. Por ejemplo, el número real “raíz de dos” corresponde al corte {q ∈ Q : q2 < 2 ∨ q < 0} ∪ ∅ ∪ {q ∈ Q : q2 > 2 ∨ q > 0} y está dado por el conjunto de racionales {q ∈ Q : q ≤ 0, ∨q2 < 2} Así un número real es un subconjunto propio (quizás “subconjunto propiamente dicho” sea una mejor traducción de proper set) y no vacío de racionales, con las propiedades de no tener máximo y de que, para cada elemento q del subconjunto, cada racional menor que q también es elemento. Teorema de Arquímedes Si q ∈ Q, q > 0. Entonces ∃n ∈ N, n > 0 : 0 ≤ Demostración: q= 1 n <q k ⇒n=l l El teorema de Arquímedes: ∀x ∈ R : x > 0, ∃n ∈ N : n > 0 ⇒ 0 < Ejercicio. Demuestre el teorema de Arquímedes. 1 <x n 0.10. LOS NÚMEROS REALES R1 47 Proposición Entre 2 reales s y r hay un racional q: Por teorema de Arquímedes: ∃ 1 1 rn + 1 1 < s − r(s > r) ⇒ r < + r < s : q = + r = n n n n 0.10.1. Aproximación de reales con racionales 0.10.2. Aproximación de ū con racionales 0.10.3. Relación de orden lineal La relación “ser subconjunto de” sobre los reales así definidos como subconjunto de racionales provee una relación de orden lineal para los números reales. Ejercicio. Muestre que la relación ser subconjunto de, es un orden lineal para R Por ejemplo, note que {q ∈ Q : q ≤ 0, ∨, q2 < 2} es subconjunto de {q ∈ Q : q < 3}, correspondientemente decimos que el número real raíz de dos es menor o igual que el número real tres. Si se tiene un conjunto de números reales, la unión de los conjuntos racionales correspondientes es también un número real, y corresponde al máximo; la intersección al mínimo. Ejercicio. Sea A un conjunto de números reales. Muestre que su unión es un número real, o Q. Similarmente muestre que su intersección es o un número real o vacía. Podemos también definir un conjunto de reales extendido agregando al conjunto de reales los subconjuntos Q y { }. Nuevamente tenemos un conjunto linealmente ordenado por la relación ser subconjunto de. En este contexto, 48 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS llamamos a Q infinito y a { } menos infinito; los denotamos −∞ y +∞, respectivamente. Recuerde que ni +∞ (osea Q) ni −∞ (osea vacío) son números reales, son números reales extendidos. El conjunto de los números reales junto con las operaciones de suma y resta (R, +, ·) es un cuerpo (ver sección 0.5). Ejercicio. Muestre que si A es un conjunto de reales con cota superior, entonces la unión de los cortes correspondientes es un número real, y es el suprémum de A. Ejercicio. ¿Cómo define la suma y el producto de reales, considerados como subconjuntos de racionales? Asuma que ya se definieron la suma y la resta de racionales. Ejercicio. ¿Es R1 contable? Sugerencia: muestre primero que los reales no tienen huecos y recuerde que la existencia de huecos en los racionales se mostró basándonos en que son contables. Ejercicio. Muestre que cada sucesión de intervalos cerrados encajonados de reales tiene intersección no vacía. (De hecho, que hay uno y sólo un punto en tal intersección.) 0.10.4. Congruencia entre números reales El concepto de congruencias módulo N se puede generalizar así: sean x, y, z números reales. Decimos que x y y son congruentes módulo z, si su diferencia es un múltiplo entero de z, osea: ∃ r ∈ Z x− y = rz. La relación de congruencia normalmente se abrevia así: x ≡ y mód z. Es fácil mostrar que si x ≡ y mód z y a ≡ b mód z entonces x + a ≡ y + b mód z; sin embargo, no siempre se tiene que xa ≡ yb mód z. Ejercicio. Dé un ejemplo donde x ≡ y mód z, a ≡ b mód z, y sin embargo, xa . yb mód z. 0.10. LOS NÚMEROS REALES R1 49 Ejercicio. Muestre que para cada real > 0 hay enteros m y n tales que | π− m n |< . Para terminar esta sección, podríamos decir que con los números naturales contamos, con los enteros llevamos contabilidades y con los racionales medimos magnitudes físicas que asumimos que se pueden subdividir en un número arbitrariamente grande de partes iguales. El uso de números reales es antetodo teórico ya que ninguna medida tiene precisión definitiva. Sin embargo, su utilidad es grande ya que al modelar magnitudes como números reales podemos usar técnicas del cálculo para maximizar, obtener transformadas, etc. Una de las enseñanzas del positivismo es que no es conveniente ser positivista a ultranza: ni Kronecker aceptó el infinito de los naturales ni Mach aceptó los átomos; pero sin el infinito y sin los átomos, la ciencia y la técnica estarían innecesariamente limitadas hoy en día. Los reales por su parte tienen fallas algebráicas: hay ecuaciones de la forma p(x) = 0, con puna función polinómica que no tienen soluciones en R. Esta falla la resuelven los complejos. Denotemos con bxc el “máximo entero menor o igual” que x. Así, x − bxc es la “parte decimal” de x. 0.10.5. El conjunto de Cantor El conjunto de Cantor es de importancia en topología y en sistemas dinámicos; también en teoría de la medida ya que es un conjunto no contable que “mide cero”. Lo definimos a continuación. Considere la representación en base 3 de los números reales en el intervalo cerrado [0, 1]. Cada número allí está representado por (al menos) una sucesión {t0 , t1 , t2 , · · · } donde cada ti ∈ {0, 1, 2}. La idea es que cada número lo escribimos como 0.t0 t1 t2 · · · y que el número es ∞ P ti 3−i . El por qué todo número real tiene tal representación lo explicamos más i=0 adelante. Defina ahora una sucesión de subconjuntos del intervalo [0, 1]. Sea 50 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS A0 = [0, 1], sea A1 el conjunto de los números tales que t0 , 1, A2 el conjunto de los números tales que t0 , 1 y t1 , 1, etc. Ai es el conjunto de los números T con t0 , 1, . . . , ti−1 , 1. Ahora defina C := Ai . Tenemos que: i∈RN i) C no es vacío: cualquier número en [0, 1] que en su expansión ternaria no tenga unos está en el conjunto. ii) De hecho, C es no contable ya que el conjunto de las sucesiones binarias que representan números diferentes es no contable. 4 iii) C mide cero ya que A1 mide 1 − 13 , A2 mide 1 − 13 − 92 , A3 mide 1 − 13 − 92 − 27 ∞ n−1 P 2 y en el límite, C mide 1 − 3n = 0. n=1 Ejercicio. Demuestre ii). Ejercicio. Diga si el conjunto de cantor es contable. Demuestre. Todo número real entre [0, 1] tiene una representación ternaria. 0.10.6. Subconjuntos densos en ninguna parte Decimos que un subconjunto de R es denso en ninguna parte si hay una colección de intervalos disyuntos cada uno conteniendo exactamente uno de los puntos del conjunto. Ejercicio. Muestre que un conjunto denso en ninguna parte es contable. 0.11. La circunferencia S1 = T1 En esta sección definimos la esfera unidimensional S1 , que para dimensión 1 coincide con el toro unidimensional T1 y con la línea proyectiva RP1 . 0.11. LA CIRCUNFERENCIA S1 = T1 51 Considere las clases de equivalencia de R1 que resultan cuando se considera la relación congruencia módulo 2π. Dado un número real x, su clase de equivalencia [x] está dada por el conjunto de los números reales de la forma x + 2πn, donde n es un número entero. Note que la clase de equivalencia [x] de cada número real x es contable. Vea la figura 16. Figura 16: Los puntos indicados hacen parte de la clase de equivalencia de x Las clases de equivalencia determinan una partición de R1 . Además, cada clase de equivalencia [x] tiene un representante único en el intervalo [0, 2π) es decir que [x] ∩ [0, 2π) contiene exactamente (ni más ni menos) un elemento. Así, a cada número real x le hacemos corresponder el número JxK := [x] ∩ [0, 2π), al que llamamos “x módulo-2π”. Es claro que [JxK] = [x]. Las clases de equivalencia son los elementos de S1 . S1 = {[x] : x ∈ R1 }. Topología de S1 . El intervalo abierto con centro en [x] y radio , 0 < < π de S1 es el subconjunto de S1 {[y] : [k x − y k< ]} donde kxk se muestra en la figura 17. Ahora definimos la suma en S1 por medio de la fórmula [x] + [y] = [x + y]. 5π Ejercicio. Calcule [ 3π 2 ] + [ 4 ]. Ejercicio. Diga si (S1 , +) es un grupo. Diga si es un anillo. Sobre el conjunto S1 = {[x] : e ∈ R1 } definimos ahora una relación ternaria, que demostraremos que es circular. 0.11.1. Circularidad de S1 Considere la relación ternaria T de puntos en S1 definida a continuación. Sean [x], [y], [z] elementos de S1 . Decimos que ([x], [y], [z]), ([y], [z], [x]), ([z], [x], [y]) ∈ 52 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Figura 17: kxk Figura 18: El intervalo de S1 de radio con centro en [x], corresponde a una colección infinita de intervalos de la línea de los números reales 0.11. LA CIRCUNFERENCIA S1 = T1 53 T si y sólo si: i. JxK < JyK < JzK, o ii. JzK < JxK < JyK, o iii. JyK < JzK < JxK en donde “<” es la relación “ser menor que” entre números reales. Ejercicio. Muestre que la relación definida es circular. Ejercicio. Muestre que para cada x, y, z ∈ R, (mı́n(JxK, JyK, JzK), med (JxK, JyK, JzK), máx(JxK, JyK, JzK)). (Donde med quiere decir mediana) y sus permutaciones pares están en T. Una diferencia fundamental entre R1 y S1 es que, en S1 , recorriendo el conjunto hacia un lado, o el otro, regresamos al mismo punto. Es decir, dado A, A + x = A − x tiene solución para x , 0 en S1 , pero no es R1 . Ejercicio. Demuestre que, para x, y ∈ [0, 2π), mı́n{|x − y|, (mı́n{x, y} + 2π − máx{x, y})} = [| x − y |]π siempre que x − y , ±π Modelar la noción de circularidad con una relación es lo que podríamos llamar matematizar el concepto de circularidad. Matematizar es lo que hizo Newton es sus estudios de la mecánica. Un investigador a veces encuentra conveniente matematizar sus conceptos. El uso de las matemáticas a su vez requiere del rigor en las demostraciones. 0.11.2. Definiciones Básicas y Notación Los tintes se denotan como números complejos de magnitud 1; en particu√ √ lar, rojo = 1 + j0; anaranjado = (1 + j)/ 2; amarillo = 0+ j; citrino= (−1+j)/ 2; √ √ verde = -1 + j; cian = (−1−j)/ 2; azul = 0 - j; violeta = (1−j)/ 2. 54 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Es conveniente cuantificar las diferencias entre tintes; esto puede ser llevado a cabo con una métrica para el conjunto de números complejos de magnitud 1. Adicionalmente a la métrica d1(z1 , z2 ) = |z1 −z2 | resultante de la inmersión de la circunferenca unitaria en el plano complejo, también se tienen las métricas: d2(z1 , z2 ) = 1 − cos(arg(z1 ) − arg(z2 )) = Re[z1 z−1 ] 2 d3(z1 , z2 ) = T(arg(z1 ) − arg(z2 )) donde T es la función carpa periódica de periodo 2π dada por T(x)=|x| para x ∈ [−π, π]. Una de las cuatro relaciones posibles opuesto, previo, posterior y simultáneo entre dos tientes z1 y z2 (posiblemente igual) resulta como sigue: el tinte z2 es opuesto a z1 sí z2 = −z1 el tinte z2 es simultaneo al tinte z1 sí z2 = z1 el tinte z2 es previo (o negativo con respecto) al tinte z1 sí sen((arg(z1 )−arg(z2 )) = Im[z1 z−1 ]<0 2 el tinte z2 es posterior (o positivo con respecto) al tinte z1 sí sen((arg(z1 ) − arg(z2 )) = Im[z1 z−1 ]>0 2 0.11.3. El promedio Circular Dirección media o promedio circular Sea z = [z1 . . . zN ] una colección de (posiblemente repetidos) N datos circulares; asumiendo su suma diferente de 0 + 0 j, su dirección principal se dice que está dada por: PN zi z̄ = P1N | 1 zi | 0.11. LA CIRCUNFERENCIA S1 = T1 0.11.4. 55 Promedio y mediana en S1 La media (o promedio) angular de una muestra de N datos φ1 , φ2 . . . phiN viene dada por el argumento de la suma compleja de sus representaciones complejas. Es decir la media es arg(Z), donde la suma compleja Z es Z= N X e jφi i=1 Claramente la media no se encuetra definida para muestras cuya suma compleja sea cero, tales como las muestras equiespaciadas. Para una muestra de angular se aplica el proceso de reducción de forma reiterativa hasta llegar a una muestra irreducible. Si la muestra resultante es trivialmente equiespaciada, diremos que es la mediana angular de la muestra. En caso contrario, diremos que la muestra no tiene mediana. 0.11.5. La línea proyectiva P1 Considere la relación de equivalencia entre los elementos de S1 dada por: x ≡ y si y sólo si la distancia (como se definió para puntos en S1 ) entre x e y es π. Así, cada clase de equivalencia contiene exactamente 2 puntos. Al conjunto de estas clases de equivalencia lo denominamos P1 . También definimos una distancia entre puntos en P1 . [a − b]π/2 , si a − b , ±π/2, dp ([x], [y]) = mı́n{ds (a, b) : a ∈ x, b ∈ y} = π, de lo contrario 2 Para n = 1, S = P , topológicamente. Para dimensiones mayores, el espacio proyectivo no es homeomorfo a la esfera. n 0.11.6. n La esfera de dimensión n (Sn ) En Rn+1 , tenemos Sn = {n ∈ Rn+1 : | x |= 1}. 56 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 0.11.7. El toro de dimensión n (Tn ) Definimos Tn = n Q S1 , (producto cartesiano). Note que S2 , S1 × S1 . k=1 0.11.8. El espacio proyectivo de dimensión n (RPn ) Definimos RPn como el conjunto de las líneas que pasan por el origen en Rn+1 ; equivalentemente, RPn es la esfera de dimensión n Sn , donde se han identificado los puntos antípodas, es decir, el espacio topológico cociente correspondiente. 0.12. Los números complejos C Una vez que se detectaron fallas algebráicas en los reales, resultó la conveniencia de inventar un nuevo tipo de número. La fórmula para la solución cuadrática era conocida en el año 2000 A.C. Desde los griegos hasta el siglo XVI, la solución de estas ecuaciones fue considerada como la solución de un problema geométrico; así, la ecuación x2 − x − 1 = 0 era la intersección de la parábola y = x2 y la recta y = x + 1. Cuando la recta y la parábola no se intersecan, se decía que la solución de la ecuación era “imaginaria” (porque no se podía visualizar). A los reales se les llamó así, en oposición. Más tarde, el nombre imaginario tomó un sentido más particular y a estos números imaginarios se les llama ahora números complejos. Basándose en resultados de del Ferro12 y Tartaglia13 , Cardano14 publicó 12 Scipione del Ferro (1465-1526) Matemático italiano su aporte a las matemáticas en grande. Aunque su nombre no es muy reconocido su trabajo en la resolución de ecuaciones cuadráticas se trata en muchos textos matemáticos posteriores. 13 Niccolò Fontana “Tartaglia” (1499-1557) Matemático italiano planteó la solución de diversas ecuaciones cúbicas hasta establecer la solución general de estas. Solución que luego fue publicada por Cardano como producción propia. 14 Jérôme Cardan “Cardano” (1501-1576) Matemático italiano reconocido por la publicación de 0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C 57 en 1545 su Ars Margna, donde consideró raíces de números negativos por primera vez en una publicación, considerando las soluciones respectivas como inútiles por carecer de interpretación geométrica. El Ars Margna también incluía una solución de la ecuación cúbica x3 = 3px + 2q correspondiente aqla intersección q de una recta con la curva cúbica y = x3 . La solución es p p 3 3 q + q2 + p3 + q − q2 + p3 . Unos 30 años después, Bombelli15 notó que si la recta es tal que p3 > q2 resulta la raíz de un número negativo aún en casos en los que hay una solución geométrica al problema. Por ejemplo, la recta y = 15x+4, que interseca la cúbica en x = 4, tiene este problema. Bombelli tuvo la (gran) idea de suponer que para √3 √3 la ecuación x3 = 15x + 4, 2 + 11i es de la forma 2 + ni y 2 − 11i es de la forma 2 − ni. Definiendo la multiplicación y la adición de números complejos (como la conocemos hoy en día) encontró que las cosas aún cuadraban bien en la fórmula de Cardano. Figura 19: La solución gráfica de las raíces reales de una cúbica su Ars Magna, además de otros libros sobre juegos y azar donde sienta una aproximación a la probabilidad. 15 Raffaele Bombelli (1530-1572) Matemático italiano. Entre sus publicaciones encontramos contribuciones a la teoría de números y acercamientos a la geometría analítica. 58 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Como los números irracionales, los números complejos encontraron un rechazo inicial. Aún en 1702, Leibnitz consideraba estos números como “anfibios entre la existencia y la no existencia”.En 1770 había aún una falta de claridad √ √ √ tal que el mismo Euler dijo erróneamente que −3 −2 = 6. Wessel, Argand y Gauss fueron las primeras personas en considerar los números complejos como puntos del plano R2 . Con la identidad de Euler, los números complejos se pueden ver como puntos de otro espacio también (cilindro abierto más punto). Los aportes al análisis complejo de Cauchy y Riemann, permitieron que el tema de los números complejos creciera durante los años 1814 a 1815 en una forma mucho mayor. El análisis complejo ha dado aportes valiosos al análisis real, por ejemplo en la teoría de funciones analíticas, mostrando una vez más la utilidad de considerar casos más generales para resolver problemas en dominios particulares. Los números complejos son ahora de uso común en la ingeniería electrónica. En particular, son de uso común la identidad de Euler, el teorema de residuos de Cauchy y las funciones de Möbius16 . El uso de los números complejos en ingeniería es debido entre otras cosas al concepto de impedancia, el cual fue introducido por Charles P. Steinmetz17 , un ingeniero que emigró de Alemania a Estados Unidos. El concepto de impedancia usado en el análisis y síntesis de circuitos, está relacionado con los de resistencia por una parte y con los de la transformada de Laplace, la transformada de Fourier y la convolución, por la otra. Para los griegos, la geometría y aritmética estaban íntimamente relacionadas. 16 August Ferdinand Möbius (1790-1886) Matemático y astrónomo alemán, en su obra el baricéntrico (1827) hace una introducción a coordenadas proyectivas homogéneas y correspondencias poryectivas. 17 Charles Proteus Steinmetz (1865-1923) Matemático e ingeniero eléctrico nortamericano, es conocido por su trabajo en el desarrollo de la corriente alterna; algunas de sus mayores contribuciones son en el área de hystéresis, lo que permitió el avance del diseño de motores eléctrico. 0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C 59 Aunque históricamente los números complejos empezaron a ser aceptados al considerar ecuaciones polinómicas de tercer orden, hoy en día es más común definirlos axiomáticamente. Así, los modelos más comunes para el conjunto de los números complejos están basados en los siguientes conjuntos: i) R1 × R1 : para coordenadas rectangulares (plano) ii) (0, ∞) × S1 ∪ {θ}: para coordenadas polares (cilindro compactificado por un lado) La representación del número θ en coordenadas rectangulares es (0, 0). el número entero cero se definió sin signo; similarmente, resulta inconveniente, porque implica contradicciones, definirle coordenada polar φ (de fase o ángulo) al número complejo θ, con coordenadas rectangulares (0, 0). Figura 20: El modelo de coordenadas rectangulares: el producto R1 × R1 Para pasar del modelo del plano al modelo del cilindro, es conveniente un paso intermedio pasando por un cono. Imagine que el plano complejo C es el plano x − y del espacio R3 . Luego suponga que colocamos un cono con vértice en el origen del plano y con eje el eje z, como se muestra en la figura 22. Luego, suponga que proyectamos hacia arriba, sobre el cono, los puntos del plano. 60 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Figura 21: El modelo de coordenadas polares:(0, ∞) × S1 ∪ {θ} Figura 22: El modelo geométrico cono para las coordenadas polares 0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C 61 Si nos olvidamos del resto de R3 y nos concentramos en el cono solamente, resulta la imagen de C mostrada en la figura 23 en donde ya podemos indicar las coordenadas polares ρ y φ Figura 23: El modelo geométrico cono para las coordenadas polares Finalmente, imagine que quitamos el vértice del cono y lo colocamos a un lado y que hacemos que el resultante cono sin vértice se deforme (como si fuera elástico) hasta convertirse en el cilindro de la figura 21, ensanchando el cono para r pequeña y angostando el mismo para r grande. 0.12.1. Nomenclatura En coordenadas rectangulares, la primera componente de un número complejo se denomina su parte real y la segunda su parte imaginaria. Las funciones Re e Im están definidas así: Re(x, y) = x (parte real) Im(x, y) = y (parte imaginaria) Resulta conveniente denotar los números con coordenadas rectangulares (0, 0), (1, 0) y (0, 1) abreviadamente, así: θ := (0, 0), 1 := (1, 0) y j := (0, 1). Por lo tanto, en coordenadas rectangulares, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a1 + bj, que escribimos simplemente como a + jb. En coordenadas polares, la primera componente de un número complejo se conoce como su magnitud mientras que la segunda se conoce como su fase: (r, φ) = r (magnitud) ∠(r, φ) = φ (fase). Como dijimos, al origen θ del plano no le definimos fase. 62 0.12.2. CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Equivalencias de ángulos Sean α, β ∈ R1 ángulos; se dice que α y β son ángulos equivalentes si son congruentes módulo 2π, así, S1 es el espacio natural para modelar ángulos. Ejercicio. ¿2π ≡ 6π? ¿0 ≡ π? ¿−π/2 ≡ 3π/2? Aunque es cierto que ζ ≡ Φ y α ≡ β implica que ζ + α ≡ Φ + β, hay que ser cuidadoso cuando se considera la posible congruencia de productos de ángulos: ζ ≡ Φ y α ≡ β no implica que ζα ≡ Φβ. Por ejemplo, 0 ≡ 2π y 1/2 ≡ 1/2 pero 0 . π. Ejercicio. ¿ e j2π 0.12.3. 1/2 = e jπ ? Estructura algebráica Lo que diferencia al conjunto de los números complejos del plano de coordenadas rectangulares y del cilindro de coordenadas polares, es la estructura algebráica dada por las operaciones “·” (producto) y “+” (suma) se definen como sigue: “+” (suma): (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) y es una función asociativa, conmutativa, con módulo aditivo y con inversos aditivos. “·” (producto): (x, y) · (a, b) = (xa − yb, xb + ya) y es una función asociativa, conmutativa, con módulo multiplicativo y con inversos. Con las definiciones anteriores C tiene estructura de cuerpo. Ejercicio. Muestre que las operaciones definidas son asociativas y conmutati- vas. Sea z = (x, y), si (x, y) + (a, b) = θ, entonces (a, b) = (−x, −y), por lo tanto el inverso aditivo de z está dado por −z = (−x, −y). Cada número complejo z, con excepción de θ, tiene un inverso multiplicativo que denotamos z−1 . Para obtener una fórmula en coordenadas cartesianas para 0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C 63 z−1 , procedemos como sigue. Si (x, y) · (a, b) = (1, 0) entonces, resolviendo para a y b encontramos los siguientes valores, siempre y cuando (x, y) , θ, (x, y) −1 −y x , 2 =: (a, b) = 2 2 x + y x + y2 ! Ejercicio. Deduzca la fórmula del inverso multiplicativo. 0.12.4. Equivalencia entre las representaciones rectangular y polar de un número complejo Cada punto (x, y) de R1 × R1 corresponde a un punto de (0, ∞) × S1 ∪ {θ} y viceversa. Si se tiene la representación en coordenadas polares (r, φ) de un número complejo, sus partes real e imaginaria están dadas por: x = r cos φ y y = r sen φ. Figura 24: Equivalencia geométrica de las representaciones polar y rectangular de los números complejos Inversamente la magnitud r y la fase φ se obtienen a partir de las partes 64 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS real e imaginaria así: r = p x2 + y2 arctan(y/x), π 2, φ= −π 2 , arctan(y/x) + π, si x > 0, si x = 0, y > 0 si x = 0, y < 0 si x < 0 Note la adición del término π cuando la parte real es negativa, debida a que la fórmula arctan(y/x) sola es insuficiente: le asigna el mismo valor a cada número (x, y) que esté sobre una línea que pase por el origen. Vea por ejemplo la figura 25, donde (aunque la fase de z es diferente de la de −z), la fórmula “φ = arctan(y/x)” les asignaría el mismo valor. Note también que si x = y = 0, no se define fase. Note también que re jφ = −re jφ+π (la exponencial compleja la definimos más adelante). Figura 25: La fase de z es igual a la fase de −z más (o menos) π Dado que la función tangente no es inyectiva, la función arctan no se define siempre en la misma forma, aunque su imagen es siempre en intervalo abierto de longitud π. Típicamente, por ejemplo en las calculadoras, se asume que el rango es (−π/2, π/2). (Vea la figura 26). Suponga que z ∈ C; si Im(z) = 0, se dice que el número z es “real”, en este 0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C 65 caso, si a , θ, su fase es 0 o π, dependiendo del signo: 0 si la parte real es positiva y π si la parte real es negativa. Si Re(z) = 0 e Im(z) , 0, se dice que z es “imaginaria” y su fase es π/2 o −π/2 (¿Dependiendo de qué?). Ejercicio. Muestre que |zw| = |z| |w|. (La magnitud de un producto es el producto de las magnitudes) Ejercicio. Muestre que ∠(zw) = ∠z + ∠w. (La fase de un producto es la suma de las fases) Ejercicio. Muestre que |z + w| ≤ |z| |w|. (La magnitud es subaditiva) Ejercicio. Muestre que ||z| − |w|| ≤ |z − w| (Vea la figura 27) Ejercicio. Sea g : R1 → C dada por g(t) = cos t. Grafique la magnitud y la fase de g(t) para t ∈ [0, 2π). Ejercicio. Sea h : R1 → C dada por h(t) = j sen t. Grafique la magnitud y la fase de h(t) para t ∈ [0, 2π). e jω 1+e jω sen(ω) = 12 + j 21 1+cos(ω) . También, grafique la magnitud, la fase, la parte real y la parte imaginaria contra ω, para ω ∈ [0, 2π). Ejercicio. Muestre que: 0.12.5. Interpretación geométrica del producto complejo Suponga que w es un número complejo dado, y defina f : C → C dada por, f (z) = zw. Note que, geométricamente, a cada punto z, f le hace corresponder un punto a distancia |z| |w| del origen y ángulo con respecto al eje real ∠z + ∠w. En particular, como f (1) = w podemos mostrar que los triángulos θ − 1 − z y θ − w − zw, indicados en la figura 28 son semejantes: si multiplicamos los vértices zw y w de uno de los triángulos por e− j∠w , obtenemos los vértices del triángulo similar a θ, 1, z; ¡Dibújelo usted mismo! 66 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Figura 26: Una forma de definir la función arctan: con rango (−π/2, π/2) Figura 27: Ilustración de la fórmula ||z| − |w|| ≤ |z − w| 0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C 67 Figura 28: Representación geométrica del producto complejo 0.12.6. Inverso multiplicativo en coordenadas polares En coordenadas polares, el inverso multiplicativo de a = (r, φ) está dado por: (r, φ)−1 = (r−1 , −φ); recuerde que −φ ≡ 2π − φ. Figura 29: Representación geométrica del inverso multiplicativo, el inverso aditivo y el conjugado Ejercicio. ¿Cómo se definen las operaciones de suma y producto en coorde- nadas polares? 68 0.12.7. CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Complejo conjugado Sea z = x + jy un número complejo. Su complejo conjugado se denota z∗ y está dado por: z∗ = x − jy. Ejercicio. Sea z = 2 + 3j; grafique z, z−1 y z∗ en coordenadas rectangulares. Ejercicio. Muestre que |z|2 = Re[zz∗ ]. Ejercicio. Muestre que |z|2 = z2 . Ejercicio. Muestre que |z∗ | = |z|, ∠z∗ = −∠z. Ejercicio. Muestre que, si z , 0, z−1 = z∗ . |z|2 Ejercicio. Muestre que (z + w)∗ = z∗ + w∗ . Ejercicio. Muestre que (zw)∗ = z∗ w∗ . Ejercicio. Muestre que Re(z) = 12 (z + z∗ ). Ejercicio. Muestre que Im(z) = − 21 j(z − z∗ ) Ejercicio. Usando la fórmula tan(α+β) = tan(α)+tan(β) 1−tan(α) tan(β) , muestre que ∠zw = ∠z∠w. Ejercicio. Representando cada número complejo z con la matriz, Re[z] −Im[z] Im[z] Re[z] muestre que las operaciones de suma y producto de complejos coinciden con las correspondientes de matrices. 0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C 69 Figura 30: La proyección estereográfica de x ∈ S1 − (π/2] es p(x) ∈ R1 0.12.8. La proyección estereográfica Existe una función interesante p de S1 − {Jπ/2K} a R1 , conocida como la proyección estereográfica, y que puede generalizarse a esferas de dimensiones mayores. En este contexto, S1 es la compactificación de un punto de R1 . Ejercicio. Encuentre una fórmula para p(x) en términos de x. (x es el ángulo con respecto al radio horizontal de la circunferencia.) Proyección estereográfica, plano complejo extendido En muchos casos resulta útil considerar el plano complejo extendido C ∪ {∞}. Este se obtiene adicionando un punto abstracto, el punto “∞”, al plano complejo. Al punto ∞, como al origen θ, no se le define fase; su “magnitud” se asume mayor que la magnitud de cualquier número complejo. Sus partes real e imaginaria no se especifican. (Topológicamente, el espacio localmente compacto R2 , mediante su compactificación de un punto es la esfera S2 ) El plano complejo extendido es topológicamente equivalente a la superficie §2 de la esfera bidimensional. La proyección estereográfica es un homeomorfismo (es decir un a equivalencia topológica: una biyección bicontinua) de S2 al plano complejo extendido. Esta proyección le asigna el polo sur de la esfera 70 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS al origen del plano, el polo norte a ∞, puntos diferentes del polo norte a la intersección de un línea que pasa por el polo norte y el punto en cuestión, con el plano, cuando éste se imagina como tangente a la esfera en el polo sur. Así es posible decir por ejemplo, que una función tenga un polo en infinito y que las funciones de Möbius son biyecciones del plano complejo extendido a sí mismo. Una utilidad de visualizar así el plano junto con el infinito, es que el infinito es más intuitivo u no algo “que no se puede ver porque está muy lejos”. Figura 31: La proyección estereográfica Para efectos algebraicos, se asume que: z+∞=∞ si z , θ, z · ∞ = ∞ · z = ∞ ∞·θ=θ z/∞ = θ, si z , θ z/θ = ∞, si z , θ 0.12.9. Funciones lineales Las funciones lineales f : C → C, dependiendo de si se considera como conjunto de escalares (el cuerpo de los escalares) a R o a C, son de la forma f (z) = wz, con z ∈ C constante, en el segundo caso, y de la forma f (z) = az, con a ∈ R constante, en el primero. Note que si f es lineal con cuerpo C, también es lineal con cuerpo R, pero no viceversa. Por ejemplo, f (z) = z∗ es lineal con campo R pero no con cuerpo C. 0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C 0.12.10. 71 Excepciones a la fórmula (za )b = zab Sea z = −1 = e jπ , ¿Cuánto vale (z2 )1/2 ? La respuesta, que podríamos llamar La raíz cuadrada de 1, es 11/2 = 1 y tenemos una expresión con valor único. Sin embargo, ¿qué hay incorrecto al escribir (z2 )1/2 = z1 = −1? Lo que no se está teniendo en cuenta es lo siguiente: (e jπ2 )1/2 = e jπ ; el producto (1/2)(2π) está dado por (1/2) ∗ 0 = 0 = 2π y no por π. Cuando se usan complejos y se tienen exponentes fraccionarios, ¡hay que ser cuidadoso al usar la fórmula (z2 )1/2 ! Por otra parte, el conjunto de números que elevados al cuadrado son 1, lo podríamos llamar el conjunto de las raíces cuadradas de 1. Así, las raíces de 1 son 1 y -1 pero la raíz de 1 es 1. Las raíces cúbicas de 1 son 1, e j2π/3 y e− j2π/3 . Ejercicio. Diga si la función f : C → C, dada por f (z) = z2 es inyectiva o sobreyectiva. también, dibuje las imágenes con respecto a f de los ejes real e imaginario, de las lineas Re[z] = Im[z], Re[z] = −Im[z], de las lineas Re[z] = 1, Re[z] = −1, Im[z] = 1, Im[z] = −1 y de las curvas |z| = 1, |z| = 0,5, |z| = 2. Ejercicio. Diga si la función f : C → C, dada por f (z) = ez es inyectiva o sobreyectiva. también, dibuje las imágenes con respecto a f de los ejes real e imaginario, de las lineas Re[z] = Im[z], Re[z] = −Im[z], de las lineas Re[z] = 1, Re[z] = −1, Im[z] = 1, Im[z] = −1 y de las curvas |z| = 1, |z| = 0,5, |z| = 2. Ejercicio. Diga si la función f : C → C, dada por f (z) = ez tiene inversa 0.12.11. Transformaciones de Möbius Suponga que α, β, χ, γ son números complejos tales que αγ − βχ , 0 y P P P αz+β considere m : → , donde = C ∪ {∞}, dada por m(z) = χz+γ , m(∞) = [QUEVAACA] y m γ/χ = ∞. La función de Möbius f (z) = 1/z, que pertenece a esta familia , tiene una interpretación geométrica en términos de la proyección estereográfica, que explicamos a continuación. Primero, usando la proyección estereográfica, 72 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS P proyectamos los puntos de en S2 ; tomando el radio de la esfera como 1/2. A continuación, rotamos la esfera S2 media vuelta de tal forma que el polo sur y el polo norte intercambien posiciones, manteniendo la circunferencia imagen del eje imaginario invariante; finalmente volvemos a proyectar sobre el plano P P P : m = p−1 ◦ r ◦ p : → S2 → S2 → . Veamos primero que, como el radio es 0.5, el procedimiento indicado deja invariante (pasando por el ecuador de la esfera) la circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Figura 32: Transformaciones de Möbius 1 (COMO LE PONEMOS A ESTA GRÁFICA) Veamos también que las partes positivas y negativa del eje real permanecen invariantes, y que las partes positiva y negativa del eje imaginario se intercambian. Finalmente, veamos que, con el procedimiento indicado, la magnitud de cada punto resulta invertida. Si mostramos que los ángulos α y β son iguales, el resultado buscado se sigue, ya que entonces los triángulos 0NB y CNA son similares por tener 2 1 ángulos iguales, entonces N0 = NC , entonces 1 = NC 1 osea 0B = 0A . 0B 0B CA Para mostrar que α = β, note que los arcos de circunferencia subtendidos por α y β son iguales ya que los triángulos FDG y FEG son iguales, por lo tanto, αz+β λ α = β. Ahora, más general, note que χz+γ = δ + χz+γ , donde δ = χα y λ = βχ − αγ. Ejercicio. Diga qué rotación r : S2 → S2 es necesaria, para implementar la función de Möbius f (z) = 1−z 1+z en la forma ya indicada. 0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C 73 Figura 33: Transformaciones de Möbius 2 (COMO LE PONEMOS A ESTA GRÁFICA) Ejercicio. Encuentre una función de Möbius que no se pueda implementar en la forma indicada. Ejercicio. Muestre que la suma de dos funciones de Möbius es una función de Möbius. Ejercicio. Muestre que la composición de dos funciones de Möbius es una función de Möbius. Ejercicio. Muestre que cada transformación de Möbius transforma rectas y circunferencias de C en rectas o circunferencias de C. Muestre que cada transP formación de Möbius transforma circunferencias de en circunferencias de P . Ejercicio. Encuentre la imagen de los ejes de C y de los semiplanos de parte real positiva y negativa, con respecto a la transformación f (z) = 1−z 1+z . Ejercicio. Encuentre la imagen de la circunferencia de radio 1 con centro en θ de C y el círculo de radio 1 con centro en θ, con respecto a la transformación f (z) = 1−z 1+z . 74 0.13. CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Los cuaternios (H) Los cuaternios fueron inventados por W. R. Hamilton hacia 1860, después de haber tratado en vano durante años de definir un producto con inversos en R3 − {θ}. en R2 tenemos el producto correspondiente al producto de complejos, en coordenadas rectangulares. No es posible sin embargo, dotar al grupo (R3 , +) con estructura de anillo de división, sin divisores de cero; es decir, no hay producto tal como al que estamos acostumbrados para R3 . en R4 sí es posible aunque el producto resultante no es conmutativo. Estos resultados se los debemos a Hamilton. Hoy sabemos que, de los Rn , solo en R1 , R2 , R3 y R4 es posible definir un producto que, junto con la suma por coordenadas en Rn (osea, la ley del paralelogramo), resulte en un anillo de división, sin divisores de cero. Por ejemplo, el producto vectorial que se ve en el curso de cálculo vectorial (del cual tendremos algo que decir más adelante en esta sección) tiene divisores de cero. La terminología de producto vectorial y producto escalar se originaron igualmente con Hamilton. Los cuaternios tienen varias aplicaciones en ingeniería. recientemente se ha explorado el uso de una transformada de Fourier definida con base en los cuaternios, en vez de en los complejos. Los cuaternios permiten el uso de fórmulas cortas para expresar transformaciones de perspectiva y de proyecciones; en gráficas y en robótica, se usan para codificar rotaciones en el espacio. También, el uso de cuaternios para el tratamiento de imágenes a color es un tema de actualidad. En geometría, son especialmente útiles para trabajar con estructuras basadas en la esfera tridimensional S3 . 0.13.1. Definición Si x es un punto en R4 = R1 × R3 (como explicamos abajo, resulta conveniente pensar que las últimas 3 componentes de un cuaternio son las coorde- 0.13. LOS CUATERNIOS (H) 75 nadas de un punto en R3 ), con coordenadas cartesianas (a, b, c, d), poniendo 1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0) y k = (0, 0, 0, 1), tenemos el cuaternio x = a1 + bi + cj + dk, abreviadamente x = (a + ib + jc + kd). 0.13.2. Suma y producto La operación suma se define en forma estándar, con la ley del paralelogramo, como (a1+bi+cj+dk)+(α1+βi+γj+δk) = (a+α)1+(b+β)i+(c+γ)j+(d+δ)k, mientras que el producto queda determinado por la ley distributiva y los productos elementales: 11 = 1 ii = jj = kk = −1 ij = −ji = k ki = −ik = j jk = −kj = i Figura 34: Orden para productos elementales positivos Note que el producto resultante no es conmutativo. El resultado del producto se puede recordar con la ayuda de la figura 34; el producto de i, j, o k con sí misma, es -1. El producto de elemento i, j, o k con otro diferente, es “la que no se usa”, con signo positivo cuando seguimos el orden indicado en la 76 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS figura 34, negativo en caso contrario. Así, (x0 1 + x1 i + x2 j + x3 k)(y0 1 + y1 i + y2 j + y3 k) = ((x0 y0 − x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 )1 + (x0 y1 + x1 y0 + x2 y3 − x3 y2 )i+ (x0 y2 + x2 y0 − x1 y3 + x3 y1 )j + (x0 y3 + x3 y0 + x1 y2 − x2 y1 )k) Ejercicio. Mostrar que los cuaternios son un anillo. (¿Anillo de enteros?) 0.13.3. Partes escalar y vectorial con x = [x0 , x1 , x2 , x3 ], como punto de R4 , o x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k, como cuaternio, tenemos: Parte escalar: S(x) = S(x0 +x1 i+x2 j+x3 k) = x0 1 = [x0 , 0, 0, 0] que comúnmente se confunde intencionalmente con el número real x0 . Parte vectorial: V(x) = V(x0 + x1 i + x2 j + x3 k) = x1 i + x2 j + x3 k = [0, x1 , x2 , x3 ] que comúnmente se confunde intencionalmente con el punto [0, x1 , x2 , x3 ] de R3 . Así, escribimos la fórmula del producto de cuaternionico como: xy = x0 y0 − V(x) · V(y) + x0 V(y) + y0 V(x) + V(x) × V(y) donde los productos · y × son los productos escalar y vectorial de R3 , respectivamente. Vemos que el producto cuaternionico no es conmutativo. Esta nomenclatura de “producto escalar” y “producto vectorial”, tal como la conocemos hoy, se originó con Hamilton. Vale la pena memorizar esta fórmula. Si S(x) = 0, decimos que x es un cuaternio puro. Así, un cuaternio puro q es de la forma [0, x1 , x2 , x3 ], cumple q = V(q) y como acabamos de decir, comúnmente lo identificamos con el punto [0, x1 , x2 , x3 ] de R3 . Si V(x) = [0, 0, 0], decimos que x es un escalar puro. Así, un escalar puro es de la forma [x0 , 0, 0, 0] y como dijimos, comúnmente lo identificamos con el punto x0 de R1 . Llamaremos a los cuaternios puros vectores y los denotaremos con letras con diéresis. Llamaremos a los escalares puros escalares y los denotaremos con variables con subíndice 0. Osea, a = a0 + ä. 0.13. LOS CUATERNIOS (H) 0.13.4. 77 Conjugado, magnitud e inverso Definimos el conjugado del cuaternio x = (x0 1 + x1 i + x2 j + x3 k) como x = x0 1 − (x1 i + x2 j + x3 k). Entonces, xx∗ = x20 +x21 +x22 +x23 es un escalar de la magnitud del cuaternio: |x|2 := xx∗ (que también se conoce como la “norma regular” N(x) de x) ∗ Ejercicio. Muestre que si x , θ = [0, 0, 0, 0], su inverso multiplicativo está dado por: |x|−1 = |x|−2 x∗ . Ejercicio. Muestre que (xy)∗ = y∗ x∗ . Ejercicio. Muestre que (xy)−1 = y−1 x−1 . Ejercicio. Muestre que q + q∗ = 2q0 . Ejercicio. Encuentre 1 1+i+ j+k . Ejercicio. Diga por qué, el producto en R3 dado por [x, y, z][a, b, c] = [yc − zb, xc − az, xb − ay] junto con la operación normal suma, no permite tener un anillo de división sin divisores de cero. Un cuaternio es unitario si su magnitud vale 1. Por lo tanto, el anillo de los cuaternios unitarios es la esfera tridimensional S3 (el conjunto de los puntos de R4 a distancia unitaria del origen). En forma análoga a como los números complejos de magnitud 1 viven en la esfera unidimensional, los cuaternios de magnitud 1 viven en la esfera tridimensional. Si ü es un cuaternio puro, ü2 = [0, u1 , u2 , u3 ][0, u1 , u2 , u3 ] = [−u1 − u22 − 2 u3 , 0, 0, 0] osea, su cuadrado es un escalar (de valor la norma). En general, el producto de dos cuaternios puros está dado por üë = ü × ë − ü · ë. El cuadrado de un cuaternio unitario puro es -1. Esto nos permite escribir, usando las series de Taylor de seno y coseno eüt = cos t + ü sen t, siempre que ü sea un cuaternio unitario puro. 78 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Los cuaternios puros unitarios viven en una esfera bidimensional, en forma análoga a como los números imaginarios puros (± j) viven en una esfera de dimensión 0 (un conjunto de puntos). Ejercicio. Muestre que un cuaternio puro tiene como cuadrado el escalar -1. Ejercicio. Muestre que el inverso de un cuaternio unitario es unitario. Ejercicio. Muestre que el producto de dos cuaternios unitarios es unitario. 1 Sea q un cuaternio unitario. Sea ü = V(q) V(q) el vector unitario en la | | dirección de V(q). Así, q = q0 + V(q) ü. Note que tanto q0 como V(q) son 2 menores o iguales a 1 ya que q20 V(q) = 1. De hecho, como dijimos, podemos escribir q = cos φ + ü sen φ, donde φ es la fase del número complejo con parte real q0 y parte imaginaria V(q). Por lo tanto φ ∈ [0, π] (ya que el número complejo en cuestión tiene parte imaginaria no negativa). 0.13.5. Nomenclatura para rotaciones en R3 Suponga que q es un cuaternio unitario (por lo tanto q−1 = q∗ ), y ë un cuaternio puro (de hecho, el punto de R3 que queremos rotar). Entonces, qëq es también un cuaternio puro ya que: qëq∗ = cos φ + ü sen φ ë cos φ − ü sen φ = − sen φ(ü · ë) + cos φë + sen φ(ü × ë) cos φ − ü sen φ = − sen φ cos φ(ü · ë) + cos φ(ü · ë) sen φ + V(qëq∗ ) = 0 + V(qëq∗ ) Por otra parte, qëq∗ = |ë| ya que qëq∗ = qëq−1 = q |ë| q−1 = |ë|.Osea que qëq∗ está a la misma distancia del origen que ë. Además, como se puede verificar, para cada q unitaria, la función Lq : R3 → R3 dada por Lq (ë) = qëq∗ es lineal. 0.13. LOS CUATERNIOS (H) 79 Por lo tanto, L es representable como producto por una matriz L(ë) = ëM, con la propiedad que (ëM) (ëM)T = ëëT , por lo tanto, ë MMT ëT = ëëT por lo tanto MMT es la matriz identidad, por lo tanto M es una matriz ortogonal especial; así, decimos que Lq es una rotación o una reflexión, dependiendo de si el determinante de M es 1 o -1. Mostraremos que el determinante es 1 y que por lo tanto se trata de un rotación. Sea Λ : S3 × R3 → R3 ; dada por Λ(q, ë) = Lq (ë); así, Λ es una función continua de dos variables. Por lo tanto, det M depende continuamente de q y, como para q = 1, det M = det I = 1, y como det M sólo puede tomar valores 1 y -1, concluimos que det M = 1. Ejercicio. Muestre que Lq es lineal. Ejercicio. Encuentre las filas de M en términos de q y concluya que el determi- nante vale 1. Alternativamente, considere el caso especial en que q = cos φ + i sen φ. con ë = e1 i + e2 j + e3 k, Lq (ë) = q e1 i + e2 j + e3 k q∗ = qq∗ ie1 + q jq∗ e2 + qkq∗ e3 2 2 = ie1 + q∗ je2 + q∗ e3 = ie1 + (cos 2φ − i sen 2φ)(e2 + e3 i) j y tenemos que el “eje x” (el subespacio generado por i) permanece invariante mientras que el “plano yz” (el subespacio generado por {j, k}) se rota en un ángulo de valor 2φ. (Lo cual es interesante ya que entonces φ ∈ [0, π], como en el caso de la recta proyectiva). en el caso general, q = cos φ + ë sen φ, descomponemos a ë en una componente normal a ü, y otra paralela. Usando ë = ek +e⊥ , donde con α = ë· ü, ek = α|ü|ü (la componente paralela a ü), y e⊥ = ë − α|ü|ü (la componente perpendicular a ü), 80 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS queda: qëq∗ = (cos φ + ü sen φ)(ek + e⊥ )(cos φ − ü sen φ) = ek cos2 φ + e⊥ cos2 φ − ek ü cos φ sen φ − e⊥ ü cos φ sen φ + üek sen φ cos φ + üe⊥ sen φ cos φ − üek ü sen2 φ − üe⊥ ü sen2 φ = ek cos2 +ek sen2 φ + 0 + (e⊥ cos2 φ − e⊥ sen2 φ + 2e⊥ ü sen φ cos φ) = ek + (e⊥ cos2 φ + 2e⊥ ü sen φ cos φ) donde vemos que el sumando paralelo permanece invariante mientras que el sumando ortogonal se rota un ángulo 2φ. 0.13.6. H como una estructura de anillo para C × C Nota: En esta sección, la unidad imaginaria se denota con i. En esta sección usamos la convención que los cuaternios son pares ordenados de números complejos. Considere las siguientes operaciones de suma y producto definidas para pares de números complejos: a + b = (a, α) + (b, β) = (a + b, α + β) ab =(a, α)(b, β) = (ab − αβ∗ , αβ + αb) donde el asterisco indica número complejo conjugado. Note que el par (1,0)=(1 + 0i, 0 + i) se comporta como módulo para este producto. Denotamos en forma abreviada los pares de la forma (a, 0) como a; a ∈ C. Note que (0, α) = (α, 0)(0, 1) = α(0, 1). Denotamos de forma abreviada el par (0, 1) con j. Note que j2 = −1 y que ja = a∗ j, a ∈ C. El conjugado ā del cuaternio a = a + αj esta dado por: ā = a∗ − αj Note que con a = a + αj, aā = āa = aa∗ + αα∗ ≥ 0 Como se puede verficar, cada cuaternio a = a + α j diferente de 0 + 0 j, tiene 0.14. SUCESIONES 81 un inverso multiplicativo a−1 dado por: a−1 = a∗ − α j aa∗ + αα∗ de lo que se concluye que se tiene un anillo de división. Propiedades i. Un cuaternio a = a + αj conmuta con cada cuaternio si y solo si es real, es decir, a ∈ Re y α = 0 ii. āb = āb̄ Resulta a un espacio vectorial de dimensión 4, con base 1, i, j, i j. El espacio se forma con la norma euclídea dada por: a = (aā)1/2 En el espacio se define el porducto interno dado por: < a, b >= 1 ((a + b)(ā + b̄) − aā − bb̄) 2 1 (ab̄ − bā) 2 La norma satisface |xy| = |x||y|. La base 1, i, j, i j es ortonormal. El ordenamiento da una orientación para H. = 0.14. Sucesiones Una sucesión unilateral de elementos de A es una función con dominio el conjunto de los naturales, s : N → A. 82 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Una sucesión bilateral de elementos de A es una función con dominio el conjunto de los enteros, r : Z → A. Si A es el conjunto de los números reales, se dice que la sucesión es real; si A es el conjunto de los números complejos, se dice que la sucesión es compleja, etc. La notación comúnmente usada es r = {rn }, la cual tiene el inconveniente de ser muy similar a la usada para denotar conjuntos. Las sucesiones bilaterales complejas son el modelo del tipo de señal que denominaremos señal discreta de longitud infinita. Ejemplo. s : N → R, s = {sn } donde s(n) = sn = 2n + 3; más explícitamente, pero incompletamente, podríamos escribir también, s = {3, 5, 7, 9, · · · } donde es importante recordar que se está representando una sucesión (“sequence”) y no un conjunto. Figura 35: s es una sucesión unilateral Ejemplo. r = {rn }, donde r(n) = rn = nπ; r = {0, π, 2π, 3π, · · · }. Ejemplo. a = {an }, donde a(n) = an = ∠(−1)n ; a = {0, π, 0, π, · · · }, A continuación se muestra una gráfica de a: Ejercicio. Considere el conjunto S = {0, 1}N de las sucesiones unilaterales bina- rias. Es decir, S = {s|s : N → {0, 1}}. Dé ejemplos de elementos de S. ¿Es finito? ¿Es S contable? 0.14. SUCESIONES 83 Figura 36: La sucesión a Ejercicio. Diga qué es la “diagonal de Cantor”. Ejercicio. Grafique la magnitud y la fase de an = j cos(nπ) como funciones de la variable n. Como explicaremos en la sección siguiente, el conjunto de las sucesiones bilaterales complejas se denota CZ 0.14.1. Subsucesiones Sea s : N → N una sucesión unilateral de números naturales creciente, es decir, si < s j siempre que i < j. Si r : N → A es una sucesión, decimos que t : N → A, con ti := rsi es una subsucesión de r. ∞ \ ∞ [ Ak n=0 k=n → ∞ [ ∞ \ n=0 k=n Ak 84 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 0.15. Espacios métricos, convergencia y espacios completos Un espacio métrico (X, d) consiste en un conjunto X y una función d : X × X → [0, ∞), que se conoce como métrica, tal que: i. ∀ x0 inX, d(x, x) = 0 ii. ∀ x, y ∈ X, si d(x, y) = 0, entonces x = y (definitivamente positiva) iii. ∀ x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x), (simetría) iv. ∀ x, y, z ∈ X, d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) (desigualdad del triángulo) En un espacio métrico, la bola con centro c ∈ X y radio r ∈ (0, ∞) está dada por el conjunto {x ∈ X : d(x, c) < r}, que denotamos Bc (r). Ejercicio. Muestre que la función d : R2 × R2 → [0, ∞), dada por d(x, y) = p (x + y)2 + (x − y)2 para cada x, y ∈ R2 , con x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), determina una métrica para R2 . Esta métrica se conoce como la métrica euclídea para R2 . Ejercicio. Para la métrica del ejemplo anterior, dibuje la bola con centro en el origen y con radio l. Ejercicio. En R2 , para cada x, y ∈ R2 , con x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), considere la métrica dada por d(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |. Esta métrica se conoce como la métrica del taxista. Ejercicio. En R2 , para cada x, y ∈ R2 , con x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), considere la métrica dada por d(x, y) = máx{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |}. Esta métrica se conoce como la métrica del producto. 0.15. ESPACIOS MÉTRICOS 0.15.1. 85 Bolas En un espacio métrico, definimos la bola de centro y y radio r Br (x) como el subconjunto dado por {x|d(y, x) < r}. Ejercicio. Para las métricas euclídea, del producto y del taxista, dibuje las bolas con centro el origen y radio 1. 0.15.2. Métrica para S1 Definimos una métrica para s1 con base en la función T(x) mostrada en la figura 37. La idea es que dos puntos en la circunferencia parten esta en 2 arcos y que la distancia entre los puntos es la longitud del arco más corto. Así, si x, y son ángulos en [0, 2π], su distancia está dada por d(x, y) := T(|x − y|). Figura 37: Función para definir una métrica en S1 Damos a continuación una definición equivalente de distancia entre puntos sobre la circunferencia. dados puntos [x], [y] en la circunferencia, definimos su distancia como sigue: ds ([x], [y]) = mı́n{JxK − JyK, mı́n{JxK, JyK} + 2π − máx{JxK, JyK}} JxK − JyK]π , si JxK − JyK , ±π, = π, de lo contrario así, estamos tomando la longitud mínima de los recorridos entre x y y. 86 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 0.15.3. Espacios normados Un espacio normado (X, | · |) consiste en un espacio vectorial X con vector cero θ, y una función | · |: X → [0, ∞), que se conoce como la norma, tal que: i. ∀x ∈ X, |x| ≥ 0 (es no negativa) ii. ∀x ∈ X, si|x| = 0, entonces x = θ (definitivamente positiva) iii. ∀x, y, z ∈ X, |x − y| + |y − z| ≥ |x − z| (desigualdad del triángulo) 0.15.4. Espacios topológicos Un espacio topológico (X, U) consiste de un conjunto X, y una familia U de subconjuntos de X, que denominaremos subconjuntos abiertos de X, tal que: i. φ, X ∈ U (tanto el espacio completo como el conjunto vacío son conjuntos abiertos) ii. Las uniones de elementos de U están en U (Las uniones arbitrarias de conjuntos abiertos son conjuntos abiertos). iii. Las intersecciones finitas de elementos de U están en U (Las intersecciones finitas de conjuntos abiertos son abiertas). Un subconjunto de un espacio topológico se dice cerrado si su complemento es abierto. Estas definiciones son debidas esencialmente a Hausdorff. Un elemento p del espacio es un punto de acumulación (“limit point”) de un subconjunto A si cada conjunto abierto que contiene a p, contiene al menos un elemento de A diferente de p. Ejercicio. Muestre que un subconjunto es cerrado si y sólo si contiene sus puntos de acumulación. 0.15. ESPACIOS MÉTRICOS 87 Equivalentemente, dado un subconjunto A de un espacio métrico X, decimos que el punto x ∈ X es un punto de acumulación de A, si cada bola que contenga a x, contiene un punto de A diferente de x. A partir de una norma se puede definir una métrica d(x, y) = |x − y| pero no viceversa: se necesita un espacio vectorial y la propiedad de la homogeneidad positiva. Similarmente, con una métrica se puede definir una topología, pero no viceversa: la desigualdad del triángulo no es una propiedad topológica. 0.15.5. Límite de una sucesión de números Sea s : N → X una sucesión unilateral con valores en un espacio métrico X. Se dice que l es el límite de {sn } si, para cada bola que contenga a l, para cada n a partir de cierta N, sn está en la bola. Si la imagen s(N) es finita, claramente la sucesión converge. Equivalentemente, en un espacio normado, l es el límite de la sucesión si, para cada número real , hay un número natural N tal que, para cada n mayor que N, |sn − l| < . Esto se denota sn → l. En tal caso, se dice que la sucesión convergente. Ejercicio. Muestre que ninguna sucesión puede converger a dos límites. Cauchy supo de la idea de Dedekind para definir los números reales pero de alguna manera, no le satisfacía. Cauchy dio otra definición de los reales, basada en sucesiones de racionales en vez de subconjuntos de racionales. La desventaja es que un número real, con la definición de Cauchy, es una clase de equivalencia de sucesiones (algo más complejo que un corte de Dedekind). La ventaja es que la idea se generaliza y se aplica a espacios métricos en general. 0.15.6. Convergencia en sentido de Cauchy Se dice que una sucesión {sn } en un espacio métrico es una sucesión de Cauchy si d(sn , sm )tiende a cero cuando n y m tienden a infinito. Es decir, si 88 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS para cada positiva hay un número natural N tal que, siempre que n y m sean mayores que N, d(sn , sm ) < Esto lo denotamos como d(sn , sm ) → 0. Si una sucesión es convergente, claramente es una sucesión de Cauchy: esto se sigue de la desigualdad del triángulo: d(sn , sm ) ≤ d(sn , l) + d(l, sm ). Ejercicio. Diga si R2 es un espacio métrico completo. Diga si (0,1) lo es. Diga si es necesario aclarar qué métrica se usa en cada caso. 0.15.7. Sucesiones y subsucesiones de números reales Sea {an } una sucesión real. Lema 1. Si {an } es no decreciente y acotada superiormente, entonces converge. Demostración 1. Como la imagen de {a} tiene cota superior, tiene cota superior mínima, digamos α. Con > 0, α − no es cota superior, entonces para alguna N, α − < an ≤ α, y se cumple la definición de convergencia de una sucesión. Lema 2. Toda sucesión contiene una subsucesión que es o no creciente o no decreciente. Demostración 2. Definimos inicialmente lo que es un pico y un valle: ak es un pico de una sucesión {an } si, para cada n > k se tiene an < ak . Similarmente, ak es un valle de la sucesión {an } si para cada a > k se tiene an > ak . hay dos posibilidades, o la sucesión tiene infinitos picos, o no. en el primer caso, los picos dan una subsucesión no creciente. En el segundo caso, o hay infinitos valles, o no. Si no, la sucesión es eventualmente constante y esto nos da una subsucesión monótona; si sí, los valles determinan una subsucesión no decreciente. Corolario 1. (Bolzano-Wierstrass) Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Teorema 1. Una sucesión (real o compleja) converge si y sólo si es una sucesión de Cauchy. 0.15. ESPACIOS MÉTRICOS 89 Como resultado del ejercicio anterior, tenemos que R es completo. Ejercicio. Diga si la sucesión {an } converge, cuando an está dada por: a. an = (−1)n b. an = (−0,9)n c. an = ( j)n d. an = ( n2 ) n e. an = ( n+1 ) 1 ) f. an = sen( n+1 g. an = (n)−n h. an = sen n1 PRUEBA M de Weierstrass. Sea { fn } una sucesión de funciones definidas en A, y sea {mn } una sucesión de ∞ P números tales que ∀x ∈ A, | fn (x)| ≤ mn . Suponga que mn converge. Entonces ∀x ∈ A a ∞ P ∞ P n=1 fn (x) converge en valor absoluto y P fn (x) converge uniformemente n=1 fn (x). n=1 Teorema 2. Si {an } es no decreciente y está acotada superiormente, entonces {an } converge. Demostración. Sea α la cota superior mínima. Dado > 0, α − no es cota superior, entonces hay una an tal que α− < an ≤ α. Como {an } es no decreciente, de algún N en adelante, las an son α − < an . 90 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Lema 3. Cualquier sucesión {an } contiene una subsucesión que es o bien no decreciente o bien no creciente. Demostración. Definimos un punto cumbre a el número n tal que am < an ∀m < n. Un punto valle se define de manera análoga. CASO 1. La sucesión tiene infinitos puntos cumbre. Entonces estos conforman una sucesión no creciente. CASO 2. La sucesión tiene un número finito de puntos cumbre. Encuentre el último de los puntos cumbre, el siguiente punto no es punto cumbre, tome éste. Como no es cumbre, hay puntos a nivel o más abajo, tome uno de estos puntos y repita el procedimiento. Lo anterior resulta en una sucesión no creciente. Para la sucesión no decreciente usamos los puntos valle. Corolario 2. Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Teorema 3. Una sucesión {an } converge si y sólo si es un sucesión de Cauchy. Demostración. ∀n, m > N |an − am | < → ∀n > N |an − aN | < 0.15.8. Espacios completos y completados Se dice que un espacio métrico es completo si cada sucesión de Cauchy es una sucesión convergente. Ejercicio. Muestre que tanto el conjunto de los números reales como el de los números complejos, son completos, con respecto a la métrica d(x, y) = |x − y|. Ejercicio. Muestre que el conjunto de los números racionales no es completo, con respecto a la métrica d(x, y) = |x − y|. Ejercicio. Dé un ejemplo de un espacio métrico no completo. 0.15. ESPACIOS MÉTRICOS 91 ahora proseguimos con la idea de Cauchy para definir los números reales. suponga que inicialmente tenemos solamente los números racionales (y los enteros y los naturales). Note que Q es un espacio métrico con la métrica racional ρ : Q → Q dada por d(p, q) = |p − q|. Se puede tener una sucesión de Cauchy {sn } de racionales, (es decir ρ(sn , sm ) 0) pero que no converja a ningún racional, indicando que los racionales son completos. Ejercicio. Dé un ejemplo de una sucesión de Cauchy de racionales que no converja (a ningún racional). La idea de Cauchy tiene la ventaja, sobre la de Dedekind, que generaliza a espacios métricos en general. Cauchy definió cierta relación de equivalencia en cierto conjunto de sucesiones de racionales. Considere el conjunto de las sucesiones racionales de Cauchy. Dos sucesiones tales {sn }, {tn } se dicen equivalentes si ρ(sn , tm ) → 0. Veamos que efectivamente se tiene una relación de equivalencia. Es reflexiva ya que si s es una sucesión de Cauchy, ρ(sn , sm ) → 0. La relación es simétrica ya que ρ(sn , tm ) = ρ(tn , sm ). Finalmente, si ρ(sn , tm ) y ρ(ti , r j ) tienden a cero, por la desigualdad del triángulo de la métrica, ρ(sn , rm ) ≤ ρ(sn , tm ) + ρ(tn , rm ) también tiende a cero y tenemos que la relación es transitiva. Ahora definimos los números reales como las clases de equivalencia resultantes. Para definir una métrica en el conjunto resultante de los reales, definimos antes la operación de suma de reales. Si τ y σ son dos números reales, definimos τ + σ como: [{tn } + {sn }] = [{tn + sn }], donde {tn } ∈ τ y {sn } ∈ σ. Note que esta definición tiene sentido ya que el resultado es el mismo si tomamos otros representantes {Tn } y {Sn }, es decir, si tanto {sn } y {Sn } como {tn } y {Tn }, están en las mismas clases de equivalencia, respectivamente, entonces {Tn +Sn } y {tn + sn } están en la misma clase de equivalencia. Definiendo −τ como [{−tn }], podemos definir la métrica d(τ, σ) = |τ − σ|. En el conjunto resultante R tenemos elementos representantes de los números racionales: las clases de equivalencia de sucesiones convergentes (a números 92 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS racionales). También, hay elementos de R que no son representantes de ningún número racional, que son las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy no convergentes. Finalmente debemos mostrar que el espacio métrico así definido es completo. Es decir, que sus sucesiones de Cauchy convergen. Si {τk } = {[{tkn }]} es una sucesión de Cauchy de números reales, la clase de equivalencia de la sucesión racional diagonal (tii ) es el límite de {τk } (¿por qué?). Podemos decir que la incompletitud de Q es una falla analítica de los racionales. x Ejemplo. Considere la sucesión {qn } = { yn } de racionales resultantes de la n xn+1 xn + 2yn x0 7 ecuación de recurrencia, = con, = los primeros valores yn+1 xn + yn y0 5 son 7/5 = 1,4, 17/12 = 1,416 . . . , 41/29 = 1,413 . . . , . . . . Ejercicio. Encuentre una expresión para los componentes de la matriz en el ejemplo anterior. Ejercicio. Muestre que la sucesión {qn } del ejemplo anterior es de Cauchy. muestre que {q2n } converge a 2 y que {qn } converge a raíz de 2. Ejercicio. Muestre que los reales de Dedekind y los de Cauchy son equiva- lentes. Ejercicio. Diga si Q es completo. Ejercicio. Diga si el intervalo de reales (0, 1) es completo. a) Con respecto a la métrica d(x, y)0|x − y| Con respecto a la métrica δ(x, y) = |atan(x) − atan(y)| 0.16. SERIES 0.16. 93 Series Definición 11. El término serie (“series” en inglés) quiere decir aquí el límite de una sucesión de sumas parciales. En otros contextos, por ejemplo una serie de tiempos (“time series”) es una sucesión de datos tomados a medida que avanza el tiempo. En cierto sentido, lo que un profesional de la estadística llama una serie de tiempos es lo que un ingeniero llama una señal discreta. Suponga que tenemos la sucesión {an } con términos: a0 = 1; a1 = 1+1/2 = 1,5 a1 = 1 + 1/2 + 1/4 = 1,75 a1 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 1,895, etc. En donde el n−1 P término genérico an está dado por an = 1 + (1/2)i . Ahora, queremos saber i=1 si la sucesión {an } converge y, el tal caso, límite. Tal límite lo denotamos así: n−1 P 1 + (1/2)i y lo llamamos el valor de la serie. Si ha leído sobre la paradoja de i=1 Zenón, y sabe el resultado de la serie, quizás vea aquí una solución matemática a la paradoja, es decir, tenemos que el resultado de una suma infinita es finito: n−1 P 1 + (1/2)i = 2. i=1 En esta sección consideramos el problema de averiguar cuándo tiene una n P sucesión {an } en donde los términos son sumas parciales de la forma an = bi , i=0 en donde asumimos que sabemos el valor de bi para cada i, y en caso de n P convergencia, saber cuánto vale el límite, que denotamos bi . i=0 Ejercicio. Muestre que la serie n P i=0 1 i+1 = ∞ P n=1 1 n diverge hacia infinito, comparán- dola con las áreas indicadas en la figura 38, sabiendo que la integral de [0, ∞) es infinita. 1 x sobre 94 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 0.16.1. Re-ordenamiento de los términos de una serie A partir de una serie dada minos: ∞ P i=0 ∞ P bi podemos obtener otra redondeando los tér- i=0 b g(i) , es decir en donde asumimos que g es una biyección g : N N. Es posible que ∞ P bi converja pero que i=0 ∞ P b g(i) no. Si converge para toda biyec- i=0 ción g, decimos que la serie converge incondicionalmente. Es decir que para cualquier re-ordenamiento de sus términos la serie resultante converge al mismo valor. ∞ P (−1)n+1 converge a ln 2, lo que podríamos Por ejemplo, resulta que la serie n n=1 escribir como: 1 − 12 + 13 − 41 + 15 − 16 + · · · = ln 2, pero si sumamos en el siguiente orden [13], 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + − − + ··· 2 4 3 6 8 5 10 12 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 − ) − + ( − ) − + ( − ) − + ··· 2 4 3 6 8 5 10 12 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + ··· 2 4 6 8 10 12 1 1 1 1 1 1 = (1 − + − + − + · · · ) 2 2 3 4 5 6 1 = ln 2 2 1− y, como vemos, ¡el resultado cambia! En este caso, la permutación g está dada por: g(0) = 0, g(1) = 1, g(2) = 3, g(3) = 2, g(4) = 5, g(5) = 7, g(6) = 4, · · · ∞ ∞ P P Decimos que la serie zi converge en magnitud, si la serie | zi | converge. i=0 i=0 Ejercicio. Encuentre una fórmula para g(n). Ejercicio. Dé un ejemplo de una serie que no converja incondicionalmente. 0.16. SERIES 95 Figura 38: No tiene epígrafe Ejercicio. Muestre que si una serie converge en magnitud, entonces converge incondicionalmente. 0.16.2. Criterios de convergencia de series de números reales y de números complejos La prueba de la integral es usada a veces para mostrar convergencia y a veces para mostrar divergencia. En ambos casos la idea es hacer corresponder los términos de la serie con las áreas de ciertos rectángulos, por encima o por debajo de la curva de la función que se integra. Por ejemplo, considere la función f (x) = 1x , para x > 0, y la serie con término genérico sn = n1 . Notando N+1 N ∞ R P P 1 1 1 que > n x dx = ∞, (vea la figura 39) concluimos que la serie n diverge. n=1 n=1 1 Similarmente, con g(x) = x2 , x > 0, tenemos que la serie ∞ P n=1 N P n=1 1 n2 <1+ RN 1 dx x2 1 n2 converge ya que < 1 + 1 = 2. 1 Ejercicio. Encuentre el valor de ∞ P n=1 1 , n2 usando series de Fourier. Si una serie de números reales (de complejos) converge cuando se toma el valor absoluto (la magnitud) de sus términos, entonces la serie converge incondicionalmente. 96 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Encontrar el límite de una serie normalmente es más difícil que mostrar que converge. El saber que ciertas series convergen, o divergen, sirve para deducir la convergencia o divergencia de otras. Figura 39: El criterio de la integral para mostrar divergencia Figura 40: El criterio de la integral para mostrar convergencia Ejercicio. ¿En qué consiste el criterio de convergencia de la raíz? 0.16. SERIES 0.16.3. 97 La serie geométrica ∞ P Como veremos más adelante, la fórmula para la serie geométrica 1 + que en forma abreviada escribimos como ∞ P zn , n=1 zn , es útil para evaluar la trans- n=0 formada de Fourier y la transformada zeta de ciertas señales discretas. La versión finita de esta serie, que llamaremos la “suma geométrica”, N P zn n=0 también es útil y también tiene una fórmula sencilla, que deducimos a continm 1−zm+1 m uación, y que, 1−z 1−z + z = 1−z . Esto permite demostrar la fórmula de la suma N P de potencias de z. Para evaluar zn procedemos inductivamente. el truco a n=0 recordar es que, para z , 1, 1 + z = N P n=0 1−z2 1−z , N P n=0 zn = 1−zN +1 1−z , si z , 1, y, claro está, zn = N + 1, si z = 1. Alternativamente, podemos deducir la suma geométrica de la fórmula telescópica: (1 − z)(1 + z + z2 + z3 + · · · + zN ) = 1 − zN+1 , siempre y cuando z , 1. La fórmula de la suma geométrica nos permite ahora deducir la fórmula de N N P P la serie geométrica. Si z = 1, el valor de zn = N+1 y la serie zN diverge. En n=0 otro caso, el valor de la serie N P n=0 N z queda determinado por el comportamiento n=0 de zN a medida que N crece. Considerando la representación en coordenadas polares de z dada por z = |z|e jθ , se tiene que zN = |z|N e jθN . Si |z| < 1, |z|N tiene a ∞ P 1 ; si |z| ≥ 1, zN = |z|N e jθN diverge. Por lo tanto, la fórmula para cero y zn es 1−z n=0 la serie geométrica está dada por, ∞ P n=0 Ejercicio. Calcule ∞ P n=0 2−n . zn = 1 1−z si y sólo si |z| < 1. 98 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Ejercicio. Calcule ∞ P 2−n . n=1 0.16.4. La transformada zeta Sea {wn } una sucesión bilateral de complejos; definimos su transformada ∞ P zeta como la función W : D → C dada por la serie de Laurent W(z) = wn z−n , −∞ con dominio los valores de z en el anillo de la región de convergencia de la serie. Es común que la suma de la serie sea una función racional de la variable z, u otra función conocida. Es claro que es tan importante dar la dependencia funcional de W de z como su dominio, ya que dos sucesiones diferentes {wn }, {vn } pueden tener transformada con la misma dependencia funcional W(z) y diferentes dominios D. Figura 41: No tiene epígrafe Ejemplo. La transformada de u−n está dada por convergencia dada por |z| < 1. ∞ P n=0 zn = 1 1−z , con región de 0.16. SERIES 99 Ejemplo. La transformada de u−n está dada por: 1/2 1 = 2 − z 1 − z/2 ∞ 1X z n = ( ) 2 n=0 2 −∞ = 1 X z −n ( ) 2 n=0 2 = 1 X n −n 2 (z) 2 n=0 −∞ con |z| es la transformada de la señal xn = 2n u−n . Ejemplo. 1 (1 − z)(2 − z) 1 1 = − 1−z 2−z −1 1 = − −1 z(1 − z ) 2 − z −1 1 = + −1 z(1 − z ) 2z(1/2 − z−1 ) W(z) = Corresponde a diferentes sucesiones en cada una de las regiones |z| < 1, 1 < |z| < 2 y 2 < |z|. Ejercicio. Encuentre las sucesiones correspondientes al ejemplo anterior. 100 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Figura 42: No tiene epígrafe 0.17. Interpretación funcional de los puntos de Rn y Cn y notación para conjuntos de funciones Un elemento de Rn se denota con la n-tupla x = [x0 , x1 , . . . , xn−1 ]. Con base en la n-tupla x, podemos definir la función x : {0, 1, . . . , n − 1} → R en la forma obvia con x(0) = x0 , x(1) = x1 , . . . , x(n − 1) = xn−1 ; en este sentido, R4 es el conjunto de las funciones de {0, 1, 2, 3} a R. Por ejemplo, el punto x = [2, −1, 3, 0] corresponde a la función con gráfica como se muestra: Figura 43: Gráfica de la función x El conjunto de las funciones con dominio n = {0, 1, . . . , n − 1} y rango C, lo podemos representar como Cn .Por ejemplo, considere la función f : {0, 1, 2, 3} → C, dada por f (0) = 1, f (1) = j, f (2) = −j, f (3) = 1; podemos decir que el punto [1, j, − j, 1] de C4 especifica completamente la función f : 4 → C. 0.18. INTERVALOS DE RN Y DE ZN 101 Extendiendo esta idea, decimos que el conjunto de las funciones de Z a C es CZ y que, en general, el conjunto de las funciones con dominio D y rango R, es RD . Algunos conjuntos que podemos denotar en forma similar son: CZ : El conjunto de la sucesiones bilaterales complejas. CN : El conjunto de la sucesiones unilaterales complejas. RZ : El conjunto de la sucesiones bilaterales reales. RN : El conjunto de la sucesiones unilaterales reales. CR : El conjunto de las funciones complejas con dominio real. CC : El conjunto las funciones complejas con dominio complejo. 0.18. Intervalos de Rn y de Zn Sean a = [a1 , a2 , . . . , an ] y b = [ba , b2 , . . . , bn ] elementos de Rn . El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de puntos x = [x1 , x2 , . . . , xn ] de Rn tales que par cada i en /1, n/, ai ≤ xi ≤ bi . El intervalo abierto ]a, b[ es el conjunto de puntos x = [x1 , x2 , . . . , xn ] de Rn tales que par cada i en /1, n/, ai < xi < bi . Ejemplo. Sean a = [3, 2] y b = [4, 3], puntos de R2 , el intervalo ]a, b[ se muestra en la figura (44 Sean r = [r1 , r2 , . . . , rN ] y s = [sa , s2 , . . . , sN ] elementos de ZN . El intervalo entero, de dimensión N, /r, s/ es el conjunto de elementos k = [k1 , k2 , . . . , kN ] tales que, para cada i en /1, N/, r j ≤ ki ≤ si , Las uniones de intervalos son los dominios naturales de las señales. Los intervalos multidimensionales son los dominios de las señales multidimensionales; por ejemplo, las imágenes tienen como dominio intervalos de dimensión dos y se consideran señales de dimensión dos. Por otra parte, los intervalos proveen bases para la topología estándar de n R . Estos intervalos se conocen como las bolas con respecto a la métrica del producto. 102 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Figura 44: El intervalo ](3, 4), (2, 3)[ de R2 También, decimos que un subconjunto de Rn es abierto si es una unión de intervalos abiertos de Rn . 0.19. Cálculo 0.19.1. Límite de una sucesión de funciones Suponga que para cada número natural n, fn : X → C, donde X es un subconjunto de R1 , es una función. Si r es un número en X, entonces { fn (r)} es una sucesión de números. Si para cada x ∈ X, la sucesión { fn (x)} converge, podemos definir la función f : X → C, dad por f (x) = lı́mn→∞ fn (x) y decimos que la sucesión de funciones fn converge a la función f . En símbolos, f es el límite de fn si, ∀x ∈ X ∀ > 0 ∃ N ∀n > N, | fn (x) − f (x)| < , (donde es real y n y N son naturales). Este tipo de convergencia se conoce como convergencia punto a punto o convergencia puntual. Ejemplo. La sucesión de funciones { fn }, donde cada fn : [0, 1] → C está dada por fn (x) = xn , converge a la función c(x) dada por c(0) = 0 y c(x) = 1 si x ∈ (0, 1]. 0.19. CÁLCULO 103 Observe la figura siguiente. note que las fn son continuas y que el límite c no lo es. Figura 45: Las funciones xn para n = 1, 2, 4, 6 y la función límite 0.19.2. Convergencia uniforme Se dice que la sucesión de funciones { fn (x)} converge a la función c(x) uniformemente si la N en la definición no depende de x, es decir, la función f es el límite uniforme de la sucesión de funciones { fn (x)} si, ∀ > 0 ∃ N ∈ N ∀x ∈ X | fn (x) − f (x)| < . Ejemplo. La sucesión de funciones indicada en la figura 45 no converge uni- formemente. (¿Por qué?) Ejercicio. Diga en qué cosiste el criterio conocido como prueba de la M de Wierstrass. 104 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 0.19.3. Límite de una función, dadas topologías con base para el dominio y el rango Sea f : D → W una función cuyo dominio D y rango W son espacios topológicos cuyas topologias tienen bases; informalmente hablando, eso ocurre cuando tenemos intervalos abiertos, como por ejemplo en el caso de los números reales. Decimos que b es el límite de f (x) cuando x tiende a a si para cada intervalo abierto I, en W, que contenga a b existe un intervalo abierto J, en D, que contenga a a tal que ∀x ∈ J − {a}, f (x) ∈ I es decir , f (J − {a}) es un subconjunto de I. Esto se denota: lı́m f (x) = b. x→a Figura 46: En la definición de límite, los puntos del intervalo J, con la posible excepción de a, tienen imágenes dentro del intervalo I; en el caso de la definición de continuidad, la imagen de J es un subconjunto de I Se puede comprobar que, cuando el rango y el dominio son espacios métricos, con métricas d y D, la definición anterior es equivalente a: ∀ > 0, ∃ δ > 0 0 < |x − a| < δ ⇒ d( f (x), b) < . Cuando el rango y el dominio son R o C, tenemos la definición usual: ∀ > 0, ∃ δ > 0 0 < |x − a| < δ ⇒ | f (x), b| < . 0.19. CÁLCULO 0.19.4. 105 Continuidad Sea f : R1 → R1 una función de los reales a los reales. Sea α ∈ R1 un número real. Se dice que f es continua en α si para cada intervalo abierto I que contenga a f (α) existe un intervalo abierto J que contiene a α y es tal que f (J) es un subconjunto de I. Para la línea de los números reales, tenemos la definición usual: f es continua en α si: ∀ > 0 ∃ δ > 0 |x − α| < δ ⇒ | f (x − f (α))| < . Ejercicio. Dé un ejemplo de una función f : R1 → R1 que sea continua úni- camente en cero. Sugerencia: f (x) = x si x es racional, y f (x) = −x si x es irracional. 0.19.5. 0 Continuidad uniforme Se dice que la función f es continua en el intervalo I si ∀α ∈ I, ∀ > 0 ∃ δ > |x − α| < δ ⇒ | f (x) − f (α)| < . Se dice que la función f es uniformemente continua en un intervalo I si en la definición anterior δ no depende de x. En símbolos ∀ > 0 ∃ δ > 0 ∀α ∈ I, |x − α| < δ ⇒ | f (x) − f (α)| < . Ejercicio. Muestre que la función f (x) = 1/x es continua pero que no es uni- formemente continua en el intervalo (0,1). Ejercicio. Muestre que la función f (x) = x2 es uniformemente continua en el intervalo (0,1). Ejercicio. Muestre que la función sen t es uniformemente continua. 106 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 0.19.6. Con respecto a la continuidad de funciones con rango S1 Suponga que se tiene una función f : R1 → S1 . La fase de una función compleja puede ser una de tales funciones y dos fases cuya diferencia sea un múltiplo entero de 2π determinan la misma clase de equivalencia en S1 . Así, una función de fase continua puede tener saltos de magnitud 2π pero no saltos de magnitud π. Si d mide la distancia entre puntos en s1 y D la distancia entre puntos de R, tenemos que f es continua en a si ∀ > 0, ∃ δ > 0 d(x, a) < δ ⇒ D( f (x), b) < . Ejercicio. Diga cuál de las siguientes funciones es continua y cuál discontinua: f : R1 → S1 dada por f (ω) = ∠e jω . f : R1 → S1 dada por f (ω) = ∠(e jω − 1). 0.19.7. Derivada La derivada, de funciones tanto reales como complejas, con dominio real o complejo, está dada por el siguiente límite, siempre y cuando éste exista: f 0 (x) = lı́m h→0 f (x + h) − f (x) h donde f puede ser una función f : R1 → R1 , R1 → C, C → R1 , C → C. En cada caso, la suma y el cociente se calculan apropiadamente. En el último caso, para funciones complejas con dominio complejo, la derivada está basada en el hecho de que hay un cociente bien definido entre números complejos. Esto hace que el cálculo complejo sea una teoría riquísima en conceptos: están los derivados del cálculo vectorial y los derivados de las operaciones complejas. Así, por ejemplo, hay dos productos; el escalar y el complejo. Se dice que una función f : C → C que sea derivable en z0 , es holomórfica en z0 . 0.19. CÁLCULO 107 Ejercicio. Dé ejemplos de funciones derivables y no derivables en cada uno de los siguientes casos: f : R1 → R1 f : R1 → C f : C → R1 f :C→C Ejercicio. ¿Cuáles son las ecuaciones de Cauchy-Riemann? Ejercicio. Dé un ejemplo de una función g : R1 → R1 que sólo sea derivable en 0. (Sugerencia: g(x) = x f (x) donde f (x) = x para x racional, y f (x) = −x para x irracional.) Para funciones de R a R, la derivada tiene 3 interpretaciones: el límite de un cociente, que tiene sabor algebraico y analítico; la tangente a una curva, que es una contribución de Fermat y es probablemente la idea germinal del cálculo; y una aproximación lineal que es la idea con mayores posibilidades de generalización. Las dos primeras seguramente le son más conocidas. La tercera resulta de considerar: f (x + h) f (x + h f 0 (x)) y, por lo tanto, con t = x + h, x = t0 , resulta: f (t) f (t0 ) + (t − t0 ) f 0 (t0 ), para t cerca a t0 (es decir h pequeña), = f (t0 ) + λ(t), donde la función λ : R → R dada por λ(t) = (t − t0 ) f 0 (t0 ) es lineal. La derivada de funciones de C a C tiene las interpretaciones de derivada de límite de un cociente y de aproximación lineal. La derivada de funciones de RN a RM tiene las interpretaciones de hiperplano tangente y de aproximación lineal local. 108 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Figura 47: La ecuación de la tangente está basada en la función lineal λ(x) = f 0 (x)(t − x) 0.19.8. Interpretación geométrica de la derivada compleja Si f : C → C es derivable en z0 , entonces, para z en las cercanías de z0 , f está dada aproximadamente por f (z) f (z0 ) + Λ(z − z0 ) = f (z0 ) + w(z − z0 ), donde Λ : C → C es lineal, con cuerpo C, y donde w := f 0 (z0 ) es el número complejo conocido como la derivada compleja de f en z0 . Ahora, si z1 y z2 son puntos cercanos a z0 , el ángulo z1 −z0 −z2 , está dado por 2 −z0 ] la fase del cociente [z [z1 −z0 ] . Por otra parte, considerando los puntos resultantes f (z1 ), f (z0 ) y f (z2 ), al aplicar f , tenemos que el ángulo f (z1 ) − f (z0 ) − f (z2 ) está [ f (z )− f (z )] dado por la fase de [ f (z12 )− f (z00 )] . Entonces [ f (z2 ) − f (z0 )] [w(z2 − z0 )] = [ f (z1 ) − f (z0 )] [w(z1 − z0 )] [z2 − z0 ] = [z1 − z0 ] y, por lo tanto las fases son iguales. Así, a menos que w = 0, tenemos que si f es derivable en z0 , con derivada no nula, f preserva los ángulos con vértice en z0 . Esta propiedad es de fundamental importancia en el cálculo complejo. 0.19. CÁLCULO 109 Figura 48: El ángulo con vértice z0 y el ángulo con vértice f (z0 ) son iguales Ejercicio. ¿Es posible definir un cociente para los elementos diferentes del origen, de R3 ? ¿Cuál sería el producto correspondiente? Ejercicio. Para la función f : C → C dada por f (z) = z2 , aproxime f (1,1 + 0,9j) usando f 0 (1 + j). Si f tiene derivada compleja en cada uno de los puntos de una región abierta, se dice que f es holomorfa en la región. 0.19.9. Aproximación lineal Para funciones f : RN → RM , el concepto de derivada se basa en el de aproximación lineal local. Así decimos que f es diferenciable en x0 ∈ RN si en las cercanías de x0 , f se comporta aproximadamente como, f (x) ≈ x0 +λ(x−x0 ), en donde λ : RN → RM es una función lineal. ahora, recordemos que una función de RN a RM es lineal si y sólo si tienen representación λ(x) = xL, donde L es una matriz de M × N. Así, tenemos que en cierto sentido la matriz L es la derivada de f en x0 . como recordará„ esta matriz es precisamente la 110 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS matriz Jacobiana de f evaluada en x0 : L = J(x0 ) donde: ∂ f1 (x) ∂x1 J(x) = ∂ fM (x) ∂x1 0.19.10. ··· ··· ··· ∂ f1 (x) ∂xN ∂ fM (x) ∂xN Diferencial Equivalentemente, tenemos la siguiente noción de derivada. Sea f : RN → R una función con N y M naturales positivos. Se dice que f es diferenciable (en sentido real) en el punto c ∈ R si existe una función lineal (con cuerpo los | f (c+h)− f (c)−T(h)| = 0, donde | · | son las normas reales) T : RN → RM tal que, lı́m |h| M h→0 para RN y RM . Se puede mostrar que T es única y se conoce como el diferencial T f (c), y también como la función tangente a f en c. T f (c) es la matriz Jacobiana M × N de f . Ejercicio. Sea f : R2 → R1 dada por f (x, y) = x2 + y2 . Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie de f en el punto (x, y) = (3, 5). Ejercicio. Diga si f : C → C dada por f (z) = zz∗ es diferenciable o no. Explique. 0.19.11. Diferenciabilidad real y las ecuaciones de CauchyRiemann si L : C → C es una función lineal con cuerpo C, entonces es de la forma L(z) = wz con z ∈ C. En R2 , con z = (x, y) y w = (a, b), tenemos la siguiente representación matricial de L: x a −b x L = y b a y 0.19. CÁLCULO 111 Por otra parte, dada f : C → C como función R2 → R2 f está dada por: x u(x, y) f = y v(x, y) y si es diferenciable su Jacobiano está dado por: ∂x u J = ∂x v ∂ y u ∂y v resultando la función lineal x x LL = J • y y y si f tiene derivada compleja w, ∂x u ∂ v x ∂ y u a −b = ∂ y v b a y tenemos que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se siguen: ∂x u = ∂ y v y ∂x v = −∂ y u. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son una condición necesaria para diferenciabilidad, pero no suficiente. A menos que la f sea diferenciable en un conjunto abierto Ejercicio. Sea f : T → T la función del conjunto de los cuaternios al conjunto de los cuaternios, dada por f (z) = wz, donde w = [w − 1, w2 , w3 , w4 ]. Exprese f en forma matricial. Ejercicio. Muestre que la siguiente función no es diferenciable en el origen aunque cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann allí. f (x + jy) = x4 +y4 j x3 +y3 , f (θ) = θ x4 −y4 x3 +y3 + 112 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 0.19.12. Extensión en series de potencias Las series de potencias determinan funciones con dominio dado por la región de convergencia de la serie. Si la serie no incluye potencias negativas de la variable, ésta se denomina una serie de Taylor mientras que si las incluye, se denomina una serie de Laurent. Las series mostradas a continuación indican series de Taylor: 1. f (x) = a0 + ∞ P an xn , que escribimos abreviadamente como ∞ P bn (z − z0 )n , que escribimos abreviadamente como n=1 z0 )n . an xn . n=0 n=1 2. g(z) = b0 + ∞ P ∞ P bn (z − n=1 Mientras que la siguiente es una serie de Laurent: n=−1 P ∞ bn (z − z0 )n + h(z) = b0 + como ∞ P n=−∞ ∞ P bn (z − z0 )n , que escribimos abreviadamente n=1 bn (z − z0 )n . La función determinada por una serie de Taylor se conoce como función analítica. Tales funciones poseen derivadas de orden arbitrario: f 0 (x) = ∞ P nan xn−1 (¿Por qué?) y, por lo tanto f 00 (0) = (2)(1)a2 , en general, procedin=1 endo inductivamente, se tiene que, f (n) = n!an , de donde resulta la fórmula de f (n) (0) los coeficientes: an = n! . Por ejemplo, las funciones seno y coseno son funciones analíticas mientras que la función |x| no lo es. Las series de Taylor son usadas en los programas de computadores y calculadoras que usan aproximaciones a funciones tales como la raíz cuadrada y las trigonométricas. Una diferencia importante entre funciones de la variable real y funciones de la variable compleja, es que en el caso complejo, tener derivada compleja es 0.19. CÁLCULO 113 condición suficiente para que una función de variable compleja tenga derivada (continua) de cualquier orden. Ejercicio. ¿Que dice el teorema de Morera? Note que el conocimiento de una función analítica en un intervalo, por pequeño que sea, determina completamente la función. Por lo tanto, dos funciones analíticas (diferentes) no pueden coincidir en ningún intervalo. Por ejemplo, ninguna función analítica que no sea la función constante, es constante en ningún intervalo. en este sentido, la información de la totalidad de la gráfica de cualquier función analítica está incluida en la gráfica de cualquier intervalo no vacío, no importa que tan pequeño sea. Ejercicio. ¿Cuál es la extensión en series de Taylor de la función seno alrededor de cero? Ejercicio. ¿Cuál es la de la función coseno? Ejercicio. Si una serie converge en valor absoluto o en magnitud, ¿se puede alterar el orden de los términos de la serie sin que su valor se altere? Ejemplo. Sea f : R1 → R1 la función dada por f (x) = cada número real (¿Por qué?). definiendo e = f (x) f (y), es decir, ∞ P n=0 (x)n n! = ∞ P n=0 (y)n n! ∞ P n=0 (x+y)n n! ∞ P n=0 1 n! ∞ P n=0 xn n! que converge para y dado que f (x + y) = (¿Por qué?) y que f es continua y está definida para los reales, podemos concluir que f (x) = ex . Ejercicio. Muestre que ∞ P n=0 reales x y y. Sugerencias: (x+y)n n! = ∞ P n=0 (x)n n! ∞ P n=0 (y)n n! para cualesquier números 114 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 1. Use la fórmula del binomio de Newton. 2. El conjunto {(n, k) ∈ N × N; k ≤ n} se puede “barrer” como se muestra en la figura 49, variando n y m = n − k de 0 en adelante en vez de n de 0 en adelante y k de 0 hasta n. Figura 49: El conjunto {(n, k) ∈ N × N; k ≤ n} A veces (en particular cuando hay convergencia en valor absoluto) una función analítica f con dominio R1 se puede extender a la función g : C → ∞ P C (con dominio C) utilizando la misma serie de Taylor: g(z) = cn zn por ejemplo, si cn = n=0 1 n! , resulta la serie de la exponencial compleja. Ejercicio. Muestre que, para φ ∈ R1 , g( jφ) = cos φ + j sen φ. Ejercicio. Muestre que, para u, v ∈ C, g(u + v) = g(u)g(v). Usando los resultados de los ejercicios anteriores escribamos g(z) = ez . Ejercicio. Muestre que, pera x, φ ∈ R1 , g(x + jφ) = ex (cos φ + j sen φ) Por lo tanto, si se tiene el número complejo z con representación en coordenadas polares z = (r, φ), entonces z = re jφ . Ejercicio. muestre que, e jω 1+e jω = 1 2 sen ω + j 2(1+cos ω) 0.19. CÁLCULO 0.19.13. 115 Series de Laurent Sea s = {si } una sucesión bilateral, por definición, la serie de dos series: ∞ P i=−∞ si = ∞ P si + i=0 potencias de la forma g(z) = ∞ P ∞ P ∞ P si es la suma i=−∞ s−i . una serie de Laurent es una serie de i=1 n=−∞ cn (z − z0 )n . El residuo de una función con expansión en series de Laurent es el coeficiente del término que incluye a z1 . Teorema 4. si se sabe que la serie ∞ P n=−∞ cn (z)n converge para z = z0 , entonces se puede concluir que la serie converge para cada z con |z| < |z0 |. Ejercicio. Demuestre el teorema anterior. Así, la región de convergencia de una serie de Laurent es una corona circular abierta junto con quizás algunos puntos de su frontera (la frontera está dada por las circunferencias que acotan la corona). si la función g que se representa con la serie es una función racional, en cada componente conectado de la frontera de la región de convergencia hay por lo menos un polo de g(z) (¿Por qué?). 0.19.14. Integral de Riemann-Stieltjes A continuación, consideramos particiones de intervalos en intervalos y definimos la variación de una función con el objeto de definir posteriormente la integral de Riemann-Stieltjes. 0.19.15. Particiones de intervalos Es común particionar un intervalo en una colección de intervalos. Sea J un intervalo de números reales, una partición de J es un conjunto de intervalos cuya unión es J. 116 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Ejemplo. [0, 1) ∪ [1, 3) ∪ [3, 5) es una partición en subintervalos de [0, 5). Note que la partición de un intervalo [a, b) = [a0 , a1 ) ∪ [a1 , a2 ) ∪ · · · ∪ [an−1 , an ) queda determinada por el conjunto de puntos {a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an } que delimitan los subintervalos, donde asumimos que a = a0 < a1 < a2 < . . . < an−1 < an = b. Así, muchas veces se habla de la partición {a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an } de [a, b). Con esta representación de particiones con conjuntos, se dice que la partición Q es un refinamiento de la partición P, si Q es un subconjunto de P. Ejercicio. Muestre que si una función es monótona (es decir, es o no creciente, o no decreciente) entonces, el subconjunto de su dominio donde es discontinua es contable o vacío. 0.19.16. Variación de una señal continua Dada una función real f , definida en el intervalo [a, b] y siendo P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn } una partición de [a, b), decimos que variación de f n P en [a, b] con respecto a P está dada por Var( f, [a, b], P) = | f (xi ) − f (xi−1 )|. i=1 Si ahora consideramos el conjunto de las posibles particiones de [a, b] (un conjunto bastante grande) y el conjunto de los números reales correspondientes a las variaciones de f con respecto a cada partición; decimos que el suprémum de tal conjunto (recuerde que todo conjunto acotado de reales tiene suprémum) es la variación total de f en [a, b]. Si la variación total de f es un número real (es decir, si es finita) se dice que f es de variación acotada. Ejercicio. Calcule la variación total de sen x en [0, 2π]. Ejercicio. Muestre que si f es una función monótona entonces la variación total de f en [a, b] está dada por | f (b) − f (a)|. 0.19. CÁLCULO 117 Ejercicio. (Aditividad con respecto al intervalo.) Muestre que si [a, b] = [a, c] ∪ [c, b], entonces la variación total de f en [a, b] es igual a la variación total de f en [a, c] más la variación total de f en [c, b]. Ejercicio. (Opcional.) Muestre que f es de variación acotada si y sólo si f es la suma de dos funciones monótonas. 0.19.17. La integral de Riemann Sea f una función real definida en [a, b], sea p = {xi }N ∪ {xi , xi+1 }N−1 una i=0 i=0 partición de [a, b] con x0 = a y xN = b. Sea ∆ = máx{xi+1 − xi : i ∈ /0, N − 1/} el diámetro de la partición. La integral superior de Riemann de f , en [a, b], con respecto a la partición p está dada por b Z f (x)dx := a p N−1 X sup{ f (x) : x ∈ (xi , xi+1 )}[xi+1 − xi ] i=0 mientras que la integral inferior de Riemann de f en [a, b], con respecto a la partición p está dada por Z b f (x)dx := a p N−1 X ı́nf{ f (x) : x ∈ (xi , xi+1 )}[xi+1 − xi ] i=0 La integral superior de Riemann sobre [a, b] está dada por b Z Z b f (x)dx = lı́m ∆→0 a a p y a la integral inferior sobre [a, b], por b Z Z b f (x)dx = lı́m a ∆→0 a p 118 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS si se cumple la igualdad b Z b Z f (x)dx = a f (x)dx a decimos que f tiene integral de Riemann y que esta está dada por este valor común Z b Z b Z b f (x)dx = f (x)dx = f (x)dx a 1 Ejercicio. Sea f (x) = 0 0.19.18. a x∈Q x∈R−Q a diga si tiene integral de Riemann en [0, 1]. La integral de Riemann-Stieltjes La integral de Riemann es la que normalmente se estudia en un curso de Cálculo I. La integral de Riemann-Stieltjes es una poderos herramienta que no necesita para su definición basas matemáticas sofisticadas y que permite unificar ciertos resultados en teoría de señales, de sistemas y en probabilidad. La integral de Riemann-Stieltjes nos permite obviar el uso de “impulsos” en sistemas de convolución continuos. La integral de Riemann-Stieltjes no tiene una interpretación geométrica intuitiva y sencilla como la tiene la integral de Riemann,en términos de áreas. Como la integral de Riemann, la integral de Riemann-Stieltjes se define con un proceso de límite. Una diferencia importante con respecto a la integral de Riemann es que una integral de Riemann-Stieltjes involucra dos funciones, el integrando y el integrador. Para las aplicaciones que usaremos en teoría de señales será suficiente recordar una fórmula que permite calcular muchas integrales de RiemannStieltjes en términos de integrales de Riemann. La integral de Riemann es un caso particular de la integral de Riemann-Stieltjes. 0.19. CÁLCULO 119 Nomenclatura Una integral de Riemann-Stieltjes se expresa así: b Z b Z f dα o a f (x)dα(x) a donde [a,b] es el intervalo de integración, f es la función integrando y α es la función integrador. Dos restricciones que asumiremos válidas son que el integrando no son discontinuas simultáneamente y que son de variación acotada. Ejemplo. Para dar una idea de lo que puede suceder al evaluar integrales de Riemann-Stieltjes mostramos a continuación el resultado de una integral de Riemann, sin deducir el resultado. Suponga que α es una función escalón desplazada, como la mostrada en la figura 50, α(x) = 0 si x < 1, y α(x) = 1 si x > 1 y que el intervalo (a,b) contiene el número 1. Entonces, si f es una Rb función continua en 1, se tiene que, a f dα = f (1). Sean f y α funciones definidas en [a, b] y sea P = {to , t1 , . . . , tn } una partición de [a, b); la suma de Riemann-Stieltjes de f en [a, b], con respecto a la n P partición P y a la función α está dada por: S(P, f, α) = f (ti )[α(ti ) − α(ti−1 )]. i=1 Por definición, la integral de Riemann-Stieltjes de f con respecto a α existe si hay un número real A tal que para cada positiva existe una partición P de [a, b] tal que para cada partición Q que sea un refinamiento de P, se tiene Rb que |S(Q, f, α) − A| < . En tal caso, escribimos a f dα = A. Ejercicio. Sea α la función mostrada en la figura 50. Calcule R2 0 cos x dα(x). Integración por partes Para la integral de Riemann, la fórmula de integración por partes se puede recordar a partir de la derivada de un producto: d(uv) = udv + vdu. En términos 120 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Figura 50: Una función escalón desplazada de la integral de Riemann-Stieltjes, asumiendo que f y α son continuas en a y b, la fórmula de integración por partes está dada por: Z b b Z f (x)dα(x) + a α(x)d f (x) = f (b)α(b) − f (a)α(a) a Ejercicio. Sean f (x) = sen x y α(x) = u(x − π/2). Calcule R3 0 f (x)dα(x) + R3 0 α(x)d f (x). Caso particular I: La integral de Riemann Si α es la función identidad, dada por α(x) = x, tenemos que Rb Rb a f (x)dα(x) = f (x)dx donde la integral a la derecha es un integral de Riemann. B. Riemann a fue la primera persona en dar una definición axiomática de la integral. Arquímedes fue tal vez la primera persona en considerar el área bajo una curva arbitraria. Caso particular II: La integral de Riemann-Stieltjes cuando el integrador es derivable Rb En general, si α(x) tiene derivada α0 (x) en [a, b], entonces, a f (x)dα(x) = Rb f (x)α0 (x) en donde la integral a la derecha es una integral de Riemann. a 0.19. CÁLCULO 121 Caso particular III: La integral de Riemann-Stieltjes cuando el integrador es derivable a trozos Si α(x) es derivable excepto en un conjunto denso en ninguna parte (ver sección 0.10.6) de puntos {ti }, y f es una función que tiene integral de Riemann y es continua en los puntos de no-diferenciabilidad de α(x), se tiene que: b Z t1 Z f (x)dα(x) = a f (x)α0 (x)dx + XZ a ti f (x)α0 (x)dx ti−1 i Z b + f (x)α0 (x)dx + X tn f (ti )[α(t+i ) − α(t−i )] i Caso particular IV: La integral de Riemann-Stieltjes cuando el integrador es continuo y estrictamente creciente b Z α(b) Z f (x)dα(x) = a α(a) f (α−1 (x))dx Teorema fundamental del cálculo Como se verá más adelante, la siguiente versión del Teorema fundamental del cálculo es particularmente útil para relacionar la respuesta escalón con la función característica de un sistema de convolución. Rt Sea f una función continua en t, y sea G(t) = a f (x)dx entonces , para a < t, d dt t Z f (x)dx = a dG(t) = f (t) dt Ejercicio. Demuestre que si f es continua en t, el límite cuando h tiene a cero de 1 t+h h t R f (x)dx es f (t). 122 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Figura 51: Teorema fundamental del cálculo Ejercicio. ¿En qué puntos es derivable la función de la figura 51? Ejercicio. Demuestre el teorema fundamental del cálculo. Integrales de línea complejas Si f : C → C y γ : [a, b] → C con Γ := g[a, b], con la expresión queremos decir: b Z Γ f (z)dγ b Z Re[ f (γ)(t))]dRe[γ)(t)] − a R Im[ f (γ)(t))]dIm[γ)(t)] a b Z +j b Z Re[ f (γ)(t))]dIm[γ)(t)] − a ! Im[ f (γ)(t))]dRe[γ)(t)] a Ejercicio. Sea g : [0, 2π] → C, dada por γ(t) = e jt . Γ = γ([0, 2π]). Sea f : C → C dada por f (z) = zn . Calcule R Γ f (z)dγ, para diferentes valores enteros de n. 0.19. CÁLCULO 123 La formula con integral de Cauchy es: H Γ f (z) w−z dw = f (z) H Γ 1 w−z dw, donde Γ es una curva cerrada tipo estrella y z es un punto en la región acotada por Γ. El teorema del residuo dice: Sea Γ una curva tipo estrella, sea f una función compleja analítica en la región abierta acotada por Γ, excepto posiblemente en n H P un conjunto finito de puntos z1 , z2 , . . . , zn . Entonces, f (z)dz = 2πj Res f (z). k=1 z=zk Γ Uso de la integral de Riemann-Stieltjes en probabilidad Un uso interesante de la integral de Riemann-Stieltjes ocurre en probabilidad. Como sabemos, toda variable aleatoria tiene función de distribución, aunque quizás no tenga función de densidad (por ejemplo, si es discreta) o no tenga función de masa. La integral de Riemann-Stieltjes nos permite dar una expresión única para la esperanza de la variable (en caso de que esta exista, claro). Si X es la variable aleatoria con primer momento y F es su distribución, R∞ la esperanza de X está dada por: E[X] = xdF(x). −∞ La integral de una sucesión uniformemente convergente de funciones continuas Suponga que { fn } es una sucesión uniformemente convergente en el intervalo [a, b] de funciones continuas. Defina una nueva sucesión {gn } de funRx ciones con dominio [a, b] a partir de la ecuación gn (x) = fn (t)dt. Entonces a se puede demostrar (vea el libro de Cálculo de Apóstol, por ejemplo) que si la sucesión { fn } converge uniformemente a la función f , entonces la suceRx sión {gn } converge uniformemente a la función f (t)dt, en otras palabras, lı́m Rx a fn (t)dt = Rx a a lı́m fn (t)dt. 124 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Este resultado permite concluir que si la serie de funciones continuas ∞ P fn (t) converge uniformemente a la función f (t) en el intervalo [a, b], en- n=0 tonces lı́m m→∞ m Z X n=0 x x Z fn (t)dt = lı́m m→∞ a a m X fn (t)dt n=0 para x ∈ [a, b]. Es decir, el orden de la integral y la serie se puede cambiar. Promedio de una función en un intervalo Sea f : R → R decimos que el promedio de f en [a, b] está dado por f¯[a,b] = 1 b−a b Z f (t)dt a Note que f¯ es la altura del rectángulo con base [a, b] y la misma área que la Figura 52: Promedio de una función que hay bajo la gráfica de f . 0.19. CÁLCULO 0.19.19. 125 Integral de línea Una integral de línea es una integral de Riemann-Stieltjes R f dλ donde Λ λ : I → C es una función definida sobre un intervalo I ⊂ R, f : D ⊂ C → C (D es el dominio de f ) y Λ := λ(I) ⊂ D. Más específicamente, Z b Z Λ f dλ = f (λ(t))dλ(t) a si λ es derivable, tenemos b Z f (λ(t))λ0 (t)dt a Ejemplo. Sea f (z) = zn , a = 0, b = 2π y λ(t) = e jt entonces, I 2π Z zn dλ = S1 e jnt ( je jt )dt 0 2π Z =j e j(n+1)t dt 0 2π j si n = −1 = 0 si n ∈ Z − {−1} Ejercicio. ¿Qué dice el teorema del residuo? 0.19.20. Transformada zeta inversa Suponga que X(z) con región de convergencia R es la transformada zeta de ∞ P {xn }, entonces X(z) = xn z−n . n=−∞ 126 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Ejemplo. Considere ahora una circunferencia de radio r. λ(t) = re jt entonces I 2π Z zn dλ = rn e jnt ( jre jt )dt 0 Z 2π = jrn+1 e j(n+1)t dt 0 0 jr 2π n = −1 = 0 n , −1 2π j n = −1 = 0 n , −1 (El resultado no cambia.) Ejercicio. Muestre que el resultado no cambia tampoco si Λ es una curva simple cerrada que encierra el origen en sentido antihorario. Si integramos sobre una curva simple cerrada en la región de convergencia, I ∞ X I X(z)dλ = Z = xn z−n dλ Λ n=−∞ ∞ 2π X 0 xn z−n dλ n=−∞ ¿Qué radio de convergencia debe tener? Si se puede intercambiar el orden de la serie y la integral, I X(z)dλ = ∞ Z X n=−∞ 2π xn z−n dλ 0 = 2π jx1 Ejercicio. Dé la fórmula para xn en general. 0.19. CÁLCULO 0.19.21. 127 Teorema de representación de F. Riesz Hacia el final del curso estaremos interesados en responder la pregunta de cómo representar un sistema lineal e invariante. El siguiente resultado es valioso: el funcional φ : C[a, b] → R, donde C[a, b] es el conjunto de las funciones continuas con dominio [a, b], es lineal si y sólo si φ es de la forma Rb φ(g) = a g(x)dλ(x), donde λ es la variación acotada en [a, b]. El funcional Dirac El funcional δ : CR → C dado por δ(g) = g(0), tiene representación de Riesz R∞ de la forma δ(g) = −∞ g(x)du(x), donde u es la función escalón. 0.19.22. Transformadas Finalmente, en esta sección, definimos las transformadas de Fourier del escalón y de las señales constantes, en un sentido muy especial, que afortunadamente tiene muchos puntos de empate con las transformadas L1 y L2. Inicialmente, definimos la clase de Schwartz y las distribuciones temperadas. Decimos que una función f : R → R está en la clase de Schwartz, L, si es indefinidamente derivable y ella y sus derivadas decrecen rápidamente en infinito, en el sentido que ∀α, β ∈ N sup{xα Dβ f (x) : x ∈ R} < ∞ Las funciones infinitamente derivables de soporte compacto y otras como 2 e−x que no tienen soporte compacto, están en L. pa,b ( f ) := sup{xα Dβ f (x) : x ∈ R}, determina una familia contable de seminormas para L con la que se define su topología: { fn } converge a 0 si y sólo si el límite cuando n tiende a infinito de pa,b ( f ) es cero, para cada α y cada β naturales. El espacio de funcionales continuos sobre L, que se denota L0 se llama espacio de distribuciones temperadas. 128 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS Teorema 5. La transformada de Fourier es una aplicación continua de L en L tal que: 1. R∞ −∞ g(x)H(x)dx = 2. g(t) = R∞ 1 2π −∞ R∞ −∞ h(x)G(x)dx donde H es la transformada de h y G la de g. G(ζ)e jζt dζ (fórmula de inversión) Definición 12. La transformada de Fourier de φ ∈ L0 es la distribución temperada Φ ∈ L0 dada por ∀g ∈ L Φ(g) = φ(G) Teorema 6. La transformada de Fourier es una biyección lineal continua. Definición 13. Llamamos a g el núcleo del funcional γ dado por γ( f ) = R∞ Llamamos a g la semilla del funcional η dado por η( f ) = −∞ g(t) f (t)dt. R∞ −∞ f (t)dg(t). Es interesante observar lo que le sucede, cuando tienen núcleo o semilla, a los núcleos o semillas de las distribuciones φ y Φ en la definición 12. 0.19.23. La distribución de Dirac Considere la distribución dada por δ( f ) = f (0), que no tiene núcleo pero sí semilla: el escalón u(t). Por definición, su transformada ∆ es la distribución dada por ∆( f ) = δ(F) = F(0), donde F es la transformada de f . Así, D sí tiene R∞ R∞ núcleo, ya que ∆( f ) = F(0) = f (t)e j0t dt = f (t)1dt y vemos que el núcleo −∞ de D es la función constante 1. −∞ 0.19. CÁLCULO 0.19.24. 129 La distribución constante R∞ Sea κ dada por κ( f ) = −∞ f (t)dt, que, como vemos, tiene núcleo la función constante 1. Por definición, su transformada está dada por, K( f ) = κ(F) Z ∞ = F(Ω)dΩ −∞ Z ∞Z ∞ = f (t)e− jΩt dtdΩ −∞ Z−∞ Z ∞ ∞ ? = f (t) e− jΩt dΩdt −∞ −∞ que sin embargo no tiene sentido, ya que que K no tiene núcleo. 0.19.25. R∞ −∞ e− jΩt dΩ no converge. Así, tenemos La distribución con núcleo escalón Considere la distribución con núcleo u(t): µ( f ) = por definición, la transformada de m está dada por, R∞ −∞ u(t) f (t)dt = R∞ 0 f (t)dt. M( f ) = µ(F) Z ∞ = F(Ω)dΩ Z0 ∞ Z ∞ = f (t)e− jΩt dtdΩ 0 −∞ Z ∞ Z ∞ ? = f (t) e− jΩt dΩdt −∞ que tampoco tiene sentido, ya que M no tiene núcleo. 0 R∞ 0 e− jΩt dΩ no converge. Así, tenemos que 130 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 0.19.26. La distribución valor principal de 1/x y la transformada de Hilbert Considere la distribución temperada dada por φ( f ) = lı́m→0 definición, la transformada de f está dada por, R ||>0 f (t) t dt. Por Φ( f ) = φ(F) Z F(Ω) dΩ = lı́m →0 ||>0 Ω Z Z ∞ 1 = lı́m f (t)e− jΩt dtdΩ →0 ||>0 Ω −∞ Z ∞ Z e−jΩt ? dΩdt = f (t) lı́m →0 ||>0 Ω −∞ R −jΩt resultando un distribución con núcleo ||>0 e Ω dΩ = jsgnt, donde sgn es la función sígnum. (sgn vale 1 para argumento positivo, -1 para argumento negR∞ − jΩt ativo y 0 para argumento nulo). Sugerencia: evalúe e Ω dt usando cálculo de 0 residuos. Así, en cierto sentido, 1/x y jsgn(x) son un par de Fourier. Variación de señales discretas Sea X : Z → C. La variación total de la señal se define como ∞ P |xi − i=−∞ xi−1 |. Variación promedio N P 1 |xi 2N+1 N→∞ i=−N La variación promedio se define como lı́m − xi−1 |. Ejercicio. Si X es una exponencial compleja periódica con periodo N, muestre que su variación promedio está dada por 1 N ∞ P i=−∞ |xi − xi−1 | 0.19. CÁLCULO 131 Ejercicio. Muestre que la variación promedio de e jω0 n está dada por |1 − e jω0 | Problemas 1. Muestre o dé un contraejemplo en relación con la afirmación: Si una relación es simétrica y transitiva, entonces es reflexiva. 2. C y D son dos subconjuntos del rango de f . Demuestre o dé un contraejemplo: a) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) b) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D) 3. C y D son dos subconjuntos del dominio de f . Demuestre o dé un contraejemplo: a) f (C ∩ D) = f (C) ∩ f (D) b) f (C ∪ D) = f (C) ∪ f (D) 4. Muestre o dé un contraejemplo: Para ningún conjunto hay una biyección de éste a su conjunto potencia. 5. Dé ejemplos de conjunto finito, contable infinito y no contable. 6. Muestre que hay infinitas ternas pitagóricas. (Números naturales a, b, c tales que a2 + b2 = c2 ) 132 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 7. Muestre que si se tiene una inyección de un conjunto A al conjunto N de los números naturales, y que si A no es finito, entonces hay una biyección de A a N. 8. a) Dé un ejemplo de un subconjunto acotado de Q que no tenga suprémum (racional). b) ¿Es cierto que todo subconjunto acotado de R tiene suprémum (real)? 9. a) Diga si el siguiente conjunto tiene suprémum racional: A = {q ∈ Q : q2 < 9}. b) Diga si el siguiente conjunto tiene suprémum racional: B = {q ∈ Q : q2 < 8}. 10. Dé una sucesión de intervalos cerrados encajonados de racionales, con intersección vacía. 11. Sea f : R1 → (−π/2, π/2) dada por f (x) = arctan (x). Diga si f es una biyección, o no. 12. Dé las fases de 1 + j y de −1 − j. 2π 13. Sea N un número entero positivo y sea r un número entero. Sea z = e j N r , muestre que zN = 1. 14. Muestre que e jnπ = e− jnπ = cos(nπ) = cos(−nπ) = (−1)n . P 15. Dé un ejemplo de una serie ∞ n=0 qn de racionales qn que converja a un P irracional pero que, en valor absoluto ∞ n=0 |qn |, converja a un irracional. 16. Muestre que e jt + 1 = 2e jt/2 cos(t/2). 17. Grafique en el plano complejo 1 − e jω , ω ∈ [0, 2π]. 0.19. CÁLCULO 133 18. Para ω ∈ [−π, π], grafique la fase de e jω − e2jω . 19. Grafique la magnitud y la fase de f (t) = e jt + 1 para t ∈ [−π, π]. 20. Sea f : R → C dada por f (Ω) = jω 1+ jΩ . 21. Ses H : R → C dada por H(Ω) = Grafique magnitud y fase. 1 1+ jΩ . a) Grafique magnitud y fase. b) Sea F(Ω) = H(Ω + 2) + H(Ω − 2). Grafique magnitud y fase. 22. a) Grafique en el plano complejo la imagen de la función f : R → C e jt dada por f (t) = 1+e jt b) Grafique aproximadamente las partes real e imaginaria, contra t. c) Grafique aproximadamente la magnitud y la fase contra t. 23. Sea f : R → C dada por f (ω) = e− j2Ω . Grafique la magnitud y la fase de f (ω), para ω ∈ [0, 2π]. 24. Calcule 2024 P e j2π/7 . n=0 25. Sea p : R → C dada por p(t) = (t−z)(t−z∗ ), donde z = e jΘ , Θ ∈ R. Muestre que p es real y no negativa. 26. Se tiene f : C → C dada por f (z) = z∗ . Calcule el límite cuando a ∈ R f (z+h)− f (z) , si: tiende a cero de h a) h = a(1 + j) b) h = a(1 − j) 27. Muestre que p(z) = zN − 1 tiene una raíz real (z = 1) y N − 1 raíces complejas, dada por las raíces de q(z) = zN−1 + zN−2 + · · · + z + 1. 28. Deduzca las ecuaciones de Cauchy-Riemann. 134 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 29. Sea f : Z → C dada por f (n) = e j(2π/5)n , indique en el plano complejo los puntos f (n) para n ∈ / − 10, 10/. 30. Grafique la magnitud y la fase de f contra n, para n ∈ /0, 10/, donde f es la función definida en el problema anterior. 31. Encuentre k ∈ //0, 4 tal que e j(2π/5)1024 = e j(2π/5)k . 32. Sea z = e j2π(1/π)(12/15) . Dé el mínimo valor entero de n, positivo, tal que zn = 1. 33. Encuentre un polinomio equivalente a a(1 − z9 )/(1 − z), para z , 1. 34. Sea f : C → C dada por f (z) = (1 + 2j)z. Sea T el triángulo mostrado. dibuje la imagen f (T) de T. 35. Grafique la imagen del triángulo rectángulo con vértices Θ, 1 y 1 + j con respecto a la función f : C → C dada por f (z) = (1 + 2 j)z2 . 36. Sea f : C − {−1} → C dada por f (z) = (1 − z)/(1 + z). 0.19. CÁLCULO 135 a) Grafique en el plano complejo las imágenes con respecto a f de los ejes real e imaginario de C. b) Diga si f es una biyección, o no. ¿Cuál es la preimagen de -1? 37. Sea f : C → C dada por f (z) = ez . Grafique las imágenes de los ejes del plano complejo, y de las líneas que salen del origen con ángulos de nπ/4. diga si es sobreyectiva. 38. Grafique en el plano complejo la imagen de la función f : R → C dada por f (t) = cos3 (t) + j sen3 (t), para t ∈ [0, 2π]. Diga si f está parametrizada por longitud de arco. 39. Sea f : R → C una función continua parametrizada por longitud de arco. ¿Es posible que la imagen de f en el plano tenga un vértice? (un vértice es un punto con dos tangentes) ¿Es f diferenciable? 40. Sea p : R → R dada por p(x) = (x − z1 )(x − z2 ), donde z1 = e jΘ , Θ ∈ R, z2 = z∗1 y muestre que p es una función no negativa. 41. Grafique en el plano complejo la imagen de F : R → C dada por F(Ω) = e jΩ . También, grafique la magnitud y la fase de F para Ω ∈ [0, 2π]. 1+e jΩ 42. Dé la magnitud y la fase de 8 P n=0 (1 + j)n . 43. Se tiene g : C → C dada por g(z) = ez . Dibuje la imagen de las lineas, a) 1 + jt, con t ∈ [0, ∞). b) 1 − jt, con t ∈ [0, ∞). c) t(1 + j), con t ∈ [0, ∞). d) t(1 − j), con t ∈ [0, ∞). 44. Sea f : C → C dada por f (z) = z2 . Diga si f respeta ángulos entre líneas que se intersecten en los puntos z = Θ, z = 1 y z = 1 + j. Explique. 136 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 45. Se sabe que f : R3 → R1 es lineal y que f (0, 1, 1) = 1, f (1, 0, 1) = 2 y que f (0, 1, 0) = 3. Encuentre A tal que f (x) = Ax. 46. Encuentre x en términos de y si: a) b) 47. Encuentre la extensión en series de Taylor de ln (1 + x) alrededor de x = 0. 48. Encuentre la extensión en series de Taylor de 1 1+x alrededor de x = 0. 49. Encuentre la extensión en series de Taylor de la función ln (1 + 2z−1 ). ¿Cuál es la región de convergencia? 50. Diga si las siguientes series convergen. Si sí, dé el valor de convergencia. a) ∞ P n=1 1 n 0.19. CÁLCULO b) ∞ P n=1 51. Exprese 137 1 n2 9 P n=0 zn como una función racional de z, para z , 1. 52. Dé los primeros cinco coeficientes de la extensión en series de Taylor de la función f : R → R dada por f (x) = 2x , alrededor de cero. 53. Grafique la magnitud y la fase de ∞ P n=1 5 P n=1 j ( 2 )n j ( 2 )n . Indique los números 2 P n=1 j ( 2 )n y en el plano complejo. 54. Sea g : (−1, 1] → R dada por g(x) = ln (1 + x). Encuentre los coeficientes ∞ P de la serie de Taylor a0 + an xn de g al rededor de cero. Diga si la serie n=1 encontrada converge también para x = 1. Encuentre f 0 (1− ) (la derivada ∞ P por la izquierda en 1). Diga si f 0 (1− ) = nan xn−1 con x = 1. n=1 55. Encuentre la transformada zeta U(z) con su respectiva región de convergencia (RC) del escalón discreto un (un = 1, si n ≥ 0, un = 0, si n < 0). A continuación, encuentre otra señal discreta con transformada zeta U(z) pero con diferente región de convergencia. 56. Demuestre que si ∞ P |an | converge, entonces n=0 57. Muestre que 10 P n=−10 ∞ P n=0 2 1 zn = z−10 1−z 1−z . 58. Grafique las señales | sen(5πt)| y sen2 (5πt). 59. Diga si la señal | sen(5πt)| es derivable o no. 60. Diga si la señal sen2 (5πt). es derivable o no. an también. 138 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 61. Encuentre el límite, cuando t tiende a cero, de sen t t , t ∈ R1 . 62. Encuentre el límite, cuando h tiende a cero, de R 1 h h 0 cos xdx. 63. Sea f : C → C dada por f (z) = z∗ . Encuentre, si existe, f 0 (z). 64. Sea f : C − {−1} → C dada por f (z) = z−1 z+1 . Diga si f respeta ángulos en z = Θ, j, 1. Explique. R1 65. Calcule −1 f (t)dα(t) donde f (t) = t2 y α(t) = 0 para t < 0 y α(t) = 1 − t para t ≥ 0. R∞ 2 66. Evalúe −∞ e−t e−jΩt dt, Ω ∈ R. R∞ 1 − jΩt 67. Evalúe −∞ 1+t dt, Ω ∈ R. 2e Rπ dΩ 68. Evalúe −π (1,25−cos . Ω)2 69. Encuentre la variación total de f (x) = x(x − 1)(x − 2) en el intervalo [−1, 3]. 70. Encuentre la variación total de la función sen t en el intervalo [0, 4π]. ∞ P 71. Sean f, α : R → R dadas por α(x) = u(x − n − 0,5) y, g(x) = x−2 , para n=0 R∞ x , 0 y g(0) = 0. Calcule −∞ g(x)dα(x). Rπ Rπ 72. Sea λ(t) = u(t − 0,25) − u(t − 0,75). Calcule 0 sen(t)dλ(t), 0 sen2 (t)dλ(t) Rπ y 0 cos(2πt)dλ(t). R 2 73. Calcule la integral de línea Λ ez dΛ donde Λ es el camino dado por Λ(t) = 1 + jt, t[0, 1], Λ(t) = j + 1 − t, t[1, 2]. R∞ 2 74. Calcule −∞ e−t e−jt dt. 75. Calcule R1 −1 u(t)d cos(t) usando la fórmula de integración por partes. 0.19. CÁLCULO 139 R 2π 76. Calcule 0 f (λ(t))dλ(t), donde f : C → C está dada por f (z) = z2 y λ : R → C está dada por λ(t) = e jπ(t+u(t−1)) (u(t) es el escalón). 77. Sea f : [0, ∞) → R1 dada por f (x) = 0 si x = 0 y f (x) = sen(1/x) si x > 0. Diga si f es de variación acotada en [0, 1]. Explique. 78. a) Dibuje la gráfica y la imagen de la función g : [0, 8π] → C dada por g(t) = te jt . También grafique la magnitud y la fase de la función. b) Grafique la magnitud y la fase de f : C → C dada por f (z) = sen(z). También, grafique las parte real e imaginaria de la función. c) Grafique la magnitud y la fase de f : C → C dada por f (z) = ez . También, grafique las parte real e imaginaria de la función. 79. Demuestre que la función f : C − {0} → C dada por f (z) = 1z puede ser implementada en la siguiente forma: Coloque el polo sur de una esfera de radio 12 sobre el origen del plano. Suba los puntos del plano a la esfera, usando proyección estereográfica. Rote la esfera manteniendola tangente al plano, y manteniendo invariantes las imágenes del eje real, de tal forma que al final, con proyección estereográfica inversa, la imagen del punto que partió del punto j del plano inicialmente, aterrice ahora sobre el punto −j. 80. Demuestre o dé un contraejemplo: para cada número complejo z , 0, para todos números complejos w1 , w2 y w3 , no colineales en el plano, los triángulos w1 − w2 − w3 y zw1 − zw2 − zw3 son similares. 81. Represente los productos de complejos y de cuaternios con matrices; es decir, diga cómo obtener una matriz a partir de cada complejo (o cuaternio) de tal forma que al multiplicar las matrices correspondientes, resulte la matriz correspondiente al producto de los complejos (o cuaternios). 140 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 82. Grafique la imagen del conjunto {z ∈ C : ∃ t ∈ R, z = e jt } con respecto a la función f : C − {1} → C dada por f (z) = z−1 z+1 . Grafique la magnitud y la fase con respecto a t. 83. Demuestre que si h es un cuaternio unitario y q un cuaternio puro, entonces hqh∗ es también un cuaternio puro. 84. Dé fórmulas para el ángulo φ y el cuaternio puro q que permitan expresar el cuaternio a + bi + c j + dk en la forma cos(φ) + q sen(φ). 85. Encuentre los puntos de acumulación del conjunto {z ∈ C : ∃ n ∈ N, jn }. 86. Encuentre el valor de la serie 1 n + P∞ 1 n=1 n2 . 1 87. Encuentre el límite cuando z tiende a 0 de e z . 88. Demuestre que las sucesiones reales de Cauchy convergen (a reales). 89. Encuentre la matriz Jacobiana de f : R2 → R2 , dada por f (x, y) = x4 −y4 x4 +y4 ( x3 +y3 , x3 +y3 ), si (x, y) , (0, 0) y, f (0, 0) = (0, 0). 90. Diga si g : C → C dada por g(x + jy) = x4 −y4 x3 +y3 x4 +y4 + j x3 +y3 derivable. 91. Encuentre tres señales discretas con transformada zeta X(z) = indique las regiones de convergencia correspondientes. 1+z , −z3 +2z2 +5− 6 92. Encuentre la serie de Taylor alrededor de 0 de g : [−1, ∞) → R; usando 10 términos, aproxime raíz de 2. 93. Encuentre la transformada zeta U(z), z ∈ RC del escalón discreto u, (un = 1 si n ≥ 0 y un = 0 si n < 0). A continuación, encuentre otra señal discreta con transformada U(z) pero diferente región de convergencia. 0.19. CÁLCULO 141 94. Sea f : C − {−1} → C dada por f (z) = z = θ, z = j y z = 1. Explique. z−1 z+1 . Diga si f preserva ángulos en 95. Diga si la siguiente función tiene derivada compleja en el origen. También, evalúe las ecuaciones de Cauchy-Riemann allí. f (x + jy) = x4 − y4 x4 + y4 + j x3 + y3 x3 + y3 96. Dé una sucesión de intervalos cerrados encajonados de racionales con intersección vacía. 97. Encuentre las componentes del inverso del cuaterio a + bi + c j + dk. R 2π 98. Calcule la integral 0 f (λ(t))dλ(t), donde f : C → C está dada por f (z) = z2 y λ : R → C está dada por e j(t+u(t−π)) . Donde u es el escalón. 99. Dé el periodo de la señal s : Z → C dada por sn = e jπ(6/27)n . 100. Exprese la señal s : Z → C dada por sn = [n]3 , como una suma de exponenciales complejas. P n −10 1−z21 101. Muestre que 10 n=−10 z = z 1−z . 102. Sea A un conjunto de reales, considerados como cortes de Dedekind. Recuerde que el orden lineal para R está dado entonces por x ≤ y si y S α , Q. Demuestre entonces que β es la sólo si x ⊂ y. suponga que β := α∈A una cota superior mínima de A; osea, que β es un corte de Dedekind, que es una cota superior de A y que no hay cotas superiores de A menores que β. 103. Cada sucesión de reales no decreciente y acotada superiormente, converge. 104. Cada sucesión real acotada tiene una subsucesion convergente. 142 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 105. Una sucesión de reales converge si y sólo si es una sucesión de Cauchy. 106. Si p y q son cuaterinios, demuestre o dé un contraejemplo para, (pq)∗ = p∗ q∗ . 107. Encuentre una sucesión de racionales que converja a un irracional pero que en valor absoluto converja a un racional. 108. Para la señal discreta s:Z → C dada por: Sn = −1n |n|+1 a) Grafique para n ∈ [−5, 5]. b) Encuentre (si existen como números reales) ||s||1 , ||s||2 , ||s||3 . 109. Demuestre o de un contraejemplo para la siguiente afirmación, donde se supone que f es una función y C y D son subconjuntos de su dominio: f (C ∪ D) = f (C) ∩ f (D) 110. Demuestre o de un contraejemplo para la siguiente afirmación, donde se supone que f es una función y C y D son subconjuntos de su rango: f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) 111. Encuentre la transformada Zeta U(z), z ∈ R.d.C, del escalón discreto Un . Encuentre otra señal con transformada U(z) pero diferente region de convergencia. 112. Se tienen las funciones f, g : C → C dadas por: g(z) = z2 ; f (z) = |z|2 a) Diga si es derivable. b) Aproxime, en las cercanias de z = 1 + j, a g(1 + j) + λ(z − (1 + j)), donde λ : C → C, es lineal (con campo de escalares C). Encuentre λ. Cuantifique el error para z = 0,9 + 1,1j 0.19. CÁLCULO 143 113. Demuestre o de un contra ejemplo. x y y son elementos de R2 . La norma | | es la norma euclídea. El producto es producto punto. | |es valor absoluto. |x • y| ≤ |x||y| 114. Dé los primeros cinco coeficientes de la extensión en series de Taylor de la función f (x) = 2x alrededor de x = 0 115. Muestre o de un contra ejemplo: Para ningún conjunto hay una biyección de éste a su conjunto potencia. 116. Muestre o dé un contraejemplo de en relación con la afirmación: Si una relación es simétrica y transitiva entonces es reflexiva. 117. Dé un ejemplo de un subconjunto acotado de Q que no tenga suprémum racional. 118. Diga para qué calores de a la siguiente matriz es invertible, y encuentre la inversa en términos de a; no deje determinantes indicados, desarrolle las expresiones del caso, no las deje indicadas. Compuebe su respuesta. a 4 9 2 3 5 6 8 7 119. Para la función f : R3 → R1 dada por: 1 f (x, y, z) = det 4 9 x y z 3 6 7 diga si es lineal; si sí, representela como producto por una matriz(dando la matriz). 144 CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS 120. Para la función f : R4 → R1 dada por: w 5 f (w, x, y, z) = det 9 1 2 x 8 2 3 7 y 3 4 8 0 z diga si es lineal; si sí, representela como producto por una matriz(dando la matriz). 121. Considere la transformación de Morbius f : C − δ/γ → C dada por f (z) = αz+β δz+γ ; α, β, δ, γ ∈ C. Si α = 1, β = −1, δ = 1, γ = 1, grafique las imágenes de los ejes real e imaginario, así como la imagen de la circunferencia de radio 1 con centro en el origen y la del círculo que la circunferencia acota. Indique las imagenes de los puntos 1, j, −1y j. 122. Si cos(t) + 2sen(t) = Acos(t + φ), encuentre A y φ. Referencias [1] “Mathematical Analysis”. Tom M. Apostol. Adyson-Wesley, Reading MA, 1974. (Integral de Riemann-Stieltjes) [2] “Essay on Theory of Numbers”. Richard Dedekind. Dover, N.Y., 1963. [3] “Science and Hypothesis”. Henri Poincaré. Dover, N.Y., 1963. [4] “Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers”. Georg Cantor. Dover, N.Y., 1955. [5] “Geometry of Complex Numbers”. Hans Schwerdteger. Dover, N.Y.,1979. [6] “Elementary Theory of Analytic Functions on One or Several Complex Variables”. Henri Cartan. Dover, N.Y., 1995. [7] “Principles of Mathematics”. Bertrand Russell. Norton, N.Y., 1902. (Relaciones) [8] “The Large, the small and the Human Mind”. Roger Penrose. [9] “Theory of Complex Functions”. Reinhold Remmert. Springer, N.Y.,1991. 145 146 REFERENCIAS [10] “The Real Line and Calculus”. William Eaton. Class notes for 665A. The University of Texas at Austin, 1985. (Huecos de Q) [11] “Visual Complex Analysis”. Tristan Needham. Clarendon, Oxford, 1997. (Visualizació del producto de complejos) [12] “Quaternion-Fourier Transforms for Analysis of Two Dimensional Linear Time-Invariant Partial Diferential Systems”. Proc. 32nd Conf. Decision Contr., Dec. 1993, pp. 1830-1841. [13] “Calculus. Cálculo Infinitesimal”. Michael Spivak. Reverté, México, 1992. (Sucesiones, definición de reales) [14] “Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of the Infinite”. J.W. Dauben. Princeton University Press, Princeton, 1979. [15] ”Hypercomplex Fourier Tansform of Color Images”. IEEE International Conference on Image Procesing (ICIP 2001). S.J. Sangwine. Thessaloniki, Grece, Oct. 2001, vol. I, pp. 137-140. [16] ”Quaternions and Rotation Sequences”. J.B. Kuipers. Princeton University Press, Princeton, 1999. [17] ”Computational Conformal Mapping”. P.K. Kythe. Birkhäuser, Boston, 1998. (ecs- Cauchy-Riemann y diferenciabilidad) [18] ”On Quaternions and Octonions”. J.H. Conway and D.A. Smith. AK Peters, Natick, 2003. [19] ”Elementary Geometry in Hyperbolic Space”. Werner Frenchel - de Gruyter, Berlín, 1989. [20] ”Circular Processing of the hue variable: a Particular Trait of Colour Image Procesing”. A. Restrepo, C.Rodriguez and REFERENCIAS 147 C.Vejarano. VISSAP-Second International Conference on Computer Vision Theory and Applications. Barcelona, Spain, March 2007 [21] ”Colour spaces”.A. Restrepo, C.Rodriguez and C.Vejarano. VISSAP-First International Conference on Computer Vision Theory and Applications. Setubal, Portugal, 2006. [22] ”Directional Statistics”. K.V. Mardia and P.E. Jupp. Wiley, Chichester, 2000. [23] ”Color Appearance Models”. Mark D. Fairchild. Wiley, 2005. Capítulo 1 Señales y sistemas 1.0. INTRODUCCIÓN Imagínese en una noche despejada al capitán de un barco comunicándose con el de otro por medio de señales luminosas. Imagine que en el cerebro de una persona se origina un impulso nervioso que al cabo de algún tiempo hace que la persona mueva su mano izquierda. Imagine que por el cable de una impresora viaja una señal que hará que se imprima la frase “Hello World”. Un modelo sencillo de un sistema de comunicación incluye un emisor, un canal de transmisión y un receptor; pero hay además otras cosas involucradas. Por una parte está el vocabulario y la sintaxis del lenguaje de comunicación. Por otra parte está la semántica de los mensajes que se pueden transmitir. Por otra están las características de la implementación física del sistema. En este curso, el sentido técnico de la palabra señal está dado por el aspecto matemático de “lo que se transmite” en un proceso de comunicación. Aunque este sea solo un aspecto del proceso de comunicación, su estudio resulta provechoso y básico para el entendimiento y potencial avance de los sistemas de 148 1.0. INTRODUCCIÓN 149 comunicación electrónicos y de otros tipos. Como decimos, una señal es desde cierto punto de vista, una función. Así, una señal es una abstracción de lo que se transmite en un proceso de comunicación. Se supone que una señal contiene información y que es producida por un proceso físico: es la variación de una magnitud física en términos de algún parámetro (típicamente el parámetro tiempo) y no cualquier función que pueda definir un matemático. Como ejemplo de señal, tenemos la función de voltaje (en la variable tiempo) resultante al convertir la intensidad de la onda de presión de aire correspondiente a algún sonido por medio de un micrófono, como se ilustra en la figura 1.1. O también, la función de transmitancia luminosa (en la variable posición) de una película fotográfica después de haber sido expuesta. Más Figura 1.1: Obtención de una señal específicamente, usaremos la siguiente definición de señal. Definición 14. Una señal continua es una función cuyo intervalo de RN , con la posible excepción de un subconjunto denso en ninguna parte de puntos. 150 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS Definición 15. Una señal discreta es una función cuyo dominio es un intervalo de ZN . El rango de una señal discreta es un conjunto de números; por ejemplo, el conjunto de los números complejos, o el intervalo /0, 255/. Definición 16. Un subconjunto W de RN es denso en ninguna parte si para cada punto de W hay in intervalo de RN que contiene al punto y a ningún otro elemento de W. Definición 17. Una señal continua en sentido laxo es una señal continua que se ha dejado sin definir en un subconjunto denso en ninguna parte de su dominio. La ingeniería es en parte el arte de asignar números a magnitudes físicas con el objeto de manejar los diferentes aspectos en un diseño. Así como los físicos, los ingenieros cuantificamos las variables con que trabajamos, lo que nos permite usar herramientas matemáticas y poder hablar objetivamente de los resultados esperados de un diseño. Esta actividad, que podríamos llamar aritmetizar, va acompañada de aquella de matematizar, donde modelamos matematicamente los fenomenos fisicos. Ejemplo. En la figura 1.1 indicamos la función de voltaje v definida en el intervalo (t1 , t2 ), los valores del voltaje son números reales: v : (t1 , t2 ) → R1 Seguramente, no cualquier función es una señal que provenga de algún fenómeno físico, pero la función matemática es un poderoso modelo de señal. Muchas de las herramientas usadas en ingeniería para el análisis de señales, están basadas en el cálculo y en otras disciplinas matemáticas. En un principio, en ingeniería de comunicaciones, las señales consideradas eran generalmente continuas: señales de voltaje o corriente, en el dominio del tiempo; por lo general eran señales de radio. La idea de poder transmitir palabras a distancia era muy atractiva. Así como el estudio de la electricidad se impulsó con los experimentos de Volta con patas de ranas, probablemente la idea de usar un cable coaxial para la transmisión de información a distancia se 1.0. INTRODUCCIÓN 151 inspiró en los axones largos y mielinados del sistema nervioso de los mamíferos. El problema que aún persiste con un cable coaxial (o de fibra óptica), es la atenuación que sufre la señal con la distancia; así, resulta muy importante poder amplificar una señal. La tecnología de tubos de vacío con electrodos conectados a terminales externos permitió efectuar tal amplificación. Esta misma tecnología permitió el desarrollo del tubo de rayos catódicos, que es con lo que se construían las pantallas de TV y los osciloscopios anteriormente. A finales de la década de los 40 del s.XX, se desarrolló un dispositivo amplificador semiconductor que era pequeño, confiable y permitía integración (es decir, la fabricación de un circuito electrónico muy denso: (muy denso: miles de componentes en un milímetro cuadrado, así como la posibilidad de producirlos en gran cantidad): este dispositivo es el transistor bipolar, inicialmente construido con germanio o silicio y despues con arseniuro de galio. Probablemente en un futuro se usen las señales luminosas tanto como las electrónicas en los circuitos integrados. La tecnología de las comunicaciones y del control para los vuelos Apolo (en la década de los 60)fue análoga en gran medida (aunque usaron computadores rudimentarios al final). En los sesentas, el análisis de señales discretas o series de tiempo era más del dominio de los estadísticos que de los ingenieros. A partir de los setentas, la tecnología digital entró en auge; se desarrollaron varias familias de circuitos integrados que implementaban funciones lógicas, se inventó el microprocesador, aparecieron las calculadoras electrónicas de bolsillo (de 4 operaciones), las memorias bajaron de precio y aumentaron en capacidad, etc. (La industria electrónica japonesa que hasta el momento era de calidad regular llegó a sobrepasar el desempeño de la industria estadounidense en algunos aspectos). Paralelamente, la teoría matemática básica que sería usada para el análisis y el tratamiento lineal de señales digitales, se sofisticó en algún grado interpretando algunos resultados aplicables y desarrollando otros como por ejemplo la transformada rápida de Fourier. Hoy en día, para 152 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS tasas de muestreo por debajo de, aproximadamente, 109 Hz, la tecnología digital supera en muchos aspectos a la tecnología análoga; el caso más patente es el tratamiento de señales de audio donde el uso de técnicas digitales permite una gran versatilidad en la implementación de sistemas para el tratamiento de las señales. Desde los ochentas, compañías como Texas Instruments producen procesadores (DSP o digital signal processor) con arquitectura orientada al tratamiento de señales.Desde la década de los noventas ha habido un boom de las comunicaciones, que ha sido posible en parte por la tecnología para el tratamiento digital de señales. 1.1. CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES 1.1. 153 Clasificación de las señales Inicialmente clasificamos las señales dependiendo de la cardinalidad de los conjuntos dominio y rango de la función correspondiente. Si el dominio de la señal es un conjunto contable, se dice que la señal es discreta. Figura 1.2: Una señal discreta de longitud finita Ejemplo. Como dijimos, un ingeniero normalmente cuantifica las variables que usa, es decir, las modela con conjuntos de números. En relación con el ejemplo anterior, podemos definir la señal s : /1, 5/ → /0, 1/ donde el conjunto /1, 5/ representa los días y el conjunto /0, 1/ las posibilidades “llovió” y “no llovió”: s(1) = 0, s(2) = 1, etc. Dado que en este curso el análisis de Fourier tiene en papel importante, asumiremos que el rango de una señal es un subconjunto de los números complejos C. Asumiremos también que el rango es realista en el sentido que está dado por el conjunto de valores que la señal en efecto podría tomar. Si el rango de una señal es finito, se dice que la señal es digital. este punto es algo sutil ya que 154 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS dos funciones pueden tener el mismo gráfico y distinto rango; como acabamos de decir, se asume que el rango es el conjunto de valores que la señal puede tomar, físicamente. por ejemplo, la señal almacenada en un disco compacto es digital ya que cada componente está codificado con 16 bits. La señal del ejemplo anterior es una señal digital, así como la del ejemplo siguiente: Ejemplo. f : {1, 2, 3, 4, 5} → /0, 15/, dada por f (1) = 10, f (2) = 0, f (3) = 1, f (4) = 9, f (5) = 15. Cuando una señal se procesa o se almacena en un dispositivo electrónico de tecnología digital, por ejemplo un computador, la señal es normalmente discreta y digital. es discreta ya que sólo una cantidad finita de valores de la señal pueden ser almacenados y es digital ya que los valores se representan en algún código de bits y por lo tanto sólo hay un número finito de valores posibles que la señal puede tomar. Una señal continua es una señal cuyo dominio es R1 o, en general, un intervalo de RN , con la posible excepción de un conjunto finito de puntos. Es importante resaltar que las definiciones de continuidad de un función y de continuidad de una señal son diferentes. La continuidad de una función es la que ve en un curso de cálculo y se repasó en el capítulo anterior. La continuidad de una señal, como se acaba se definir aquí, depende sólo de su dominio, f puede ser una señal continua y no ser una función continua, como es el caso de la función escalón de Heaviside que definimos un poco más adelante. Se dice que una función f : R → C es una función escalera si localmente es, o constante, o discontinua; es decir, para cada real x, si f es continua en x, hay un intervalo abierto I que contiene a x tal que f es constante en I:∀x ∃a ∈ R, I ⊂ R : x ∈ I, f (I) = a, ó, f (→ x+ ) , f (→ x− ). Además, el conjunto de los puntos de acumulación de las discontinuidades no tiene puntos de acumulación. Se dice que una función continua f : R → C es una función derivable en sentido lato si tiente derivadas por la izquierda y por la derecha en cada punto, y 1.1. CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES 155 el conjunto de los puntos de acumulación de los puntos de no diferenciabilidad no tiene puntos de acumulación. De ahora en adelante, cuando nos refiramos a señales continuas, asumiremos que se trata de funciones que son sumas de una función escalera y una función derivable en sentido lato. Señales escalón Continua y Discreta La señal escalón continua u : R → C está dada por 1 si t ≥ 0 u(t) = 0 si t < 0 La señal escalón discreta u : Z → C está dada por 1 si n ≥ 0 un = 0 si n < 0 También, la señal impulso discreta, δ : Z → C está dada por 1 si n = 0 δn = 0 si n , 0 Por razones que explicamos más adelante, no definiremos la señal “impulso continua” como una función, sino como un funcional. La señal escalón continua se conoce también, especialmente en matemáticas, como función de Heaviside, en honor a Oliver Heaviside quien notó su importancia en la teoría de sistemas lineales. Ejercicio. ¿Puede ser digital una señal continua? Ejemplo. Sea v : R1 → N donde v(x) = parte entera(x) 156 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS Figura 1.3: Una señal continua. (La función correspondiente no es continua) Tamaño Definimos el tamaño de un conjunto a continuación. Si el conjunto es contable, su tamaño está dado por su cardinalidad. Si el conjunto es un subconjunto de RN , su tamaño está dado por la correspondiente medida (de Lebesgue): su longitud, su área o su volumen, etc. Ejemplo. El tamaño del intervalo /4, 9/ es 6. El tamaño de Z es infinito. El tamaño del producto cartesiano /0, 1023/×/0, 1023//subsetZ/timesZ es 1.048.576 (o “un mega” en la jerga de los programadores). El tamaño del intervalo (0, 10)/subsetR es 10, así como también lo es el del intervalo [0, 10]. El tamaño de R1 es infinito. El tamaño del producto cartesiano [2, 5] × [0, 2]/subsetR/timesR es 4. Soporte El soporte de una función es el subconjunto del dominio donde la función toma valores diferentes de cero. Ejemplo. El soporte de la señal escalón continua u : R → C, es el intervalo 1.1. CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES 157 [0, ∞). El soporte de la señal seno sen : R1 → C, es R1 − πZ. El soporte de la señal escalón discreta, u : Z → C, es el conjunto de los números naturales. El soporte de la señal pulso discreta p : Z → C, pn = un − un−10 es /0, 9/. Longitud y duración La longitud de una señal está dada por el tamaño de su dominio. La duración de una señal está dada por el tamaño del intervalo más pequeño que contenga su soporte. Ejemplo. A continuación se muestra una señal digital de longitud finita. Sea s : /0, 3/ → {0, 2} dada por s = [0, 2, 0, 2], s(0) = 0, s(1) = 2, s(0) = 0, s(1) = 2. Figura 1.4: Una función del conjunto 4 al conjunto de los números reales Ejemplo. La señal s : N → C dada por s(n) = 2−n es de longitud infinita. Ejemplo. La señal continua g(t) = u(t) − u(t − 1), donde u es la señal escalón continua, es de longitud infinita pero de duración finita. Ejemplo. La duración de la señal discreta sn = δn + δn−5 es 6. 158 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS Ejercicio. Grafique la señal g(t) del ejemplo anterior para t ∈ (−1, 2). Después de toda esta taxonomía, concluimos esta sección diciendo que en este curso, en general, las señales continuas serán funciones de R1 → C (descomponibles en sumas de funciones escalera y funciones derivables en sentido lato), las señales discretas de longitud infinita serán funciones de Z → C y las señales discretas de longitud finita, funciones de N → C, donde N = /0, 1, . . . , N − 1/ es algún número natural, por ejemplo, N = 4 = {0, 1, 2, 3}. Casi siempre trabajaremos con señales de uno de estos tres tipos. Figura 1.5: Una señal discreta con rango complejo 1.2. Funcionales Conceptualmente, un funcional es un objeto intermedio entre aquellos de funciòn o señal, y de sistema. Un funcional es una función (valga la redundancia) que asigna un número (o, más generalmente, un elemento de un cuerpo de escalares) a cada una de las funciones en un espacio vectorial de funciones. Por ejemplo, considere el funcional φ : V → C, definido para un conjunto V de señales, que asigna a cada señal s ∈ V el número s(0); escribimos φ(s) = s(0); 1.3. SISTEMAS 159 así, φ(cos) = 1. Más adelante consideraremos en particular los funcionales que son lineales, los que respetan la estructura de combinación lineal del espacio de señales V. 1.3. Sistemas Un sistema es una función cuyos dominio y rango son conjuntos de señales. Un sistema es una colección indexada de funcionales {φt }, ∀t φt : V → C, cada uno de ellos definido para una colección de señales V = {s : T → C}, todas con el mismo dominio T, donde hay un funcional φt , t ∈ T para cada uno de los valores del dominio T de las señales. Decimos que, si a un sistema S se aplica la señal de entrada s, la señal de salida r, para un tiempo t es r(t) = S[s](t). El concepto de sistema es tan básico e importante como el de señal pero su definición matemática es ligeramente más compleja. La idea es que los sistemas transforman las señales. Los sistemas son modelos del tipo “caja negra” en cuanto que no necesariamente conocemos su implementación física. Sabemos qué entra y qué sale pero solamente se tiene una abstracción de lo que hay dentro de la caja: a veces interesa más saber qué hace el sistema que cómo lo hace. En teoría de señales los sistemas se denominan filtros. Con frecuencia, en matemáticas, decimos que una función de un conjunto de funciones a un conjunto de funciones es una transformación; así, un sistema es una transformación. En ingeniería, hablamos de la transformada de fourier y de un filtro o sistema RC, la diferencia fundamental es la implementabilidad física de los sistemas y el aspecto teórico de las transformadas. En teoría de señales, de control y de sistemas, se acostumbra representar un sistema como una caja negra; sin embargo, un ingeniero seguramente deberá tener en mente otras características del dispositivo que se modela, ya que todo modelo tarde o temprano deja de ser válido, por una u otra razón. 160 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS Figura 1.6: Un sistema es una función entre conjuntos de señales Figura 1.7: Representación de un sistema como una “caja negra” 1.3. SISTEMAS 161 Si tanto el dominio como el rango contienen señales discretas únicamente, se dice que se tiene un sistema discreto. Si tanto el dominio como el rango contienen señales continuas únicamente, se tiene un sistema continuo. En otro caso, se tiene un sistema mixto. Si tanto el dominio como el rango son espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo y el sistema es una transformación lineal, se dice que el sistema es lineal. En caso contrario, se dice que el sistema es no lineal. 1.3.1. Espacio vectorial Quizás sea este el momento para repasar la definición de espacio vectorial. decimos que la quíntupla (V, +, K, +, ∗, ·), donde (V, +) es un grupo abeliano (de “vectores”) con módulo aditivo Θ, y (K, +, ·) es un anillo (de “escalares”) con módulo aditivo 0, y módulo multiplicativo 1 y hay una operación de producto de escalares por vectores que es quizás la razón del nombre escalar: escalar un vector. Las definiciones precisas de grupo y anillo se dan en el capítulo 4. Por ahora, decimos que, para cada α, β ∈ K y cada v, w ∈ V, se tiene que: 1) Hay un elemento en V que se expresa α · v (v escalado por α). 2) α · (v + w) = (α · v) + (α · w) 3) (α + β) · v = (α · v) + (β · v) 4) α · (β · v) = (α ∗ β) · v 5) 1 · v = v Ejercicio. 0 · v = Θ. 1.3.2. Transformación lineal Sean (V, +, K, +, ∗, ·) y (W, ⊕, K, +, ∗, ) espacios vectoriales sobre el mismo campo. La función T : V → W es una transformación lineal si para cada 162 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS α, β ∈ K y cada x, y ∈ V se tiene que: T(α · x + β · y) = α T(x) ⊕ β T(y). Así una transformación lineal es una transformación que preserva la estructura de espacio vectorial. De manera análoga, T es lineal si cumple con las propiedades de homogeneidad: ∀α ∈ K ∧ ∀u ∈ V, T(α · u) = α T(u), y de superposición: ∀u, v ∈ V, T(u + v) = T(u) + T(v). Ejercicio. Demuestre que si T es una transformación lineal entre los espacios (V, +, K, +, ∗, ·) y (W, ⊕, K, +, ∗, ) y si 0 es el módulo del grupo (V, +) y Θ es el módulo del grupo (W, ⊕), entonces T(0) = Θ. Para cada sistema lineal, continuo o discreto, se tiene por lo tanto que la respuesta a la señal cero es la señal cero. Ejemplo. Considere el espacio vectorial V de las funciones continuas h : [0, 1] → C, con las operaciones de suma de funciones, sobre el cuerpo de los complejos. Considere el conjunto de los funcionales lineales, definido sobre este espacio. Como se enuncia en el teorema de Riesz, para cada funcional lineal φ : V → C, de este tipo, hay una función g : R → C, de variación acotada, tal que φ se puede representar como una integral de Riemann-Stieltjes: Z 1 φ(h) = h(t)dg(t) 0 Ejercicio. En relación con el ejemplo anterior, si φ(h) = h(0), para cada h, ¿Cómo está dada la función g? 1.3.3. Normas Elepé La teoría de la medida de Lebesgue se usa para definir rigurosamente los espacios Lp , p ∈ [1, ∞]. Dado un espacio vectorial, podemos proceder a definir una función del conjunto de los vectores al conjunto de los números reales no negativos, llamada norma. 1.3. SISTEMAS 163 Más precisamente, una norma (que se denota similarmente a un valor absoluto: k · k, donde el punto indica el argumento) es un funcional (no lineal) real (es decir una función de un conjunto de funciones a los reales) definido sobre el conjunto de vectores de un espacio vectorial, que cumple con las propiedades de ser positivamente homogéneo, definitivamente positivo y subaditivo: i) ka f k = |a|k f k para cada función f del espacio y cada escalar a. (Positivamente homogéneo) ii) k f k = 0 si y sólo si f es la función cero. (Definitivamente positivo) iii) k f + gk ≤ k f k + kgk. (Subaditivo) Ocasionalmente se dice que la norma de una función de el “tamaño” de la función o “qué tan lejos” está del origen (el vector cero) del espacio vectorial. Nosotros asumiremos que los vectores son señales. Inicialmente consideramos algunas normas de señales discretas; usaremos eles minúsculas para denotar las normas. Posteriormente consideraremos señales continuas cuyas normas denotaremos con eles mayúsculas. Algunas normas para subconjuntos de CZ (eles minúsculas) Sea s : Z → C una señal discreta. Se dice que s es sumable en magnitud si −1 ∞ P P cada una de las series |sn | y |sn | convergen (a números reales). Sea l1 el n=−∞ n=0 conjunto de las señales discretas sumables en magnitud. Es claro que l1 es un espacio vectorial con la adición r = s + t dada por rn = sn + tn . en este espacio definimos la norma l-1 dada por: ksk = = −1 X |sn | + ∞ X n=−∞ ∞ X n=0 ∞ X n=1 n=0 |s−n | + |sn | |sn | 164 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS Ejercicio. Muestre que efectivamente se tiene una norma (que cumple con suabditividad, homogeneidad positiva y que es definitivamente positivo). Ejemplo. Suponga que para cada n, sn = s−|n| , entonces, ksk1 = 1 + 2 = 3. −1 P n=−∞ 2n + ∞ P n=0 2−n = La norma l-2 de s está dada por: v u t ksk2 = −1 X |s2n | + n=−∞ ∞ X |s2n | n=0 El conjunto de las señales discretas con normal l-2 finita se denota l2 . Ejercicio. Muestre que efectivamente se tiene una norma. Ejercicio. Diga si las siguientes series convergen. en caso de convergencia, dé el valor del límite. ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1 1 n 1 n2 (−1)n+1 n Más generalmente, definimos 1 ∞ X p p kskp := |s| n=−∞ 1.3. SISTEMAS 165 Eles mayúsculas Para señales continuas, también se define la norma Ele-uno y se denota con ele mayúscula. Sea h : R1 → C una señal continua. La norma L-1 de h está dada por: Z ∞ khk1 = |h(t)|dt −∞ Se dice que s es integrable en magnitud si su norma L-1 es finita. El conjunto de las señales continuas que son integrables en magnitud se denota L1 . La norma L-2 de h está dada por: sZ ∞ khk2 = |h(t)|2 dt −∞ El conjunto de las señales continuas con norma L-2 finita se denota L2 . En general para p > 1 ! 1p Z ∞ 2 khkp = |h(t)| dt −∞ Originalmente en ingeniería eléctrica, las señales consideradas eran funciones de voltaje o de corriente casi siempre. Dado que la potencia instantánea que disipa una resistencia es proporcional al cuadrado del voltaje entre sus terminales, y al cuadrado de la corriente que pasa por ella, resulta intuitivo darle a la integral (y a la suma en el caso discreto) del cuadrado de señales el nombre de energía. En teoría de señales es común hablar de la energía de una señal h la cual está por el cuadrado de su norma L2 : E(h) = (khk2 )2 . Para señales periódicas, dividimos la energía correspondiente a un periodo entre el valor del periodo T y la denominamos potencia promedio: RT p̄ = T1 0 |h2 (t)|dt. Ejercicio. Sea f : R1 → C dada por, f (t) = k f k1 y k f k2 . Diga si f ∈ L1 y/o f ∈ L2 . 1 t para t , 0 y f (0) = 0; encuentre 166 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS Figura 1.8: La señal de voltaje h se aplica a una resistencia de un ohmio Ejercicio. Sea f la función dada por 1 t , si t ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) f (t) = 0, si t ∈ [−1, 1] Encuentre k f k1 y k f k2 . Diga si f ∈ L1 y/o f ∈ L1 . Ejercicio. Sea f la función dada por si t = 0 1, f (t) = sen t , si t , 0 t Encuentre k f k1 y k f k2 . Diga si f ∈ L1 y/o f ∈ L1 . Ejercicio. Compruebe la tabla de la figura siguiente: Ejercicio. Sea s : R1 → R1 dada por s(t) = cos 5πt. Diga si s(t) es una señal integrable en valor absoluto. Diga si s2 es una señal integrable. 1.3. SISTEMAS 167 R1 1 t 1 √ t 1 2 t 0 · R∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞ 1 · Tabla 1.1: Integrales Figura 1.9: Gráfica 1t , 1 √ , 1 t t2 168 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS Figura 1.10: La señal cos 5πt para t ∈ [−0,1, 0,6] Figura 1.11: La señal de la figura anterior, en valor absoluto 1.3. SISTEMAS 169 Figura 1.12: La señal dela figura anterior, al cuadrado Lp [0, 2π) Para señales continuas definidas en un intervalo solamente, por ejemplo el intervalo [0, 2π), también se definen las normas ele-p, las cuales se denotan como Lp [a, b). Sea h : [0, 2π) → C una señal continua de longitud finita o, equivalentemente, una señal periódica h : R1 → C con tiempo de repetición 2π o, también equivalentemente, una señal h : S1 → C. La norma L-1 de h está dada por: Z ∞ khk1 = |h(t)|dt −∞ Se dice que s es integrable en magnitud si su norma L-1 es finita. El conjunto de las señales continuas que son integrables en magnitud se denota L1 . La norma L-2 de h está dada por: sZ ∞ khk1 = |h2 (t)|dt −∞ El conjunto de las señales integrables con norma L-2 finita se denota L2 . 170 1.4. CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS La norma ele-infinito El conjunto de las señales continuas acotadas se denota L∞ y el de las señales discretas acotadas se denota l∞ . La norma L-∞ de una señal continua s está dada por: ksk∞ = sup{|s(t)| : t ∈ R1 } Similarmente, si r es una señal discreta, su norma l-∞ está dada por: krk∞ = sup{|rn | : n ∈ Z} Por lo tanto, una señal es acotada si y sólo si su norma ele-infinito es finita. Por ejemplo, la norma de la señal continua cos t es 1, mientras que la señal discreta 2n no es acotada. Ejercicio. Encuentre la norma L∞ de la señal g(t) = 1 − 2|t| . Ejercicio. Sea F : R → C dada por F(ω) = e jω + a + j. Encuentre kFk∞ . Adéndum 1. La acotabilidad de las señales es usada para definir la estabilidad de un sistema, como lo haremos en el capítulo 5. El espacio ele-dos es un espacio de Hilbert con propiedades interesantes, tales como la ortogonalidad y el teorema de la proyección. Los espacios ele-uno y ele-infinito son duales en cierto sentido que tiene que ver con el conjunto de funcionales lineales que se pueden definir sobre el espacio (en este mismo sentido el espacio ele-dos es el dual de sí mismo). Los espacios ele-uno y ele-infinito también están relacionados en la teoría de estabilidad de sistemas de convolución. Las señales en el espacio L1 tienen transformada de Fourier, como se definió; esta transformada la llamaremos transformada L1 . Para las señales en L2 es posible definir una transformada de Fourier L2 , la cual daremos en un apéndice al final del capítulo 5. Es claro que más simple sea la teoría que subyace al uso de una herramienta es mejor. El hecho de que la señal senc no esté en L1 y 1.5. VARIACIÓN DE SEÑALES DISCRETAS 171 no tenga transformada de Fourier L1 es una de las razones principales (otra siendo la búsqueda de una homogeneidad en el rigor del curso) por la que damos la definición de la transformada de Fourier L2 . Adéndum 2. Una deducción de por qué “voltios por amperios da vatios”. Figura 1.13: Tubo de rayos catódicos Suponga que del cátodo salen n electrones por segundo, y que la carga del electrón es −q. Así, del cátodo sale una carga de −nq culombs por segundo. El trabajo que realiza la fuente de voltaje al acelerar un electrón cuando viaja del cátodo a la pantalla es qV. Ejercicio. Calcule la energía cinética que adquiere el electrón, asumiendo que la velocidad inicial es aproximadamente cero y que viaja horizontalmente, y que el campo eléctrico es aproximadamente uniforme de valo V/q donde d es la distancia del cátodo al ánodo (pantalla). Compruebe que es qV. 1.5. Variación de señales discretas La variación es un funcional. Definimos la variación de una señal discreta P {sn } como Var(s) = n∈Z ksn − sn−1 k. Es interesante anotar que el filtro mediana FALTA TA 172 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS (definido más adelante) nunca aumenta la variación de una señal, lo que puede considerarse como una propiedad alisadora («smoothing») del filtro. 1.6. Variación de señales continuas Fue deinida en el capítulo anterior, al hablar de la integral de RiemannStieltjes. 1.7. Variación promedio TA Al considerar un intervalo del dominio que crece, es la variación en el intervalo, dividida por la longitud del intervalo, en el límite cuando la longitud del intervalo tiende a infinito. Así, la variación promedio de la función seno es 4. 1.8. Problemas 1. Muestre que las normas L1 , L2 y L∞ cumplen la desigualdad del triángulo: k f + gk ≤ k f k + kgk. 2. Calcule la energía de la señal [u(t) − u(t − π)] sen(t). R∞ sen(t) 3. Muestre que ( t )2 dt = π/2. 0 R∞ sen(t) 4. Muestre que ( t )dt = π/2. 0 5. Muestre que R∞ | sen(t) t |dt = ∞. Sugerencia: considere una señal triángulo 0 como la mostrada en la figura 1.14, la cual es no negativa y acotada por 1.8. PROBLEMAS | sen(t) t |. 173 ¿Cuánto vale la integral de F(t)/t para t ∈ (0, π)? Figura 1.14: La señal | sen(t)| y una onda triángulo F(t) sen(t) 6. Sea f (t) = ( t )2 , para t , 0 y f (0) = 1. Encuentre k f k1 y k f k2 . Diga si f ∈ L1 y si f ∈ L2 . R 7. Encuentre el valor de lı́m→0 |Ω|> e−jΩt dΩ. Ω 8. A una resistencia de 1KΩ se le aplica la señal de voltaje sen(5000t). Diga cuánta energía disipa la resistencia en un segundo. Diga cuánta energía disipa durante un periodo de la señal aplicada. Resuelva el problema para el caso de la señal | sen(5000t)|. 9. Si r : Z → C está dada por rn = 2−n [un − un−100 ], calcule krk1 y krk2 . 10. Encuentre las normas L-1, L-2 y L-∞ de la señal r(t) = 1 . 1+t2 11. Dé un ejemplo de una señal con norma L1 finita, pero con norma L2 infinita. 12. Dé un ejemplo de una señal con norma L2 finita, pero con norma L1 infinita. 174 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS 13. Calcule la norma L∞ de s(t) = arctan (x) − π. 14. Con ejemplos, muestre que ni L1 es subconjunto de L2 , ni L2 de L1 . 15. Demuestre que L2 [0, 2π) ⊂ L1 [0, 2π). 16. Demuestre que l1 ⊂ l2 . 17. Encuentre una señal continua que esté el L1 pero no en L2 , y viceversa. 18. Muestre que cada señal discreta s : Z → C sumable en magnitud, es sumable en magnitud al cuadrado. 19. Diga si senc() es L1 , L2 , L∞ . 20. Encuentre la norma L2 de la señal f : R → C dada por 1 . 1+t2 Referencias [1] “Geometry of Complex Numbers”. Hans Schwerdteger. Dover, N.Y.,1979. [2] “Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables”. Henri Cartan. Dover, N.Y., 1995. [3] “Mathematical Analysis”. Tom M. Apostol. Adyson-Wesley, Reading MA, 1974. [4] “Signals and Systems”. A. V. Oppenheim, A. S. Willsky y I. T. Young. Prentice Hall, Londres, 1983. [5] “Fourier and Wavelet Analysis”. Bachman, Narici and Beckenstein. Springer, N.Y., 2000. [6] “Functional Analysis”. F. riesz y B. Sz-Nagy. dover, N.Y., 1990. [7] “Fuctional Analysis”. G. Bachman y L. Narici. Academic Press, N.Y., 1966. 175 Capítulo 2 Convolución y sistemas de convolución 2.0. INTRODUCCIÓN La convolución se puede ver como una operación entre señales; así, dadas dos señales, resulta otra señal. La convolución es una herramienta de utilidad en probabilidad, análisis de sistemas, análisis de Fourier y otras áreas; su utilidad es más que todo teórica. La solución de muchas ecuaciones diferenciales (y de diferencia) lineales, no homogéneas y con coeficientes constantes, en función del término no homogéneo 1 , es una convolución continua o discreta, respectivamente. Dada la fácil representabilidad en el dominio de la frecuencia de Fourier de los sistemas de convolución, la convolución es un concepto muy útil y popular 1 Los sistemas que se modelan con ecuaciones diferenciales, o de diferencia, homogéneas se conocen como los sistemas autónomos. 176 2.0. INTRODUCCIÓN 177 en tratamiento de señales. La convolución también es un concepto importante en teoría de sistemas, en ecuaciones diferenciales y en ecuaciones de diferencia. Consideremos esto desde el punto de vista de la ingeniería eléctrica. Un circuito puede verse como un sistema que transforma una señal de entrada en una señal de salida. Si el circuito está compuesto por resistencias, bobinas y condensadores lineales e invariantes, además de amplificadores lineales, el circuito se puede modelar con una ecuación diferencial, lineal y de coeficientes constantes. Es decir que para cada corriente o voltaje en el circuito hay una ecuación integro-diferencial en esta variable, con un término no homogéneo que depende de la señal de entrada al circuito y, si se quiere, de las condiciones iniciales del circuito. En realidad, en este curso no asumiremos condiciones iniciales, debido a que asumimos que el circuito ha estado funcionando siempre, ¨desde t = −∞¨1 . Vale la pena resaltar que si derivamos una ecuación integro-diferencial al querer convertirla en una ecuación diferencial, perdemos información; además, es posible que el término no homogéneo no tenga derivadas del orden requerido. Tanto el voltaje entre los terminales de un condensador, como la corriente por una bobina son integrales, de la corriente y del voltaje, repectivamente, y por esto asumimos que son funciones continuas. Es decir, que si para un Rt intervalo [a, b] se tiene que la integral a(t) := t b(τ)dτ existe como un número 0 real, para toda t ∈ [a, b] entonces a(t) es continua en (a, b). Además, asumimos que la corriente por una inductancia y el voltaje sobre un condensador, por ser integrales, además de ser funciones continuas, cuentan con derivadas izquierda y derecha en cada punto t. Adéndum. Note que 1 Esto R 1 dτ 0 τ = ∞ para cualquier epsilon positiva (>0) (∞ no es está relacionado con el hecho de que las transformadas, de Laplace y de Fourier que consideramos, son bilaterales. 178 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN un número real pero es una forma conveniente de indicar el comportamiento de R t+ Rt la integral) y que por lo tanto una integral de la forma t b(τ)dτ − t b(τ)dτ = 0 0 R t+ b(τ) no siempre tiende a 0 cuando tiende a cero. Sinembargo, cuando t la integral es acotada, este límite sí es cero, lo cual implica la continuidad de Rt a(t) := t b(τ)dτ. 0 Por ejemplo, considere el circuito RL mostrado en la figura 2.1, el cual se excita con una señal de voltaje e(t), que conocemos en su totalidad, para toda t ∈ (−∞, ∞), y con respuesta la señal de corriente s(t), la cual queremos conocer también para cada t real. La ecuación 2.1 describe el sistema correspondiente. e(t) = Ls0 (t) + Rs(t) (2.1) Figura 2.1: Circuito RL serie Como mostraremos más adelante, la solución general de la ecuación 2.1, en términos de e, está dada por: Z ∞ s(t) = e(t − τ)dg(τ) (2.2) −∞ donde g(t) = escalón del sistema, es decir, la solución de la ecuación cuando e = u. Vea 1 −Rt/L )u(t) que como mostramos a continuación es la respuesta R (1−e 2.0. INTRODUCCIÓN 179 la figura 2.2. La única suposición adicional que haremos para encontrar la respuesta escalón g, es que ésta es acotada, es decir, g ∈ L∞ . A la integral en la ecuación 2.2 la llamaremos la convolución de Stieltjes de la señal e con la señal g. Figura 2.2: Respuesta escalón del circuito de la figura 2.1 Para encontrar la respuesta g(t) (a la señal) escalón, consideramos primero el caso t < 0, luego el hecho que s es continua y finalmente el caso t > 0. Para t < 0, la ecuación 2.1 se reduce a: 0 = Ls0 (t) + Rs(t) 0 = s0 (t) + R s(t) L (2.3) mientras que para t > 0 la ecuación es: 1 = Ls0 (t) + Rs(t) 1/L = s0 (t) + R s(t) L (2.4) en el primer caso, la solución está dada por s(t) = ke−Rt/L y como requerimos que la solución sea acotada, ponemos k = 0. Así, tenemos s(t) = 0 y, en particular, s(0− ) = 0. En el segundo caso, para t > 0, la solución es s(t) = 1/R + ke−Rt/L 180 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN y como requerimos que la corriente sea una función continua, con s(0+ ) = 0, resulta que el voltaje sobre la resistencia en 0+ es 0 y que por lo tanto el voltaje sobre la inductancia en 0+ es 1 y como éste está dado por Ls(0+ ) = −kR, tenemos que k = −L/R. Por lo tanto, escribimos, g(t) = Rt R [1 − e− L ]u(t) L Ejercicio. Usando la fórmula 2.2, encuentre la respuesta del circuito cuando s(t) = 1 + cos t. Note que para un circuito RL, el valor de R juega un papel inverso en la constante de tiempo τ = L/R al que juega la resistencia en la constante de tiempo τ = RC en un circuito RC. Un circuito RC con resistencia grande es «lento», mientras que un circuito RL con resistencia grande es «rápido». Ejercicio. ¿Es válido asumir que la señal mostrada en la figura 2.2 ha llegado a un «estado estable» para t = 5τ, donde τ = L/R? Ejercicio. ¿Cuál es la respuesta escalón del circuito RC pasa bajas? ¿De un RC pasa altas? Por otra parte, la convolución discreta es la solución de las ecuaciones de diferencia lineales y con coeficientes constantes, en términos del término no homogéneo de la ecuación. Así por ejemplo, para la ecuación de diferencia, sn = 0,5sn−1 + en , donde nuevamente asumimos que e es la entrada a algún sistema discreto gobernado por esta ecuación y que s es la salida correspondiente, resulta que, asumiendo causalidad, la salida s para una entrada e arbitraria ∞ P está dada por, en−k hk . Donde h es la solución de la ecuación cuando la k=−∞ entrada es una señal impulso discreta, o delta de Kronecker, δn . A la sumatoria de la ecuación anterior la llamaremos la convolución discreta de las señales e y h. 2.1. CONVOLUCIÓN (LINEAL) DISCRETA 2.1. 181 Convolución (lineal) discreta Dado que a veces una serie es más intuitiva que una integral, quizás la convolución discreta sea más fácil de visualizar que la continua; por esto comenzamos con ella. Sean f y g señales discretas con dominio Z; la convolución de f y g, que se denota f ∗ g, es también una señal discreta. Sea h = f ∗ g; ∞ P para cada n, hn está dada por, hn = fk gn−k . k=−∞ Ejercicio. Diga si ∞ P k=−∞ fk gn−k = ∞ P fn−k gk , y qué condiciones serían necesarias. k=−∞ Dado un valor específico N de n, para calcular hN = ∞ P fk gN−k , resulta k=−∞ conveniente graficar gN−k , contra k, para lo cual trasladamos la gráfica de gk «hasta que g0 quede en k = N» y luego «reflejamos» alrededor de k = N. Note que esto se sigue de reemplazar el argumento n, en la definición de gn , por N − k. Ejemplo. Sean f, g : Z → C dadas por: n, n ∈ / − 10, 10/ fn = 0, n < / − 10, 10/ 0, gn = 1, n < /1, 4/ n ∈ /1, 4/ Ejercicio. Usando la información dada en la figura 2.4, calcule h2 si f y g son como en el ejemplo anterior y h = f ∗ g. Ejemplo. Sea x una señal discreta cualquiera y sea y = h ∗ x, donde h está dada por, 1/3, n ∈ {−1, 0, 1} hn = 0, n < {−1, 0, 1} 182 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN Figura 2.3: Las señales discretas f y g a ser convolucionadas k 2−k g2−k fk -2 4 1 -2 -1 3 1 -1 0 2 1 0 1 1 1 1 2 0 0 2 3 -1 0 3 Tabla 2.1: La señal g2−k Figura 2.4: g2−k 4 -2 0 4 5 -3 0 5 2.1. CONVOLUCIÓN (LINEAL) DISCRETA 183 si x = u, donde u es la señal escalón discreta (un = 0 para n < 0, un = 1 para n ≥ 0), tenemos que, y0 = 1/3(x−1 + x0 + x1 ) = 2/3 y1 = 1/3(x0 + x1 + x2 ) = 1 y2 = 1 y−2 = 0 ... y, en general, 0, 1/3, yn = 2/3, 1, n ≤ −2 n = −1 n=0 n≥1 Ejercicio. Para el ejemplo anterior, demuestre que, en general, para una entrada x, yn = 1/3(xn−1 + xn + xn+1 ) Ejemplo. Queremos encontrar una fórmula para la solución yn = xn +0,5yn−1 , en términos de x, asumiendo que yn tiende a 0 cuando n tiende a −∞. Procediendo 184 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN directamente, tenemos que, usando yn−1 = xn−1 + 0,5yn−2 , yn = xn + 0,5xn−1 + 0,25yn−2 = xn + 0,5xn−1 + 0,25xn−2 + 0,125yn−3 = xn + 0,5xn−1 + 0,25xn−2 + 0,125xn−3 + (1/16)yn−4 = xn + 0,5xn−1 + 0,25xn−2 + 0,125xn−3 + (1/16)xn−4 + (1/32)yn−5 = ... ∞ X = 2k xn−k n=0 =x∗h con hn = 2−n un 2.2. Convolución (lineal) continua Definiremos dos tipos de convolución; una es la «convolución de Stieltjes» y la otra es la «convolución continua estándar». Suponga que s, e, g, h : R → C son señales contínuas. La convolución de Stieltjes s de e con g, se denota e ∗ dg R∞ y para cada t, está dada por, s(t) = [e ∗ dg](t) = −∞ e(t − τ)dg(τ); mientras que la convolución estándar s, de e y h, está dada por, s(t) = [e ∗ h](t) = R∞ e(t − τ)h(τ)d(τ). −∞ Ejercicio. Muestre que si s y h están en L1 , entonces e ∗ h también lo está. Inicialmente damos un ejemplo de convolución continua estándar. Ejemplo. Sean h y e las funciones mostradas en la figura 2.5. La función e es una señal escalón. sea s = e ∗ h. Las figuras 2.6 y 2.7 ilustran el cálculo de s(1). La función e(1 − τ), “en el eje τ”, es una versión reflejada y desplazada de e(τ), 2.2. CONVOLUCIÓN (LINEAL) CONTINUA 185 como se muestra en la figura 2.6. La integral de h(τ)e(1 − τ), con respecto a τ, es el área sombreada en la figura 2.7, la cual vale 2/3; por lo tanto, s(1) = 2/3. Figura 2.5: Las señales e y h a ser convolucionadas Ejemplo. Sean h(t) = u(t + 1) − u(t − 1) entonces s está dada por, 0, t + 3, s(t) = 2, 3 − t, 0, y e(t) = u(t + 2) − u(t − 2). Si s = s ∗ h t ≤ −3 −3 ≤ t ≤ −1 −1 ≤ t ≤ 1 1≤t≤3 t≥3 (vea la figura 2.8) Compruebe. Así decimos que la convolución de dos pulsos es un trapecio. Similarmente, la convolución de un pulso consigo mismo, es un triangulo. Ejercicio. Calcule y grafique h ∗ h, para la h definida en el ejemplo anterior. Ejercicio. Calcule f ∗ g si f (x) = x3 y g = esta dada por, g(x) = 1/2, x ∈ [−1, 1] y g(x) = 0, x < [−1, 1]. 186 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN Figura 2.6: Para calcular s(1) es necesario multiplicar h(τ) y e(1 − τ) 2.2. CONVOLUCIÓN (LINEAL) CONTINUA Figura 2.7: El valor de s(1) es el área sombreada Figura 2.8: g = f ∗ h 187 188 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN En general, no hay garantía de que convolución de dos señales exista. Como se indicación en un ejercicio anterior, en el caso particular en que las señales tengan normas ele − 1 finitas, la convolución existe. También, se puede mostrar que cuando f tiene norma ele − 1 finita, si g es acotada entonces f ∗ g también es acotada. Ejercicio. (La operación de convolución es conmutativa.) Demuestre, para el caso discreto y para el caso continuo, que si f ∗ g existe, entonces f ∗ g = g ∗ f . Ejercicio. (La operación de convolución distribuye con respecto a la suma.) Demuestre que si f ∗ h y g ∗ h existen, entonces ( f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h. Ejercicio. (La operación de convolución es homogénea) Demuestre que si α es una constante y f ∗ h existe, entonces (α f ) ∗ h = α( f ∗ h). 2.2.1. Curvígrafos(“Splines”) Definimos el curvígrafo de orden cero, como s0 (t) = u(t + 0,5) − u(t − 0,5), El spline de orden 1 como s1 (t) = [s0 ∗ s0 ](t) y en general, en forma inductiva, sn (t) = [sn−1 ∗ s0 ](t). Ejercicio. Grafique s0 (t), s1 (t), s2 (t) y s3 (t). Ejercicio. Muestre que el límite de sn (t), cuando n tiende a infinito, es una gaussiana, ke−t /σ . Encuentre k y σ. 2 2.2.2. Convolución de Stieltjes La convolución (lineal, continua) de Stieltjes de la señal e con la señal g la denotamos e ∗ dg. Si s = e ∗ dg, para cada t, s(t) está dada por, Z∞ s(t) = e(t − τ)dg(τ) −∞ 2.2. CONVOLUCIÓN (LINEAL) CONTINUA 189 si g(t) es derivable, con derivada g0 = h, la convolución de Stieltjes se puede expresar en términos de una convolución continua estándar: Z∞ s(t) = Z∞ e(t − τ)dg(τ) = −∞ e(t − τ)h(τ)dτ −∞ La convolución de Stieltjes es útil para caracterizar los sistemas de convolución que tengan respuesta escalón discontinua (con saltos), ya que evita el uso de herramientas de análisis funcional tales como los impulsos de Dirac. Figura 2.9: Una señal con salto en t = 0 Ejemplo. Sea g(t) la señal mostrada en la figura 2.9 y suponga que quere- mos evaluar la convolución de Stieltjes [sen ∗dg](t). Según la definición que 190 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN acabamos de dar, ésta está dada por: Z ∞ 0 Z sen(t − τ)dg(τ) = sen(t − τ)g0 (τ)dτ + sen(t − 0)[g(0+ ) − g(0− )] −∞ −∞ 1 Z + sen(t − τ)g0 (τ)dτ + sen(t − 1)[g(1+ ) − g(1− )] 0 ∞ Z + sen(t − τ)g0 (τ)dτ 0 1 Z = 0 + sen(t) + sen(t − τ)g0 (τ)dτ + 0 + 0 0 = sen(t) − [cos(t − 1) − cos(t)] √ = 2 cos(t − π/4) − cos(t − 1) = |z| cos(t + ∠z) donde z = √ 2e− jπ/4 − e− j . Ejercicio. Muestre que, para constantes α y β, y señales x, w, h : (αx + βw) ∗ dg = α(x ∗ dg) + β(w ∗ dg) 2.3. Sistemas de convolución continuos En esta sección continuamos el tema expuesto en la introducción de este capítulo. Dado que es común que la respuesta escalón de un sistema lineal e invariante tenga saltos, como por ejemplo un RC pasa-altas, definimos los sistemas de convolución continuos en términos de una convolución de Stieltjes. Así, un sistema de convolución continuo es un sistema que, para cada entrada e, produce la salida s = e ∗ dg donde g se conoce como la respuesta escalón del sistema. (2.5) 2.3. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN CONTINUOS 191 Figura 2.10: Un sistema de convolución Asumiremos que las señales involucradas (e, g, s) pueden estar indefinidas en un subconjunto denso en ninguna parte de S. Esta definición de sistema de convolución nos permite obviar el uso de impulsos. 2.3.1. Respuesta escalón A continuación con las suposiciones hechas con respecto de la respuesta escalón, así como la fórmula de la integración por partes de la integral de Riemann-Stieltjes, mostramos que la g en la ecuación 2.5 es efectivamente la respuesta escalón del sistema. Z ∞ Z ∞ u(t − τ)dg(τ) + g(τ)du(t − τ) = u(−∞)g(∞) − u(∞)g(−∞) −∞ −∞ = 0g(∞) − 1g(−∞) = −g(−∞) Donde g(∞) := limt→∞ g(t) y así sucesivamente con g(−∞), u(∞), u(−∞) Por lo tanto, Z ∞ Z ∞ u(t − τ)dg(τ) = − g(τ)du(t − τ) − g(−∞) −∞ −∞ = g(t) − g(−∞) 192 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN Y sólo en caso que g(−∞) = 0 (que sin embargo es lo que asumiremos de ahora en adelante) se tiene que g es la respuesta escalón del sistema. El resultado obtenido muestra que g es la respuesta escalón de un sistema que tenga relación entrada/salida dada por la ecuación 2.5. También, dadas las propiedades de superposición y homogeneidad de la operación de convolución indicadas en los ejercicios finales de la sección 2.2, podemos concluir que los sistemas de convolución son lineales. Muchos sistemas de interés en ingeniería electrónica son sistemas de convolución; por ejemplo, los circuitos de resistencias, inductancias y capacitancias lineales, ya que éstos se modelan con ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y, como mostraremos en la sección 2.8, la solución de estas ecuaciones es una convolución de Stieltjes. Ejemplo. El circuito de la figura 2.11 es un sistema de convolución con respuesta escalón g(t) = [1 − e−t/RC ]u(t). Ejercicio. Para el sistema del ejemplo anterior, encuentre la respuesta corre- spondiente a la entrada e(t) = cos 10t. Figura 2.11: Circuito RC pasa bajas de primer orden 2.3. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN CONTINUOS 2.3.2. 193 Función característica (respuesta impulso) de sistemas de convolución continuos Como dijimos, un sistema es un sistema de convolución continuo, si para cada señal de entrada e(t), la salida s(t) está dada por s = e ∗ dg, donde g(t) es la respuesta escalón del sistema: Z ∞ s(t) = e(t − τ)dg(τ) −∞ Si g cumple con la condición de ser esencialmente derivable, como definimos más abajo, decimos que el sistema tiene función característica, esta función tendrá como dominio R1 con la posible excepción del conjunto finito de puntos donde g no sea derivable. Las condiciones que la respuesta escalón g debe cumplir para que esto suceda son: que g sea continua. que g sea derivable excepto, posiblemente, en un conjunto finito de puntos. De una función que cumpla con las condiciones anteriores, decimos que es esencialmente derivable. Así, si g es esencialmente derivable, no tiene saltos (es decir, lı́m por derecha es igual al lı́m por izquierda en todas partes) y es derivable, con derivada g0 , con la posible excepción de un conjunto finito de puntos. En tal caso, denotamos con h a la “derivada” g0 de g y la llamamos la función característica del sistema, que se conoce también como “respuesta impulso” del sistema. Si la respuesta escalón no es esencialmente derivable, diremos que el sistema no tiene respuesta impulso. Cuando el sistema tenga respuesta impulso escribiremos la salida como: Z ∞ s(t) = Z ∞ h(τ)e(t − τ)dτ = −∞ h(t − τ)e(τ)dτ −∞ 194 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN 2.3.3. Respuesta a una entrada constante Un caso interesante ocurre cuando la señal de entrada a un sistema de convolución es constante. Suponga que se tiene un sistema de convolución R∞ continuo con respuesta escalón g y que la integral −∞ dg(τ) (corresponde a la salida cuando la entrada es la señal constante 1) en finita y vale H. Así, si la señal de entrada es constante, con e(t) = A, la señal de salida también es constante de valor AH. Z ∞ Z ∞ s(t) = e(t − τ)dg(τ) = A dg(τ) = AH −∞ −∞ Como se verá en el capítulo 5, la respuesta de un sistema de convolución a una sinusoide es, o una sinusoide de la misma frecuencia, o la señal cero. El resultado que acabamos de ver es un caso particular ya que una señal constante es una sinusoide con frecuencia cero. 2.3.4. Respuesta a la derivada de la entrada En ciertos casos, se conoce la respuesta de un sistema de convolución a una entrada dada e(t) y se quiere saber la respuesta correspondiente a la derivada e0 (t). Con gran generalidad, si la salida correspondiente a la entrada e es s, entonces la salida cuando la entrada es la derivada e0 de e, es la derivada s0 de s, ya que: Z ∞ d 0 e(t − τ)dg(τ) s (t) = dt Z ∞ −∞ d ? e(t − τ)dg(τ) = dt Z−∞ ∞ = e0 (t − τ)dg(τ) −∞ Ejercicio. Diga cuándo es válido el segundo paso en la deducción anterior. 2.3. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN CONTINUOS 195 Así, la derivada de la salida se obtiene derivando la entrada. También, dado que, usando integración por partes, Z ∞ s(t) = e(t − τ)dg(τ) −∞ Z ∞ g(τ)de(t − τ), cambio de variable = g(∞)e(−∞) − g(−∞)e(∞) − −∞ Z ∞ = g(∞)e(−∞) − g(−∞)e(∞) − g(t − τ)de(τ), como g(−∞) = e(−∞) = 0 −∞ Z ∞ =− g(t − τ)de(τ) −∞ entonces, si la respuesta escalón es derivable, Z ∞ Z ∞ d d ? 0 g(t − τ)de(τ)] = − g(t − τ)de(τ) s (t) = [− dt −∞ −∞ dt y usando integración por partes y g(−∞) = e(−∞) = 0 Z ∞ 0 s (t) = − e(t − τ)dg0 (τ) −∞ Ejercicio. Hay casos como s(t) = cos t, para los cuales e(−∞) , 0, ¿qué pasa en estos casos? 2.3.5. Identificación de sistemas de convolución Suponga que se tiene un sistema de convolución continuo que se desea identificar. Es decir, ¿cómo podemos encontrar su función característica si sólo tenemos acceso a la entrada y la salida del sistema? Como veremos a continuación, el primer paso es aplicar una señal escalón. Como es posible que la respuesta escalón tenga saltos, y por lo tanto no tengo función de transferencia característica, a menudo debemos contentarnos con representar el sistema como una convolución de Stieltjes. 196 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN 2.3.6. Una aplicación del teorema fundamental del cálculo Como dijimos, la respuesta escalón de un sistema se define como la señal que se obtiene a la salida de éste cuando la entrada es una señal escalón u(t). A continuación, usando el teorema fundamental del cálculo, veremos cómo están relacionadas la función característica h de un sistema de convolución continuo y su respuesta escalón g. Si se tiene un sistema de convolución continuo con función característica h, su respuesta escalón está dada por, Z ∞ g(t) = |u ∗ h|(t) = u(τ)h(t − τ)dτ −∞ como u(t) = 0 para τ < 0 y u(t) = 1 para τ ≥ 0 Z ∞ g(t) = u(τ)h(t − τ)dτ 0 con t fija, sea x = t − τ y dx = −dτ, entonces, Z Z −∞ h(x)(−dx) = g(t) = t t h(x)(dx) −∞ y, de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, si h es continua en t, entonces, g0 (t) = h(t). Así, otra vez, cuando la función característica existe, ésta se obtiene derivando la respuesta escalón del sistema. Ejemplo. El circuito RC pasa bajas de primer orden mostrado en la figura 2.11, tiene función de característica h(t) = [1/RC]e−t/RC u(t), que es la derivada de su respuesta escalón, g(t) = [1 − e−t/RC ]u(t), para t , 0. Ejercicio. Grafique la respuesta escalón del circuito de la figura 2.12. En muchos textos de teoría de señales, se define la “señal impulso δ(t)” como la “derivada de la señal escalón u(t)”, o como el límite en una sucesión 2.3. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN CONTINUOS 197 Figura 2.12: Circuito RC pasa altas de funciones {dn (t)}: por ejemplo, 1 1 n, si t ∈ [− 2n , 2n ] dn (t) = 0, si t ∈ R1 − [− 1 , 1 ] 2n 2n esta sucesión de funciones tiende a la función ∆ : R1 → R1 ∪ {−∞, ∞} dada por, 0, t , 0 ∆(t) = ∞, t = 0 R R Para cada n, dn = 1 y, por lo tanto, lı́m dn = 1; sin embargo. la función ∆(t) tiene integral (de Riemann o de Lebesque) nula, es decir, Z ∞ ∆(t)d(t) = 0 −∞ R R Como se ve, lı́m dn (t)dt , lı́m dn (t)dt. La razón por la cual es común el uso de la notación para integrales para denotar funcionales lineales es que la integral es lineal, pero aparte de esta propiedad de linealidad, el funcional lineal Dt con dominio el conjunto de funciones contínuas f : R1 → R1 , y rango 198 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN el conjunto de los reales, dado por Dt ( f ) = f (t) es en realidad diferente de la R∞ integral −∞ f (τ)∆(t − τ)dτ. Aunque nemotécnicamente sea conveniente el uso de distribuciones de Dirac con notación de integral, es probable que no sean convenientes en un estudio inicial de los sistemas de convolución continuos por parte de un futuro investigador, que no conozca la teoría de las distribuciones pero que sí conoce el cálculo elemental. El funcional Dt sí se puede expresar en términos de una integral de Riemann-Stieltjes: Z ∞ Dt ( f ) = f (τ)dλt (τ) = f (t) −∞ donde λt (τ) = u(τ − t) y u es la señal escalón. Dado que hemos definido la señal como una función de un conjunto de números a otro conjunto de números, no hablaremos de señal impulso continua; sin embargo sí hablaremos de (señal) “respuesta impulso”. También hablaremos de señal impulso discreta, o delta de Kronecker. Ejemplo. La señal g(t) = [1 − e−t ]u(t) es continua (aunque no tenga derivada en t = 0). La convolución de Stieltjes está dada por, Z 0 ∞ Z e(t − τ)g (τ)dτ + 0 + −∞ Z e(t − τ)g (τ)dτ = 0 + 0 + 0 0 ∞ e(t − τ)e( − τ)dτ 0 0 Note que aunque, e∗h = h∗e, se tiene que, siempre y cuando g(−∞) = e(−∞) = 0, Z ∞ Z ∞ e(t − τ)dg(τ) = − −∞ e(τ)dg(t − τ) −∞ donde la variable de integración es τ. Ejemplo. Considere el circuito RC pasa altas mostrado en la figura 2.12. Como sabemos, la respuesta escalón de este circuito está dada por g(t) = e−t/RC u(t), 2.3. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN CONTINUOS 199 la cual tiene un salto en t = 0. Si queremos obtener la salida de este circuito cuando la entrada es e(t) = sen t, debemos evaluar la siguiente integral: Z ∞ sen(t − τ)dg(τ) s(t) = −∞ Ejercicio. Calcule la integral indicada en el ejemplo anterior. Ejercicio. Sean e(t) = 1 + cos t y g(t) = e−t u(t). Calcule R∞ −∞ e(t − τ)dg(τ). Ejercicio. Se tiene un sistema de convolución continuo cuya respuesta escalón es como se muestra en la figura 2.13. Calcule la respuesta del sistema a la entrada e(t) = 1+cos t. Recuerde que esta respuesta escalón ya la consideramos en la figura 2.9. Figura 2.13: La respuesta escalón de un sistema de convolución. Note que así como un RC pasa altas, la respuesta escalón de este sistema no es diferenciable. 2.3.7. La carga (la integral o el área) de la respuesta de un sistema de convolución Así como al cuadrado de una señal lo llamamos la “potencia instantánea” de la señal, a la integral de una señal, asumiendo que es una señal de corriente, 200 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN la podemos llamar la carga 2 de la señal. La carga, o área, de una señal, cuando existe, es uno de los parámetros que la caracteriza. Sea s = e ∗ dg la convolución de Stieltjes de la señal e con la señal g. Se puede demostrar que la carga de s es R∞ el producto de la carga de e y −∞ dg(τ), es decir, # # "Z ∞ "Z ∞ Z ∞ dg(t) e(t)dt s(t)dt = −∞ −∞ −∞ o, si el sistema tiene función característica h, como el producto de las cargas de e y de h: "Z # "Z # Z ∞ ∞ s(t)dt = ∞ e(t)dt −∞ h(t)dt −∞ −∞ para demostrar esto, procedemos directamente: Z ∞ Z ∞Z ∞ s(t)dt = e(t − τ)dg(τ)dt −∞ −∞ −∞ cambiando el orden de integración y con el cambio de variable u = t − τ, Z ∞ Z ∞Z ∞ s(t)dt = f (t − τ)h(τ)dtdτ −∞ tenemos Z −∞ ∞ Z −∞ ∞ s(t)dt = −∞ Z dgτ −∞ −∞ y el sistema tiene función característica, Z ∞ Z ∞ Z s(t)dt = f (u)du −∞ ∞ f (u)du −∞ ∞ h(τ)dτ −∞ Note que la misma constante de proporcionalidad H que relaciona el nivel de la señal constante de salida, con el de la entrada, cuando la entrada es 2 La convolución de dos funciones de densidad de probabilidad tiene área unitaria ya que cada una de ellas tiene área igual a uno. Este resultado se puede inferir del hecho que la función de densidad de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de las densidades de las variables que se suman. 2.4. LA TRANSFORMADA DE HILBERT 201 una constante, es el que relaciona las áreas (cuando existen) de las señales de entrada y salida. Ejemplo. Suponga que se aplica la señal u(t) − u(t − 2) a un sistema de con- volución con respuesta impulso e−t u(t); la integral de la señal de salida vale 2. Ejercicio. Compruebe el resultado del ejemplo anterior. Ejercicio. Muestre que si a un sistema de convolución se aplica un pulso de la forma u(t + 1/2) − u(t − 1/2), la salida tiene una integral igual a la integral de la respuesta impulso del sistema. 2.4. La transformada de Hilbert La transformada de Hilbert de una señal s es la convolución s ∗ h con 1 t, t , 0 h(t) = 0, t = 0 Por lo tanto, es la respuesta de un sistema de convolución con respuesta escalón h(t) y con función característica 1t . 2.5. Sistemas de convolución discretos Los sistemas discretos cuya relación entrada/salida esté gobernada por una ecuación de diferencia lineal con coeficientes constantes, son sistemas de convolución discretos. Un sistema discreto que produzca para cada entrada e, una respuesta r igual a la convolución discreta de la entrada y cierta función característica h 202 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN del sistema, se denomina un sistema de convolución discreto: rn = ∞ X ek hn−k k=−∞ La señal impulso discreta δn se indica a continuación: 0, si n , 0, δn = 1, si n = 0 Figura 2.14: La señal impulso discreta La respuesta impulso de un sistema es la respuesta del sistema cuando la señal que se aplica a la entrada es una señal impulso. A continuación se mostrará que la respuesta impulso de un sistema de convolución discreto es precisamente su función característica h. Si la entrada al sistema es la señal impulso δ, entonces la salida evaluada en la instancia n está dada por, ∞ ∞ P P δk hn−k = δn−k hk = hn ya que δn−k = 1 cuando k = n, y 0 en caso k=−∞ k=−∞ contrario. Ejercicio. Se tiene un sistema promedio móvil, el cual para cada entrada e y produce la salida r dada por: rn = (1/3)(en−1 + en + en+1 ). Encuentre la respuesta impulso del sistema. Diga si el sistema es de convolución, es decir diga si existe una señal h que permita representar la salida en términos de la entrada como ∞ P una convolución: rn = ek hn−k k=−∞ 2.6. IMPEDANCIA Y RESPUESTA IMPULSO 203 Ejercicio. Se tiene un sistema discreto con entrada x y salida y gobernado por la ecuación de diferencia yn = xn + 0,5yn−1 . 1. Encuentre la respuesta impulso h, si se sabe que h−1 = 0. 2. Encuentre h si h1 = 0. 2.6. El uso de impedancias para hallar la respuesta impulso de sistemas de convolución Las impedancias son una de las herramientas más usadas por la ingeniería eléctrica. El uso de impedancias se debe en gran medida a los trabajos de Charles P. Stienmetz. Como se vio, una forma de hallar la respuesta impulso de un sistema de convolución continuo consiste en plantear la ecuación diferencial que relaciona la entrada con la salida, resolverla cuando la entrada es una señal escalón y derivar la respuesta escalón así hallada. Otra forma, particularmente apropiada cuando se tiene práctica con el análisis de circuitos resistivos, es resolver el circuito en términos de impedancias, por ejemplo en el plano de la variable compleja s. La relación entra las transformadas de Laplace del voltaje y la corriente en una resistencia, un condensador o una inductancia (asumiendo que los elementos reactivos no tienen energía almacenada en t = 0) es una función que sólo depende de la variable s. Así, la impedancia de una resistencia de R ohmios es R, la de una capacitancia de C faradios es 1/(sC) y la de una inductancia de L henrios es sL. Además, como se sabe, la transformada de Laplace de una convolución es un producto, 1 es decir, L(e ∗ h) = L(e)L(h); para condensador lineal, V(s) = sC I(s), para una inductancia lineal, V(s) = LsI(s) y para una resistencia lineal, V(s) = RI(s). El procedimiento a seguir, es el siguiente: si se quiere encontrar la respuesta impulso de un circuito con entrada a y salida b, primero se pasa el circuito al 204 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN plano s, escribiendo A(s) en lugar de a(t), B(s) en lugar de b(t) y trabajando el circuito como un circuito de impedancias. Luego se despeja la relación B(s)/A(s), la cual llamaremos H(s); finalmente, se calcula la respuesta impulso como h = L−1 (H). También se puede calcular la respuesta escalón dada por g = L−1 [ 1s H(s)]. Ejemplo. Para encontrar la respuesta impulso de un RC pasa bajas de primer orden, encontramos la relación B(s)/A(s) con base en el circuito mostrado en la figura 2.15, así: B(s) 1/(sC) 1 H(s) = = = A(s) r + 1/(sC) rsC + 1 1 h(t) = L−1 = (1 − e−t/rC )u(t) rsC + 1 Figura 2.15: Circuito RC pasa bajas e primer orden en el plano s Ejercicio. Encuentre H(s) para el circuito RC pasa altas. Ejercicio. Si decimos que el sistema identidad (el que tiene entrada = salida) tiene función de transferencia H(s) = 1, muestre que pasa altas = identidad pasa bajas. Ejercicio. Encuentre la función de transferencia (la relación [volt. salida]/[volt. entrada]) para un circuito similar al de la figura 2.15, en el dominio jΩ. Grafique la magnitud y la fase. Considere los siguientes casos: 2.7. CORRELACIÓN DETERMINÍSTICA 205 Inductancia, capacitancia. Resistencia, paralelo (capacitancia, inductancia). Paralelo (capacitancia, inductancia), resistencia. Serie (capacitancia, inductancia), resistencia. Resistencia, serie (capacitancia, inductancia). 2.7. Correlación determinística La correlación determinística 3 de dos señales se puede definir en términos de una convolución. La correlación determinística de las señales contínuas g y h se denota corrdet(g, h) entonces, para cada t, Z ∞ f (t) = g(τ)h∗ (τ − t)dτ −∞ note que f (t) = g(t) ∗ h(−t). Similarmente, para señales discretas s y t, si r = corrdet(s, t), se tiene que para cada n, ∞ X rn = sk t∗k−n k=−∞ por lo tanto, rn = sn ∗ t−n . Ejercicio. ¿Es cierto que corrdet(g, h) = corrdet(h, g)? Demuestre o dé un contraejemplo. 3 En contraste con la correlación estocástica está dada por la esperanza E[XY] de dos variables aleatorias o de dos procesos estocásticos. 206 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN La correlación determinística es un estimador usado en estimación espectral. La densidad espectral de potencia de un proceso aleatorio estacionario está dada por la transformada de Fourier de su función de autocorrelación. Norbert Wiener del MIT, con una amplia gama de intereses, hizo aportes importantes en esta área de a caracterización espectral de procesos aleatorios y, en general, en análisis de Fourier. 2.8. La convolución de Stieltjes es la solución de las ecuaciones diferenciales Suponga que se tiene la siguiente ecuación diferencial: Z t y(n) + an−1 y(n−1) + · · · + a1 y + a−1 y=x (2.6) −∞ donde podríamos pensar que y es la salida de un sistema cuando la entrada es x. Si g es la respuesta escalón, es decir la solución cuando x = u, es decir si g es tal que, Z t g(n) + an−1 g(n−1) + · · · + a1 g + a−1 g=u −∞ asumiendo g con derivadas hasta de orden n, veamos qué sucede si reem- 2.9. PROBLEMAS 207 plazamos la función g = x ∗ dg en el lado izquierdo de la ecuación 2.6: Z t (x ∗ dg)(n) + an−1 (x ∗ dg)(n−1) + · · · + a1 (x ∗ dg) + a−1 (x ∗ dg) −∞ Z = (x ∗ dg ) + an−1 (x ∗ dg (n) (n−1) t ) + · · · + a1 (x ∗ dg) + a−1 x ∗ dg −∞ Z t = x ∗ [dg(n) + an−1 dg(n−1) + · · · + a1 dg + a−1 dg] −∞ = x ∗ du =x por lo tanto, g es solución de la ecuación 2.6. La diferenciabilidad o integrabilidad de g las garantizamos en este caso por ser estas derivadas e integrales variables físicas. 2.9. Problemas 1. Muestre que si f, g ∈ L1 entonces f ∗ g ∈ L1 . 2. Sean g(t) y f (t) señales continuas con soportes (−1, 1) y (2, 7) respectivamente. Encuentre el intervalo más pequeño que con seguridad contenga el soporte de g ∗ f . 3. Sea f (t) = u(t) − u(t − 1). Calcule y grafique [ f ∗ f ](t). Calcule y grafique [ f ∗ f ∗ f ](t). 4. Se tiene un sistema discreto promedio móvil, el cual para cada entrada e produce la salida r dada por rn = 41 (en−1 +2en +en+1 ). Encuentre la respuesta impulso del sistema. Diga si el sistema es de convolución, es decir, diga ∞ P si se puede representar con la ecuación de la forma, rn = ek hn−k . k=−∞ 208 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN 5. Encuentre la respuesta escalón de un circuito LR pasa altas. Exprese la salida en términos de la entrada usando una convolución con una integral de Riemann-Stieltjes. Evalúe la integral cuando la entrada es la señal: a) 1 + sen(t) b) e−t cos(t) 6. Encuentre la respuesta impulso de un sistema discreto con ecuación de diferencia rn = en + (1/2)rn1 donde r es la salida, e es la entrada y además se sabe que rn = 0, para n < 0. Sugerencia: Haga una tabla con columnas n, en y rn . 7. Se tiene un sistemas de convolución continuo con función característica h(t) = e−t u(t). a) Encuentre la respuesta r(t) del sistema si la entrada x(t) está dada por: 1) x(t) = 5 2) x(t) = cos(2t) b) Si x(t) = u(t) − u(t − 1), calcule R∞ −∞ r(t)dt. 8. Se tienen dos sistemas de convolución, uno con función característica h1 y el otro h2 . Si la salida del primer sistema se conecta con la entrada del segundo (es decir se colocan “en cascada”) como se muestra en la figura 2.16, resulta un nuevo sistema. ¿Es de convolución? Si sí, ¿Cuál es su función característica 9. Par el siguiente circuito, usando impedancias, a) Encuentre su función de transferencia H(s). b) A partir de H(s), encuentre la función característica h(t). 2.9. PROBLEMAS 209 Figura 2.16: Dos sistemas de convolución en cascada Figura 2.17: Un circuito RLC pasa banda de segundo orden 10. Calcule f ∗ dg si f (t) = sen(t) y g(t) = e−t u(t). 11. Se tiene un sistemas de convolución continuo con respuesta escalón como se muestra g(t) = 0 para t < [0, 5]. a) Encuentre la respuesta del sistema a la señal cos(t). Expresela en la forma A cos(t + φ). b) Si la entrada es el pulso unitario. Encuentre la carga de la salida. 12. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón dada por g(t) = u(t)e−t , al cual se aplica una entrada x(t) produciendo la salida R∞ R∞ y(t). Si se sabe que −∞ x(t)dt = 2, encuentre −∞ y(t)dt. 13. Se tiene un sistema de convolución discreto con función característica dada por hn = 2−n . Encuentre la respuesta a la señal en = un − un−2 . 210 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN Figura 2.18: Respuesta escalón 14. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón dada por g(t) = u(t)e−t , al cual se aplica una entrada e(t) = u(t)sen(t), donde u es la señal escalón. encuentre la formula de la salida y grafique para t ∈ [1, 8π]. 15. Se tiene un sistema discreto, con entrada x, y salida y, que cumple con las siguientes condiciones: a) yn = xn − 0,5yn−1 b) Esta relación se puede iterar hacia atrás y es válida en el límite: yn = xn − 0,5xn−1 + 0,25yn−2 = xn − 0,5xn−1 + 0,25xn−2 − 0,125yn−3 = . . . (2.7) c) Cada salida tiende a cero cuando n tienda a −∞. 1) Encuentre la respuesta impulso del sistema. 2) Encuentre la respuesta escalón del sistema (osea la salida cuando la entrada es el escalón unitario Un ) 16. Muestre que la convolución iterada del curvígrafo de orden creo, consigo mismo, en el límite, es una campana de gaus. 2.9. PROBLEMAS 211 17. Encuentre la función de transferencia con respuesta escalón g(t) = (1 − e−t )u(t). Exprese la salida como una suma de senusoides si la entrada es cos2 (t). 18. Se tiene un sistema de convolución dicreto con respuesta impulso dada por hn = Un 2−|n| . a) Encuentre la función de transferencia H(ω) y muestre que es real y par. 20 b) Si la entrada es la señal sn = e jπ 45 n , exprese la señal de salida como una suma de exponenciales complejas discretas. 19. Se tiene un sistema de convolución contínuo con respuesta escalón dada 1 + 1)u(t). Encuentre y grafique la salida, si la entrada es por g(t) = ( 1+t R ∞ cos(t−τ) 1 + cos(t). Si lo desea, de la respuesta en términos de 0 (1+t)2 δτ. 20. Se tiene un sistema de convolución contínuo con respuesta escalón dada por g(t) = (1 − t)(u(t) − u(t − 1)), donde u es la señal escalón. a) Grafique g. b) Encuentre la respuesta a la señal tu(t)(¿es la integral de u?) c) Encuentre la respuesta a la señal cos(t) 21. La respuesta de un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g a la señal e jΩ0 t es la misma exponencial compleja multiplicada por una constante compleja K. Encuentre K. 22. La señal g(t) tiene tranformada G(Ω), con G(Ω) = 0 para |Ω| = 2π10000. Meustreando g, se obtiene la señal discreta x : Z → C dada por xn = g(nT), T = 10−5 . la señal x es filtrada con el sistema dicreto con ecuación de diferencia yn = 0,25(xn−1 + 2xn + xn+1 ), produciendo una señal discreta 212 CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN y = {yn }. Finalmente, a partir de la señal y se obtiene la señal continua s(t), con la siguiente fórmula de interpolación: s(t) = ∞ X n=−∞ yn senc( πt − nπT ) T a) Encuentre la función de transferencia D(ω) = Y(ω)/X(ω) del sistema discreto. b) Encuentre la respuesta impulso del sistema dicreto. c) Si S(Ω) es la transformada de la señal de salida, encuentre la función de transferencia A(Ω) = S(Ω)/G(Ω) correspondiente al sistema completo. Referencias [1] “Mathematical Analysis”. Tom M. Apostol. Addison-Wesley, Reading MA, 1974. [2] “Signals and Systems”. A. V. Oppenheim, A. S. Willsky y I. T. Young. Prentice Hall, Londres, 1983. [3] “Ecuaciones Diferenciales”. D. L. Kreider, R. G. Kuller y D. R. Ostberg. Fondo Educativo Interamericano, Bogotá , 1973. 213 Capítulo 3 Representación de señales periódicas en el dominio de la frecuencia (de Fourier) 3.0. Señales periódicas Algunas de las señales que se originan en procesos físicos son aproximadamente periódicas durante algún intervalo de tiempo. Por ejemplo la señal de voltaje tomada por un micrófono de un violín tocando un La. A los sonidos graves les corresponden frecuencias más bajas que a los sonidos más agudos. Parece ser que el sistema auditivo humano reconoce patrones que son aproximadamente periódicos durante periodos cortos de tiempo. Por otra parte, las funciones periódicas (principalmente sinusoidales) han jugado un papel importante en física y en matemáticas, y su teoría está bastante desarrollada. Por estas y otras razones es de utilidad el estudio de las señales periódicas en 214 3.0. SEÑALES PERIÓDICAS 215 ingeniería. También, es importante diferenciar entre la frecuencia con que un proceso periódico se repite y las frecuencias que un análisis de Fourier produce. Así, definiremos frecuencia de Fourier como la frecuencia de una sinusoide o una exponencial compleja. como veremos en el capítulo 4, las exponenciales complejas son las eigenfunciones, o funciones propias de los sistemas de convolución. Aunque la frecuencia de Fourier ha jugado un papel fundamental en la teoría de sistemas lineales y en el análisis de señales , nuevas técnicas como las onditas (ondelettes, wavelets), permiten la consideración de otros conjuntos de señales básicas. Figura 3.1: Obtención de una señal 3.0.1. Definiciones Inicialmente, damos unas definiciones que permiten hablar sin ambigüedad sobre los conceptos de señal periódica y de periodo, tanto en el caso discreto como en el continuo. 216 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) Sea s : R1 → C una señal continua. El número real a es un tiempo de repetición de la señal s si ∀tR1 s(t − a) = s(t), es decir, a es un tiempo de repetición si al “correr” la señal a unidades, resulta la misma señal. Note que el número cero es un tiempo de repetición de cualquier señal. Sea S el conjunto de os tiempos de repetición de s mayores que cero; si S no es vacío, se dice que la señal s es periódica; en caso contrario, se dice que s es no periódica. Si s es periódica, su periodo es el infímum de S. Para una señal constante, casa número real es un tiempo de repetición; por lo tanto , las señales continuas constantes son periódicas y tienen período cero. Similarmente, si r : Z → C es una señal discreta, se dice que k ∈ Z es un tiempo de repetición de la señal si ∀n ∈ Z rn = rn+k ; cero es siempre un tiempo de repetición, y si el conjunto de los tiempos de repetición positivos (en este caso aquellos mayores o iguales a 1) de r, no es vacío, se dice que r es periódica y, en tal caso, su periodo está dado por el mínimo de este conjunto de tiempo de repetición positivos. Note que el periodo de una señal discreta constante es 1. Ejemplo. Sea r la señal periódica dada por rn = [n]3 , o 1, si n es múltiplo de 3 rn = 0, si n no es múltiplo de 3 Figura 3.2: Una señal discreta con periodo 3. Ejercicio. Diga si la señal sn = e jnπ/2 es periódica, o no. En caso afirmativo, encuentre el periodo. 3.0. SEÑALES PERIÓDICAS 217 Ejercicio. Diga si la señal sn = e jn es periódica, o no. En caso afirmativo, en- cuentre el periodo. 3.0.2. Frecuencia Si se tiene una señal periódica, continua con periodo T, o discreta con periodo N, mayor que cero, su frecuencia está dada por T1 o N1 , respectivamente. La frecuencia de una señal continua está en [0, ∞], mientras que la frecuencia de una señal discreta es un número en el intervalo [0, 1]. Por cierta razón que explicamos a continuación, para señales discretas, la frecuencia 0 es equivalente a la frecuencia 1, mientras que para frecuencias de señales contínuas asumiremos que 0 es equivalente a ∞.1 Por convención, decimos que la frecuencia de una señal constante (discreta o continua) es cero. Así, las señales discretas con periodo 1 (las discretas constantes) tienen 2 frecuencias: uno y cero. Las señales constantes (y otras) contínuas también tienen 2 frecuencias: 0 y ∞. Ejercicio. Dé un ejemplo de una señal continua periódica no constante, con periodo cero. Como se define más adelante, para exponenciales complejas y para sinusoides, la frecuencia angular de una sinusoide o de una exponencial compleja con frecuencia f , es ω = 2π f . Ejercicio. Sea s una señal discreta con periodo N, con N > 1. Sea r un número natural dado. ¿Es la señal t dada por tn = sm periódica? si sí, ¿cuál es su periodo? Las sinusoides discretas y las exponenciales complejas discretas no siempre son periódicas; dado que su periodo es un número natural, son periódicas sólo 1 Recuerde que ∞ no es un número real. Más bien, es un símbolo conveniente. 218 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) si su frecuencia f es el inverso de un natural; Sin embargo, la frecuencia angular de una exponencial compleja discreta o de una sinusoide discreta no está determinada en forma única por su frecuencia: dado un entero N > 0 todas las exponenciales complejas con frecuencia angular de la forma 2πM/N, con N y M primos relativos, tienen periodo N y frecuencia 1/N. 3.0.3. Unidades Frecuencia de una sinusoide o exponencial compleja: Hz (herzios). Frecuencia de una señal que no se sinusoide o exponencial compleja: cps (ciclos por segundo). 3.1. Sumas de señales periódicas Tanto en la práctica como en la teoría, es frecuente encontrar sumas de señales periódicas. Las series de Fourier permiten representar señales contínuas periódicas como límites de sumas de exponenciales complejas armónicamente relacionadas. Las señales discretas periódicas se puede escribir como sumas de exponenciales complejas discretas. Las sinusoides son las funciones propias2 de los sistemas lineales e invariantes y, para estudiar el efecto que un sistema lineal tiene sobre una señal periódica, es útil saber el efecto producido sobre la sinusoide. También es interesante saber cuándo la suma de dos señales es periódica y, en caso que lo sea, tener una idea de cuál puede ser el periodo de la suma. = λx, para algún escalar λ. Similarmente, e es una eigenseñal del sistema S si para algún número complejo w, S(e) = we. 2 Recuerde que x es un auto vector de la matriz A si Ax 3.1. SUMAS DE SEÑALES PERIÓDICAS 3.1.1. 219 Caso discreto Sean x, y : Z → C, señales discretas periódicas. ¿Es x + y periódica? Es posible que la suma sea una señal constante, y por lo tanto periódica; por ejemplo y si x = −y. ¿Es posible que sea no- periódica? Ejercicio. Sean x y y señales discretas periódicas con periodos positivos M y N respectivamente. Demuestre que el producto MN es un tiempo de repetición de la señal suma y que por lo tanto, la señal suma de las señales es periódica. Ejercicio. Sean x y y señales discretas periódicas con periodos positivos M y N respectivamente. Demuestre que el mínimo común múltiplo de M y N es también un tiempo de repetición de la señal suma. 3.1.2. Notación MCM denota el mínimo común múltiplo. MCD denota al máximo común divisor. Ejercicio. Muestre que, ∀m, n ∈ Z, mn = MCM(m, n)MCD(m, n). Ejercicio. Sean x = {xn } y y = {yn } las señales discretas dadas por: 1, n ∈ 3Z xn = 0, de lo contrario 1, n ∈ 4Z yn = 0, de lo contrario donde 3Z es el conjunto de los números enteros múltiplos de 3 y 4Z es el conjunto de los números enteros múltiplos de 4. ¿Cuál es el periodo de x? ¿el de y? ¿el de x + y? Ejercicio. Sean x y y señales periódicas con periodos 6 y 3 dadas por x = {. . . 0, 1, 2, 1, 0, 3, 0, 1, 2, 1, 0, 3, 0, . . . }, y = {. . . 0, 0, −2, 0, 0, −2, 0, 0, −2 . . . } ¿Cuál es el periodo de x + y? 220 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) Figura 3.3: Una señal con periodo 3, otra con periodo 4 y su suma Ejercicio. Caracterización del periodo de la suma de señales periódicas. Sean x y y señales discretas periódicas con periodos M y N respectivamente. Sea z = x + y periódica, y sea K el periodo de z. Muestre que, entonces, MCM(M, N) = MCM(M, K) = MCM(N, K). Ejercicio. Sean x y y señales discretas periódicas con periodos M y N respec- tivamente. Muestre que si no se cumple que MCM(M, N) = MCM(M, K) = MCM(N, K) entonces x + y , z. 3.1.3. Caso continuo Cuando se suman dos señales periódicas contínuas, la situación es más sutil: la suma no necesariamente es periódica. Sean s : R1 → C y r : R1 → C señales contínuas y periódicas con periodos V y W respectivamente. ¿Es s + r periódica? ¿Puede ser constante? Ejercicio. Calcule el periodo de f (t) = sen t + 1/2 sen 2t. Figura 3.4. 3.1. SUMAS DE SEÑALES PERIÓDICAS Figura 3.4: Las señales sen t, 1/2 sen 2t y su suma Figura 3.5: La señal g(t) = sen t + sen πt 221 222 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) Ejercicio. Diga si la señal g(t) = sen t + sen πt es periódica. Figura 3.5. Se puede mostrar que la señal del ejercicio anterior no es periódica; por lo tanto, la suma de dos señales periódicas contínuas no necesariamente es periódica. La suma de dos señales contínuas periódicas, resulta ser semi periódica. Según la definición de H. Bohr, las señales periódicas son semi periódicas pero no todas las señales semi periódicas son periódicas. Si el cociente de los periodos V y W de dos señales contínuas es un número racional entonces existen números enteros M y N tales que MV = NW, entonces MV es un tiempo de repetición positivo de la suma y ésta es periódica. Ejercicio. ¿tiene periodo cero toda suma de dos señales contínuas con periodo cero? Conjetura 1. La suma de dos señales periódicas contínuas es periódica si y solo si el cociente de sus períodos es un número racional. Aunque la propiedad de semi periodicidad de una señal ha sido definida rigurosamente y es intuitiva, no ha sido explotada en ingeniería. Es posible observar diagramas de tiempo correspondientes a sonidos “naturales” tales como una nota musical siendo tocada por un violín o cantada por una persona y se observa que la señal se repite pero sólo aproximadamente. En teoría de caos se estudian sistemas dinámicos no lineales de orden tercero o mayor y se ha observado que algunos de ellos producen señales que se repiten aproximadamente. Por otra parte, cuando se audifica una señal (estrictamente) periódica, el sonido no es agradable, suena como un “pito”. El estudio de los sistemas dinámicos ha recibido un impulso reciente dado el interés en la teoría del caos. Allí, las señales semi periódicas son más comunes. Ejercicio. Demuestre que la suma de dos sinusoides es periódica si y sólo si el cociente de los periodos es racional. 3.2. SEÑALES SEMI PERIÓDICAS 3.2. 223 Señales semi periódicas Quizás la definición más conocida sea la de Harald Bohr (hermano de Niels). Inicialmente, definimos tiempo de repetición con error . 3.2.1. Caso continuo Sea s : R1 → C una señal, y sea un real. Decimos que un número real t es un tiempo de repetición de s, con error , si para cada número real t, se tiene que |s(t) − s(t − τ)| < . Si para casa positiva, no importa qué tan pequeña, hay una longitud L, tal que cada intervalo de reales de longitud L contiene al menos un tiempo de repetición positivo de s con error , decimos que s es semi periódica, o semi periódica. Ejercicio. Muestre que si s es periódica, entonces es semi periódica. √ Ejercicio. Muestre que sen 3.2.2. 2t + sen t es semi periódica y que no es periódica. Caso discreto Sea s : Z → C una señal, y sea un real. Decimos que un número entero k es un tiempo de semirepetición de s, con error , si, para cada número entero n, se tiene que |sn − sn+k | < . Si, para cada positivo, no importa qué tan pequeña, s tiene tiempo de repetición con error , decimos que s es semi periódica. Ejercicio. Muestre que cos(n) es una señal semi periódica, y no periódica. Sugerencias: 1. Muestre que cos es uniformemente contínua. 2. Muestre que ∀ > 0 ∃m, n tal que |2πn − m| < 224 3.3. CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) Exponenciales complejas y sinusoides Una clase importante de señales periódicas está dada por las sinusoides y las exponenciales complejas. Estas son las funciones propias de los sistemas lineales e invariantes. 3.3.1. Caso continuo Una sinusoide es de una señal s : R1 → C de la forma, s(t) = b cos(Ωt + φ), Ω ∈ R1 , φ ∈ R1 , donde b es la amplitud, Ω es la frecuencia angular y φ es la fase de la señal sinusoidal. Una exponencial compleja es una señal s : R1 → C de la forma, s(t) = jΩt be , Ω ∈ R1 , b ∈ C donde b es la amplitud de la exponencial compleja y Ω es su frecuencia angular. Tanto la parte real como la parte imaginaria de una exponencial compleja son sinusoides: s(t) = be jΩt = b cos Ωt + jb sen Ωt. Tanto las exponenciales complejas contínuas como las sinusoides contínuas son funciones periódicas. Si la frecuencia angular Ω es diferente de cero, el periodo de la señal es 2π/Ω y la frecuencia es Ω/2π. Si Ω = 0, la señal es constante y, por definición, su periodo es cero. 3.3.2. Caso discreto Para señales discretas, las definiciones son similares. Una exponencial compleja discreta es una señal s : Z → C dada por, sn = be jωn ω ∈ R1 , ∈ C, donde b es la amplitud de la exponencial compleja y ω es su frecuencia angular. Tanto la parte real como la parte imaginaria de una exponencial compleja discreta son sinusoides discretas: sn = be jΩt = b cos Ωn + jb sen Ωn. Las exponenciales complejas discretas y las sinusoides discretas no siempre son periódicas; lo son sólo si la frecuencia angular ω es un múltiplo racional de 2π. 3.3. EXPONENCIALES COMPLEJAS Y SINUSOIDES 225 Si la frecuencia angular ω es un múltiplo racional qπ, de 2π, diferente de cero, donde q = M/N es la forma irreducible de q, el periodo de la señal está dado por N (¿Por qué?). Si ω = 0, la señal es constante y, por definición, su periodo es 1. Las frecuencias angulares de las señales discretas se pueden considerar como ángulos y, como tales son equivalentes bajo la relación de congruencia módulo 2π. Por lo tanto, una exponencial discreta constante tiene periodo uno, frecuencia angular 0 = 2π y frecuencias 1 y 0. Ejercicio. Muestre que la señal s : Z → C dada por sn = cos(3n), no periódica. Ejercicio. Encuentre el periodo de la señal s : Z → C dada por sn = e j2π(4/124)n . Con el análisis de Fourier, las exponenciales complejas y las sinusoides juegan un papel importante en la teoría de señales porque permiten la representación de señales periódicas en términos de sumas o series de exponenciales complejas así como la representación de señales no periódicas como integrales de exponenciales complejas. La frecuencia de un exponencial compleja o la de una sinusoide se denomina frecuencia de Fourier. La frecuencia angular de una exponencial Figura 3.6: La señal sen t compleja, o de una sinusoide constante continua, es cero. 226 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) Figura 3.7: La señal cos t Deducción de ciertas fórmulas útiles utilizando números complejos 1. cos(a + b) = Re(e j(a+b) ) = Re(e j(a) e j(b) ) = cos a cos b − sen a sen b 2. sen(a + b) = Im(e j(a+b) ) = Im(e j(a) e j(b) ) = cos a sen b + sen a cos b Dado que la función coseno es par, y la seno es impar, de las fórmulas anteriores se deduce que: 3. cos a cos b = 12 [cos(a + b) + cos(a − b)] 4. sen a sen b = 21 [cos(a − b) − cos(a + b)] 3.3. EXPONENCIALES COMPLEJAS Y SINUSOIDES 227 5. cos a sen b = 12 [sen(a + b) + sen(b − a)] 6. Sea ce jφ = a − jb. Entonces, c cos(θ + φ) = (c/2)e jθ e jφ + (c/2)e− jθ e− jφ = (1/2)(a − jb)e jθ + (c/2)(a + jb)e− jθ = (a/2)(e jθ + e− jθ ) + (b/2 j)(e jθ − e− jθ ) = a cos θ b sen θ Similarmente, si a cos θ + b sen θ = c cos(θ + φ), entonces 2a (e jθ + e− jθ ) + 2jb (e jθ − e− jθ ) = c cos(θ + φ), por lo tanto ce jφ = a − jb. En conclusión, tenemos que , asumiendo c > 0, a cos θ + b sen θ = c cos(θ + φ), si y sólo si, ce jφ = a − jb. Es decir, a cos θ + b sen θ = c cos(θ + φ), si y sólo si c = |a − jb| y φ = ∠(a − jb). Esta identidad permite representar la suma de dos sinusoides (de la misma frecuencia) en cuadratura, como una señal coseno desfasada. Ejercicio. Muestre que − cos a = cos(a + π). Ejemplo. La señal sen t + cos t se puede escribir como √ como − 2 cos(t − 3π/4) √ 2 cos(t − π/4) y también Ejercicio. Muestre que a cos(ω + Θ) + b sen(ω + φ) = |z| cos(ω + ∠z) donde z = ae jΘ − be jφ . Ejercicio. Exprese cos a + cos b como un coseno. Ejercicio. Exprese sen a + sen b como un coseno. Ejercicio. Exprese cos a + sen b como un coseno. Ejercicio. Muestre que: |z| cos(ω + ∠z) = 0,5ze jω + 0,5z∗ e jω . 228 3.4. CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) Representación en el dominio de la frecuencia de señales periódicas contínuas A mediados del siglo XVIII Daniel Bernoulli consideró la posibilidad de representar una función como una serie de sinusoides. En 1777, Euler publicó la fórmula de los coeficientes de dicha serie. Las series de Fourier fueron introducidas por el físico-matemático J. B. J. Fourier, a comienzos del siglo XIX como un método de solución de ecuaciones con derivadas parciales. Inicialmente, sus ideas no fueron bien recibidas por los miembros de la Academia de ciencias francesa. Durante el tiempo transcurrido desde la publicación de sus ideas hasta ahora, se ha dedicado un gran esfuerzo para hacer su formulación más precisa. El estudio de las series de Fourier ha propiciado directa o indirectamente el desarrollo de otras áreas en matemáticas. Las series Fourier, que son series de sinusoides o de exponenciales complejas armónicamente relacionadas, permiten representar muchas señales periódicas en el dominio de la frecuencia. Haciendo una analogía con los experimentos de Newton con prismas, relacionando frecuencias con colores, al análisis de Fourier se le conoce también como análisis espectral. 3.4.1. Series de Fourier Sea s : R1 → C una función periódica con periodo 2π y suponga que: ∈2π | f (t)|2 dt ∈ R1 , (es decir, que la integral existe y es finita), entonces, f 0 ∞ P se ‘puede representar con una serie de Fourier: f (t) = cn e jnt donde los n=−∞ coeficientes están dados por: 1 cn = 2π 2π Z f (t)e− jnt dt 0 3.4. SEÑALES PERIÓDICAS CONTÍNUAS 229 ∞ P cn e jnt0 = 0,5[ f (t+0 ) + f (t−0 )]. RT En general, si f es periódica con periodo T y 0 | f (t)2 |dt ∈ R1 (es decir, la integral de la magnitud al cuadrado sobre un periodo existe y es finita) entonces: ∞ X f (t) = cn e jnΩ0 t Si f es continua en t0 , entonces, −∞ n=−∞ donde Z 1 T f (t)e−jΩ0 nt dt T 0 Ω0 se conoce como la frecuencia angular fundamental de f y está dada por: Ω0 = 2π/T (la frecuencia fundamental es 1/T). Los múltiplos de la frecuencia fundamental se conocen como frecuencias armónicas. La fundamental es la primera armónica. Cuando un conjunto de frecuencias tienen mínimo común múltiplo, se dice que están armónicamente relacionadas. El valor del coeficiente c0 , el cual está dado por el promedio de la señal sobre un periodo, se conoce también como el nivel “DC” o “nivel promedio” de la señal. La representación en series de Fourier de una señal periódica permite su representación en el dominio de la frecuencia de Fourier. cn = Ejemplo. Sea f (t) = sen t + cos 2t. Su representación en el dominio de la fre- cuencia es el señal discreta mostrada en la figura siguiente, correspondiente a los coeficientes cn de las exponenciales complejas en la serie (suma finita en ∞ P este caso) de Fourier cn e jnΩ0 t . n=−∞ Ejercicio. Sea s(t) una onda cuadrada, como se muestra en la figura 3.9. En- cuentre los coeficientes cn de su expansión en series de Fourier para −6 < n < 6. Ejercicio. Encuentre la serie de Fourier de la señal de periodo 2π dada por et pera t ∈ (−π, π). Con base en la fórmula de los coeficientes, encuentre el valor P 1 de la serie ∞ n=1 n2 . 230 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) Figura 3.8: Representación de sen t + cos 2t en el dominio de la frecuencia de Fourier Figura 3.9: Una onda cuadrada con periodo 2π y nivel DC cero 3.4. SEÑALES PERIÓDICAS CONTÍNUAS 231 Ejercicio. Suponga que se tiene una señal cuadrada de voltaje, positiva, con frecuencia 60. ¿Cuánto vale su periodo? ¿Cuánto cale su frecuencia angular fundamental? Si su amplitud es de 12 voltios, ¿Cuánto vale su nivel DC? Calcule la magnitud de la fundamental, y de la segunda y tercera armónicas. Ver figura 3.10. Figura 3.10: Onda cuadrada con periodo 1/60 y nivel DC de 6V Ejercicio. Demuestre que la serie de Fourier de una función continua converge uniformemente. 3.4.2. Propiedades de simetría Ejercicio. Muestre que si f es periódica y par, y su serie de Fourier tiene coefi- cientes cn , entonces {cn } es una sucesión par. Ejercicio. Muestre que si f es periódica y real, con serie de Fourier con coefi- cientes cn , entonces {Im[cn ]} es una sucesión impar y {Re[cn ]} es una sucesión par. Ejercicio. Muestre que si f es periódica y real y par, su serie de Fourier tiene sucesión de coeficientes real y par. 3.4.3. Fórmula de Parseval La siguiente identidad, conocida como fórmula de Parseval, permite relacionar la potencia promedio de una señal periódica con la norma l − 2 de sus 232 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) coeficientes de Fourier: ∞ X 1 |cn | = T n=−∞ T Z | f (t)|2 dt 2 0 La fórmula de Parseval se puede considerar como una generalización del teorema de Pitágoras, donde los “catetos” son los coeficientes cn y la “hipotenusa” es la energía promedio de la señal, definida como el promedio del cuadrado de la señal, tomado sobre un periodo. Ejercicio. Para la onda triángulo mostrada en la figura 3.11, calcule su poten- cia promedio E. Calcule también la potencia promedio E5 de sus primeras 5 armónicas: 5 X E5 = |cn |2 n=−5 finalmente, calcule E5 /E. Figura 3.11: Onda triángulo de frecuencia 60, con nivel DC de 6 voltios Ejercicio. Use la fórmula de Parseval para encontrar la potencia promedio de la señal sen t/3 + sen t/5. 1 Ejemplo. Se pide calcular k 1+t 2 k2 . Z ∞ −∞ 1 1 dt = 2 1 + t2 Z ∞ −∞ " # 1 − t2 1 + dt (1 + t2 )2 1 + t2 3.4. SEÑALES PERIÓDICAS CONTÍNUAS Z Z ∞ −∞ 233 ∞ 1 dt = arctan t|∞ −∞ = π 2 2 −∞ (1 + t ) Z π/2 t2 tan2 u π dt = sec2 udu = 2 2 2 2 2 (1 + t ) −π/2 (1 + tan u) de donde tenemos que 1 k2 = k 1 + t2 3.4.4. r π 2 Series de sinusoides Resulta conveniente, para señales periódicas reales, representarlas con una serie de sinusoides. Sea f una señal continua periódica real, con periodo 2π. Suponga que ∞ X f (t) = cn e jnt n=−∞ donde cn = 1 2π Z π f (t)e− jnt dt −π Entonces, también podemos expresar a f así: f (t) = ∞ X n=0 an cos nt + ∞ X bn sen nt n=1 donde Rπ R 1 π 1 a0 = c0 = 2π f (t)dt y a = f (t) cos(ntπ)dt y bn = n π −π P −π n ≥ 1. También como, f (t) = ∞ e n=0 n cos(nt + φ). R 1 π π −π f (t) sen(ntπ)dt, Ejercicio. Muestre que: cn = 0,5(an + bn ), c−n = (an + jbn ), n > 0. c0 = a0 Ejercicio. Muestre que: an = cn + c−n , bn = j(cn − c−n ). Ejercicio. Muestre que si f es real, Re(cn ) es una sucesión par e Im(cn ) es una sucesión impar. 234 3.4.5. CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) Sumas parciales de una serie de Fourier Suponga que f es una onda cuadrada impar. La fundamental y las siguientes 3 armónicas de f son entonces sen t, 1/3 sen 3t, 1/5 sen 5t, 1/7 sen 7t, recuerde que una onda cuadrada no tiene armónicas pares. Las armónicas se muestran en la figura 3.13 y las sumas parciales a continuación en las figuras 3.14 y 3.15. Sea f una señal continua periódica, con periodo 2π. Suponga que f (t) = Rπ P∞ 1 jnt f (t)e− jnt dt. Para cada número natural positivo donde, cn = 2π n=−∞ cn e −π Pm jnt m, defina fm así: fm = n=−m cn e , entonces, fm (t) = m X cn e jnt n=−m = = = = m Z π 1 X f (τ)e− jnτ dτe jnt 2π n=−m −π Z π m X 1 f (τ) e− jnτ e jnt dτ 2π −π n=−m Z π m X 1 f (τ) e jn(t−τ) dτ 2π −π n=−m Z π 1 f (τ)SEm (t − τ)dτ 2π −π donde SEm es la función “senc enmascarada” de orden m, también conocida como núcleo de Dirichlet, y está dada por: e− jmx (1 − e j(2m+1)x ) 1 − e jx sen[(m + 1/2)x] = sen[x/2] SEm (x) = Si x es múltiplo de 2π y SEm = 2m + 1 3.5. CONVOLUCIÓN CIRCULAR CONTINUA 235 Si x es un múltiplo de 2π. A continuación se grafica la función senc enmascarada de orden 4; note que es periódica con periodo 2π. Figura 3.12: La señal senc enmascarada, SE4 (x), de orden 4 Ejercicio. Muestre que Pm n=−m zn = z−m (1−z2m+1 ) 1−z Ejercicio. Grafique SE5 (x). A continuación se muestran las primeras sumas parciales, correspondientes a la serie de una onda cuadrada. Note cómo se va cuadrando la señal y cómo va apareciendo el fenómeno de Gibbs. 3.5. Convolución circular continua Suponga que tanto f como g son funciones periódicas con periodo T y con expansiones en series de Fourier dada por: f (t) = ∞ X n=−∞ cn e jnΩ0 t g(t) = ∞ X n=−∞ dn e jnΩ0 t 236 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) Figura 3.13: Las señales sen t, 1/3 sen 3t, 1/5 sen 5t, 1/7 sen 7t Figura 3.14: La suma parcial señales sen t + 0 Figura 3.15: La suma parcial señales sen t + 1/3 sen 3t 3.5. CONVOLUCIÓN CIRCULAR CONTINUA Figura 3.16: La suma parcial señales sen t + 1/3 sen 3t + 1/5 sen 5t Figura 3.17: La suma parcial señales sen t + 1/3 sen 3t + 1/5 sen 5t + 1/7 sen 7t 237 238 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) donde cn = 1 T T Z dn = f (t)e− jnΩ0 t dt 0 1 T T Z g(t)e− jnΩ0 t dt 0 Suponga que uno está interesado en saber qué función h(t) tiene serie de Fourier con coeficientes cn dn , es decir, h(t) = ∞ X cn dn e jnΩ0 t n=−∞ ∞ X 1 = T T Z f (s)e− jnΩ0 s dn e jnΩ0 t ds 0 n=−∞ ∞ T X 1 = T Z 1 = T Z 0 dn e jnΩ0 (t−s) f (s)ds n=−∞ T g(t − s) f (s)ds 0 Esta última fórmula la denominamos la convolución circular continua de g y f. Ejercicio. Calcule y grafique la convolución circular continua de una onda cuadrada de periodo 1, ciclo útil de 50 %, nivel mínimo 0V y máximo 1V y una onda triángulo de periodo 1, nivel mínimo 0V y máximo 1V. Asuma cualquier condición necesaria no estipulada. Ejercicio. Se tienen dos señales contínuas periódicas, con periodo 2π como se muestra en la figura 3.18: f (t) = ∞ X cn e jnt n=−∞ si h(t) = ∞ P n=−∞ cn dn e jnt , grafique h contra t. g(t) = ∞ X n=−∞ dn e jnt 3.5. CONVOLUCIÓN CIRCULAR CONTINUA 239 Figura 3.18: Dos señales periódicas con periodo 2π si r(t) = ∞ P n=−∞ dn e j2nt , grafique r. Ejercicio. Calcule la convolución circular continua de SE5 (ω) y T(ω), donde T es como se muestra en la figura 3.19 Figura 3.19: La onda triángulo par de periodo 2π 240 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) 3.6. Series de Fourier de funciones discontinuas y fenómeno de Gibbs Considere la onda tipo “sierra” mostrada en la figura 3.20. Así, s(t) = Figura 3.20: Onda sierra ∞ P n=−∞ cn e jnt con cn = Sea Sm (s, t) = (−1)n+1 jn m P n=−m si n , 0 y c0 = 0. cn e jnt la versión truncada a 2m + 1 términos de su serie de Fourier. Sm (s, t) = m X (−1)n+1 n=1 jn m X 2 e jnt − e− jnt = (−1)n+1 sen(nt) n n=1 m→∞ por lo tanto Sm (s, t) → 0. Lema 4. Si f tiene integral de Riemann, sus coeficientes decrecen proporcionalmente como n1 o más rápido, cuando n → ∞ y f (t) tiene límites f (π− ) y f (π+ ) cuanto t → π− y t → π+ , respectivamente, entonces las sumas parciales de la serie de m P f (t+ )+ f (t− ) Fourier Sm (t) = cn e jnt tienden a . 2 n=−m Demostración. Considere el caso t = π y ponga g(t) = f (t) + 1 f (π+ ) − f (π− ) s(t) 2π 3.6. SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES DISCONTINUAS Y FENÓMENO DE GIBBS241 f (π+ )+ f (π− ) . 2 si t , π donde s es la sierra y g(π) = Así, lı́m− g(t) = f (π− ) + t→π y lı́m+ g(t) = f (π+ ) + t→π f (π+ ) + f (π− ) π = g(π) 2π f (π+ ) + f (π− ) (−π) = g(π) 2π y tenemos que g es continua en π. Los coeficientes de Fourier ĝn de g están f (π+ )− f (π− ) relacionados con los coeficientes de fˆn y de s, (ŝn ) así: ĝ = fˆ− ŝn y por un 2π resultado previo, como ĝn también decrece por lo menos proporcional a n1 y g es f (π+ )− f (π− ) f (π+ )− f (π− ) Sm (s, π) → continua, Sm ( f, π) → g(π). Por lo tanto, Sm ( f, π)− 2π 2 f (π+ )− f (π− ) y como Sm (s, π) = 0, Sm ( f, π) → . 2 Teorema 7. Si f : S1 → C es continua con derivada continua y acotada excepto en un conjunto finito, entonces lı́m− f (t) y lı́m+ f (t) existen para cada x ∈ S1 y t→x t→x Sm ( f, x) → f (x+ ) − f (x− ) 2 en particular, si f es continua en x, Sm ( f, x) = f (x). Lord Kelvin diseñó máquinas para el cálculo de funciones periódicas a partir de sus coeficientes de Fourier y viceversa. Michelson construyó una de estas máquinas y la probó con la sierra definida anteriormente, con los primeros 80 coeficientes. Sorpresivamente encontró que la máquina no dibujaba un serrucho sino que le añadía 2 pequeñas oscilaciones a cada lado de la discontinuidad. Luego de comprobar que la máquina estaba funcionando correctamente, notó que al aumentar el número de coeficientes las oscilaciones se corrían hacia la discontinuidad y se mantenían con una amplitud de aproximadamente 17 % con respecto al valor absoluto correcto. Esto parece contradecir el teorema 16.4 de [8]. Gibbs, en 2 cartas a Nature, clarificó y resolvió el problema. A pesar de 242 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) que Sn (h, t) → h(t) punto a punto, las gráficas de sn no se aproximan a la gráfica de h necesariamente, en el caso en que la convergencia es uniforme las gráficas sí se hacen similares. En general el exceso a cada lado de una discontinuidad es de aproximadamente 9 % del valor de la discontinuidad. Para el caso de la sierra, esto lo demostramos así: s(π+ ) = lı́m n→∞ n X 2 r=1 r sen rπ →2 n x Z 0 λ dλ λ (ver [8], capítulo 17.) 3.7. Expresión de señales discretas periódicas como sumas de exponenciales complejas El objetivo de esta sección es doble: por una parte, obtener la representación de señales discretas periódicas como sumas de exponenciales complejas (discretas) y por otra, hacer una introducción a la transformada discreta de Fourier(DFT). La expansión de señales periódicas discretas como sumas de exponenciales complejas permite la representación en el dominio de la frecuencia 3.7. SEÑALES PERIÓDICAS DISCRETAS Figura 3.21: Señal generada por la máquina de Michelson 243 244 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) de Fourier de tales señales; estas sumas se conocen también como seres discretas de Fourier. Las señales discretas periódicas se pueden representar como sumas finitas de exponenciales complejas, a diferencia de las señales periódicas contínuas las cuales se representan como series de exponenciales complejas. De hecho, si el periodo de la señal discreta en cuestión es N, no más de N términos en la suma son necesarios. Como se verá en el capítulo 5, tal expansión permite también la representación en el dominio de la frecuencia de señales discretas de longitud finita, conocida como DFT. La representación en el dominio de la frecuencia de señales discretas de longitud infinita se trata en la sección siguiente; la representación en el dominio de la frecuencia de estas señales se obtiene por medio de la Transformada de Fourier de tiempo discreto. El camino para obtener la expansión de las señales periódicas discretas en sumas de exponenciales discretas tomado aquí, es algo indirecto; inicialmente, la idea es obtener cierta biyección lineal de CN a CN . Empezamos por mostrar que el resultado de ciertas sumas de exponenciales complejas es cero. 3.7.1. Sumas tipo I Las sumas tipo I son de la forma N−1 P 2π 2π e j N k . Sea WN = e j N y considere la k=0 suma N−1 P k=0 k WN , donde N > 1. Ejercicio. Demuestre que para N = 3, N−1 P k=0 k WN = 0 (Vea la figura 3.22.) A continuación se demuestra que, en general, para N > 1, N−1 P k=0 k WN = 0. k Geométricamente se puede argumentar como sigue. Los números WN ,k∈ /0, N − 1/, están uniformemente distribuidos sobre la circunferencia de radio 1 3.7. SEÑALES PERIÓDICAS DISCRETAS 245 Figura 3.22: La suma de los tres números complejos mostrados es cero con centro en el origen del plano complejo C. Si la suma no fuera cero, al rotar el plano 2π/N radianes, los sumandos seguirán siendo los mismos mientras que el resultado sería diferente, y esto es una contradicción. N−1 P k Algebraicamente, argumentamos como sigue. Suponga que WN = x k=0 N−1 P y que x , 0. A continuación, multiplique por WN obteniendo, WN WN x entonces N−1 P k=0 N−1 P 0 k = WN + WN 0 k+1 N WN = WN x, dado que WN = WN , se tiene que k=0 N−1 P k=0 k WN ; por lo tanto N−1 P k=0 k=0 N−1 P k=0 k WN = k+1 WN = k WN = WN x y x = xWN , entonces, x = 0, lo cual es una contradicción ya que se asumió que x , 0. Ejercicio. Muestre el resultado anterior usando la fórmula de la suma geométri- ca. 3.7.2. Sumas tipo II Ahora, suponga que r es un número natural y considere la suma N−1 P k=0 rk WN . Hay dos casos importantes por considerar, dependiendo de si r es un múltiplo 246 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) entero de N, o no. Ejercicio. Demuestre que si r es un múltiplo de N (es decir, si r es congruente con 0, módulo N, y JrKN , 0), entonces, N−1 P k=0 rk WN =N Ejercicio. Demuestre que si N no es un múltiplo de r, (es decir , si r no es congru- ente con 0, módulo N, y JrKN , 0), entonces, N−1 P rk WN = k=0 r(N−1) 0 r {WN , WN , . . . , WN } N−1 P k WN = 0 (Sugerencia: k=0 (N−1) 0 1 {WN , WN , . . . , WN }. En si r y N son primos relativos, = caso contrario, si m es el máximo común divisor de r y N, s = r/m y M = N/m, se tiene que: r(N−1) 0 r {WN , WN , . . . , WN r(M−1) 0 r } = {WN , WN , . . . , WN 0 r , WN , WN , r(M−1) . . . , WN r(M−1) 0 r donde la lista WN , WN , . . . , WN r(M−1) 0 r , . . . , WN , WN , . . . , WN } se repite m veces.) Como conclusión, tenemos que las sumas de la forma JrKN = 0, y 0, cuando JrKN , 0 N−1 P k=0 rk WN valen N, cuando Ejercicio. Muestre el resultado anterior usando la fórmula de la suma geométri- ca. 3.7.3. Una biyección de CN a CN Toda matriz cuadrada A de N por N números complejos define la función lineal L : CN → CN dada por L(x) = xA. Similarmente, toda función lineal de CN a CN se puede representar como el producto por una matriz cuadrada de N por N. si la matriz es invertible, se tiene una biyección: además, los vectores fila y los vectores columna de la matriz serán linealmente independientes y bases para CN . A continuación presentaremos una de tales matrices. 3.7. SEÑALES PERIÓDICAS DISCRETAS 247 (r−1)(k−1) Lema 5. La matriz A = JArk K = JWN K, donde cada componente Ark de la (r−1)(k−1) matriz está dado por Ark = WN es invertible. Prueba. La matriz es invertible ya que tiene inversa. La matriz N1 , donde −(r−1)(k−1) B = JBrk K con Brk = WN , es la matriz inversa, como se muestra a continuación. Sea C = AB, con componentes Ci j , entonces, Ci j = N X (k−1)(i−1) WN −(j−1)(k−1) WN k=1 = N X 0 WN k=1 =N Además, para i , j Ci j = N X (k−1)(i−1) WN −(j−1)(k−1) WN k=1 = N X (k−1)(i− j) WN k=1 =0 ya que [i − j]N , 0, por lo tanto, C es una matriz diagonal con componentes en la diagonal de valor N y N1 C es la matriz identidad. (N−1)k 0k 1k Corolario 3. Los N vectores de la forma [WN , WN , . . . , WN forman una base para CN . ], con k ∈ /0, N − 1/, Prueba. Dado un elemento x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] de CN , sea X = xA, X = [X0 , X1 , . . . , XN−1 ] es también un elemento de CN . Como A es invertible, podemos escribir x = XA−1 . Así, estamos expresando a x como una combinación lineal de los vectores columna de A−1 . Como esto es válido para cualquier 248 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) vector x en CN , concluimos que los vectores columna de CN . 1 NB son una base para Corolario 4. Dada una señal x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] de duración finita, sus componentes se pueden expresar así: xn = N−1 X 2π Xk e j N nk k=0 donde los coeficientes Xk están dados por: Xk = N−1 1 X − j 2π nk xn e N N n=0 Prueba. La prueba consiste en expresar a x como x = XA−1 = (xA)A−1 . Lema 6. Si en la expresión xn = N−1 P 2π Xk e j N nk se permite que n tome cualquier valor k=0 entero, resulta una señal discreta, de longitud infinita, periódica. nk Prueba. Se sigue del hecho que los términos WN tienen tiempo de repetición N. 3.8. Problemas 1. Exprese la señal an = Im (jn ) como una suma de exponenciales complejas discretas. Muestre que xn es una señal impar y exprésela también como una suma de senos discretos. 2. Exprese la señal mostrada en la figura 3.23 como una suma de exponenciales complejas discretas. 3. Encuentre el periodo de las siguientes señales contínuas: 3.8. PROBLEMAS 249 Figura 3.23: Una señal periódica discreta a) sen2 (t) b) sen(9t) + sen(15t) c) sen(2πt/7) + sen(2πt/5) d) sen cos(t) e) sen2 (t) + cos2 (t) p f ) sen( (2)t) g) tan(t) h) sen(2πt) i) e jt 4. Diga si la señal discreta xn = e j5n es periódica, o no. Explique. 5. Dé el periodo de la señal discreta xn = [n]4 . 6. Sea w = e j2π/16 . Calcule w1073741823 . Sugerencia: wn es periódica (¿Cuál es el periodo?). Calcule log2 1073741823. 7. Sea f (t) = sen(2πt/3) + sen(2πt/4) + sen(2πt/5). Encuentre un número real T , 0 tal que f (t + T) = f (t). 250 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) 8. Encuentre la representación en series de Fourier (de exponenciales complejas) de la señal f (t) = sen(2πt) + cos(3πt) − 0,5 sen(3πt) + sen(5πt). 9. a) Encuentre la frecuencia fundamental de la señal g(t) = sen(2πt/5) + 7 cos(2πt/7). b) Usando la fórmula de Parseval correspondiente, encuentre la energía promedio de la señal. 10. Encuentre w1073741825 si w = e j2π/16 . Sugerencia: encuentre log2 1073741825 11. Diga si la señal cos(t) + cos(πt) es periódica, o no. Si sí, encuentre el periodo. 12. Encuentre el periodo de la señal continua sen2 (t). 13. Encuentre el periodo de sen(2πt/4) + cos(2πt/3), t ∈ R. 14. Encuentre el periodo de e j2πn/5 + e j2πn/3 , n ∈ Z. 15. Exprese la señal discreta periódica s = {. . . 1, 1/2, 0, 1/2, 1, 1/2, 0, . . . }, de periodo 4, como una suma de exponenciales complejas discretas. Asuma que s0 = 0 y que, por lo tanto, la señal es par. 16. Una serie de Fourier se puede expresar en términos de exponenciales complejas o de senos y cosenos: ∞ X n=−∞ cn e jnΩ0 t = ∞ X an cos(nΩ0 t) + n=0 ∞ X bn sen(nΩ0 t) n=1 exprese las cn ’s en términos de las an ’s y bn ’s, y viceversa. 17. Grafique 1/2 + 1/2(−1)n contra n. 18. Exprese sn = 1/2 + 1/2(−1)n como una suma de exponenciales complejas discretas. También, la señal (− j)n . 3.8. PROBLEMAS 251 19. Encuentre el periodo de la señal rZ → C dada por rn = e j2πn(256/1023) . nota: 1023 es número primo y por lo tanto, la fracción 256/1023 es irreducible. 20. Diga si la señal s : Z → C dada por sn = e j8πn/34 es periódica, o no. En caso afirmativo, dé el periodo. 21. Muestre que para cada número real x ≥ 0, para cada > 0, hay un número natural N tal que |x − 2πN|N < . 22. Muestre que para cada función continua periódica con periodo 2π, f , N P para casa > 0, hay una suma de exponenciales complejas ck e jtk tal k=0 que | f (t) − N P ck e | < . jtk k=0 23. Se tiene la señal f (t) = sen(9t) + sen(15t). a) Diga si es periódica. Si sí, dé el periodo. b) Diga si hay coeficientes cn tales que f (t) = los valores para Ω0 y cn . P∞ n=−∞ cn e jnΩ0 t . Si sí, dé 24. Muestre que la convolución (lineal continua) de dos señales periódicas con norma L1 no nula, no existe. 25. Encuentre una señal r : Z → C de periodo 15 y una r : Z → C de periodo 10, tales que su suma tenga periodo 6. 26. Usando la fórmula de Parseval, encuentre la potencia promedio de cos(t) + cos(πt). 27. Se tiene una señal periódica g : R → C con periodo 2 y dada por g(t) = u(t) − u(t − 1) para t ∈ [0, 2). Calcule y grafique la convolución circular de g consigo misma. 28. Exprese A sen(a) + B sen(b) como C cos(c + φ). 252 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) e− jmx (1−e j(2m+1)x ) sen[(m+1/2)x] = sen(x/2) , para x , 0. Encuentre el límite 29. Muestre que 1−e jx cuando x tiene a cero. Grafique para m = 10. 30. Encuentre el periodo de r : Z → C dada por rn = e j3πn/7 . √ 31. Demuestre que cos(2πt) + cos(2πt/ 2) no es periódica. O, en caso contrario, dé el periodo. R π sen((n+0,5)t) 32. Muestre que, para cada natural n, 0 sen(0,5t) dt = π. 33. Se tiene una onda cuadrada de 60 ciclos por segundo, de nivel promedio 0.5 y amplitud pico a pico de 1. Encuentre la potencia promedio de la señal así como la potencia promedio asociada con las primeras 5 armónicas. 34. Dé señales discretas de periodos M y N tales que a) El periodo de la suma sea mcm (M, N) , MN. b) El periodo de la suma sea menor que mcm (M, N). 35. Muestre que la señal s : Z → C dada por sn = e jn es casi periódica pero no periódica. 36. Se tiene una onda periódica de periodo 2π, nivel promedio 0.5 y amplitud pico a pico de 1, como se muestra en la figura 36. Si su serie de Fourier P jnt es ∞ −∞ cn e , encuentre la potencia promedio de la versión truncada de P su serie de Fourier dada por 6−6 cn e jnt . 37. Si cn es la sucesión de los coeficientes de Fourier de una señal continua f (t) periódica con periodo T, ¿ cuál es la sucesión de coeficientes de la señal periódica g(t), indicada a continuación?. g(t) = 1 T T Z f (t − τ) f (τ)δτ 0 3.8. PROBLEMAS 253 38. Se tiene una onda periodica de periodo 2π, el nivel proemdio 1,0 y amplitud pico-pico de 2, como se muestra a continuación. Si su serie P jnt de Fourier es ∞ n=−∞ cn e , encuentre la potencia promedio de la versión P truncada de su serie de Fourier dada por 5n=−5 cn e jnt 39. f (t) es una onda cuadrada par de periodo 2π, nivel DC 0,5 y amplitud 1, con serie de cosenos coeficientes an : f (t) = ∞ X an cos(nt) = ∞ X hn e jnt n=−∞ n=0 a) Grafique f (t). b) Encuentre a0 , a1 y a2 . c) grafique g(t) dada por P∞ n=−∞ hn e jnt . 40. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) = e−t u(t). Al sistema se aplica la señal e(t) = 1 + cos(t) + cos(5t). a) Encuentre la salida. b) Encuentre la potencia promedio de la entrada. c) sando Parseval, encuentre la potencia pormedio de la entrada 254 CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER) 41. Se tiene una onda periódica de periodo 1, nivel promedio 0,7 y amplitud P jnt pico a pico de 1. Si su serie de Fourier es ∞ n=−∞ cn e , encuentre la potencia promedio de la version truncada de su serie de Fourier, dada P por 3n=−3 cn e jnt . 2π 42. Para la señal continua g : R → C dada por : g(t) = sen( 2π 15 t) + cos( 12 t). a) Diga si es periódica. Si sí, dé el período de g. P jnΩ0 t b) Expreselo en la forma ∞ . Es decir, dé los valores de Ω0 n=−∞ cn e y de las cn . c) Encuentre la convolución circular de las señales [123456789] y [001001001] d) Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón dada por g(t) = u(t)e−t , al cual se le aplica una entrada e(t). Si se sabe R0 R0 que −∞ e(t) = 2 encuentre −∞ s(t) donde s(t) es la sañelade salida correspondiente. e) Se tiene un sistema de convolución discreto con función característica hn = 2−n . Encuentre la salida cuando la entrada es la señal en = un − un−1 . f ) Se tiene un sistema de convolución continuo con función de tranjΩ ferencia H(Ω) = 1+ jΩ . Encuentre la respuesta a la señal 1 + cos(t). g) Encuentre la función de transferencia del sistema con respuesta escalón g(t) = e−t u(t). h) Se tiene un sistema de convolución discreto conres puesta impulso dada por hr = un 2−|n| . Si la entrada es la señal s = . . . , 1, 1, 0, 1, 1, 0, . . . de periodo 3, exprese la salida como una suma de exponenciales complejas discretas. i) A un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) = u(t)e−t se le aplica una señal e(t) = sen(t)[u(t) − u(t − 3π)]. encuentre la integral de la señal de salida. 3.8. PROBLEMAS 255 j) Se tiene un sistema de convolución continuo. Grafique e, g y s, donde s es la convolución de Stieltjes Z ∞ s(t) = e(t − τ)δg(τ) n=−∞ y donde g(t) = t[u(t) − u(t − 1)] es la respuesta escalón del sistema; la entrada e está dada por u(t)cos(t). Referencias [1] “Digital Signal Processing”. A. V. Oppenheim y R.W. Shafer. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1975. [2] “Mathematical Analysis”. T.M. Apostol. 2nd Ed. AddisonWesley, Reading, 1974. [3] “Fourier Series”. G.P. Tolstov. Dover, N.Y., 1962. [4] “Almost Periodic Functions”. H. Bohr. chelsea, N.Y., 1947. [5] “Sobre la periodicidad de sumas de señales discretas periódicas”. A. Restrepo y L. Chacón. Memorias del simposio de Tratamiento de Señales, Imágenes y Visión Artificial, Universidad de los Andes, Bogotá, 1995. [6] “On the period of sums of discrete periodic signals”. A. Restrepo y L. Chacón. IEEE Signal Processing Letter, vol. 5, No. 7, pp. 164-166, 1998. [7] “Análisis de Fourier”. J. Duoandikoetxea. Addison- Wesley, Wilmington, 1995. [8] “Fourier Analysis”. T.W. Körner. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. 256 Capítulo 4 La Transformada de Fourier de Señales continuas 4.0. Introducción La invarianza, tanto de las exponenciales complejas como de las sinusoides, con respecto a la diferenciación, nos dice que la respuesta de un sistema lineal descrito por una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, a una sinusoide o una exponencial compleja, es una sinusoide o una exponencial compleja de la misma frecuencia. La idea de representar señales periódicas con series de sinusoides o de exponenciales complejas resulta así doblemente poderosa: con gran generalidad, para sistemas lineales e invariantes, la respuesta a una exponencial compleja de frecuencia arbitraria, es todo lo que necesitamos para encontrar la respuesta a señales periódicas. El análisis de Fourier es útil en audiología, en lingüistica, en teoría de sistemas, en óptica, en mecánica cuántica y en otras áreas. En el caso de ingeniería 257 258 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS electrónica, sus principales aplicaciones están en las áreas de comunicaciones, voz y audio, bioingeniería y control. 4.0.1. Motivación Inicialmente, indicamos una forma plausible de obtener la transformada de Fourier de ciertas señales, usando una serie de Fourier. Considere una señal periódica s(t), como la mostrada en la figura 4.3.a. Suponga que 2π es un tiempo de repetición de la señal y que tiene serie de Fourier con coeficientes cn , como se muestra en la figura 4.3.b. Ahora suponga que queremos aislar el segmento de s en el intervalo [−π, π] agregando segmentos de valor cero, antes y después de cada intervalo de la forma [(2k − 1)π, (2k + 1)π], k ∈ Z, dando lugar a la señal f (t) con tiempo de repetición T y concordante con s en [−π, π], como se muestra en la figura 4.3.c. Y, finalmente, que alargando la longitud de los intervalos nulos se obtiene en el límite la señal g(t) que se muestra en la figura 4.3.d, concordante con s en [−π, π], y nula por fuera de [−π, π]. ∞ P Así, la señal s(t), tiene una serie de Fourier de la forma, s(t) = cn e− jnt , n=−∞ Rπ 1 s(t)e jnt dt. con coeficientes dados por, cn = 2π −π Suponga que la serie de Fourier de f (t) tiene coeficientes dn , es decir, ∞ X f (t) = 2π dn e− j T nt (4.1) n=−∞ con 1 dn = T Z T/2 2π f (t)e j T nt dt (4.2) −T/2 Definiendo ∆Ω = 2π/T, Ωn = n y F(Ωn ) = Tdn , aumentamos T y obtenemos ecuaciones correspondientes a las ecuaciones 4.1 y 4.2, cuando T tiende a ∞. 4.0. INTRODUCCIÓN 259 Figura 4.1: a. Una señal periódica Figura 4.2: b. El resultado de agregar intervalos nulos entre periodos Figura 4.3: c. el resultado en el límite. 260 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Sea g(t) = lı́m f (t) T→∞ ∞ X = lı́m T→∞ = lı́m T→∞ 2π dn e−j T nt n=−∞ ∞ X 1 F(Ωn )e− jΩn t T n=−∞ ∞ X 1 = lı́m F(Ωn )e−jΩn t ∆Ω T→∞ 2π n=−∞ que podemos ver como el límite de una suma de Riemann, g(t) = con G(Ω) = lı́m F(Ωn ) = lı́m T→∞ 1 2π R T/2 T→∞ −T/2 Z ∞ G(Ω)e− jΩt dΩ −∞ f (t)e jΩn t dt. Así, G(Ω) se puede ver como una de interpolación de F(Ωn ). Vea la figura 4.3.d. Ejemplo. Queremos calcular la serie de Fourier de la señal que se muestra en 4.0. INTRODUCCIÓN 261 la figura 4.4. 1 dn = T = 1 T Z T/2 f (t)e− jnΩ0 t dt −T/2 Z 1 − jnΩ0 t e Z −1 1 2π 1 e− jn T t T −1 2 n=0 T, i h 2nπ = 2nπ 1 T e j T − e− j T , n , 0 T j2nπ 2 n=0 T, = sen( 2nπ ) 2 T 2nπT , n , 0 = T 2 2nπ = senc ( ) T T 2 = senc (n∆Ω) T Figura 4.4: Pulsos 262 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS 4.0.2. Objetivo Quizás tenga sentido decir que en la práctica las señales tienen duración finita; sin embargo, no es conveniente restringirnos a conjuntos de señales de duración finita, la generalidad tiene sus ventajas. En todo caso, muchas señales continuas, de longitud infinita, de duración infinita y no periódicas, se pueden expresar como las integral de una función de la forma S(Ω)e jΩt : Z ∞ 1 S(Ω)e jΩt dΩ (4.3) s(t) = 2π −∞ En estos casos, la función S(Ω) provee la caracterización en el dominio de la frecuencia de Fourier de la señal s(t). S(Ω) se conoce como la transformada de Fourier de s(t). Para señales s en L1 , su transformada S(Ω) se calcula así: Z ∞ S(Ω) = s(t)e jΩt dt (4.4) ∞ Note la similitud entre la fórmula 4.4 de la transformada y la de la trans1 y el signo del exponente de la exponencial formada inversa 4.3. El factor 2π jΩt compleja e son la únicas diferencias; algunos autores cambian estas convenciones. En ingeniería, tradicionalmente, t es la variable en el dominio natural de la señal y Ω la del dominio de la frecuencia. El par que acabamos de definir se conoce como la transformada de Fourier L-1, la razón es que para que la transformada exista para cada valor real del argumento Ω, es suficiente que la señal sea integrable en magnitud. Muchas señales no son integrables en magnitud, en particular, la señal senc no lo es. La señal senc sí es integrable en magnitud al cuadrado. Las transformadas de señales en La2 y la de distribuciones las consideramos más adelante, brevemente, en este capítulo. Es una lástima que el tratamiento riguroso de la transformada de Fourier de señales bastante arbitrarias tenga 4.1. LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1 263 que ser en alguna medida lento: hay que empezar por señales en L − 1, luego en L − 2, luego L − p, luego distribuciones funcionales. Para señales en L2 se define una transformada de Fourier L − 2 que es un límite en norma de funciones en L1 ∩ L2 - La transformada de una distribución está dada por la distribución aplicada a la transformada de la función. 4.1. La transformada de Fourier L-1 Así como convergencia de una serie en magnitud implica convergencia incondicional, la existencia de una integral, cuando el integrando está en magnitud, implica la existencia de la integral con el integrando sin magnitud. Ejercicio. Muestre que si una función es integrable en magnitud, entonces es integrable. Si g : R1 → C es una señal integrable en magnitud, la siguiente fórmula determina un número complejo G(Ω) para cada Ω ∈ R1 : ∞ Z G(Ω) = g(t)e− jΩt dt −∞ ya que, la integrabilidad en magnitud de g(t) implica la integrabilidad en magnitud de g(t)e jΩT ya que Z ∞ Z |g(t)e − jΩt ∞ |dt = |g(t)|dt −∞ −∞ Note que G(Ω) se define como la suma de los siguientes límites, cuando T tiende a infinito, de Z 0 Z g(t)e −T − jΩt dt + T g(t)e− jΩt dt 0 (4.5) 264 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS y no como el límite cuando T tiende a infinito de, Z T g(t)e− jΩt dt (4.6) −T La expresión de la ecuación 4.6 se conoce como el valor principal de Cauchy de g(t)e− jΩt . Esta diferencia es importante ya que, en ciertos casos, el límite en la ecuación 4.6 puede ser cero mientras que los límites en la la ecuación 4.5 RT pueden ser +∞ y −∞, y su suma no está definida. Por ejemplo, −T sen tdt es RT cero para toda T, sin embargo, 0 sen tdt no tiende a ningún valor particular a medida que T crece. Ejemplo. Calcule la transformada de Fourier dela señal s(t) dada por: 1, s(t) = 0, t ∈ [−π, π] t < [−π, π] Note que la señal es integrable en magnitud. Por definición, la transforma- Figura 4.5: Una señal pulso da S(Ω), que también escribimos [F(s)](Ω) (“la transformada de Fourier de s 4.1. LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1 evaluada en Ω), está dada por, Z Z ∞ − jΩt s(t)e dt = π 265 e− jΩt dt −π −∞ −1 jΩt π e |−π , siempre que Ω , 0 jΩ = e jΩt − e− jΩt jΩ 2 sen πΩ = Ω = si Ω = 0 Z π e− jΩt dt = 2π −π resumiendo, Ω=0 2π, S(Ω) = 2 sen πΩ , Ω , 0 Ω = 2πsenc πΩ Esta función aparece con relativa frecuencia en teoría de señales; la función senc x está definida como senc = senx x , para x , 0, y senc (0) = 1. Como se puede comprobar, la función senc es continua. La función senc también es conocida como el núcleo de Fourier continuo. Ejercicio. Calcule la transformada de la señal continua f dada por f (t) = e|t| . (La “campana de Laplace”). Ejercicio. Diga si la señal “campana de Cauchy” dada por 1 1+t2 está en L1 . 2 Ejercicio. Diga si la señal e−t está en L1 . 2 Ejercicio. Calcule la transformada de Fourier de la señal e−t . ¿Es cierto que la transformada de Fourier de una campana de Gauss es otra campana de Gauss? 266 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Figura 4.6: La función senc x Ejercicio. Calcule la transformada de Fourier de la señal 2 Ejercicio. Muestre que e−x = R∞ 2 √2 e−t π 0 1 . 1+t2 cos(2tx)dt Nota. La representación en el dominio de la frecuencia de Fourier de señales periódicas tales como las sinusoides y las exponenciales complejas la obtenemos por medio de su representación como series (o sumas) de Fourier, es decir, con el conjunto de coeficientes {cn } de la serie, graficado contra Ω = nΩ0 (donde Ω0 = 2π/T y T es un tiempo de repetición) mejor que contra n. Las sinusoides no nulas no son señales en L1 ni en L2 . Estas señales no tienen transformada (según la definimos aquí); la integral correspondiente no converge para ninguna frecuencia Ω. Ejercicio. ¿Para qué valores de Ω existe el límite de RT 0 cos te− jΩt dt cuando T tiende a infinito? De aquí en adelante, hasta la sección 4.5, solo se considerará la transformada de Fourier de señales integrables en magnitud. En esta forma, se tendrá la seguridad de que la transformada es también una señal cuyo dominio es la 4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1 267 línea de los números reales. Lamentablemente, como vimos en el ejemplo anterior, la transformada de una señal en L1 no necesariamente está en L1 . Nota. El lector familiarizado con las teorías de Fourier, de sistemas o de proba- bilidad, puede preguntarse en este punto las razones por las cuales la función impulso no se utiliza en la definición de transformada de Fourier de las señales sinusoidales; algunas de éstas son: i El autor no considera conveniente su uso en un curso introductorio tal como Teoría de Señales. ii El impulso, en matemáticas, no es ninguna función con dominio un conjunto de números; es una entidad ficticia que tal vez sería el núcleo del funcional de Dirac, el funcional de Dirac está dado por el funcional que asigna a cada función en un espacio vectorial de funciones con dominio R, el valor de la función cero. iii La teoría matemática en la cual se definen los impulsos es la teoría de las distribuciones. Esta teoría es más sofisticada que el cálculo y cubrirla es innecesario ya que: a La función escalón, junto con la integral de Riemann-Stieltjes y las series de Fourier, son suficientes para desarrollar la teoría de señales y sistemas en el contexto del cálculo. b Las series de Fourier permiten una representación adecuada de señales periódicas continuas en el dominio de la frecuencia. 4.2. Propiedades de la transformada de Fourier L-1 La transformada de Fourier es ampliamente usada por varias razones; tal vez las más importantes tengan que ver con las propiedades de modulación, 268 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS de convolución y la transformada inversa. La propiedad de modulación (lineal) de la transformada de Fourier se aprovecha para compartir un canal por multiplexación en frecuencia; por ejemplo, éste es el sistema usado par la transmisión de radio AM comercial. La propiedad de convolución junto con la de la transformada inversa, permiten el modelaje y el diseño de sistemas lineales invariantes (e.g. filtros) en el dominio de la frecuencia. Una tercera razón para la popularidad de la frecuencia de Fourier se encuentra en el campo del procesamiento de audio y de voz: hay una correspondencia entre la frecuencia percibida de un sonido y las frecuencias de Fourier de sus componentes, especialmente de la fundamental; de hecho, hay quienes aseguran que los únicos “tonos puros” son los de tipo sinusoidal. Sin embargo, el oído humano no es muy sensitivo a fase de Fourier: si se escuchan dos señales periódicas y luego se escuchan nuevamente, esta vez retardando una con respecto a la otra, es difícil escuchar una diferencia. Otra razón es que las exponenciales complejas (en general, las exponenciales) son funciones propias de los sistemas lineales invariantes: la respuesta de un sistema lineal e invariante a una exponencial compleja es una exponencial compleja de la misma frecuencia, multiplicada por una constante (el “valor propio” que resulta estar dado por la transformada de Fourier de la función característica del sistema evaluada en la frecuencia de la exponencial compleja). Cuando un sistema lineal e invariante con función característica real se excita con una sinusoide, la salida es también una sinusoide (real) de la misma frecuencia, posiblemente desfasada y con amplitud diferente (o la señal cero). En modelos dispersivos de medios de propagación de ondas, las únicas señales que no se distorsionan, en cuando a forma de onda, son la sinusoides. A continuación se listan algunas de las propiedades de la transformada de Fourier. Se asume que la señal s en su dominio natural (en contraste con la señal s en el dominio de la frecuencia) es una función integrable en magnitud (i.e. s ∈ L1 ). Estrictamente hablando, se asume que la integral de Fourier se 4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1 269 define con una integral de Lebesgue, en vez de con una de Riemann; también , que dos funciones son equivalentes si el subconjunto de su dominio donde difieren (es decir, el soporte de su diferencia) tiene medida cero. i) (Teorema de Riemann-Lebesgue.) Si la señals : R1 → C es integrable en magnitud, su transformada de Fourier S(Ω) tiende a cero a medida que |Ω| R∞ g(t)e− jΩt dt, después crece: lı́mΩ→∞ S(Ω) = lı́mΩ→−∞ S(Ω) = 0. G(Ω) = se toma G(Ω) − (−G(Ω)) = 2G(Ω) y entonces −∞ ∞ Z∞ Z G(Ω) = 0,5 g(t)e− jΩt dt + g(t)e− jΩt e jπ dt −∞ −∞ ∞ Z∞ Z π = 0,5 g(t)e− jΩt dt + g(t)e− jΩ(t− Ω ) dt −∞ haciendo t0 = t − −∞ π 2 G(Ω) = 0,5 Z∞ g(t) − g(t − −∞ π −jΩt ) e dt Ω Así, no es posible, posible, por ejemplo, que la transformada de una señal integrable en magnitud sea la señal escalón: u(Ω). Ejercicio. Demuestre el teorema de Riemann-Lebesgue. Sugerencia: Muestre que si g está en L1 , lı́mδ→0 luego, con Z ∞ G(Ω) = g(t)e− jΩt dt −∞ R∞ −∞ |g(t + δ) − g(t)dt = 0 270 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS y Z −G(Ω) = − Z = ∞ g(t)e− jΩt dt −∞ ∞ g(t − π/Ω)e− jΩt dt −∞ y Z ∞ 2G(Ω) = Z ∞ g(t)e− jΩt dt + Z−∞ ∞ = g(t − π/Ω)e− jΩt dt −∞ g(t) + g(t − π/Ω) e− jΩt dt −∞ resulta Z ∞ G(Ω) ≤ 0,5 g(t) + g(t − π/Ω) e− jΩt dt −∞ ii) (Si s es integrable en magnitud), su transformada de Fourier S(Ω) es acotada: Z ∞ Z ∞ Z ∞ |S(Ω)| = | s(t)e− jΩt dt| ≤ |s(t)e− jΩt dt| = |s(t||e− jΩt dt| −∞ − jΩ dado que |e −∞ −∞ | = 1, se puede concluir que, para cada Ω, Z ∞ |S(Ω)| ≤ |s(t|dt −∞ por lo tanto, kSk∞ ≤ ksk1 y por lo tanto, S ∈ L∞ . Así, la transformada de Fourier F es una transformación de L1 a L∞ . En la sección 4.7, extenderemos el dominio de la transformada a L1 ∪ L2 . F : L1 → L∞ , F(h) = H, Z ∞ H(Ω) = h(t)e− jΩt dt −∞ 4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1 271 Figura 4.7: La transformada de Fourier iii) La transformada de S(Ω) de una señal en L1 es una función uniformemente continua. Demostración. Z ∞ S(Ω + h) − S(Ω) = Z − j(Ω+h)t s(t)e Z−∞ ∞ = ∞ s(t)e− jΩt dt dt − −∞ s(t)e− jΩt [e− jht − 1]dt −∞ por lo tanto, ∞ Z |S(Ω + h) − S(Ω)| ≤ |s(t)||e− jht − 1|dt −∞ como el lado derecho no depende de Ω, si el límite cuando h tiende a 0 es 0, tendremos continuidad uniforme. Como |s(t)||e− jht − 1| ≤ 2|s(t)|, que es integrable; si tenemos una sucesión {hn } → 0 entonces s(t)[e− jht − 1] → 0 usando el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, e intercambiando las operaciones de límite e integral, tenemos Z ∞ Z ∞ − jΩt − jht lı́m s(t)e [e − 1]dt = lı́m s(t)e− jΩt [e− jht − 1]dt n|to∞ −∞ n|to∞ −∞ =0 272 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS y, como {hn } es cualquier sucesión que converja a cero, tenemos que S es continua. *Caso particular. Considere el caso particular en que g ∈ L1 ∩L2 . Para mostrar que S es continua en Ω = Ω0 , considere |S(Ω) − S(Ω0 )|. Z ∞ Z ∞ S(Ω) − S(Ω0 ) = s(t)e− jΩt dt − s(t)e− jΩ0 t dt −∞ Z−∞ ∞ − jΩt − jΩ0 t = s(t)[e −e ]dt −∞ así, ∞ Z |s(t)[e− jΩt − e− jΩ0 t ]|dt |S(Ω) − S(Ω0 )| ≤ −∞ y, con la desigualdad de Cauchy-Schwartz. |S(Ω) − S(Ω0 )| ≤ ksk2 |[e− jΩt − e− jΩ0 t ]|dt que tiende a cero cuando Ω tiende a Ω0 . Así no es posible, por ejemplo, que la transformada de una señal integrable en magnitud sea 1/Ω. iv) (Propiedad de convolución.) La transformada de Fourier de la convolución de dos señales integrables en magnitud, es el producto de las transformadas correspondientes. Si s, r ∈ L1 entonces, F[s ∗ r] = F[s] · F[r] : Z ∞ Z ∞ − jΩt [F(s ∗ r)](Ω) = e s(τ)r(t − τ)dτ dt −∞ Z−∞ Z ∞ ∞ = s(τ) e− jΩt r(t − τ)dt dτ Teorema de Fubini −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ = s(τ)e− jΩτ e jΩτ e− jΩt r(t − τ)dt dτ −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ − jΩτ = s(τ)e dτ e jΩu r(u)du con u = t − τ −∞ = [F(s)](Ω)[F(r)](Ω) −∞ 4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1 273 Nota. Una de las diferencias entre las transformadas de Laplace bilateral R(s) y de Fourier R(Ω) de una señal r(t) es que la transformada de Laplace tiene como dominio un subconjunto del plano complejo C mientras que la de Fourier tiene como dominio un subconjunto de la línea R1 : Z R(Ω) = [F(r)](Ω) = Z R(s) = [L(r)](s) = ∞ Ω ∈ A ⊂ R1 r(t)e−jΩt dt, −∞ ∞ r(t)e−st dt, s∈B⊂C −∞ Ejercicio. ¿Cómo está dada la región de convergencia B de la transfor- mada de Laplace de una señal de orden exponencial? v) (Fórmula de inversión.) Si tanto s como S son integrables en magnitud, acotadas y uniformemente continuas, 1 s(t) = 2π ∞ Z S(Ω)e jΩt dΩ −∞ es decir, podemos recuperar la señal s a partir de su transformada S con una fórmula muy similar a la de la transformada. La demostración no es directa, como tal vez uno podría esperar, ya que R∞ la integral −∞ e− jΩ(t−τ) dτ no converge. La demostración se basa en los siguiente resultados: 1 lı́m r→∞ 2π Z r 1− −r |Ω| jΩt e S(Ω)dΩ = s(t) r y donde Kr (t) = r sen( 2t ) t 2 !2 lı́m r→∞ 1 [ f ∗ Kr ](t) = f (t) 2π 274 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Figura 4.8: La función 1 − |Ω|r para varios valores de r Rr h sen(rΩ/2) i jΩτ 1 − |Ω| dτ = r rΩ/2 . Sugerencia: Un r e triángulo es la convolución de un pulso con sigo mismo. Ejercicio. Muestre que Ejercicio. Muestre que donde Kr = r −r Rr −r 1− |Ω| r e jΩt S(Ω)dΩ = s ∗ Kr , h sen(t/2) i2 t/2 Ejercicio. Muestre que lı́mr→∞ 1 2π [s ∗ Kr ](t) = s(t). Para el caso de la transformada L2 veremos que tiene derivada izquierda y derecha en cada punto y, para cada numero real t. s(t) = lı́mr→t+ s(x) + lı́mr→t− s(x) 2 (es decir, en los puntos donde s es discontinua, s toma un valor igual al promedio de los límites izquierdo y derecho) y si su transformada S(Ω) es integrable en valor absoluto, entonces. Ejercicio. Demuestre (indirectamente) que la función senc x no es un ele- mento de L1 . (Sugerencia: si la señal senc fuera integrable en magnitud, su transformada sería uniformemente continua.) 4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1 275 También aplicando 4 veces la transformada de Fourier a s, tenemos, (4π)2 s. Excepto por un factor de escala aplicar 4 veces la transformada de Fourier es la identidad, en cierto subespacio de L1 . Ejercicio. Calcule la transformada de Fourier, iterativamente, cuatro ve- ces. vi) (Transformada del complejo conjugado.) Si la transformada de s es S, la transformada del complejo conjugado s∗ de s está dada por, [F(s∗ )] = S∗ (−Ω) R Para ver esto, dado que para todo número complejo z, (z∗ )∗ , que ( z)∗ = R z∗ , y que (e− jΩ )∗ = e jΩ , se tiene que, Z ∞ Z ∞ ∗ − jΩt s (t)e dt = [s(t)e jΩt ]∗ dt −∞ −∞ #∗ "Z ∞ jΩt s(t)e dt = −∞ = [S(−Ω)]∗ vii) (Modulación.) Si la transformada de s(t) es S(Ω), entonces la transformada de e jΩ0 t s(t) es S(Ω − Ω0 ): Z ∞ F[e jΩ0 t s(t)](Ω) = e jΩ0 t s(t)e− jΩt dt Z−∞ ∞ = s(t)e− j(Ω−Ω0 )t dt −∞ = S(Ω − Ω0 ) Esta propiedad es base para el análisis de sistemas de modulación vestigial (para TV). DSB y SSB (radio no comercial), AM y otros. 276 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Ejemplo. Calcular la transformada de Fourier de s(t) = cos(10t)e−|t| 2 Sabiendo que la transformada de Fourier de e−|t| es 1+Ω 2 , podemos utilizar la propiedad de modulación y obtener (usando linealidad también): 1 1 + 1 + (10 − Ω)2 1 + (10 + Ω)2 S(Ω) = ! Figura 4.9: Sistema básico de modulación y demodulación DSB. (No se incluyen filtros ni amplificadores.) viii) (Desplazamiento en tiempo.) Si la transformada de s(t) es S(Ω), entonces la transformada de s(t − τ) es e− jΩτ S(Ω): Z ∞ F[s(t − τ)](Ω) = s(t − τ)e− jΩt dt x=t−τ −∞ Z ∞ = s(x)e− jΩ(x+τ) dx −∞ − jΩτ =e S(Ω) Note que esta propiedad se puede considerar como la dual de la propiedad de modulación. Ejercicio. Calcule y grafique: Re[S(Ω)], Im[S(Ω)], |S(Ω)| y ∠S(Ω), si s(t) = [u(t − 2π/5) − u(t − 8π/5)] sen 5t, donde u(t) es la función escalón. 4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1 277 ix) (Linealidad.) La linealidad de la transformada de Fourier se muestra utilizando la linealidad de la integral: Z ∞ [F(α f + βg)](Ω) = (α f (t) + βg(t))e− jΩt dt −∞ Z ∞ Z ∞ =α f (t))e− jΩt dt + β g(t))e− jΩt dt −∞ −∞ = α[F( f )](Ω) + β[F(g)](Ω) Ejemplo. Sea r : R1 → C una señal con trasformada R(Ω) y sea, s(t) = r(t+h)−r(t) con h , 0. Entonces, la transformada de s está dada por S(Ω) = h 1 − jΩh [e − 1]R(Ω). Esto se deduce fácilmente de las propiedades de linealh idad y desplazamiento S(Ω) = [F(s)](Ω) Z ∞ r(t + h) − r(t) − jΩt = e dt h Z−∞ Z ∞ ∞ r(t + h) − jΩt −r(t) − jΩt = e dt − e dt h h −∞ −∞ −1 − jΩh [e − 1]R(Ω) = h Ejercicio. Calcular el límite cuando h tiende a cero de 1h [e− jΩh − 1] (R/ jΩ). x) (Transformada de la derivada.) Si s es derivable (e integrable en magnitud) con transformada de Fourier S(Ω) entonces, si la derivada r = s0 es también integrable en magnitud, la transformada de Fourier R de r está dada por: R(Ω) = [F(s0 )](Ω) = jΩS(Ω) 2 Ejercicio. Sea g(t) = e−t . Grafique g0 (t) y g00 (t). Encuentre y grafique las transformadas de Fourier de g(t), g0 (t) y g00 (t). 278 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Ejercicio. Demuestre la propiedad de la derivada de la transformada de Fourier. sugerencia: vea las propiedades ix, x y xi. Ejercicio. Muestre que si f (t) y jt f (t) son integrables en magnitud y que si la transformada de f es F(Ω) entonces la transformada de jt f (t) es F0 (Ω). xi) (Parseval.) (Mark Antoine Parseval, Circa 1776 - 1836) La energía de una señal multiplicada por 2π es igual a la energía de su transformada: Z ∞ Z ∞ 2 2π |s (t)|dt = |S2 (Ω)|dΩ −∞ −∞ Aunque la fórmula es más general, aquí trabajaremos en L1 ∩ L2 . La fórmula se puede deducir así: sean e y r señales y asuma que S = F[s] y R = F[r]. Como F[s ∗ r] = SR, se tiene que s ∗ r = F−1 [SR], es decir, Z ∞ Z ∞ 1 S(Ω)R(Ω)e jΩt dΩ s(τ)r(t − τ)dτ = 2π −∞ −∞ tomando t = 0 resulta, Z ∞ Z ∞ 1 s(τ)r(−τ)dτ = S(Ω)R(Ω)dΩ 2π −∞ −∞ ahora, asuma que s(t) = r∗ (−t), entonces s(t) tiene transformada S(Ω) = R∗ (Ω) o, equivalentemente, s∗ (t) = r(−t) y R(Ω) = S∗ (Ω), y se tiene que, Z ∞ Z ∞ 1 ∗ S(Ω)S∗ (Ω)dΩ s(τ)s (τ)dτ = 2π −∞ −∞ La fórmula deseada. La fórmula de Parseval nos dice que la energía de una señal es proporcional a la energía de su transformada. Esto nos permite llamar a |S(Ω)|2 el espectro de energía de la señal s(t). Por esta razón también, 4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1 279 muchas técnicas conducentes al cálculo de la transformada de Fourier de una señal se conocen como técnicas de estimación espectral. De hecho, una parte de la terminología del análisis de Fourier y de filtros está basada en la correspondiente a la luz. Si en la figura siguiente, el rayo izquierdo es incidente y blanco, e interrumpimos el paso de una gama de rayos en la región entre los prismas, la luz al otro lado sale coloreada. si interrumpimos el paso de las luces de longitud de frecuencia baja (rojos), ¿de qué color es la luz resultante? Como dijimos, es necesario asumir que la señal tiene energía finita, es decir, que está en L2 , para que la demostración dada tenga sentido. Ejercicio. Muestre que, Z ∞ 1 s(τ)r (τ)dτ = 2π −∞ Z ∞ S(Ω)R∗ (Ω)dΩ ∗ −∞ Ejercicio. Muestre que toda señal integrable acotada y de duración finita, es integrable en magnitud. Ejercicio. Encuentre una relación entre la correlación de dos señales R∞ R∞ −∞ −∞ s(τ)r∗ (τ − t)dτ y la correlación de sus transformadas η)dΩ S(Ω)R∗ (Ω − Ejercicio. Muestre que si S(Ω) es la transformada de s(t), entonces la transformada de s(−t) es S(−Ω). xii) (Propiedades de simetría.) a) Si s(t) es una señal “real”, es decir si su parte imaginaria es cero para cada t, entonces las partes real e imaginaria son par e impar, respectivamente. Consecuentemente, la magnitud |S(Ω)| es par y la fase impar. 280 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Demostración. Por definición, Z ∞ s(t)e− jΩt dt S(Ω) = −∞ Z Z ∞ s(t) cos(Ωt)dt − = ∞ s(t) sen(Ωt)dt −∞ −∞ Por lo tanto, si s es real, Z ∞ Re[S(Ω)] = s(t) cos(Ωt)dt −∞ Que es una función par de la variable Ω; también, Z ∞ Im[S(Ω)] = − s(t) sen(Ωt)dt −∞ es una función impar de la variable Ω. Entonces, dado que p |S(Ω)| = Re[S(Ω)]2 + Im[S(Ω)]2 y que tanto Re[S(Ω)]2 como Im[S(Ω)]2 son funciones pares, podemos concluir que |S(Ω)| es par. Ejercicio. Muestre que si s es real, la fase de S es impar. b) Si s(t) es una señal par, es decir s(t) = s(−t), entonces su transformada S(Ω) es par también. Por definición Z ∞ S(−Ω) = s(t)e jΩt dt u = −t −∞ Z ∞ = s(−u)e−jΩu du −∞ Z ∞ = s(u)e−jΩu −∞ = S(Ω) 4.3. CONVOLUCIÓN EN FRECUENCIA 281 Ejercicio. Muestre que si s es una señal real par, su transformada S también es real y par. Ejercicio. Muestre que la transformada de una señal impar es impar. 4.3. Respuesta en frecuencia de sistemas de convolución continuos Suponga que se tiene un sistema de convolución continuo, con respuesta escalón g, como se muestra en la figura 4.10. Figura 4.10: Un sistema de convolución Inicialmente, mostramos el siguiente resultado: la respuesta de un sistema de convolución a una exponencial compleja es una exponencial compleja de la misma frecuencia, o la señal Θ. Suponga que la entrada al sistema es la señal e jΩ0 t . Por definición, la respuesta del sistema está dada por, Z ∞ r(t) = e jΩ0 (t−τ) dg(τ) Z−∞ ∞ e jΩ0 t e− jΩ0 τ dg(τ) −∞ Z ∞ jΩ0 t =e e− jΩ0 τ dg(τ) = −∞ 282 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS R∞ dado que −∞ e− jΩ0 τ dg(τ) es un número complejo, que depende de Ω0 , vemos que, a menos que tal número sea cero, r(t) es una exponencial compleja de frecuencia Ω0 . A este factor de amplificación para exponenciales complejas, en función de la frecuencia, lo llamamos la función de transferencia del sistema, que denotamos H(Ω): Z ∞ H(Ω) = e− jΩτ dg(τ) −∞ Ahora suponga que la entrada s(t), es una señal en L1 , con transformada S(Ω). Por definición, la salida estará dada por, Z ∞ r(t) = s(t − τ)dg(τ) −∞ la transformada de r estará dada por Z ∞ Z ∞ R(Ω) = e jΩt s(t − τ)dg(τ) dt −∞ −∞ Z ∞Z ∞ = e jΩt s(t − τ)dg(τ) dt −∞ −∞ si podemos cambiar el orden de integración, y con el cambio de variable u=t−τ Z ∞Z ∞ R(Ω) = e jΩ(τ+u) s(u)du dg(τ) −∞ Z−∞ Z ∞ ∞ jΩτ = e e jΩu s(u)du dg(τ) −∞ Z−∞ Z ∞ ∞ jΩτ = e dg(τ) e jΩu s(u)du −∞ −∞ = H(Ω)S(Ω) donde H es la función de transferencia del sistema, y S la transformada de Fourier de la entrada s(t). 4.3. CONVOLUCIÓN EN FRECUENCIA 283 Alternativamente, suponga que, tanto la respuesta impulso del sistema h como la respuesta escalón g y la señal de entrada s, son señales en L1 . Sea H(Ω) la transformada de Fourier de h(t), G(Ω) la de g(t) y S(Ω) la se s(t). Sea y(t) la respuesta del sistema. Usando las propiedades de convolución y de la derivada de la transformada de Fourier, la transformada de Y de y está dada por la relación siguiente entre la función de transferencia del sistema y la transformada de su respuesta escalón: H(Ω) = jΩH(Ω). Y(Ω) = jΩG(Ω)S(Ω) = H(Ω)S(Ω) Figura 4.11: Representación en tiempo y en frecuencia de un sistema de convolución Los sistemas de convolución también se conocen en ingeniería eléctrica como filtros (lineales e invariantes). Dado que los sistemas de convolución son modelos bastante comunes de sistemas físicos y que es más fácil de visualizar el producto de dos funciones que su convolución, tenemos que la transformada de Fourier es una herramienta útil para el análisis de sistemas lineales e invariantes. Suponga que se hace pasar una haz de luz solar (blanca) por un prisma y que a continuación se coloca una placa con una rendija muy delgada, entonces, obtendremos una luz coloreada bastante monocromática después de la rendija. En cierto sentido, habremos “filtrado” una luz con muchas componentes de 284 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS frecuencia para obtener luz de cierto color, con un contenido de frecuencias diferente. este sería un ejemplo de un filtro “pasa banda” ya que en la salida, en frecuencia, sólo se tiene un pequeño intervalo (banda) de frecuencias. Figura 4.12: Descomposición espectral de un rayo de luz La transformada de Fourier H de la función característica h de un sistema de convolución se conoce como la función de transferencia del sistema. Por la propiedad de la derivada de la transformada de Fourier, la transformada G de la respuesta escalón está relacionada con la función de transferencia así: H(Ω) = jΩG(Ω) Z ∞ H(0) = h(t)dt Ω,0 −∞ = lı́m g(t) − lı́m g(t) t→∞ t→−∞ = lı́m g(t) t→∞ Suponga ahora que por medio de un micrófono convertimos la señal de intensidad de presión de aire producida por una contralto que canta, en una señal de voltaje la cual pasamos por un sistema de convolución cuya función de transferencia es par y, para frecuencias positivas, cero para frecuencias por encima de 2KHz y uno entre 0 y 2 KHz. Si por medio de un parlante 4.3. CONVOLUCIÓN EN FRECUENCIA 285 reconvertimos la señal eléctrica en una señal audible, escucharemos una señal más grave, probablemente sin valor artístico, que la original. Ejercicio. Se tiene un filtro con función de transferencia como la mostrada en la figura 4.13, si la señal mostrada en la figura 4.14 tiene como transformada de Fourier la mostrada en la figura 4.15, grafique aproximadamente el espectro (i.e. la magnitud de la transformada de Fourier) de la señal de salida. Figura 4.13: La función de transferencia de un pasa bajas ideal Figura 4.14: Esta señal se aplica al filtro pasa bajas ideal Las transformadas involucradas en los dos ejercicios siguientes tienen sentido en la teoría de la transformada de Fourier L2 , que cubriremos más adelante. Las incluimos debido a su popularidad en el área de tratamiento de señales. 286 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Figura 4.15: Transformada de Fourier de la señal en la figura anterior Ejercicio. Calcule F−1 (H) donde H es, 1, Ω ∈ (−π, π) H(Ω) = 1/2, Ω ∈ {−π, π} 0, Ω < [−π, π] Ejercicio. Sea t=0 1, e(t) = senc πt , t , 0 πt Suponga que esta señal se aplica a un filtro con la función de transferencia H(Ω) dada en el ejercicio anterior. Grafique aproximadamente el espectro |Y(Ω)|2 de la señal de salida. Ejercicio. Encuentre la función de transferencia de un pasa bajas RC de primer orden y la de un pasa altas RC de primer orden.Asuma R=C=1. Grafique las magnitudes y las fases de las funciones de transferencia. Ejercicio. Un inversor sinusoidal de voltaje se obtiene a menudo filtrando la fundamental de una onda cuadrada. Suponga que se tiene una onda cuadrada 4.4. POLOS Y CEROS 287 de 60 ciclos por segundo, y que se filtra con un RC pasa bajas de primer orden.Encuentre la frecuencia de corte para maximizar el cociente: Potencia promedio de la fundamental Potencia promedio de la tercera armónica Recuerde que una onda cuadrada no tiene armónicas pares. Figura 4.16: Falta epígrafe 4.4. Comportamiento en frecuencia en términos de los polos y ceros de H(s) Sea H(s) = s−1 G(s) la transformada de Laplace de la función característica de un sistema de convolución con respuesta escalón con respuesta escalón g, donde G es la transformada de Laplace de g. Asumiremos que s es la variable compleja s = σ + jΩ ∈ C; con σ, Ω ∈ R. Así asumiendo que el sistema es causal y que por lo tanto h(t) = g(t) = 0 para t < 0, tenemos que las transformadas de Fourier de h y de g están dadas 288 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS por H(Ω) = H(0 + jΩ) G(Ω) = G(0 + jΩ) Es decir, la transformada de Fourier corresponde a la transformada de Laplace evaluada sobre el eje imaginario del plano complejo s. Asumiendo que la función de transferencia H(s) es una función racional de la variable s (lo cual ocurre siempre que el sistema tenga una ecuación diferencial correspondiente), por el teorema fundamental del álgebra, tenemos que tanto el numerador como el denominador se pueden factorizar. Así, podemos escribir a(s − z1 )(s − z2 ) · · · (s − zn ) H(s) = (s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pm ) para una función de transferencia con n ceros y m polos. Al restringirse al dominio de la frecuencia de Fourier, tenemos: H(Ω) = a( jΩ − z1 )( jΩ − z2 ) · · · ( jΩ − zn ) ( jΩ − p1 )(jΩ − p2 ) . . . ( jΩ − pm ) Concentrándonos en la magnitud de H y obviando la fase, ya que para decir el tipo de filtro (pasa bajas, pasa altas, banda rechazada, etc.) que H representa, sólo se usa la magnitud, tenemos |H(Ω)| = |a||(jΩ − z1 )||( jΩ − z2 )| · · · |( jΩ − zn )| |( jΩ − p1 )||( jΩ − p2 )| . . . |( jΩ − pm )| Queremos visualizar la relación entre la ubicación de los polos y ceros de G (que son los de H con la posible excepción en s = Θ). Interpretando cada factor como la distancia de jΩ a cada polo y cero, tenemos que la magnitud de H en la frecuencia Ω, es proporcional al producto de las distancias a los ceros de jΩ dividido por el producto de las distancias a los polos de jΩ. En particular, si hay algún polo de la forma jΩ0 , la función de transferencia H(Ω) se anula en Ω = Ω0 y si hay un polo en las cercanías de jΩ1 , la función de transferencia crece en las cercanías de Ω = Ω1 . Vea la figura 4.17. 4.4. POLOS Y CEROS 289 Figura 4.17: NO TIENE EPÍGRAFE Ejercicio. Para el diagrama de polos y ceros de H(s), mostrado en la figura anterior, grafique aproximadamente |H(Ω)|. Ejercicio. Para cada una de las funciones de transferencia listadas a contin- uación, haga un diagrama de polos y ceros y diga de qué tipo de filtro se trata. H(s) = 1 s2 +s+1 H(s) = s s2 +4s+1 H(s) = s2 +1 s2 +4s+s H(s) = s2 s2 +4s+1 290 4.5. CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Transformada de Fourier L-2 Como se vio en la sección anterior, si la señal de entrada s a un sistema de convolución continuo con función de transferencia H(Ω), tiene transformada S(Ω) entonces la transformada de la señal de salida es el producto S(Ω)H(Ω). Si la señal de entrada s es periódica y no tiene norma L − 1 nula, entonces no tiene transformada. A continuación se obtiene una caracterización en frecuencia de sistemas de convolución continuos, para señales periódicas. suponga que la señal de entrada σ(t) es periódica, con frecuencia angular fundamental Ω0 y con representación en series de Fourier dada por σ(t) = ∞ X cn e jΩ0 nt n=−∞ suponga además que la transformada de la respuesta impulso h(t) del sistema es H(Ω). Por definición, la respuesta del sistema ρ(t) es la convolución de σ y 4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER L-2 291 h: ρ(t) = σ(t) ∗ h(t) Z ∞ = h(τ)σ(t − τ)dτ Z −∞ ∞ = h(τ) −∞ = = = = ∞ Z X n=−∞ ∞ X n=−∞ ∞ X n=−∞ ∞ X ∞ X cn e jΩ0 n(t−τ) dτ n=−∞ ∞ h(τ)cn e jΩ0 n(t−τ) dτ −∞ ∞ Z cn e jΩ0 nt h(τ)cn e jΩ0 n−τ dτ −∞ cn e jΩ0 nt H(nΩ0 ) H(nΩ0 )cn e jΩ0 nt n=−∞ por lo tanto, la salida tiene representación como serie de Fourier dada por: ρ(t) = ∞ X dn e jΩ0 nt n=−∞ donde los coeficientes dn están dados por: dn = cn H(nΩ0 ) Las dos últimas fórmulas caracterizan la señal de salida en el dominio de la frecuencia de Fourier. Ahora podemos concluir que el periodo de la señal de entrada es un tiempo de repetición de la señal de salida. ¿Por qué? Si la entrada es una suma de exponenciales complejas no necesariamente armónicamente relacionadas (es decir, que las frecuencias no sean múltiplos 292 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS enteros de una cierta frecuencia fundamental), la suma es una señal casiperiódica, y se tiene el mismo resultado: los coeficientes de las exponenciales de la señal de salida están dados por el producto del coeficiente de cada exponencial de entrada por la función de transferencia evaluada en la frecuencia de la exponencial. en general, si la entrada está dada por, σ(t) = ∞ X cn e jΩ0 nt n=−∞ la salida será, ρ(t) = ∞ X dn e jΩ0 nt n=−∞ donde dn = cn H(nΩ0 ). 4.5.1. Respuesta a sinusoides Suponga que la respuesta impulso h(t) de un sistema de convolución continuo es real. Entonces, la magnitud de la función de transferencia H(Ω) del sistema es par, y la fase es impar. Si a este sistema se le aplica la señal cos(Ω0 t), la respuesta r del sistema, por linealidad, estará dada por: r(t) = 0,5|H(Ω0 )|e j∠H(Ω0 ) e jΩ0 t + 0,5|H(−Ω0 )|e j∠H(−Ω0 ) e− jΩ0 t = 0,5|H(Ω0 )|e j∠H(Ω0 )+jΩ0 t + 0,5|H(−Ω0 )|e j∠H(−Ω0 )− jΩ0 t (¿Por qué?) = |H(−Ω0 )| cos(jΩ0 t + ∠H(Ω0 )) Así la respuesta de un sistema de convolución con respuesta escalón real es también una sinusoide y de la misma frecuencia, a menos que la función de transferencia valga cero para esa frecuencia. Ejercicio. Se tiene una señal cuadrada con frecuencia de 60 Hz; esta señal se aplica a un filtro pasa bajas ideal con frecuencia de corte en 100Hz. ¿cuál es la señal de salida del filtro? (Expresela como una serie de sinusoides). 4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER L-2 293 Figura 4.18: La respuesta de un sistema de convolución a una sinusoide, es una sinusoide de la misma frecuencia, o la señal cero si H(Ω0 ) = 0 Ejercicio. Una onda triángulo de frecuencia 1cps (ciclo por segundo) es pasada por un rectificador de media onda, obteniendo la señal s(t) mostrada en la figura 4.19. Grafique la salida cuando s(t) es filtrada con un filtro pasa bajas ideal con frecuencia de corte 0.2Hz y 1.5Hz. Figura 4.19: Onda triángulo con rectificación de media onda Ejemplo. Suponga que se tiene una señal cuadrada g(t), como se muestra en la figura siguiente. Es fácil mostrar que su expansión en series de Fourier 294 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS contiene armónicas impares únicamente y que está dada por, g(t) = a0 + ∞ X bn sen(nt) n=0 donde a0 = 1/2, bn = 2/(nπ) con n impar y bn = 0 con n par. Suponga que g(t) Figura 4.20: Una onda cuadrada y su espectro se pasa por un filtro pasa bajas ideal, con frecuencia angular de corte igual a 5, como se muestra en la figura 4.21. A la salida del filtro se tiene la suma del nivel DC, y de la primera y tercera armónicas. En la figura 4.23 se muestra la Figura 4.21: Función de transferencia de un pasa bajas ideal suma de las señales 0,5 sen(t) y 1/3 sen(3t). 4.5.2. Filtro pasa bajas RC de un polo Ejercicio. Calcule la respuesta escalón g(t) del filtro RC mostrado 4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER L-2 Figura 4.22: Espectro de la suma de dos señales coseno y un nivel DC Figura 4.23: La señal 0,5 sen(t) + 1/3 sen(3t) Figura 4.24: Filtro RC pasa bajas de primer orden 295 296 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Ejercicio. Calcule la derivada h(t) de la respuesta escalón del ejercicio anterior (es decir, la respuesta impulso). Ejercicio. Calcule la transformada de Fourier de la señal h(t) = e−t si t ≥ 0 y h(t) = 0 si t < 0. Las partes real e imaginaria de la función H(Ω) = grafican a continuación. 1 1+ jΩ se Figura 4.25: La parte real de la función de transferencia del pasa bajos RC con RC=1 Ejercicio. Dé expresiones para la magnitud, la fase, la parte real, y la parte imaginaria de la función de transferencia H(Ω) = 1+1jΩ . A continuación se muestran gráficas de la magnitud y la fase de la función de transferencia H(Ω) = 1+1jΩ . Ejercicio. Repita el análisis anterior para un RC pasa altas de un polo. La respuesta escalón en este caso es g(t) = u(t)e−t . Por lo tanto, la función de jΩ transferencia está dada por H(Ω) = 1+ jΩ (Compruebe). Grafique g así como la magnitud y la fase de H. 4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER L-2 297 Figura 4.26: La parte imaginaria de la función de transferencia del pasa bajos RC con RC=1 Figura 4.27: La magnitud de H(Ω) = 1 1+ jΩ 298 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Figura 4.28: La fase de H(Ω) = 4.5.3. 1 1+jΩ Comportamiento transiente El que la respuesta de una sistema de convolución a una sinusoide sea una sinusoide de la misma frecuencia, o la señal cero, es algo que vale la pena recordar. El análisis de Fourier asume que se conocen las señales para toda t, desde t → −∞. (Esto no sucede cuando se estudian modelos de sistemas usando la transformada de Laplace unilateral.) En el análisis de Fourier no consideramos condiciones iniciales y asumimos que la señal se aplica “desde menos infinito”. Si asumimos que la entrada al sistema es una sinusoide multiplicada por la señal escalón: u(t)A cos(Ω0 t). Para sistemas estables, la respuesta a este tipo de sinusoides truncadas tiende asintóticamente a la respuesta de la señal no truncada A cos(Ω0 t), a medida que t tiende a infinito. La respuesta a la sinusoide la denominamos respuesta en estado estable sinusoidal. La respuesta a la sinusoide truncada la denominamos respuesta total. La diferencia entre la total y la de estado estable la denominamos respuesta transiente. Un caso particular se tiene cuando la frecuencia de la sinusoide es cero. En este caso, la respuesta escalón tiende asintóticamente ala respuesta a la señal 4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER L-2 299 constante de valor 1; esta respuesta, como vimos en es capítulo 2, es una señal R∞ constante de valor −∞ dg(t), donde g es la respuesta escalón del sistema. Ejercicio. Se tiene un sistema de convolución con respuesta escalón g(t) = (1 − e−t )u(t). Encuentre la respuesta a la señal cos t y a la señal u(t) cos t. 4.5.4. Análisis del comportamiento asintótico R Considere la respuesta cos(Ω0 [t − τ])dg(τ) a una sinusoide aplicada desde R menos infinito y la respuesta cos(Ω0 [t − τ])u(t − τ)dg(τ) a una sinusoide aplicada en cero: Z ∞ Z ∞ Z ∞ cos(Ω0 [t−τ])dg(τ)− cos(Ω0 [t−τ])u(t−τ)dg(τ) = cos(Ω0 [t−τ])dg(τ) −∞ −∞ Así, tendremos comportamiento asintótico si lı́mt→∞ t R∞ t cos(Ω0 [t−τ])dg(τ) = 0. Ejercicio. diga qué condiciones debe cumplir g para tener comportamiento asintótico. 4.5.5. representación de un sistema con respuesta escalón discontinua en términos de una suma de sistemas identidad (linea de retardo o filtro pasa todas) y un sistema con respuesta escalón continua Suponga que se tiene un sistema identidad. Es decir, un sistema cuya salida es siempre igual a la entrada. Para este sistema la respuesta escalón es la señal escalón: g(t) = u(t) y la función de transferencia es la función constante H(Ω) = 1. Suponga ahora que se tiene una linea de retardo: para cada entrada e(t), la salida del sistema es la entrada retardada τ unidades: s(t) = e(t − τ). en este 300 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS caso, la respuesta escalón está dada por g(t) = u(t − τ). (Dado que este sistema es claramente lineal e invariante, y dada la propiedad de desplazamiento en tiempo de la transformada de Fourier, es ese sentido, diremos que la función de transferencia de la linea de retardo, también conocida como un filtro pasa todas, está dada por: H(Ω) = e = −jΩτ.) Suponga que se tiene un sistema de convolución con respuesta escalón g(t) con derivadas excepto en un conjunto finito de puntos, con una posible cantidad finita de saltos, y acotada. Note que podemos expresar una respuesta escalón así como la suma de: una señal derivable en sentido relajado, es decir continua y con derivada excepto en un conjunto finito de puntos, por una parte y una señal escalonada, es decir, una suma de señales escalón desplazadas y escaladas, por la otra. La señal escalonada corresponderá a la suma (es decir el paralelo) de sistemas identidad y la señal sin saltos a un sistema de convolución con función característica. Ejemplo. La respuesta escalón de un RC pasa altas es g(t) = e−t u(t) = u(t) − (1 − e−t )u(t). Así, decimos que un pasa altas es un pasa todas “menos un pasa bajas”. Vea las figuras 4.29, 4.30 y 4.31. Figura 4.29: Un pasa altas es la identidad menos un pasa bajas 4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER L-2 301 Figura 4.30: respuesta escalón del pasa altas de primer orden Figura 4.31: La respuesta en la figura anterior es equivalente a la suma de un escalón y el negativo de la respuesta escalón de un pasa bajas de primer orden, que no salta 302 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS 4.6. Distorsión de fase y distorsión de amplitud 4.6.1. Filtro ideal Un filtro ideal es un filtro cuya función de transferencia H(Ω) tiene una magnitud |H(Ω)| que es o uno, o cero (constante a trozos), y cuya fase ∠H(Ω) es lineal: ∠H(Ω) = mΩ, donde m es una constante (recuerde quedos ángulos se consideran equivalentes si su diferencia es un múltiplo entero de 2π). Considere el caso en el que la entrada es una señal periódica representable como una serie de Fourier. Una fase lineal asegura que cada componente, sinusoidal o exponencial, sufra el mismo retardo temporal y una magnitud binaria y constante a trozos asegura que cada componente en la banda de paso reciba la misma atenuación. Ejemplo. Suponga que se tiene un filtro con función de transferencia H(Ω) = e j5Ω , cuya magnitud es constante e igual a uno y con fase lineal dada por ∠H(Ω) = 5Ω. Si la entrada al filtro es e(t) = cos(at) + cos(bt), la salida está dada por, cos(at + ∠H(a)) + cos(bt + ∠H(b)) = cos(at + 5a) + cos(bt + 5b) = e(t + 5) Por lo tanto, el único efecto de este filtro es adelantar la señal que se filtra. 4.6.2. Distorsión Cuando la magnitud de la función de transferencia no es contante a trozos con valores cero, en la banda de rechazo, y uno, en la banda de paso, se dice que se tiene distorsión de amplitud. Cuando la fase no es lineal, se dice que se tiene distorsión de fase. 4.6. DISTORSIÓN DE FASE Y DISTORSIÓN DE AMPLITUD 303 Para ilustrar los efectos de estas distorsiones, comparemos un filtro ideal pasa bajas con un filtro pasa bajas RC. Sean HI (Ω) y HR C(Ω), respectivamente, las funciones de transferencia de los filtros, dadas por 1, HI (Ω) = 0, HR C(Ω) = |Ω| ≤ 1 |Ω| > 1 1 1 + jΩ suponga que la señal e(t) = cos(0,1t) + cos(0,5t) + cos(2t) mostrada en la figura 4.32.a, se filtra con cada uno de estos filtros. La idea es dejar pasar las señales con frecuencias angulares 0.1 y 0.5 y rechazar la señal de frecuencia 2. La respuesta del filtro ideal está dada por: rI (t) = cos(0,1t) + cos(0,5t) mientras que la del RC está dada por: rRC (t) = 0,995 cos(0,1t − 0,099) + 0,894 cos(0,5t − 0,463) + 0,447 cos(2t − 1,107) En la medida que 0.995 es diferente de 1, 0.894 es diferente de 1 y 0.447 es diferente de 0, tenemos distorsión de amplitud; el la medida en que 0.099/0.1 es diferente de 0.463/0.5, se tiene distorsión de fase. Note que en realidad no hay mucha distorsión de fase; esto se debe a que la fase de la función de transferencia de HRC (Ω) es aproximadamente lineal para omegas pequeñas, ya que es una arcotangente. El que HRC (Ω) atenúe la señal cos(2t) sólo a 0,447 cos(2t − . . . ) sí es bastante problemático y se debe a que la magnitud de HRC (Ω) decrece lentamente alrededor de Ω = 1. Ejercicio. Utilizando Matlab, grafique las respuestas rI (t) y rRC (t), mencionadas arriba, para t ∈ [0, 200]; compare las diferencias. 304 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Figura 4.32: a. Señal de entrada b. Señal de salida del filtro ideal c. Señal de salida del filtro RC 4.6. DISTORSIÓN DE FASE Y DISTORSIÓN DE AMPLITUD 305 La distorsión de fase que sufre una señal que se filtra con un filtro de fase no lineal, es similar a lo que le sucede a una onda que viaja a través de un medio dispersivo. 4.6.3. Filtro pasa todas Un filtro pasa todas ideal nos permite ver lo que sucede en la banda de paso de un filtro que no distorsiona. Un filtro pasa todas es un filtro con respuesta escalón de la forma: g(t) = u(t − τ), es decir, une escalón atrasado o adelantado, dependiendo del signo de τ. Por lo tanto, la función de transferencia de un pasa todas está dada por: ∞ Z H(Ω) = e−jΩ0 t dg(t) −∞ que incluye el caso H(Ω) = 1, correspondiente al sistema identidad. Más generalmente, un pasa todas es cualquier filtro con función de transferencia con magnitud unitaria, es decir de la forma, H(Ω) = e jφ(Ω) , φ : R1 → S1 donde φ(Ω) es la función fase de la función de transferencia. La respuesta a una exponencial compleja estará dada entonces por, s(t) = e jφ(Ω0 ) e jΩ0 t = e jφ(Ω0 )+ jΩ0 t = e jΩ0 (φ(Ω0 )/Ω0 +t) teniéndose que, si la entrada es una exponencial compleja, la salida s es una versión desplazada de la entrada e; el retardo, dado por φ(Ω0 )/Ω0 , depende de la frecuencia Ω0 de la exponencial compleja. 306 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Si la función de fase lineal, φ(Ω0 ) = mΩ, como asumimos inicialmente, entonces la salida correspondiente a una entrada igual a una suma de exponenciales complejas es una versión retardada de la entrada y el retardo está dado por m, independientemente de las frecuencias involucradas. De hecho, si la fase es lineal, la función de transferencia del filtro está dada por H(Ω) = e jmΩ y la señal de entrada e(t) tiene transformada de Fourier E(Ω), la transformada de la señal de salida s(t) es S(Ω) = E(Ω)H(Ω) = E(Ω)e jmΩ y, por las propiedades de desplazamiento en t y de transformada inversa, la salida está dada por, s(t) = e(t + m), por esta razón, un pasa todas ideal también se conoce como una línea de retardo ideal. El filtro identidad que produce a la salida la misma señal de entrada, en un pasa todas con fase cero. Ejercicio. Suponga que se desea un filtro pasa todas, que introduce un retardo de valor 10 a la señal de entrada; es decir, s(t) = e(t − 10) donde s y e son la salida y la entrada respectivamente. ¿Cuál es la función de transferencia H(Ω) del filtro? Ejercicio. Suponga que se desea un filtro pasa todas, como el diseñado en el ejercicio anterior. Si la entrada es la señal e(t) = cos(5πt). ¿Cuál es la salida? Exprese la salida en cuadratura: a cos(5πt) + b sen(5πt) Note que, en el ejercicio anterior, puede ser equivalente usar el pasa todas o un pasa bajas ideal con banda de paso que incluya las frecuencias de la señal, ¿por qué?. 4.6.4. Décadas y octavas Las décadas y las octavas se usan para medir relaciones (es decir cocientes) en forma logarítmica. Así, se dice que 20.000 está 3 décadas por encima de 20 y 4.6. DISTORSIÓN DE FASE Y DISTORSIÓN DE AMPLITUD 307 que 1000 está 3 octavas por debajo de 8000. Las fórmulas para medir la relación entre f1 y f2 en décadas y en octavas, respectivamente, están dadas por, D = log10 ( f1 ) f2 O = log2 ( f1 ) f2 Ejercicio. ¿Cuántas octavas tiene un piano estándar? Ejercicio. ¿Cuántas octavas hay de un do al siguiente fa? Ejercicio. ¿Cuantas décadas hay en 3 octavas? Figura 4.33: Do=C (261.626Hz), Re=D (293.665Hz), Mi=E(329.628Hz), Fa=F (349.228Hz), Sol=G (391.995Hz), La=A (440.0Hz), Si=B (493.883Hz) 4.6.5. Frecuencias de corte y decibeles En la practica, muchos filtros se implementan con elementos tales como bobinas, resistencias y condensadores (o elementos análogos para variable no 308 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS x1/x2 log(x1/x2) log2 (x1/x2) 10 log(x1/x2) 20 log(x1/x2) 300/30 1 3.322 10 20 880/440 0.301 1 3.01 6.02 25/50 -3.01 -1 -3.01 -6.02 Relación natural en décadas en octavas dB de potencia dB de voltaje Tabla 4.1: Relación natural eléctricas), y la función de transferencia resultante es una función racional (es decir, el cociente de dos polinomios) en la variable Ω. Un filtro ideal, en general un filtro con una función de transferencia que tenga magnitud discontinua, no tiene una función de transferencia racional y por lo tanto no puede ser implementado así. Las funciones de transferencia racionales tienen transiciones suaves entre las “bandas de paso” (donde la magnitud de la función de transferencia es relativamente grande) y las “bandas de rechazo” (donde la magnitud es relativamente pequeña) graduales, sin discontinuidades. Normalmente, se considera que las frecuencias de corte de los filtros ocurren donde la magnitud de la función de transferencia es √1 veces la 2 magnitud máxima en la banda pasante. eso se debe a que la variable física que la señal representa normalmente, por ejemplo voltaje, es proporcional a la raíz cuadrada de la potencia correspondiente y así, en las frecuencias de corte, la relación de potencias entre las señales de salida y de entrada es la mitad de la correspondiente relación en la banda de paso. Una relación entre potencias PPes se expresa en dB’s (decibeles) dando el s valor 10 log10 PPse . Una relación entre voltajes V Ve o corrientes se expresa en dB’s s dando el valor 20 log10 V Ve . La utilidad del uso de dB’s está en poder sumar y restar ganancias en vez de multiplicarlas dividirlas. Una ganancia de voltaje de 0.707 equivalente a una de potencia de 1/2, corresponde a: 10 log10 0,5 ≈ −3dB; por esto, en ingeniería electrónica, frecuencias Ωc para las que la magnitud de la ganancia se reduce a √1 , donde 2 4.6. DISTORSIÓN DE FASE Y DISTORSIÓN DE AMPLITUD 309 |H(Ωc )|2 = 1/2, se les llama frecuencias de corte de 3dB. Ejemplo. Suponga que se tiene un pasa bajas RC de primer orden.Para encon- trar su frecuencia de corte procedemos así, 1 1 + jΩRC 1 1 |H(Ω)|2 = = 2 |1 + jΩRC| 1 + (ΩRC)2 H(Ω) = El valor máximo de la magnitud es |H|max = 1, y ocurre cuando Ω = 0. Si 1 |H|max = √1 , entonces Ω = Ωc = RC . 2 El ancho de banda (“Band Width”=BW) se mide normalmente sobre el semieje positivo e frecuencias, de tal forma que, para un pasa bajas, el ancho de banda es igual a su frecuencia de corte. Resulta conveniente graficar la magnitud en decibeles de la función de transferencia de un filtro, contra la frecuencia, en décadas. Para un pasa bajas de primer orden, resulta la siguiente ecuación, 20 log(| 1 1 ]1/2 ) |) = 20 log([ 1 + jΩRC 1 + (ΩRC)2 = −10 log(1 + (ΩRC)2 ) = −20 log(Ω/Ωc ) donde Ωc = 1/RC. Ejercicio. Para la función de transferencia H del ejercicio anterior, con Ωc = 10, grafique 20 log10 H(Ω) contra log10 Ω. Si la gráfica es aproximadamente lineal, encuentre la pendiente. Ejercicio. Si la entrada al circuito RC pasa bajas es una señal escalón, y el voltaje inicial del condensador es cero, el tiempo de subida tr se define como 310 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Figura 4.34: Representación en decibeles de la función de transferencia el tiempo que toma a ala señal de salida en ir de 0.1 a 0.9. ¿Cómo se relaciona el tiempo de subida con la frecuencia de corte en un pasa bajas RC de primer orden? Ejercicio. Para el circuito RC pasa bajas, si R=1KΩ y la frecuencia (no angular) de corte es 10KHz, ¿Cuánto vale C? ¿Cuánto vale el tiempo de subida? Ejercicio. Se tiene un bombillo de 110V y potencia de 60W. ¿Cuál debe ser el voltaje para que disipe una potencia de 30W? (Asuma que el cambio de temperatura no afecta significativamente la resistencia del bombillo, lo cual es falso.) Ejercicio. Se tiene una resistencia de 1KΩ, si se aplica un voltaje V=10V, ¿Qué potencia disipa? Sea x el voltaje que se debe aplicar a la resistencia para que disipe 5W, ¿Cuánto vale la relación r = x/10 ¿Cuánto vale 20 log(r)? Ejercicio. Se tiene un pasa bajas RC con frecuencia (angular) de corte de 10 r/s. ¿Cuál es la salida si la entrada es e(t) = sen t + sen 10t + sen 102 t? 4.6. DISTORSIÓN DE FASE Y DISTORSIÓN DE AMPLITUD 311 Ejercicio. Encuentre la función de transferencia al colocar en cascada un RC pasa bajas de primer orden y un RC pasa altas de primer orden. a) Si las dos etapas se aíslan con un seguidor. b) Si la salida de una se conecta directamente a la entrada del otro. Ejercicio. Suponga que tiene un filtro pasa todas con función de transferencia dada por H(Ω) = e jΩ (la magnitud y la fase de H se muestran en la figura 4.35); si la entrada es e(t) = sin t + sin 2t, ¿Cuál es la salida s(t)? ¿Cuánto vale la pendiente de la fase de H? Figura 4.35: La magnitud y la fase de un pasa todo con fase lineal Ejercicio. Suponga que se tiene un filtro pasa todo con función de transferencia tal como se indica en la figura 4.36; si la entrada es e(t) = sen t + sen 2t, ¿Cuál es la salida s(t)? Grafique e(t) y s(t) para t ∈ [0, 2π]. Ejemplo. Si la señal cos t − 0,2 cos 3t se filtra con el pasa todas de la figura 4.36, resulta la señal cos t − 0,2 cos(3t − π). Observe la distorsión en la forma de onda en las figuras siguientes. 312 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Figura 4.36: Un pasa todo con fase no lineal Note que el filtro pasa bajas RC de primer orden, para frecuencias pequeñas, tiene una magnitud aproximadamente plana (es decir constante) y una fase bastante lineal. Por lo tanto, el filtro no distorsiona mucho las componentes de baja frecuencia de la señal (las que se supone que interesan y deben aparecer a la salida del filtro). Para frecuencias cercanas a la frecuencia de corte del filtro las distorsiones de amplitud y de fase introducidas son apreciables. Ejercicio. Comente sobre la distorsión introducida por el filtro RC pasa bajas de primer orden a la frecuencia de corte, y para frecuencias mucho mayores que la frecuencia de corte Ejercicio. 1. Diseñe un filtro pasa bajas RC con frecuencia de corte 60Hz. 2. Calcule los coeficientes de Fourier {cn } para una onda triángulo con periodo 1/60 seg., amplitud de dos voltios pico a pico, nivel DC de un voltio, como se muestra en la figura siguiente. 4.6. DISTORSIÓN DE FASE Y DISTORSIÓN DE AMPLITUD 313 Figura 4.37: a) La señal de entrada. b) La señal de salida (alteración de la forma de onda) 314 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS 3. Si la onda triángulo se filtra con el pasa bajas, calcule los coeficientes de Fourier de la señal de salida. 4. Utilizando Matlab, calcule y grafique aproximadamente dos periodos de la señal de salida. (Utilice las 10 primeras armónicas.) Figura 4.38: Onda triángulo 4.7. La transformada de Fourier L-2 Desafortunadamente, tres de las señales no periódicas más comunes en teoría de sistemas y señales no son integrables en magnitud: la señal constante 1, la señal escalón y la señal senc . De éstas, solo la señal senc está en L2 . Para ésta última podemos definir una transformada de Fourier, que es como esperábamos, un pulso en frecuencia. Note de paso que la transformada L − 2 no necesariamente produce funciones uniformemente continuas. Un hecho básico es que L1 ∩ L2 es denso en L2 . Así, es posible aproximar cada función de L2 con señales en L1 ∩ L2 , que en particular están en L1 y tienen transformada tal como la acabamos de definir. La aproximación es en el sentido de la norma L2 y no necesariamente es lineal. Es decir, decimos que una sucesión de funciones { fn } en L1 ∩ L2 aproxima a la función en L2 si k fn − f k2 tiende a cero. 4.8. DISTRIBUCIONES TEMPERADAS 4.7.1. 315 Definición Sea s(t) una señal con magnitud al cuadrado integrable, es decir, una señal en L2 . Sea N un número natural y considere las versiones truncadas de s dadas por: s(t)[u(t + N) − u(t − N)]. Note que cada sn es integrable en magnitud, y en magnitud al cuadrado, es decir está en L1 ∩ L2 . Por lo tanto, cada sN (t) tiene una transformada de Fourier L − 1 que denotaremos SN (Ω). Se puede mostrar que {SN } es una sucesión de Cauchy en L2 y, dado que L2 es un espacio completo, existe una función S(Ω) tal que kS − Sn k2 tiene a cero a medida que N crece. A ésa S la llamamos también el límite en norma L − 2 de {SN }. Este límite nos da la transformada de Fourier L − 2 de la señal s. R Nπ Ejercicio. Calcule el límite, a medida que N crece, de −Nπ senc (t)e jΩt dt. Ejercicio. Encuentre la transformada de Fourier L − 2 de la señal senc . 4.8. La transformada de Fourier de distribuciones temperadas Finalmente, en esta sección, definiremos las transformadas de Fourier del escalón y de las señales constantes, en un sentido muy especial, que afortunadamente tiene muchos puntos de empate con las trasformadas L − 1 y L − 2. Inicialmente, definimos la clase de Schwartz y las distribuciones temperadas. Decimos que una función f : R → R está en la clase de Schwartz, L, si es indefinidamente derivable y ella y sus derivadas decrecen rápidamente en infinito, en el sentido que: ∀α, β ∈ N −x2 e sup{xα Dβ f (x) : x ∈ R} < ∞ Las funciones infinitamente derivables de soporte compacto y otras como que no tienen soporte compacto, están en L. pα,β ( f ) := sup{xα Dβ f (x) : x ∈ 316 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS R}, determina una familia contable de seminormas para L con la que se define su topología: { fn } converge a 0 si y sólo si el límite cuando n tiende a infinito de pα,β ( f ) es cero, para cada α y cada β naturales. El espacio de funcionales continuos sobre L, que se denota L0 se llama espacio de distribuciones temperadas. Teorema 8. La transformada de Fourier es una aplicación continua de L en L tal que 1. R∞ −∞ g(x)H(x)dx = R∞ −∞ h(x)G(x)dx donde H es la transformada de h, y G la de g. 2. g(t) = R∞ 1 2π −∞ G(ζ)e jζt dζ (fórmula de inversión) Definición 18. La transformada de Fourier de φ ∈ L0 es la distribución temperada Φ ∈ L0 dada por ∀g ∈ L Φ(g) = φ(G) (4.7) Teorema 9. La transformada de Fourier es una biyección lineal continua. 4.8.1. Distribuciones Llamamos a g el núcleo del funcional γ dado por Z ∞ γ( f ) = g(t) f (t)dt −∞ mientras que g es la semilla del funcional η dado por Z ∞ η( f ) = f (t)dg(t) −∞ Es interesante observar lo que le sucede, cuando tienen núcleo o semilla, a los núcleos o semillas de las distribuciones φ y Φ en la ecuación 4.7. 4.8. DISTRIBUCIONES TEMPERADAS 317 La distribución de Dirac considere la distribución dada por δ( f ) = f (0), que no tiene núcleo pero sí semilla: el escalón u(t). Por definición, su transformada ∆ es la distribución dada por ∆( f ) = δ(F) = F(0) donde F es la transformada de f . Así, ∆ sí tiene núcleo, ya que ∆( f ) = F(0) Z ∞ f (t)e j0t dt = −∞ Z ∞ = f (t)1dt −∞ y vemos que el núcleo de ∆ es la función constante 1. La distribución constante R∞ Sea κ dada por κ( f ) = −∞ f (t)dt, que como vemos, tiene núcleo la función constante 1. Por definición, su transformada está dada por, K( f ) = κ(F) Z ∞ = F(Ω)dΩ −∞ Z ∞Z ∞ = f (t)e jΩt dtdΩ −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ ? = f (t) e jΩt dΩdt −∞ que sin embargo no tiene sentido, ya que que K no tiene núcleo. −∞ R∞ −∞ e jΩt dΩ no converge. Así, tenemos 318 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS La distribución con núcleo escalón Considere la distribución con núcleo u(t): Z ∞ u(t) f (t)dt µ( f ) = −∞ Z ∞ f (t)dt = 0 por definición, la transformada de m está dada por, M( f ) = µ(F) Z ∞ = F(Ω)dΩ 0 Z ∞Z ∞ = f (t)e jΩt dtdΩ 0 −∞ Z ∞ Z ∞ ? = f (t) e jΩt dΩdt −∞ que tampoco tiene sentido, ya que tiene núcleo. R∞ 0 0 e jΩt dΩ no converge. Tenemos que M no La distribución valor principal de 1/x y la transformada de Hilbert R f (t) Considere la distribución temperada dada por φ( f ) = lı́m→0 ||>0 t dt. Por definición la transformada de f está dada por Φ( f ) = φ(F) Z F(Ω) = lı́m dΩ →0 ||>0 Ω Z Z ∞ 1 = lı́m f (t)e jΩt dt dΩ →0 ||>0 Ω −∞ Z ∞ Z e jΩt ? = f (t) lı́m dΩ dt →0 ||>0 Ω −∞ 4.9. MODULACIÓN SSB Y LA TRANSFORMADA DE HILBERT resultando una distribución con núcleo lı́m→0 R 319 e jΩt dΩ. ||>0 Ω e jΩt dΩ ||>0 Ω R = jsgn (t), donde sgn es la función sígnum. (sgn vale 1 para argumento positivo, -1 para argumento negativo y R ∞ sen(Ωt) cero para argumento nulo). Sugerencia: evalúe 0 Ω dΩ usando cálculo de residuos. Ejercicio. Muestre que lı́m→0 Así, en cierto sentido, 1/x y jsgn (t) son un par de Fourier. 4.9. Modulación SSB y la transformada de Hilbert Con relación al sistema de modulación en la figura 4.39 note que el espectro de h es sgn (Ω)S(Ω) y que b(t) es una modulación de banda lateral inferior de s(t). Observe también la figura 4.43. Figura 4.39: Espectro de la señal s(t) Ejercicio. Implemente la modulación de banda lateral inferior. 320 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Figura 4.40: Espectro de la señal modulada f (t) Figura 4.41: Espectro de la señal h(t) Figura 4.42: Espectro de la señal resultante b(t) 4.9. MODULACIÓN SSB Y LA TRANSFORMADA DE HILBERT 321 Figura 4.43: Modulación SSB usando la transformada de Hilbert 4.9.1. Pares de Hilbert z(t) tiene Z(Ω) = 0 para Ω < 0 entonces Re(z) y Im(z) son pares de Hilbert. Demostración Suponga f (t) := Rez(t) y g(t) := =z(t) pare de Hilbert. Entonces: G(Ω) = 1 sgn(Ω)F(Ω) j Entonces Z(Ω) = F(Ω) + jG(Ω) = F(Ω) + sgn(Ω)F(Ω) Entonces Ω<0 0, Z(Ω) = 2F(Ω), Ω > 0 322 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Suponga que no existe Z(Ω) = 0 para cada ω > 0 desde que F y G sean reales, Z(−Ω) = F(−Ω) + jG(−Ω) = F∗ (Ω) + jG∗ (Ω) = [F(Ω) + jG(Ω)]∗ entonces para ω > 0, F(Ω) = jG(Ω), y por hipótesis también para Ω < 0, F(Ω) = −jG(Ω), tenemos: F(Ω) = jsgn(Ω)G(Ω) ó G(Ω) = 1 sgn(Ω)F(Ω) j Nota. X(Ω) = X∗ (−Ω) ⇔ <X(Ω) par y =X(Ω) impar. Nota. g(t) = f (t) ∗ 1t f (t) = −g(t) ∗ 1t = −( f (t) ∗ 1t ) ∗ 1t . La convolución es asociativa?? si: Z Z Z Z Z a(s)b(τ−s)δs g(t−τ)δτ = a(s) b(τ−s)g(t−τ)δτδs = a(s)b∗ g(t−τ)δs 4.10. Apéndice I Considere el circuito mostrado en la figura 4.44: Deseamos hallar la ganancia G(Ω) = S(Ω)/E(Ω) y el ancho de banda (BW) de tres decibeles del circuito realimentado y mostrar que el producto es aproximadamente constante, independientemente de la cantidad de realimentación, dada por la relación entre R1 y R2. Como sabemos, para un pasa bajas RC de un polo, V2(Ω)/V1(Ω) = a/(a + jΩ/Ω0 ), donde Ω0 = 1/RC. Note que V2(0)/V1(0) es decir la ganancia del RC en frecuencia cero, es 1 y por lo tanto, S(0) = A(E(0) − KS(0)), donde K = R1/(R1 + R2); despejando obtenemos: S(0) = E(0)A/(1 + AK) y tenemos que, en DC, la ganancia es A/(1 + AK) = 1/A−1 + K; que para A suficientemente grande, es aproximadamente 1/K. Llamaremos a esta ganancia G0 . 4.10. APÉNDICE I 323 Figura 4.44: Modelo de un polo de un amplificador operacional realimentado En general, para una frecuencia Ω, S(Ω) = A[E(Ω) − KS(Ω)][1/(1 + jΩ/Ω0 )] despejando, S(Ω) A 1 = = E(Ω) 1 + AK + jΩ/Ω0 1/A + K + jΩ/AΩ0 asumiendo que 1/A tiene un valor despreciablemente pequeño, G(Ω) = 1 K−1 = 1/A + K + jΩ/AΩ0 1 + jΩ/AKΩ0 Note que esta es la función de transferencia de un filtro pasa bajas de primer orden con ganancia en frecuencia cero de G(0) = K−1 y BW = AKΩ0 , por lo tanto, el producto ganancia por ancho de banda es AΩ0 , independiente de la cantidad de realimentación K. Las aproximaciones dejan de ser válidas en la medida en que K−1 se aproxime a A. Por ejemplo, para el operacional monolítico uA741, A vale un millón y Ω0 vale 2π (1Hz). 324 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Laboratorio. usando un 741, monte un amplificador de ganancia 20 y mida el ancho de banda. 4.11. Apéndice II: Análisis en tiempo contra análisis en frecuencia 4.11.1. Respuesta del circuito RC pasa bajas de primer orden a una señal onda cuadrada Este ejemplo ilustra el hecho de que el análisis en frecuencia puede ser insuficiente y que el dominio del tiempo no se puede ignorar. suponga que a un circuito pasa altas RC de primer orden, como se muestra en la figura 4.45, se aplica una onda cuadrada c(t), con periodo T, como se muestra en la figura 4.46. Figura 4.45: Circuito RC pasa bajas Un análisis en frecuencia de la respuesta r(t) de este sistema de convolución a esta entrada periódica nos da los coeficientes de Fourier de la señal de salida, 4.11. APÉNDICE II: ANÁLISIS EN TIEMPO CONTRA ANÁLISIS EN FRECUENCIA325 Figura 4.46: Una onda cuadrada dados los coeficientes de Fourier de la onda cuadrada de entrada c(t): ∞ c(t) = 1 2X1 nπ 2nπt (E + F) + (E − F) sen cos 2 π n 2 T (4.8) n=1 ∞ 2X nπ 1 RC (E + F) + (E − F) sen cos(nΩ0 t + atan (nω0 RC)) p 2 2 π 2 n=1 n 1 + (nΩ0 RC) (4.9) donde Ω0 = 2π/T. Note que las señales tienen armónicas pares nulas. La señal r(t) es también la respuesta en estado estable del circuito; es decir, es la respuesta a la entrada e(t) = c(t)u(t) para t >> 5RC. r(t) = Aunque la fórmula 4.9 nos da una descripción analítica de la señal de salida, la cual en principio contiene toda la información sobre ésta, hay ciertos detalles que no aparecen explícitamente y que de hecho son bastante difíciles de obtener a partir de la fórmula. por ejemplo, la función de transferencia del filtro nos da el nivel promedio de la salida en términos del nivel promedio de la entrada; sin embargo, el voltaje pico a pico de la señal de salida no es tan fácil de obtener. Para encontrar este voltaje podemos hacer un análisis en tiempo. 326 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS 4.11.2. Respuesta escalón Suponga que en el circuito de la figura 4.44, el voltaje inicial del condensador, vc (0− ) es B y que a la entrada se aplica la señal i(t) = B + (A − B)u(t); así, para t < 0, vi (t) = B y para t > 0, vi (t) = A. Resolviendo la ecuación diferencial correspondiente con la condición inicial dada encontramos que, t t vc (t) = A[a − e− RC ] + Be− RC 4.11.3. (4.10) Respuesta de estado estable a una onda cuadrada Suponga que la entrada al circuito es una onda cuadrada (ciclo útil de 50 %) con “techo” (nivel alto) E voltios, “piso” (nivel bajo) F voltios y periódo T, como se muestra en la figura 4.46; note que el nivel promedio de esta señal es 21 (E + F) y que su voltaje pico a pico es E − F. La respuesta del circuito es como se muestra en la figura 4.47 donde se observa la respuesta transiente y la transición a la respuesta estable. Figura 4.47: Respuesta del circuito RC a una onda cuadrada Para hallar los valores pico C y D de la señal de salida en estado estable, 4.12. PROBLEMAS 327 utilizamos la fórmula 4.10, definimos τ = RC y resolvemos el siguiente par de ecuaciones: T T C = E(1 − e− 2τ ) + De− 2τ T T D = F(1 − e− 2τ ) + Ce− 2τ de las que podemos deducir T T C = (E + Fe− 2τ ) 1 − e− 2τ 1−e − Tτ 1 T = (E + Fe− 2τ ) T 1 − e− 2τ T D = (F + Ee T T − 2τ T ) 1 − e− 2τ 1−e − Tτ 1 T = (F + Ee− 2τ ) T 1 − e− 2τ T ya que (1 − e− τ ) = (1 − e− 2τ )(1 − e− 2τ ); así tenemos que C + D = E + F y, consecuentemente con el hecho de que el circuito es un pasa bajos con ganancia 1 para frecuencia cero, los niveles DC de entrada y salida son iguales: (C + D/2) = (E + F)/2; además, el voltaje pico a pico de la señal de salida está dado por T C − D = (E − F) 1 − e− 2τ T 1 + e− 2τ T = (E − F)tanh ( ) 4τ T Ejercicio. Demuestre que 1−e− 2τ T 1+e− 2τ T = tanh ( 4τ ). T T En la figura 4.48 se grafica tanh ( 4τ ) contra 2τ . En las figuras 4.49 y 4.50 se muestra la salida en estado estable para dos valores extremos de T, en un caso para T << τ y en el otro para T >> τ. 4.12. Problemas 1. Calcule la transformada de Fourier F(Ω), si f (t) = 328 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Figura 4.48: Gráfica de la relación de los voltajes pico a pico de entrada y salida del circuito RC Figura 4.49: Respuesta estable para T << τ Figura 4.50: Respuesta estable para T >> τ 4.12. PROBLEMAS 329 a) e−|t| b) 1 1+t2 c) cos(10t)e−|t| 2 d) e−t e) u(t) − u(t − 1) 2 f ) e−5t cos(20t) 2. Diga si la señal senc (t) es integrable en magnitud, o no. Si sí, dé el valor de la integral, si no, demuestre. 3. La respuesta impulso de un sistema de convolución continuo es h(t) = u(t)e−t . Encuentre la respuesta r(t) cuando la entrada al sistema es e(t) a) cos(t) + cos(2t) b) u(t) − u(t − 1). (Encuentre la transformada de Fourier de la salida.) 4. Se tiene un filtro pasa bajas ideal con frecuencia de corte en 70Hz. Encuentre la salida si la entrada es la señal mostrada en la figura 4.51. Figura 4.51: Señal periódica 5. Encuentre la transformada de Fourier, G(Ω), de la señal e−|t| sen(100t). Grafique la magnitud y la fase de G. Sea cuidadoso con la fase. 330 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS 6. Considere el circuito mostrado en la figura 4.52, el cual modela la impedancia de una punto de oscilodcopio X10 (atenuado por 10) y la impedancia de entrada del amplificador del osciloscopio. Se dice que la punto está compensada si C=9pF. a) Encuentre la respuesta escalón para C=9pF, 5pF y 12 pF. (¿Ha visto estas formas de onda en la pantalla de un osciloscopio?) b) Encuentre la función de transferencia del circuito para C=9pF, 5pF y 12pF. Figura 4.52: Circuito 7. La magnitud y la fase de la transformada de la señal x(t) se muestran a continuación. Grafique la magnitud y la fase de la transformada de x(t) sen(10t). Sea cuidadoso con la fase. 8. Calcule la transformada de Fourier de la señal u(t + 1) − u(t − 1). Con base en ésta, calcule la transformada de: a) u(t) − u(t − 2) b) u(t) − u(t − 1) c) u(t) − 2u(t − 1) + u(t − 2) 4.12. PROBLEMAS 331 Figura 4.53: Magnitud y fase d) r(t) − 2r(t − 1) + r(t − 2), donde r es la función rampa, la integral del escalón. t2 9. Calcule y grafique la transformada de f (t) = e− 2 así como la de f 0 (t) = t2 −te− 2 . 10. Se tiene un sistema de convolución cuya respuesta impulso está dada por 1/2, |t| ≤ 1 h(t) = 0, |t| > 1 encuentre la respuesta del sistema a la entrada e(t) = sen(t) + sen(10t). 11. Se tiene un filtro con función de transferencia H(Ω) = 1 1+ jΩ . Si la entrada Rπ está dad por e(t) = sen(t) + sen(2t), sea s(t) la salida. Encuentre −π e2 (t)dt Rπ y −π s2 (t)dt. Sugerencia: utilice la fórmula de Parseval para series de Fourier (capítulo 3). 12. Se tiene un filtro con función de transferencia dada por H(Ω) = a) Grafique |H(Ω)| y ∠H(Ω). b) Encuentre las frecuencias de corte ±Ωc de 3 dB. c) Dé los valores de ∠H(Ωc ) y ∠H(Ωc ). jΩ 1+ jΩ . 332 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS d) Encuentre la respuesta escalón del sistema. 13. Sabiendo que la transformada del pulso p(t) = u(t + 1) − u(t − 1) es una senc : P(Ω) = 2senc (Ω), muestre que la transformada del triángulo r(t) = [p ∗ p](t) es R(Ω) = 4senc 2 (Ω). Grafique r(t) y R(Ω). 14. Haciendo un análisis de 10 armónicas, grafique la salida del sistema (no lineal) mostrado en la figura siguiente. Figura 4.54: Rectifivador de media onda y pasabajas RC 15. a) Encuentre la transformada G(Ω) de la señal g(t) = u(t + 1) − u(t − 1). Grafique g y G. Utilizando propiedades de la transformada de Fourier, b) Encuentre la transformada H(Ω) de la señal h(t) = g(t − 1). Grafique h y H. c) Encuentre la transformada R(Ω) de la señal r(t) = g(t)−h(t). Grafique r y R. d) Encuentre la transformada S(Ω) de la señal s(t) si se sabe que r(t) = s0 (t). 16. Encuentre la transformada de Fourier de la señal mostrada (Figura 4.56). Sugerencia: 4.12. PROBLEMAS 333 Figura 4.55: Pasabajs RC con frecuencia de corte 1Hz y entrada con nivel DC Figura 4.56: Señal triangular Figura 4.57: La convolución de dos pulsos es un triángulo 334 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS 17. Suponga que PB es un sistema de convolución con respuesta escalón g(t) = (1 − e−t )u(t) y función coracterística correspondiente h(t) = e−t u(t). Figura 4.58: Pasa-altas = identidad - pasabajas a) Encuentre la respuesta escalón del sistema compuesto: PA=I-PB, donde I es el sistema identidad. b) Calcule la función de transferencia H(Ω) del subsistema PB. c) Encuentre la función de transferencia del sistema compuesto. 18. Se tiene un sistema con función de transferencia H(Ω) = jΩ 1+ jΩ . a) GRafique |H(Ω)| y ∠H(Ω). Diga qué tipo de filtro es. b) Encuentre la frecuencia de corte de 3dB. c) Encuentre la respuesta escalón del sistema. 19. Encuentre la potencia promedio de la señal de entrada así como la potencia promedio de la fundamental y de las dos primeras armónicas de la salida (figura 4.59). Asuma estado estable (i.e. la señal se aplica desde siempre). 20. ) Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) = e−t u(t), donde u es la señal escalón. Diga qué tipo de filtro es (pasabajas, pasabanda, etc.) y dé la transformada S(Ω) de la salida s(t) si la entrada es la señal mostrada: e(t) = 0 para t < 0, t para 0 < t. 4.12. PROBLEMAS 335 Figura 4.59: Problema 20 Figura 4.60: La señal mostrada se filtra con el sistema de convolución 21. Sea φ el funcional valor principal 1x , dado por Z f (t) φ( f ) = lı́m dt →0 ||>0 t encuentre g(t) para que el funcional Φ( f ) dado por Φ( f ) = f (F), donde F es la transformada de Fourier L1 de f , se puede expresar como: Z ∞ Φ( f ) = f (t)g(t)dt ∞ 22. Sea φ el funcional delta de Dirac, dado por δ( f ) = f (0), encuentre g(t) para que el funcional ∆( f ) dado por ∆( f ) = δ(F), donde F es la transformada de Fourier L1 de f , se puede expresar como: Z ∞ ∆( f ) = f (t)g(t)dt −∞ 336 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS 23. Sea γ el funcional con distribución g dada por Z ∞ f (t)g(t)dt γ( f ) = −∞ muestre que el funcional Γ( f ) dado por Γ( f ) = γ(F), donde F es la transformada de Fourier L1 de f , se puede expresar como: Z ∞ Γ( f ) = f (t)G(t)dt −∞ donde G es la transformada de Fourier L1 de g. 1 24. Calcule la transformada de Fourier G(Ω) de la señal g(t) = 1+t 2 , diga si G es par o impar, real o imaginaria, o ninguna de las anteriores. 25. La señal cos(t) + u(u) − u(t − 2π) se aplica a un sistema de convolución continuo con respuesta escalón u(t) − u(t − 1). Encuentre la salida. 26. A un sistema de convolución continuo con función de transferencia H(Ω) = 1+1jΩ se aplica una onda cuadrada de frecuencia 5 ciclos por segundo, nivel promedio 1V y amplitud pico a pico de 2 V. Encuentre: a) La potencia promedio de la entrada. b) La potencia promedio de salida. c) La potencia promedio de las 2 primeras armónicas de la entrada. d) La potencia promedio de las 2 primeras armónicas de la salida. 27. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) = e−t u(t). Al sistema se aplica la señal e(t) = 1 + cos(t) + cos(5t). a) Encuentre la salida. b) Encuentre la potencia promedio de la entrada. c) Usando Parseval, encuentre la potencia promedio de la salida. 4.12. PROBLEMAS 337 28. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g1 (t) = 2 e−t . Sea g2 (t) = g01 (t). a) GRafique g1 (t) y g2 (t). b) Si g1 (t) y g2 (t) son respuestas escalón de sistemas de convolución, grafique las funciones características correspondientes. c) Encuentre los anchos de banda de 3dB de los dos sistemas. 29. Se tiene un sistema de convolución con respuesta escalón u(t − 1) + (1 − 2 e−t )u(t), donde u es la señal escalón. a) Con una convolución de Stieltjes, encuentre la respuesta r(t) del sistema, cuando la entrada es una exponencial compleja de la forma e jΩ0 t . b) Encuentre y grafique r(t) . e jΩ0 t 30. Encuentre la respuesta del siguiente sistema a la señal 1 + cos(t) + cos(2t). Expresela como una suma de cosenos desfasados. 31. Con un filtro con función de transferencia H(Ω) = 1+1jΩ se filtra la señal | cos(5t)|, encuentre la potencia promedio de las primeras 3 armónicas de la señal de salida. 32. Las señales s(t) = e−|t| y w(t) = u(t+1)−u(t−1) se aplican al sistema mostrado en la figura 4.61. Describa con una fórmula cada una de las señales a(t), b(t), c(t), e(t), d(t), f (t), g(t) en el dominio del tiempo, y grafique aproximadamente sis espectros: |A(t)|2 , |B(t)|2 , |C(t)|2 , |E(t)|2 , |D(t)|2 , |F(t)|2 , |G(t)|2 . 33. Se tiene un sistema con función de transferencia H(Ω) = u(Ω + 450) − u(Ω−450). Si se aplica a la entrada una onda cuadrada de periodo 16.6ms, como se muestra en la figura 4.62. 338 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Figura 4.61: Sistema 4.12. PROBLEMAS 339 Figura 4.62: Onda cuadrada a) Encuentre la potencia promedio de la entrada y de la salida. b) Encuentre y grafique la salida. 34. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón dada por g(t) = (1 − e−t )u(t). Si la entrada es e(t) = 1 + cos(t) + cos(3t), exprese la salida como suma de cosenos desfasados. 35. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) = e−t u(t). Al sistema se aplica la señal e(t) = 1 + cos(t) + cos(5t). Usando Parseval, encuentre la potencia promedio de la entrada y de la salida. 36. Muestre que si f y g están en L1 , f ∗ g también. 37. Evalúe el límite cuando tiende a cero de el signo de t. R e jΩt dΩ |Ω|> Ω sea cuidadoso con 340 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS 38. Encuentre una función de fase no nula, que sea par e impar. (Sugerencia: π = −π.) R∞ 39. Muestre que, si g es integrable en magnitud, entonces lı́mδ→0 −∞ |g(t + δ) − g(t)|dt = 0. 40. El circuito mostrado está en estado estable sinusoidal. Encuentre la frecuencia de oscilación y grafique las señales a(t), b(t) y c(t). 41. A un RC pasa bajas de primer orden con frecuencia de corte de 3dB de 1, se aplica la señal e(t) = arctan (t). Encuentre la energía de la señal de salida. 42. Se tiene un sistema de convolución continuo con función característica dada por cos(10t)e−|t| . Diga qué tipo de filtro es (pasa bajas, pasa altas, etc.) y dé las frecuencias de corte de 3dB. 43. Se tiene la señal x(t) con transformada X(Ω) = [u(Ω+11)−u(Ω+9)+u(Ω− 9) − u(Ω − 11)]e− jΩ . Grafique la transformada de la señal x(t) cos(10t). 44. Encuentre la respuesta del siguiente sistema a la señal 1 + cos(t) + cos(2t). Exprésela como una suma de cosenos desfasados. 45. Con un filtro con función de transferencia H(Ω) = 1+1jΩ se filtra la señal | cos(5t)|, encuentre la potencia promedio de las primeras 3 armónicas de la señal de salida. 46. Utilizando las propiedades de la transformada de Fourier, sabiendo que la transformada de f (t) = u(t + 1) − u(t − 1) es F(Ω) = 2senc (Ω), encuentre la transformada de g∗ (t), si g(t) = e j10t [u(t) − 2u(t − 1) + u(t − 2)]. 47. Utilizando las propiedades de la transformada de Fourier , sabiendo que √ π −( Ω )2 −(at)2 la transformada de Fourier de f (t) = e es F(Ω) = a e 2a , encuentre el ancho de banda de un filtro con respuesta impulso h(t) = f 0 (t). 4.12. PROBLEMAS 341 48. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) = e−2t u(t). a) Encuentre la transformada de Fourier G(Ω) de g(t). b) Grafique la magnitud y la fase de la función de transferencia H(Ω). c) Si la entrada es 3 + cos(t) + sen(3t), encuentre la salida. 49. Se tiene un sistema de convolución con función de transferencia H(Ω = 1 1+2 jΩ ), a) Encuentre el nivel promedio de la salida cuando la entrada está dada por e(t) = | sen(t)|. b) Grafique aproximadamente la magnitud de la transformada de la cos(t) salida cuando la entrada está dada por e(t) = 1+t2 . 50. Encuentre la potencia promedio de | sen(t)|. 51. Usando impedancias, encuentre la función de transferencia del circuito mostrado. Luego, encuentre la respuesta a la señal 1 + cos(t) + cos(10t). Figura 4.63: Circuito impedancias 52. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) = e−2t u(t). Diga qué tipo de filtro es. Dé la transformada S(Ω) de la salida s(t), si la entrada es la señal triángulo que se muestra en la figura 4.64. 342 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Figura 4.64: Señal de entrada 53. a) Encuentre la función de transferencia H(Ω), del sistema (figura 4.65) b) Encuentre H(0), BW de 3dB y el producto H(0)BW. Figura 4.65: Sistema 54. A un RC pasa bajas de primer orden, con frecuencia de corte de un radian por segundo, se aplica una onda cuadrada de amplitud pico a pico 1, nivel promedio 12 y periodo 2π. Encuentre las series de Fourier de la entrada y de la salida. Repita para el caso de un pasa altas. 55. A un RC pasa bajas de primer orden, con frecuencia de corte de un radian por segundo, se aplica una onda cuadrada de amplitud pico a pico 1, nivel promedio 12 y periodo 2π. Encuentre las potencias promedio de la entrada y de la salida. 4.12. PROBLEMAS 343 56. A un RC pasa altas de primer orden, con frecuencia de corte de un radian por segundo, se aplica una onda cuadrada de amplitud pico a pico 1, nivel promedio 12 y periodo 2π. Encuentre las potencias promedio de la entrada y de la salida. 57. A un pasa banda con factor de calidad 5 y frecuencia de resonancia 10 se aplica una onda cuadrada de amplitud pico a pico 1, nivel promedio 12 y periodo π/5. Encuentre las series de Fourier de la entrada y de la salida. 58. Usando propiedades de la transformada de Fourier, a partir de la transformada del pulso p(t) = u(t + 1) − u(t − 1), encuentre la transformada de la señal triángulo d(t) = (t + 1)u(t + 1) − 2tu(t) + (t − 1)u(t − 1). Grafique p, d y sus transformadas. 59. Encuentre la función de transferencia del sistema con respuesta escalón g(t) = e−t u(t). 60. Diga a cuántas décadas por octava equivalen -20dB por década. 61. A un RC pasa bajas de primer orden con frecuencia de corte de 3dB de 1, se aplica la señal e(t) = arctan (t). Encuentre la energía de la señal de salida. 62. Se tiene un sistema de convolución continuo con función característica dada por cos(10t)e−|t| . Diga qué tipo de filtro es (pasa bajas, pasa altas, . . . ) y dé las frecuencias de corte de 3dB. 63. Encuentre la transformada de la señal s(t) = e−|t| cos(10t). Expresela de tal forma que se vea que es real y par. Grafiquela. 64. Encuentre la función de transferencia del sistema con respuesta escalón g(t) = e−t u(t). 344 CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS 65. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón dada por g(t) = e−t u(t). Encuentre y grafique (magnitud y fase) la función de R∞ transferencia del sistema, la cual está dada por: H(Ω) = −∞ e− jωt dg(t). 66. Demuestre que Z ∞ Z ∞ |s(t)|2 dt = 2π −∞ |S(Ω)|2 dΩ −∞ donde S es la transformada de Fourier (CTFT) de s. 67. Encuentre la transformada de la señal s(t) = e−|t| cos(10t). Expresela de tal forma que se vea que es real y par. Grafiquela. 68. Grafique la magnitud y la fase de la transformada de la derivada de la 2 campana de Gauss e−t 69. A un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) = e−t u(t) se aplica una señal e(t) = sen(t)[u(t) − u(t − 3π)]. Encuentre la integral de la señal de salida. 70. Se tiene un sistema de convolución discreto con respuesta impulso dada por hn = un 2−n . Si la entrada es la señal periódica s = {. . . 1, 1, 0, 1, 1, 0, . . . } de periodo 3, exprese la salida como una suma de exponenciales complejas discretas. 71. Encuentre la función de transferencia del sistema con respuesta escalón g(t) = (1 − e−t )u(t). Exprese la salida como una suma de sinusoidales si la entrada es cos2 (t). 72. Demuestre la fórmula de Parseval de la transformada de Fourier. Referencias [1] “Digital Signal Processing”. A. V. Oppenheim y R.W. Shafer. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1975. [2] “Signals and Systems”. A. V. Oppenheim, A. S. Willsky y I. T. Young. Prentice Hall, Londres, 1983. [3] “Mathematical Analysis”. T.M. Apostol. 2nd Ed. AddisonWesley, Reading, 1974. [4] “Fourier Transforms”. S. Bochner y K. Chandrasekhanran. Princeton University Press, Princeton, 1949. [5] “Análisis de Fourier”. J. Duoandikoetxea. Addison- Wesley, Wilmington, 1995. [6] “Sistemas Digitales y Analógicos, Transformadas de Fourier, Estimación Espectral”. A. Papoulis. Marcombo, Barcelona, 1986. [7] “Special Functions and their Applications”. N.N. Lebedev. Dover, N.Y. 1972. [8] “Exercices Résolus de Mathématiques”. M. Carbon, P. Marry, N. Point y D. Vial. Dunod, Paris, 1986. 345 346 REFERENCIAS [9] “Fourier and Wavelet Analysis”. G. Bachman, L.Narici, E. Beckenstein. Springer, N.Y., 2000. Capítulo 5 DTFT, DFT y Relaciones entre transformadas 5.0. Introducción En este capítulo consideramos el análisis de Fourier de las señales discretas de longitud infinita, periódicas y el l2 ; respectivamente, la DFT, la DTFT. Las señales discretas de longitud finita se analizan en forma similar a las discretas periódicas con la DFT (“Discrete Fourier Transform”) la consideramos con otro nombre cuando representamos señales discretas periódicas como sumas de exponenciales complejas discretas, en el capítulo 3 podemos decir que la DFT es la transformada de Fourier para señales discretas de longitud finita; más exactamente, de señales con dominio finito y circular, retomaremos ese tema en la sección 5.7. Por otra parte, la DTFT (“Discrete Time Fourier Transform”) es la transformada de Fourier para señales discretas de longitud infinita; la DTFT de la 347 348 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT señal s : Z → C, sumable en magnitud, está dada por: S(ω) = ∞ X sn e− jωn n=−∞ Como asumimos que s es sumable en magnitud, entonces su transformada de Fourier S(ω) existe, por convergir en magnitud, para toda ω real, y es una función acotada ya que, ∞ ∞ X X − jωn − jωn ≤ sn e sn e n=−∞ n=−∞ ∞ X = |sn ||e− jωn | = n=−∞ ∞ X |sn | n=−∞ = ksk1 Ejercicio. Muestre que cada señal discreta s : Z → C en l2 , está en l1 . Note que la transformada S(ω) de una señal discreta es una función periódica, para la que 2π es un tiempo de repetición: S(ω + 2π) = S(ω), ya que 2π es un tiempo de repetición de cada término sn e− jωn . También note que S(−ω) tiene serie de Fourier con coeficientes {sn }. Esta propiedad nos permitirá dar una fórmula para la transformada inversa DTFT−1 basada en los resultados sobre series de Fourier, vistos en el capítulo 3. Antes, veamos un ejemplo. Ejemplo. Sea s : Z → C la señal dada por 1, n ∈ {−1, 0, 1} sn = 0, n < {−1, 0, 1} 5.0. INTRODUCCIÓN 349 entonces S(ω) = ∞ X sn e− jωn n=−∞ = 1 X sn e− jωn n=−1 = e jω + 1 + e− jω = 1 + 2 cos ω Tanto S como su magnitud y fase, se grafican a continuación. Figura 5.1: La función 1 + 2 cos ω Ejercicio. Grafique la magnitud y la fase de H(ω) = (1 + cos 2ω)e− jω Como vimos, 2π es un tiempo de repetición de S(ω). Si s1 , 0 o s−1 , 0, el periodo de S(ω) es 2π. Si s1 = 0 y s−1 = 0, y s2 , 0 o s−2 , 0, entonces π es el tiempo de repetición de S(ω) ya que, ahora S(ω) = · · · + s−2 e j2ω + s0 + s2 e− j2ω + . . . 350 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Figura 5.2: La magnitud de la función 1 + 2 cos ω Figura 5.3: La fase de la función 1 + 2 cos ω. Como π = −π, la función también es impar 5.1. PROPIEDADES DE LA DTFT 351 y, cada exponencial compleja sk e− jkω tiene periodo 2π/k. en general, el periodo de S es el mínimo común múltiplo de los periodos de las exponenciales complejas no nulas en la serie, ya que éstas son funciones linealmente independientes. 5.0.1. Transformada inversa Para obtener la fórmula de la trasformada inversa, para recuperar {sn } a partir de S(ω), utilizamos el hecho de que S(−ω) tiene expansión en series de Fourier con coeficientes {sn }. Por lo tanto, la fórmula de los coeficientes de Fourier, vista en el capítulo 3, nos da la transformada inversa: Z 2π 1 sn = S(−ω)e− jωn dω 2π 0 y, por lo tanto, la fórmula de la transformada inversa es, Z 2π 1 sn = S(ω)e jωn dω 2π 0 También, tenemos la siguiente fórmula de Parseval: Z 2π ∞ X 1 |S(ω)|2 dω |sn |2 = 2π 0 n=−∞ que relacione la norma l2 de la señal s con la potencia promedio de la señal S, en forma similar al caso correspondiente a las series de Fourier. 5.1. Propiedades de la transformada de Fourier en tiempo discreto, DTFT La transformada de Fourier en tiempo discreto es lineal: la transformada de una combinación lineal de señales es la combinación respectiva de las trans- 352 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT formadas individuales. Las propiedades de desplazamiento y modulación son similares a las del caso continuo. i) Linealidad. Sean s = {sn } y r = {rn } señales en l1 y sean α y β constantes complejas. Entonces, F[αs + βr] = αF[s] + βF[r], ya que X X X [αs + βr]e− jωn = α se− jωn + β re− jωn n∈Z n∈Z n∈Z ii) Desplazamiento. Sea S(ω) la transformada de Fourier F{sn }(ω) de la señal {sn }, entones, la transformada de la señal desplazada {sn−k } está dada por, X sn−k e− jωn m=n−k F{sn−k }(ω) = n∈Z = X sm e− jω(m+k) m∈Z = e− jω(k) X sm e− jω(m) m∈Z = e− jω(k) S(ω) Ejercicio. Como se puede mostrar, la transformada S(ω) de la señal s(t) mostrada en la figura 5.4 está dada por S(ω) = 13 (1 + 2 cos(ω)); encuentre y grafique la transformada de la versión desplazada sn−1 , mostrada en la figura 5.5. Figura 5.4: La respuesta impulso de un promedio móvil 5.1. PROPIEDADES DE LA DTFT 353 Figura 5.5: La respuesta impulso de un promedio móvil causal iii) Modulación. Desplazar en tiempo corresponde a multiplicar con una exponencial compleja en frecuencia. Si la transformada se desplaza en frecuencia, ¿qué ocurre con s, en tiempo? Si S(ω) = [F(s)](ω), ¿cuánto vale F−1 [S(ω − ω0 )]? por definición: 1 F [S(ω − ω0 )] = 2π 2π Z S(ω − ω0 )e jωn dω −1 0 γ = ω − ω0 Z 2π−ω0 1 S(γ)e j(γ+ω0 )n dγ = 2π −ω0 Z e jω0 n 2π−ω0 = S(γ)e jγn dγ 2π −ω0 = e jω0 n = 2π 2π Z S(γ)e jγn dγ 0 = e jω0 n sn R 2π 1 dado que 2π S(ω)e jωn dω y que la integral es independiente de dónde 0 empiece y dónde termine, siempre y cuando se integre sobre un periodo. Por lo tanto, un desplazamiento en frecuencia del espectro de la señal, corresponde a la multiplicación de la señal por una exponencial compleja discreta en tiempo, es decir, a una modulación de la señal. 354 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Así, si sn es una señal discreta, al multiplicar por la señal discreta cos(ω0 n) resulta que, utilizando las propiedades de linealidad y de modulación, si la transformada de {sn } es S(ω), la transformada de {sn cos(ω0 n)} está dada por: 12 [S(ω + ω0 ) + S(ω − ω0 )]. Ejercicio. Demuestre que si f es periódica, con periodo T, entonces, para cualquier número real τ, (Observe la figura 5.6.) T Z f (t)dt = 0 T+τ Z τ f (t)dt Figura 5.6: En los dos casos se ha sombreado el área sobre un periodo 5.2. Frecuencias (de Fourier) grandes y pequeñas de señales discretas La mejor forma de visualizar la frecuencia angular ω de una exponencial compleja discreta e jωn es con el punto de una circunferencia, que subtiende el ángulo de valor ω. Así, estar cerca a 2π es lo mismo que estar cerca a 0. Las frecuencias cercanas a cero son frecuencias bajas mientras que las lejanas de cero, son frecuencias altas. 5.2. FRECUENCIAS GRANDES Y PEQUEÑAS 355 Figura 5.7: La circunferencia de Fourier para señales discretas Por lo tanto, la mayor frecuencia es π y la exponencial compleja de magnitud unitaria con mayor frecuencia es e jπn : Re (e jπn ) = cos(πn) = (−1)n Im (e jπn ) = sen(πn) = 0 Figura 5.8: Una señal con periodo 2 El periodo mínimo que una señal discreta periódica no constante puede tener es 2 y correspondiente al caso de frecuencia angular π. La frecuencia angular menor es 0 = 2π y la exponencial compleja discreta correspondiente es e j0n que es constante: Re (e j0n ) = 1, Im (e j0n = 0). 356 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Figura 5.9: Una señal discreta, con frecuencia 0 y periodo 1 Nota. Como se dijo, para que una exponencial compleja discreta de la forma sn = e jωn sea periódica, es necesario (y suficiente) que la frecuencia angular ω sea un múltiplo racional de 2π: ω = 2πq, q ∈ Q. En otro caso, la señal no es periódica sino casi periódica. (Como dijimos en el capítulo 0: sea x un número real; definimos “x módulo 2π”, que denotamos [x]2π , como el único número en el intervalo [0, 2π) que es congruente con x, módulo 2π. Es decir, y = [x]2π si y sólo si, y ∈ [0, 2π) y para algún número entero m, x = 2πm + y. Por ejemplo, [31]2π = 5,86722 . . . mientras que [32]2π = 0,58407 . . . ) Considere la señal sn = e jn . El grafo de s es un subespacio denso de S1 ; s no es periódica: s0 = 1 y para ningún valor de n diferente de 0 se tiene que sn = 1; sin embargo, a medida que n crece, n toma valores arbitrariamente cercanos a múltiplos de 2π y [n]2π toma valores arbitrariamente cercanos a cero; por ejemplo, [31416]2π = 0,07346 . . . . Ejercicio. Demuestre que {e jn : n ∈ Z} es denso en S1 . Ejercicio. Demuestre que e jn es una señal discreta casi periódica. Dos exponenciales complejas discretas del mismo periodo pueden tener diferente variación promedio. Ejemplo. Las señales e j 2π 7 n 3 y e j 7 2πn son ambas de periodo 7 pero la primera 2π 3 tiene variación promedio |1 − e j 7 n | y la segunda |1 − e j 7 2πn |. Como podemos ver, la variación promedio de una exponencial compleja e jω0 n es proporcional a su frecuencia de Fourier, módulo 2π. 5.3. FILTROS DISCRETOS 357 Figura 5.10: Las distancias correspondientes a las variaciones promedio de las 0 exponenciales complejas e jωo n y e jωo n 5.3. Filtros discretos Dado que la respuesta a la exponencial compleja e jωo n de un filtro con función de transferencia H(ω) es H(ωo )e jωo n , diremos que el filtro es pasa bajas si para |ω| < y |ω − 2π| < . Figura 5.11: Pasa bajas 358 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Figura 5.12: Pasa altas Figura 5.13: Pasa bandas 5.4. Respuesta en frecuencia de sistemas de convolución discretos Las exponenciales complejas, en general, las señales periódicas no nulas, no tienen transformada de Fourier; éstas se representan en el dominio de la frecuencia como sumas de exponenciales complejas. Las señales que son sumables en valor absoluto tienen transformada de Fourier para toda ω. Como en el caso continuo, trataremos por separado la respuesta de sistemas de convolución; primero la respuesta a señales que tienen transformada y después la respuesta a señales periódicas. Suponga que se tiene un sistema de convolución discreto, con entrada x, salida y y respuesta impulso h, tal como se muestra en la figura 5.14. 5.4. RESPUESTA EN FRECUENCIA SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN Figura 5.14: Un sistema de convolución con respuesta impulso h Por definición, la transformada Y de la salida está dada por ∞ X Y(ω) = yn e− jωn n=−∞ y es la convolución de x y h, por lo tanto. ∞ ∞ X X Y(ω) = xi hn−i e−jωn = n=−∞ i=−∞ ∞ X ∞ X xi hn−i e− jωn n=−∞ i=−∞ y, asumiendo que el oren de la suma se puede alterar, ∞ X ∞ X Y(ω) = xi hn−i e−jωn i=−∞ n=−∞ con el cambio de variable k = n − i ∞ X n=−∞ − jωn xi hn−i e = ∞ X k=−∞ xi hk e− jω(k+i) 359 360 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT entonces Y(ω) = = ∞ X ∞ X xi hk e− jω(k+i) i=−∞ k=−∞ ∞ ∞ X X − jω(i) xi e hk e− jω(k) i=−∞ k=−∞ = X(ω)H(ω) por lo tanto, se tienen dos representaciones del sistema: una en “tiempo” y la otra en frecuencia, como se muestra en la figura 5.15. Figura 5.15: Las representaciones en tiempo y frecuencia de un sistema de convolución Ejemplo. Se tiene un promedio móvil con ancho de ventana igual a tres, donde la salida yi está dada por el promedio 13 (xi−1 + xi + xi+1 ) de los tres componentes de la señal de entrada en una ventana centrada en i. Ejercicio. Demuestre que el sistema promedio móvil es un sistema de convolu- ción y que su respuesta impulso está dada por la figura 5.16. Ejercicio. Muestre que la función de transferencia del promedio móvil está dada por H(ω) = 1 − jω 1 (e + e j0 + e jω ) = (1 + 2 cos ω) 3 3 5.4. RESPUESTA EN FRECUENCIA SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN 361 Figura 5.16: La respuesta impulso de un promedio móvil con ancho de ventana igual a tres Figura 5.17: Magnitud 362 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Figura 5.18: Fase Ejemplo. Suponga que se tiene un sistema discreto de convolución cuya re- spuesta impulso está dada por 1/2, n ∈ {−1, 1} hn = 1, n=0 0, n ∈ Z − {−1, 0, 1} por lo tanto, su función de transferencia está dada por, H(ω) = 1 + cos(ω) Ejercicio. Grafique la magnitud y la fase e a + cos(ω) Ejercicio. Suponga que el filtro del ejemplo anterior se coloca en cascada con el promedio móvil de ancho de ventana 3. Calcule la respuesta impulso del filtro resultante así como su función de transferencia. Grafique la magnitud y la fase de la función de transferencia. Ejercicio. Encuentre la función de transferencia de un promedio móvil con ancho de ventana igual a cinco. 5.5. POLOS Y CEROS DE H(Z) Y H(ω) CORRESPONDIENTE 363 Ejercicio. Grafique la magnitud y la fase de Y(ω) = 5.5. 1 1 (1 − 2 cos ω)(1 + cos ω) = − (cos ω + cos(2ω)) 3 3 Polos y ceros de H(z) y H(ω) correspondiente Suponga que H(z) es una función racional de la variable z, es decir que es un cociente de polinomios H(z) = a0 + a1 z + · · · + an zn bo + b1 z + · · · + bn z m por el teorema fundamental del álgebra, tanto el numerador como el denominador pueden ser factorizados. Qn (z − ci ) H(z) = Qmi=1 i=1 (z − pi ) a las constantes ci se les llama los ceros de H(z) y las pi los polos de H(z). Ahora, dado que H(ω) = H(eiω ) tenmos que Qn |(eiω − ci )| |H(z)| = Qmi=1 iω i=1 |(e − pi )| que interpretamos geométricamente para cada ω como el producto de las distancias de e jω a los ceros, partido por el producto de las distancias a los polos. Note que dado el diagrama de polos y ceros, partido por el producto de la figura 5.19, podemos graficar aproximadamente |H(ω)| (figura 5.20). 364 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Figura 5.19: Diagrama de polos y ceros Figura 5.20: Magnitud de H(ω) 5.6. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN 365 5.6. Respuesta de sistemas de convolución discretos a señales periódicas 5.6.1. Respuesta a exponenciales complejas discretas Como se vio en el capítulo 3, las señales periódicas discretas se pueden representar como sumas finitas de exponenciales complejas discretas. Si x = {xn } es una señal periódica con periodo N, ésta se puede representar como, xn = N−1 X 2π Xk e j N nk k=0 Como los sistemas de convolución son lineales, para conocer la respuesta a x, basta con conocer la respuesta del sistema a cada exponencial compleja 2π e j N nk . Si la respuesta impulso del sistema es h = {hn } y la entrada es la exponencial compleja, rn = e jω0 n la salida y = {yn } está dada por la convolución, yn = ∞ X hk e jω0 (n−k) k=−∞ = e jω0 n ∞ X hk e− jω0 k k=−∞ =e jω0 n H(ω0 ) donde H(ω0 ) es la función de transferencia del sistema evaluada en ω = ω0 . Por lo tanto, la respuesta u a la señal de entrada x, expresada como xn = N−1 X k=0 2π Xk e j N nk 366 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT está dada por un = N−1 X Xk H( k=0 2π j 2π k k)e N N Ejercicio. Calcule la respuesta del sistema promedio móvil a las siguientes señales utilizando la fórmula anterior: 1. xn = cos(πn) 2. xn = cos(0n) 3. xn = cos([2π/3]n) Ejercicio. Exprese como una sima de sinusoides la respuesta del sistema causal con ecuación de diferencia yn = xn + 0,5yn−1 (x la entrada, y la salida) a la señal (−1)n . 5.7. Transformada Discreta de Fourier DFT A continuación consideramos la representación en el dominio de la frecuencia de Fourier de las señales discretas de longitud finita. Las señales discretas de longitud finita son señales cuyo dominio es un conjunto finito , normalmente un intervalo entero, y su rango es el conjunto de los números complejos. nosotros asumiremos normalmente que el dominio de las señales discretas de longitud finita es un intervalo de la forma /0, N − 1/. Las señales digitales discretas de longitud finita son las señales que mejor se pueden representar en un computador digital: son arreglos (“arrays”) unidimensionales; su representación en el dominio de la frecuencia resulta ser también una señal de longitud finita y por lo tanto, también un array. Por esta y otras razones, la transformada correspondiente, conocida como la Transformada Discreta de Fourier (“Discrete Fourier Transform”, DFT) es una se las 5.7. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER DFT 367 herramientas más usadas hoy en día en el campo del tratamiento de señales digitales. Estrictamente hablando, es una familia de algoritmos conocida como FFT (“Fast Fourier Transform”) para el cálculo rápido de la DFT cuando la longitud de la señal es una potencia de dos, la que es ampliamente usada. (Si está interesado en estudiar los algoritmos de la FFT, puede consultar [1], por ejemplo.) Como se mencionó en el capítulo 1, la señal s : /0, N − 1/ → C tiene longitud N, y se puede modelar como un punto en CN . La representación de las señales de longitud finita en el dominio de la frecuencia, es similar a la representación de las señales discretas periódicas de longitud infinita, vista en el capítulo 3, lo cual tienen sentido si se piensa que en periodo es suficiente para especificar completamente tales señales. Sea x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] ∈ CN una señal discreta de longitud N. Se define su transformada discreta de Fourier DFT(x) como la señal X ∈ CN donde cada componente está dado por Xk = = N−1 1 X − j 2π nk xn e N N n=0 N−1 1 X −nk x n WN N n=0 Con base en los resultados del capítulo 3, decimos que la DFT es una biyección lineal (un homomorfismo) de CN → CN . en particular, la DFT es invertible: a partir de X podemos recuperar x como DFT−1 (X); ésta transformada inversa está dada por: x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] = DFT−1 (X). Ejercicio. Para la señal mostrada en la figura 5.21, calcule su transformada discreta de Fourier. Ejemplo. Sea x la señal de longitud 3 dada por x = [1, 2, 3]. su transformada 368 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Figura 5.21: Una señal de longitud finita N = 3 discreta de Fourier X = DFT(x) está dada por, Xk = 1 (1 + 2e− j2πk/3 + 3e− j4πk/3 ) 3 por lo tanto, X0 = 1 (1 + 2e− j2π0/3 + 3e−j4π0/3 ) = 3 3 X1 = 1 (1 + 2e− j2π/3 + 3e− j4π/3 ) 3 X2 = 1 (1 + 2e− j4π/3 + 3e− j8π/3 ) 3 X = [X0 , X1 , X2 ] Ejercicio. Calcule la transformada inversa DFT−1 (X) de la señal X del ejemplo anterior. compruebe su respuesta. 5.7.1. Propiedades de corrimiento circular y modulación de la DFT Sea x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] una señal de longitud N con transformada X = [X0 , X1 , . . . , XN−1 ]. Considere la señal y = [y0 , y1 , . . . , yN−1 ] = [x[n+m]N : n ∈ N] = [xm , xm+1 , . . . , xN−1 , x0 , . . . , xm−1 ] obtenida a partir de x por medio de un 5.7. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER DFT 369 corrimiento circular de magnitud m. Sea Y = DFT(y); entonces, Yk = = = = N−1 2π 1 X x[n+m]N e− j N nk N n=0 2π 2π 2π 2π 1 (xm e− j N 0k + xm+1 e− j N k + · · · + xN−1 e− j N (N−1−m)k + x0 e− j N (N−m)k N 2π + · · · + xm−1 e− j N (N−1)k ) 2π 2π 2π 2π 2π 2π 1 (xm e− j N mk e j N mk + xm+1 e− j N mk e j N (m+1)k + · · · + xN−1 e− j N (N−1)k e j N mk N 2π 2π 2π + x0 e j N mk + · · · + xm−1 e j N mk e− j N (N−1+m)k ) 2π 2π 2π 1 j 2π mk e N (xm e− j N mk + xm+1 e j N (m+1)k + · · · + xN−1 e−j N (N−1)k + x0 N 2π + · · · + xm−1 e− j N (N−1+m)k ) 2π 2π 2π 2π 1 (x0 + · · · + xm−1 e− j N (N−1+m)k + xm e− j N mk + xm+1 e j N (m+1)k N 2π + · · · + xN−1 e− j N (N−1)k ) = e j N mk 2π = e j N mk Xk Así, hacer un corrimiento circular en el dominio natural de la señal, equivale a multiplicar por una exponencial compleja en el dominio de la frecuencia: 2π DFT([x[n+m]N : n ∈ N]) = e j N mk DFT([xn : n ∈ N]). 2π Similarmente, la DFT de [e j N nm xn : n ∈ N] está dada por [X[k−m]N : k ∈ N]; es decir, la multiplicación en el dominio natural por una exponencial compleja (lo que podríamos llamar la modulación de la señal), equivale a un corrimiento circular en el dominio de la frecuencia. 370 5.7.2. CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Simetría circular par Decimos que la señal x = [xn : x ∈ N] = [x0 , x1 , . . . , xn−1 ] tiene simetría circular par si, para cada n ∈ N = /0, N − 1/, xn = xJ−nKN Ejercicio. Muestre que si x tienen simetría circular par, entonces DFT(x) tam- bién tiene simetría circular par. Ejercicio. Muestre que si x es real y tiene simetría circular par, entonces DFT(x) también es real y tiene simetría circular par. 5.7.3. Convolución circular discreta Suponga que r = [r0 , r1 , . . . , rN−1 ] y s = [s0 , s1 , . . . , sN−1 ] son señales discretas de longitud N. Suponga que R = [R0 , R1 , . . . , RN−1 ] y S = [S0 , S1 , . . . , SN−1 ] son las correspondientes DFT’s de r y s. ¿Qué señal es la transformada inversa u = [u0 , u1 , . . . , uN−1 ] = DFT−1 (RS) del producto RS? ¿Es una convolución? Por definición, RS está dada por Rk Sk = N−1 N−1 X 1 X −mk 1 −nk r m WN · sn WN N m=0 N n=0 = N−1 N−1 1 XX −mk −nk rm WN s n WN N2 m=0 n=0 = N−1 N−1 1 XX −(m+n)k rm sn WN N2 m=0 n=0 y, dado que, ui = [DFT (RS)]i = −1 N−1 X k=0 ik Rk Sk WN 5.7. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER DFT 371 se tiene que, ui = N−1 X ik Rk Sk WN k=0 N−1 N−1 N−1 X 1 XX −(m+n)k ik = rm sn WN WN N2 m=0 n=0 k=0 N−1 N−1 N−1 1 X X X (i−m−n)k rm sn WN = 2 N m=0 n=0 k=0 note que cuando n es congruente (módulo N) con i − m, es decir, cuando (i − m) − n es un múltiplo de N, se tiene que N−1 X (i−m−n)k =N (i−m−n)k =0 WN k=0 y que en caso contrario, N−1 X WN k=0 por lo tanto N−1 1 X ui = rm sJi−mKN N m=0 donde Ji − mKN es un único número en /0, N − 1/ que es congruente módulo-N con i − m. note que para cada i, a medida que m toma valores consecutivos en /0, N − 1/, Ji − mKN también lo hace, aunque comenzando en i en vez de en cero y teniendo en cuenta que a continuación de N − 1 sigue 0. La razón por la cual u se denomina la convolución circular de r y s se hace ahora aparente; observe la figura siguiente. 372 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Figura 5.22: Los términos rm si−m a ser sumados, para computar ui . Note el eje m 5.7.4. Interpretación de lo convolución circular en términos de señales periódicas Si consideramos extensiones de r y s (las cuales tienen como dominio el conjunto /0, N − 1/) a señales s̃ y r̃ que tengan como dominio el conjunto Z de los números enteros, haciendo que s̃ y r̃ sean periódicas con periodo N, podemos escribir, N−1 1 X ui = s̃m r̃i−m N m=0 donde, r̃n = N−1 X nk , Rk WN n∈Z nk , Sk WN n∈Z k=0 s̃n = N−1 X k=0 5.7. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER DFT 373 En la figura 5.23 se muestra un ejemplo específico de la convolución circular de dos señales de longitud 8, para el cálculo de u2 . Ejercicio. Calcule u2 si u es la convolución circular de [1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 0] y [3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 0]. Figura 5.23: Las señales rn y sn , y las correspondientes extensiones periódicas r̃k y s̃2−k , necesarias para el cálculo de u2 374 5.7.5. CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Relación de Parseval para la DFT Sean x = [x0 , x1 , . . . , xn−1 ] y r = [r0 , r1 , . . . , rn−1 ] señales de longitud N; y sean X = [X0 , X1 , . . . , Xn−1 ] y R = [R0 , R1 , . . . , Rn−1 ] sus respectivas DFT’s. Dado que la DFT de una convolución circular es el producto de las DFT’s, es decir que, x©r = DFT−1 (XR) N−1 N−1 X 1 X nk xk r[n−k]N = Xk Rk WN N k=0 n=0 k=0 N−1 N−1 X 1 X xk r[−k]N = Xk Rk N k=0 rk = x∗[−k]N , Rk = Xk∗ k=0 N−1 N−1 X 1 X xk x∗[−k]N = Xk Xk∗ N k=0 k=0 N−1 N−1 1 X 2 X |xk | = |Xk |2 N k=0 k=0 que es la fórmula buscada. Ejercicio. Muestre que si rn = x∗[−n] entonces sn = r∗[−k] . N 5.8. N Propiedades de simetría de la transformada de Fourier DTFT Las propiedades que se mencionan aquí son aplicables a las transformadas de Fourier de señales continuas y de señales discretas. inicialmente recordemos que la transformada de una señal par es par. también, que las partes real e imaginaria, así como la magnitud y la fase, de la transformada de una señal real (es decir de una señal compleja con parte imaginaria cero) son par e impar, respectivamente. 5.8. PROPIEDADES DE SIMETRÍA 375 Las componentes de la transformada de una señal dada como la suma de una señal par y una señal impar. Dada una señal discreta s, ¿Cómo se expresa s como la suma s = p + i de una señal par p y una impar i? ¿Hay más de una expresión del tipo deseado? Ejercicio. Muestre que las señales p e i definidas a continuación son par e impar, respectivamente, y que su suma es s. pn = 1/2(sn + s−n ), in = 1/2(sn − s−n ). Ejercicio. Descomponga la señal escalón discreta como la suma de una señal par y una impar. Si f (t) es una señal continua, entonces f (t) = p(t)+i(t), donde p(t) = 0,5[ f (t)+ f (−t)] e i(t) = 0,5[ f (t) − f (−t)], provee la descomposición deseada. Ejercicio. Encuentre la descomposición en suma de señal par e impar de la señal p(t) = 1 si t ∈ [0, 1), y 0 si t < [0, 1) 5.8.1. Conjugada simétrica y conjugada antisimétrica Si s es una señal discreta compleja, se dice que s es conjugada simétrica si sn = s∗−n ; s es una señal conjugada antisimétrica si −sn = s∗−n . Si la parte imaginaria de la señal es cero, las definiciones de conjugada simétrica y de conjugada antisimétrica coinciden con las de señal par y señal impar, respectivamente. Similarmente, si f (t) es una señal continua compleja, f es conjugada simétrica si f (t) = f ∗ (−t) y es conjugada antisimétrica si f (t) = − f ∗ (−t). Ejercicio. Dada una señal compleja, encuentre su descomposición como una suma de una señal conjugada simétrica y una conjugada antisimétrica. Ejercicio. Encuentre una señal que sea conjugada simétrica y conjugada anti- simétrica, simultáneamente. 376 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Figura 5.24: La suma de una señal par y una impar La transformada de Fourier de una señal real es conjugada simétrica, por lo tanto, la magnitud de la transformada es par, mientras que la fase es una impar. La transformada de Fourier de una señal real par, tiene componente imaginaria nula. Note que esto no implica que la fase sea cero. La transformada de una señal imaginaria (i.e. con parte real nula) es conjugada antisimétrica; así, la parte real de la transformada es impar y la parte imaginaria es par. Ejercicio. Muestre que, si g es una señal continua con transformada de Fourier G. G∗ (Ω) = [F(g)]∗ (Ω) = [F(g∗ )](−Ω) Similarmente, si s es una señal discreta con transformada de Fourier S. S∗ (ω) = [F(s)]∗ (ω) = [F(s∗ )](−ω) 5.8. PROPIEDADES DE SIMETRÍA 377 Si g es una señal conjugada simétrica, su parte real es par y su parte imaginaria es impar. Si g es conjugada antisimétrica, su parte real es impar y su parte imaginaria es impar. Ejercicio. Si H es una señal conjugada simétrica, ¿Qué propiedades de simetría tienen su magnitud y su fase? ¿Si es conjugada antisimétrica? 5.8.2. Implicaciones de las propiedades de simetría para transformadas de señales discretas Las propiedades de simetría mencionadas anteriormente son válidas tanto para la transformada de Fourier de señales continuas como para la transformada de señales discretas. Para señales discretas, la periodicidad de la transformada tiene implicaciones ulteriores que consideramos a continuación. Dado que la transformada de Fourier S(ω) de una señal discreta s = {sn } es periódica, con tiempo de repetición 2π, y que si la señal es real, la magnitud |S(ω)| de su transformada es par y la fase ∠S(ω) impar, es posible conocer S(ω) para toda ω ∈ R1 dados sus valores para 0 omega ∈ [0, π] solamente. Como |S| es par, |S(ω)| = |S(−ω)| y, como es periódica, |S(ω) = S(ω + 2π)|, por lo tanto, |S(π + ω) = S(π − ω)|; vea la figura 5.25. Por otra parte ∠S(ω) = −∠S(−ω) y ∠S(ω) = ∠S(ω + 2π) implican ∠S(ω + π) = ∠S(π − ω); además, el hecho de que la fase sea impar y que tome el mismo valor en −π y en π implica que la fase en estas frecuencias es o cero o π: ∠S(π) = ∠S(−π) = 0 o ∠S(π) = ∠S(−π) = π. Ejercicio. Muestre que las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones están dadas por los ángulos equivalentes a cero y los ángulos equivalentes a π. a≡b 2π a ≡ −b 2π similarmente, asumiendo que la parte imaginaria de s es cero, conociendo la fase de S(ω) entre 0 y π, es posible averiguarla para cualquier valor de 378 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Figura 5.25: La restricción de una señal discreta a ω ∈ [0, π]. a. es suficiente para reconstruir la transformada en [−π, π]. b. ya que ésta es par y, para cada ω real. c. ya que es periódica con periodo 2π 5.8. PROPIEDADES DE SIMETRÍA 379 ω ∈ R1 . P − jωn Im (sn ) = 0 y S(ω) = ∞ implican, n=−∞ sn e Re [S(ω)] = ∞ X sn cos(ωn) ← función par n=−∞ Im [S(ω)] = ∞ X sn sen(ωn) ← función impar n=−∞ La magnitud de S(ω) es una función par: |S(ω)| = p Im [S(ω)]2 + Re [S(ω)]2 Ejercicio. Comente sobre las propiedades de simetría de la transformada de Fourier de la señal pn = 1 si n ∈ / − 1, 1/, y pn = 0 si n < / − 1, 1/. Ejemplo. Muestre que la transformada de sn = e−|n| es real y par. S(ω) = ∞ X 2−n e jωn + n=0 = 1 ∞ X 2−n e− jωn − 1 n=0 1 + −1 jω − jω 1 − e2 1 − e2 2 − cos(ω) = −1 1,25 − cos(ω) Ejercicio. Grafique la magnitud y la fase de la transformada de 2−|n| . Nota. Hemos visto 4 transformadas de Fourier: series de Fourier, trasformada de señales continuas, transformada de señales discretas y DFT (que también la podríamos llamar sumas de Fourier). Además de otras propiedades, en cada uno de os cuatro casos tenemos una propiedad de Parseval y una de convolución. la relación de Parseval nos permite considerar la transformada como un espectro de energía. La propiedad de convolución nos permite visualizar convoluciones como productos en el dominio de la frecuencia. 380 5.9. CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Relación entre la transformada de Fourier de señales de duración finita (y longitud infinita) y la transformada discreta de Fourier de la señal de longitud finita correspondiente Suponga que se tiene una señal discreta de longitud infinita, s : Z → C. Además, suponga que s es de duración finita N; en particular, suponga que el soporte de s está contenido en el intervalo /0, N − 1/. Sea x : N → C la señal de longitud finita x = [s0 , s1 , . . . , sn−1 ], que coincide con s donde está definida. La transformada de Fourier de s está dada por: s(ω) = ∞ X sn e− jωn = n=−∞ N−1 X sn e− jωn n=0 mientras que la transformada discreta de Fourier de x está dada por Xk = N−1 1 X − j 2π nk sn e N N n=0 por lo tanto, podemos concluir que, Xk = 1 2π S( k) N N y por lo tanto, las Xk son muestras a escala de S(ω). En otras palabras, la DFT de la versión truncada x de s, da N muestras a escala de la transformada de Fourier S de s, en el intervalo [0, 2π); una cada 20 pi/N radianes, comenzando en cero y terminando en 2π(N−1/N). En la figura 5.26 se ilustra un ejemplo. 5.10. SEÑAL MUESTREADA 381 Figura 5.26: Las Xk ’s son muestras a escala de S(ω) 5.10. Relación entre las transformadas de Fourier de una señal continua y la de la señal discreta muestreada correspondiente Una señal continua se puede procesar con un sistema continuo. Sin embargo, la versatilidad y resistencia al ruido de los sistemas digitales hacen práctica otra alternativa para señales que no incluyen frecuencias por encima de aproximadamente 300kHz ; por ejemplo, señales sísmicas, de audio, potenciales nerviosos, etc. Así, la señal continua se convierte en una señal digital, se procesa digitalmente y se reconvierte en señal análoga con un conversor D/A. El primer paso consiste en muestrear y cuantificar (en número de bits dados, e.g. 16) la señal continua; esto se logra con un S/H (“Sampler and Holder”), y un conversor A/D (análogo/digital) y un filtro pasa bajas que suaviza la salida del D/A. Esta es la tecnología usada para el tratamiento digital de audio y la que seguramente será usada en TV comercial en el futuro. 382 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Para que una señal continua pueda ser filtrada pueda ser filtrada efectivamente así, es necesario que no se pierda información al pasar de la señal continua a la señal discreta, es decir, que la señal continua sea recuperable a partir de sus muestras. Una condición que garantiza este requisito, es que la señal continua tenga transformada con soporte acotado y que las muestras se tomen a una tasa lo suficientemente alta. Esto se explica a continuación. Es importante advertir que los efectos del proceso de cuantificación no se consideran aquí. La cuantificación tiene dos efectos: introducir un ruido con densidad uniforme en la señal que se muestrea y hacer los sistemas discretos efectivamente no lineales. La no linealidad de los filtros puede hacer que se produzcan oscilaciones inesperadas (“limit cycles”, por ejemplo) o incluso señales caóticas. Una referencia clásica para este tema es [1]. 5.10.1. Muestreo de señales continuas Suponga que tiene una señal continua g(t) la cual se muestrea a una tasa de muestras por unidad del parámetro t, obteniendo la señal discreta x dada por xm = g(nT), donde T es un número real positivo y n ∈ Z. Asuma que tanto x como g y G son señales en ele − uno. Sean G(Ω) y X(ω) las transformadas, respectivamente, de las señales g(t) y xn . Por lo tanto, 1 T ∞ X X(ω) = xn e− jωn (5.1) X(ω)e jωn dω (5.2) n=−∞ 1 xn = 2π π Z −π ∞ Z G(Ω) = g(t)e− jΩt dt (5.3) G(Ω)e jΩt dΩ (5.4) −∞ Z ∞ g(t) = −∞ 5.10. SEÑAL MUESTREADA 383 Usando la ecuación 5.4 tenemos, xn = g(nT) = 1 2π Z ∞ G(Ω)e jΩnT dΩ −∞ ∞ Z (2r+1)π/T 1 X = G(Ω)e jΩnT dΩ 2π r=−∞ (2r−1)π/T donde el intervalo de integración se ha particionando usando intervalos de la forma . . . , (−3π/T, −π/T], (−π/T, π/T], (π/T, 3π/T], . . . etc. con el cambio de variable u = Ω − 2πr/T se obtiene, ∞ Z π/T 1 X 2πr j(u+ 2πr )nT T )e xn = G(u + du 2π r=−∞ −π/T T usando Ω en vez de u, nuevamente, ∞ Z π/T 1 X 2πr j(Ω+ 2πr )nT T dΩ xn = G(Ω + )e 2π r=−∞ −π/T T note que e j2πrn = 1 para cada n; intercambiando el orden de la serie y la integral, Z π/T X ∞ 1 2πr jωnT xn = )e dΩ G(ω/T + 2π −π/T r=−∞ T con el cambio de variable ω = TΩ, Z π X 1 ∞ 1 ω 2πr xn = G( + ) e jωn dΩ 2π −π T r=−∞ T T comparando con 5.2 tenemos que, X(ω) = ∞ 1 X ω 2πr G( + ) T r=−∞ T T Por lo tanto, X es una señal suma de versiones desplazadas y escalizadas de G. Por ejemplo, para r = 0, se tiene el término G( ωT ), para r = 1, el término 384 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Figura 5.27: La transformada de una señal continua Figura 5.28: La transformada de la señal muestreada correspondiente G( ωT + 2π T ), etc. En las figuras siguientes se ilustra la posible relación entre X y G para una señal g pasa bajas. BW (“Band width”) se refiere al ancho de banda total de la señal, incluyendo frecuencias negativas. Como se verá más adelante, es importante que los componentes del espectro de X estén separados, como ocurre en la figura. Esto ocurrirá siempre que 0 TΩ0 < π, es decir, T1 > 2Ω 2π , por lo tanto, la tasa de muestreo debe ser mayor que dos veces la componente de frecuencia (en Hertz) máxima de g. Esta tasa se conoce como tasa de Nyquist. En caso contrario, si TΩ0 ≥ π, los componentes se sobrelapan y se dirá que hay enmascaramiento (“aliasing”) de frecuencias. Note que como toda transformada de señal discreta, X tiene tiempo de repetición 2π; así, normalmente sólo es de interés el intervalo ω ∈ [−π, π] o el intervalo ω ∈ [0, 2π]. Las frecuencias 5.10. SEÑAL MUESTREADA 385 cercanas a 0 son frecuencias bajas, frecuencias cercanas a π son frecuencias altas; cuando hay un enmascaramiento leve, la información de frecuencias altas se distorsiona. Si el enmascaramiento es fuerte, todas las componentes de frecuencias se distorsionan. Por esta razón, antes de muestrear una señal continua, ésta se debe filtrar con un pasa bajas análogo (continuo) para evitar que una contaminación fortuita de la señal continua, a altas frecuencias, termine influyendo de manera indeseada en frecuencias más bajas al hacer la conversión D/A; por ejemplo, un murciélago cerca al micrófono de una cantante podría hacer el truco. Este filtro se conoce como filtro antialiasing. 5.10.2. Reconstrucción de la señal continua a partir de sus muestras Suponga que la señal continua g(t) se ha muestreado por lo menos a la tasa de Nyquist T1 tal que: Ω0 < πT , donde Ω0 es la máxima componente de frecuencia de g. Expresando a g como la transformada inversa de su transformada se tiene, Z ∞ 1 G(Ω)e jΩt dΩ g(t) = 2π −∞ como g(t) está “limitada en frecuencia”, Z Ω0 1 g(t) = G(Ω)e jΩt dΩ 2π −Ω0 como Ω0 < π/T, g(t) = 1 2π Z π/T G(Ω)e jΩt dΩ −π/T dado que g se muestreo por lo menos a la tasa de Nyquist, usando un resultado que se derivó anteriormente, para Ω ∈ [−π, π], se tiene que G(Ω) = TX(ΩT), por lo tanto, Z π/T 1 g(t) = TX(ΩT)e jΩt dΩ 2π −π/T 386 dado que X(ω) = CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT P∞ xn e− jΩn , tenemos que, Z π/T X ∞ 1 T g(t) = xn e− jΩTn e jΩt dΩ 2π −π/T n=−∞ Z π/T X ∞ T g(nT)e− jΩTn e jΩt dΩ = 2π −π/T n=−∞ n=−∞ intercambiando el orden de la serie y la integral, " # Z π/T ∞ X T jΩ(t−Tn) g(t) = g(nT) e dΩ 2π −π/T n=−∞ = ∞ X n=−∞ ∞ X g(nT) sen[ πT (t − nT)] π T (t − nT) π g(nT)senc ( (t − nT)) T n=−∞ (5.5) esta última fórmula expresa la señal g(t) en términos de sus muestras {g(nT)}. Desde cierto punto de vista esta es una formula de interpolación; la interpolación se hace usando funciones senc . Este resultado nos dice que no hay pérdida de información al pasar de una señal limitada en frecuencia a la sucesión de sus muestras, si éstas se toman con una rapidez de al menos la tasa de Nyquist. Esta fórmula es válida también para señales g ∈ L2 . El lector interesado puede consultar el artículo siguiente: A.J. Jerry. “The Shannon Sampling Theorem, its Various Extensions . . . ” Proc. IEEE vol. 65, pp. 1565-1596, Nov. 77. La fórmula 5.5 se puede interpretar así: “sobre la línea de los números reales, marque las posiciones t = nT, coloque una señal sen( πT (t − nT) centrada en t = nT, para cada marca; luego, sume todas las señales”. Note que cada senc se anula en las posiciones t = NT excepto en la que está centrada. 5.10. SEÑAL MUESTREADA 387 Ejemplo. Como una ilustración de la fórmula 5.5, considere la señal de du- ración 3, {gn } = {. . . , , 0, 1, 0,8, 0,6, 0, . . . }, como se muestra en la figura 5.29. En Figura 5.29: Una señal discreta de duración finita la figura 5.30 se muestran las señales g0 senc (t), g1 senc (t − 1) y g2 senc (t − 2). En Figura 5.30: Las señales g0 senc (t), g1 senc (t − 1) y g2 senc (t − 2) la figura 5.31 se muestran la señal f (t) = g0 senc (t)+ g1 senc (t−1)+ g2 senc (t−2). Note que efectivamente, f (0) = g0 , f (1) = g1 y f (2) = g2 . 388 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Figura 5.31: La señal f (t) = g0 senc (t) + g1 senc (t − 1) + g2 senc (t − 2) 5.10.3. Fórmula para la interpolación trigonométrica de señales contínuas a partir de muestras equiespaciadas Suponga que nos dan N muestras {s0 , s1 , . . . , sN−1 } de la señal continua g(t), g : [0, T] → C, espaciadas regularmente en el intervalo [0, T]: sn = g(nT/[N − 1]), N ∈ {0, 1, . . . , N − 1} Es posible entonces encontrar una señal continua que es una suma de exponenciales complejas y que concuerda con las muestras dadas de g. Esta señal está dada por, N−1 X 2π g̃ = Xk e j A kt k=0 donde Xk = N−1 1 X − j 2π nk sn e N N k=0 Ejercicio. Explique por qué la fórmula dada cumple con las especificaciones indicadas. 5.10. SEÑAL MUESTREADA 389 Ejercicio. Interpole las muestras 0, 1, 0,8, 0,6, 0 usando la fórmula dada. Grafique y compare con la figura 5.30. 390 5.11. CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Resumen gráfico Figura 5.32: Serie de Fourier Figura 5.33: Transformada de Fourier 5.11. RESUMEN GRÁFICO 391 Figura 5.34: DTFT Figura 5.35: Suma de Fourier Figura 5.36: DFT 392 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT 5.12. Resumen de las transformadas Serie de Fourier: cn = 1 T T Z f (t)e− jnΩ0 t dt f (t) = 0 ∞ X cn e jnΩ0 t t ∈ R1 periodo T = 2π/Ω0 n=−∞ Suma de Fourier: Xk = N−1 2π 1X f (t)e− jn N nk dt T n=0 xn = N−1 X 2π Xk e− jn N nk n ∈ Z, periodo N k=0 Transformada de Fourier (de señales discretas de longitud infinita en l1 ) [DTFT]: S(ω) = ∞ X sn e− jnωn dt sn = n=−∞ 1 2π 2π Z S(ω)e− jnωn dω 0 Transformada Discreta de Fourier (de señales discretas de longitud infinita) [DFT]: N−1 2π 1X Xk = f (t)e− jn N nk dt T n=0 xn = N−1 X k=0 2π Xk e− jn N nk n ∈ N, k ∈ N N = /0, N − 1/ n 5.12. RESUMEN DE LAS TRANSFORMADAS Transformada de Fourier (de señales continuas en L1 ): Z ∞ Z ∞ 1 − jΩt F(Ω) = f (t)e dt f (t) = F(Ω)e jΩt dΩ 2π −∞ −∞ 393 t ∈ R1 , Ω ∈ R1 394 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT 5.13. Resumen para la propiedad de Parseval Se mantienen los símbolos de la página anterior. Serie de Fourier: ∞ X |cn |2 = n=−∞ 1 T T Z | f (t)|2 dt 0 Suma de Fourier: N−1 N−1 X 1 X |xn |2 = |Xk |2 N n=0 k=0 Transformada de Fourier (de señales discretas de longitud infinita en l1 ) [DTFT]: ∞ X |sn |2 = n=−∞ 1 2π 2π Z |S(ω)|2 dω 0 Transformada Discreta de Fourier (de señales discretas de longitud infinita) [DFT]: N−1 N−1 X 1 X |xn |2 = |Xk |2 N n=0 n=0 Transformada de Fourier (de señales continuas en L1 ): 5.13. RESUMEN PARA LA PROPIEDAD DE PARSEVAL Z ∞ 1 | f (t)| dt = 2π −∞ Z ∞ |F(Ω)|2 dΩ 2 −∞ 395 396 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT 5.14. Resumen convolución Se mantienen los símbolos de la página anterior. Serie de Fourier: ∞ X cn dn e k=−∞ jnΩ0 t 1 = T T Z f (t − τ)g(τ)dτ 0 donde cn y dn son los coeficientes de Fourier de f y g. Suma de Fourier: N−1 X nk Rk Sk WN = k=0 N−1 1 X sm rJn−mK N m=0 Transformada de Fourier (de señales discretas de longitud infinita en l1 ) [DTFT]: 1 2π 2π Z S(ω)R(ω)dω = 0 ∞ X sk rn−k k=−∞ Transformada Discreta de Fourier (de señales discretas de longitud infinita) [DFT]: N−1 N−1 X 1 X −nk Sm RJk−mK rk sk WN = N m=0 k=0 5.14. RESUMEN CONVOLUCIÓN Transformada de Fourier (de señales continuas en L1 ): Z ∞ Z ∞ 1 jΩt F(Ω)G(Ω)e dΩ = f (τ)g(t − τ)dτ 2π −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ 1 jΩt F(W)G(t − W)dW f (t)g(t)e dΩ = 2π −∞ −∞ 397 398 5.15. CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Problemas 1. Las señales x, y : 6 → C, discretas de longitud finita, se muestran en la figura 5.37. Encuentre DFT−1 [DFT(x)DFT(y)]. Sugerencia: ¿Qué relación hay entre la DFT y la convolución circular? Figura 5.37: Dos señales discretas de longitud finita 2. Sea r : Z → C, la señal discreta pulso discreto de longitud infinita (y duración finita) dada por 1, si n ∈ {0, 1, . . . , L − 1} rn = 0, si n < {0, 1, . . . , L − 1} a) Grafique rn contra n. b) Muestre que la transformada de Fourier R(ω) de r, está dada por − jω L−1 2 R(ω) = e sen( ωL ) 2 sen ω 2 si ω , 0 y R(0) = L. (Una señal senc enmascarada). c) Utilizando Mathematica, grafique R(ω) contra ω para L = 10, ω ∈ [−π, π). 3. Sea s : Z → C, la señal dada por sn = 2−|n| cos(3n). Calcule su transformada de Fourier. 5.15. PROBLEMAS 399 4. Se tiene un sistema de convolución discreto con función de transferencia H(ω) = (1/3)(1+2 cos(ω)). Calcule la respuesta del sistema (en el dominio n) a la señal xn = (1/5) cos( 2π 3 n). 5. a) Calcule la convolución circular de las señales [1, 2, 3] y [0, 1, 0]. b) Calcule la convolución circular de [0, 1, 0, 1, 0] y [2, 2, 3, 4, 5]. 6. Se tiene un sistema de convolución discreto con función de transferencia H(ω) = cos(ω). Calcule la respuesta del sistema (en el dominio n) a la señal xn = sen(n π2 ) + cos(nπ). Para n ∈ / − 10, 10/ grafique la entrada y la salida. 7. La respuesta impulso de un sistema de convolución discreto está dada por: 0, n<0 hn = −n 3 n≥0 Si la entrada al sistema es la señal xn = cos(n/2) + cos(n), exprese la salida yn como una suma de cosenos (desfasados). 8. Se tiene un sistema de convolución discreto con función de transferencia H(ω) = cos(ω). Encuentre la respuesta impulso del sistema. 9. a) Encuentre la transformada G(Ω) de la señal continua g(t) = e−|t| , t ∈ R1 . b) Encuentre la transformada S(Ω) de la señal discreta sn = g(n/10), n ∈ Z. P c) Usando Matlab, grafique S(ω) y 10 5r=−5 G(10ω + 2π10r). Compare y Explique. 10. Si la función de transferencia de un sistema está dada por H(ω) = 2 j sen(ω) 400 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT a) Grafique la magnitud y la fase de H. b) Encuentre la respuesta impulso del sistema. c) Dé la ecuación de diferencia entrada/salida del sistema. d) Encuentre la salida si la entrada está dada por en = cos(nπ). e) Encuentre la salida si la entrada está dada por en = 1 + cos(2πn/3) + cos(nπ). 11. Se tiene un sistema e convolución discreto que produce a la salida una versión retardada de la señal de entrada: yn = xn−2 , como se muestra en la figura 5.38. a) Encuentre la función de transferencia H(ω), del sistema. b) Encuentre la respuesta impulso del sistema. Figura 5.38: Un filtro de retardo 12. Suponga que se tiene un sistema de convolución discreto con función de transferencia H(ω) = e jω/2 . Encuentre la respuesta impulso del sistema. 13. Suponga que se tiene un sistema de convolución discreto con función de transferencia H(ω) = e j3ω . Encuentre la respuesta impulso del sistema. 14. Si x = [1, 0, 0], z = [1, 1, 1] y se sabe que z es la convolución circular de x y cierta señal y, encuentre y. 15. Se tiene un sistema discreto con entrada x, y salida y, que cumple con las siguiente condiciones: 5.15. PROBLEMAS 401 yn = xn + 0,5yn−1 . La relación se puede iterar hacia atrás, y es válida en el límite, cuando n → −∞: yn = xn + 0,5xn−1 + 0,25yn−2 = xn + 0,5xn−1 + 0,25xn−2 + 0,125yn−3 = ··· Siempre que la entrada tienda a 0 cuando n → −∞, la salida también. a) Diga si el sistema es de convolución. Explique. b) Exprese la salida como una suma de exponenciales complejas, si la entrada está dada po JnK3 . 16. La señal g(t) tiene transformada G(Ω), con G(Ω) = 0 para |Ω| > 2π10000. Muestreando g, se obtiene la señal discreta x : Z → C dada por xn = g(nT), T = 10−5 . La señal x es filtrada con el sistema discreto con ecuación de diferencia yn = xn − xn−1 , produciendo la señal discreta y = {yn }. Finalmente, a partir de la señal y se obtiene la señal continua s(t), con la siguiente fórmula de interpolación: s(t) = ∞ X n=−∞ yn senc [ πt − nπT ] T a) Encuentre la función de transferencia D(ω) = Y(ω)/X(ω) del sistema discreto. b) Encuentre la respuesta impulso del sistema discreto. c) Si S(Ω) es la transformada de la señal de salida, encuentre la función de transferencia S(Ω) = S(Ω)/G(Ω) correspondiente al sistema completo. 402 CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT Note que ésta es una forma versátil de implementar filtros análogos con base en filtros digitales. Diga cuáles inconvenientes tiene. 17. Diga qué tipo de filtro es el promedio móvil ponderado que para cada señal de entrada x produce a la salida la señal y dada por yn = 0,25(xn−1 + 2xn + xn+1 ). es decir, a) Encuentre la respuesta impulso. b) Compruebe que es de convolución. c) Encuentre la función de transferencia. Ahora, ¿de qué tipo es? d) También, diga i el sistema es lineal, invariante, estable y causal. En cada caso, explique. 18. Calcule la DFT de la señal [1,1,0,0,1]. Expresela como un vector real. 19. Se tiene un sistema de convolución discreto con respuesta impulso dada por hn = un 2−n , a) Encuentre la función de transferencia H(ω) y muestre que es real u par. b) Si la entrada es la señal sn = e jπ(20/45)n , exprese la señal de salida como una suma de exponenciales complejas. c) La señal g(t) tiene transformada G(Ω) con G(Ω) = 0 para |Ω| > 2π10000. Se obtiene luego la señal discreta x usando xn = g(nT) con n ∈ Z, T = 10−5 . Luego, la señal discreta es filtrada con un sistema de convolución discreto con ecuación de diferencia dada por yn = 0,5(xn − xn−1 ). Finalmente, se reconstruye una señal continua P s(t) = ∞ 0 yn senc (π/T[t − nT]). 1) Encuentre la función de transferencia del sistema discreto. Diga qué tipo de filtro es. 5.15. PROBLEMAS 403 2) Encuentre la respuesta impulso del sistema discreto. 3) Si S(Ω) es la transformada de la señal de salida, encuentre la S(Ω) función de transferencia H(Ω) = G(Ω) del sistema completo. P 2 20. Usando la propiedad de Parseval de la DTFT, calcule ∞ n=−∞ |sn |, donde sn = 2−|n| . 21. Se tiene un sistema de convolución continuo con función catacterística dada por cos(10t)e−|t| . Diga qué tipo de filtro es y dé las frecuencias de corte de 3db. 22. Para el sistema con respuesta escalón g(t) = e−t u(t), diga qué tipo de filtro es y encuentre las frecuencias de corte de 3db. También, si se aplica la entrada la señal e(t) = arctan(t), encuentre la energía de la señal de salida. 23. Se tiene la señal discreta de longitud finita X T = [1, −j, −1, j] ∈ R4 , a partir de la cual se obtiene la señal X como se indica: 1 1 X = 1 1 1 j −1 −j 1 −1 1 −1 1 −j −1 j x usando esta información expres a x en la forma xn = valor de las Yk s y compruebe su solución.) P3 k=0 2π Yk e j 4 nk .(Dé el Referencias [1] “Digital Signal Processing”. A. V. Oppenheim y R.W. Shafer. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1975. [2] “Computer Based Exercises for Signal Processing”. C-S. Burrus, et.al., Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1994. [3] “Dicrete-Time Signal Processing”. A. V. Oppenheim y R.W. Shafer. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1989. [4] “Digital Signal Processing”. J.G Proakis y D.G. Manolakis. Pentice Hall, Upper Saddle River, 1996. [5] “Chaos in Digital Filters”. L.O. Chua y T. Lin. IEEE trans. on Circuits and Systems, vol. 35, no. 6, pp. 648-658,1988. 404 Capítulo 6 Propiedades de los sistemas y su correspondiente clasificación 6.0. Clasificación Los sistemas de clasifican de acuerdo a sus propiedades. Una de ellas, que ya mencionamos en el capítulo 2 al hablar de sistemas de convolución, es la linealidad. La propiedad de linealidad se frasea en términos del concepto de espacio vectorial de señales, y del cuerpo de los complejos. Otras propiedades que un sistema puede tener y que consideramos en este capítulo son: invarianza, causalidad y estabilidad. Los sistemas de convolución son lineales e invariantes pero hay sistemas lineales y sistemas invariantes que no son de convolución. Con gran generalidad, un sistema lineal e invariante es un sistema de convolución. Como era 405 406 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS de esperar, la causalidad y la invarianza de un sistema de convolución están determinados por la respuesta escalón del sistema, o por la respuesta impulso, cuando existe. Sea S : A → B un sistema lineal de un espacio vectorial de señales A a un espacio vectorial de señales B, ambos con el mismo cuerpo. Si a medida que consideramos diferentes señales de entrada x, evaluamos la señal de salida y(t) = [S(x)](t) del sistema en un tiempo dado t = t0 , resulta el funcional lineal φ : A → C (C es el conjunto de los complejos) dado por φ(x) = [S(x)](t0 ). Esta observación, junto con un resultado conocido como el Teorema de representación de Riesz nos permite expresar la salida de un sistema lineal (no necesariamente invariante) como una integral de Riemann-Stieltjes, similar en forma a la convolución de Stieltjes vista en el capítulo 2 para sistemas lineales e invariantes, cuando el espacio de las señales de entrada A es el conjunto de las señales contínuas con soporte contenido dentro de un intervalo dado. Otro espacio de señales que es importante en teoría de sistemas, es el espacio de las señales de variación acotada. Si una señal es de variación acotada y es derivable, entonces su derivada está en L1 (¿Por qué?). Los sistemas contínuos lineales, pero no necesariamente invariantes, se modelan con, Z ∞ y(t) = e(τ)dgt (τ) −∞ y, menos generalmente pero a menudo equivalentemente, con, Z ∞ y(t) = h(t, τ)e(τ)dτ −∞ La teoría de los sistemas lineales está bastante sofisticada. No existe una teoría que cubra los sistemas en general (lineales y no lineales) que tenga un nivel de desarrollo similar. A partir de la década de los setentas se comenzaron a estudiar los filtros L, o los filtros basados en estadísticas de orden. El filtro más conocido de esta familia es el filtro mediana, introducido por Tukey como la media móvil, para el estudio de series de tiempo en estadística. 6.1. SISTEMAS LINEALES 407 Los sistemas no lineales se han estudiado con las llamadas series de Volterra (en honor a Vito Volterra, matemático italiano, quien publicó varios resultados relacionados a finales de siglo pasado). Sin embargo, esta teoría no es suficientemente general, en particular, no modela el filtro mediana. Así, hay dos áreas grandes en las que se clasifican los sistemas no lineales: en el caso continuo, los sistemas pueden ser lisos, y si son de forma y0 = f (y) + x, donde x es la entrada y y es la salida, cuando f tiene Jacobiano, y los sistemas arrugados (osea no lisos) pero lineales a trozos (o PL: “picewise linear”), como en el caso del circuito de Chua. Los sistemas discretos no lineales que se estudian normalmente son de la forma yn = f (yn−1 ) + xn , donde f tiene Jacobiano o es lineal a trozos. la sección 6.1 pasó al capítulo cero, revisar la introducción. 6.1. Sistemas lineales Sean (V, ⊕, K, +, ·) y (W, ∗, K, +, ·) espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. La función T : V → W es una transformación lineal si para cada α, β ∈ K y cada x, y ∈ V se tiene que T(α · x ⊕ β · y) = α · T(x) ∗ β · T(y). Así, una transformación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales. En otras palabras, T es lineal si cumple con las propiedades de homogeneidad: para cada α ∈ K y cada u ∈ V, T(αu) = αT(u), y de superposición: para cada u, v ∈ V, T(u + v) = T(u) + T(v). Ejercicio. Demuestre que si T es una transformación lineal entre los espacios (V, ⊕, K, +, ·) y (W, ∗, K, +, ·) , que 0 es el módulo del grupo (V, ⊕) y Θ es el módulo del grupo (W, ∗), entonces, T(0) = Θ. Para cada sistema lineal, continuo o discreto, se tiene por lo tanto que la respuesta a la señal cero es la señal cero. Para cada sistema lineal, continuo o discreto, se tiene por lo tanto que la respuesta a la señal cero es la señal cero. 408 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Ejemplo. Considere el espacio vectorial V de las funciones contínuas con dominio [0, 1] y rango complejo, con la operación de suma de funciones, sobre el cuerpo de los complejos. Considere el conjunto de funcionales lineales definidos sobre este espacio. Como se puede mostrar, para cada funcional lineal f : V → C, de este tipo hay una función g de variación acotada tal que f se puede representar como una integral de Riemann-Stieltjes: 1 Z f (h) = h(t)dg(t) 0 Ejemplo. Considere el espacio vectorial V de las funciones contínuas con do- minio [0, 1] y rango complejo, con la operación de suma de funciones, sobre el cuerpo de los complejos. Considere el espacio vectorial W = C2 sobre el cuerpo de los complejos C. Sea T : V → W dada por 1 "Z T(h) = 1 Z h(t)e j2πt dt, 0 h(t)e − j2πt # dt 0 Ejercicio. Diga si la función T del ejemplo anterior es una transformación lineal. Ejercicio. Diga si el promedio móvil es una transformación lineal y, en caso afirmativo, ¿Entre qué espacios vectoriales? Ejercicio. Diga si la DFT es un homomorfismo entre CN y CN , o no y ¿Por qué? Rb Teorema 10. Riesz. La integral de Riemann-Stieltjes a s(τ)dλ(τ) donde λ es una función dada de variación acotada, define un funcional lineal sobre el espacio de las funciones contínuas. Conversamente, cada funcional lineal definido sobre el espacio de las funciones contínuas con soporte incluido en el intervalo [a, b], puede ser representado en esta forma. Suponga que se tiene un sistema lineal S y que las posibles señales de entrada e son las señales contínuas con soporte acotado por el intervalo [a, b]. 6.2. SISTEMAS NO LINEALES: LOS FILTROS L 409 Entonces, para un valor t1 fijo, el valor de la señal de salida [S(e)](t1 ) es un funcional lineal sobre el espacio de señales de entrada. Por el teorema anterior, tenemos que Z b s(τ)dλ1 (τ) [S(e)](1) = a y similarmente para otro valores de t, por lo tanto, en general tenemos que, b Z [S(e)](t) = s(τ)dλt (τ) a o, abusando un tanto de la notación, b Z [S(e)](t) = s(τ)dλ(τ) a o, si λ es derivable con derivada h, b Z [S(e)](t) = s(τ)h(t, τ)dτ a Para señales de entrada con soporte lo suficientemente centrado y localizado en el intervalo [a, b], con respecto a un posible corrimiento, tenemos que si λt (τ) = λ(τ − t) entonces el sistema es invariante con respecto al corrimiento. 6.2. Sistemas no lineales: los filtros L Es común en ingeniería el pasar una señal por un sistema con el objeto de quitarle una característica indeseable, o de resaltar una deseable. Por ejemplo, considere el ecualizador de un equipo de sonido. Con frecuencia, una señal resulta “contaminada con ruido” al ser transmitida; por ejemplo, la señal de un satélite. Es decir, la señal que se recibe es diferente de la señal que se transmite y no hay mucho que se pueda hacer para evitarlo. Este problema se alivia en parte usando sistemas digitales ya que para 410 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS que un “1” se convierta en un “0” o viceversa, se necesita un nivel de ruido alto. Otra forma de aliviar el problema consiste en estimar la señal original en el punto de recepción, dado cierto conocimiento de las señales que se transmiten y del ruido. Por ejemplo, si se sabe que la señal no tiene componentes de frecuencia por encima de 5KHz, cualquier cosa a frecuencias más altas es ruido y se puede considerar el uso de un filtro pasa bajas. Si la señal y el ruido tienen espectros que se traslapen apreciablemente, el uso de un sistema de convolución no permitirá separar la señal del ruido. Por ejemplo, considere una imagen, donde los bordes tienen componentes de frecuencia altas y contienen parte importante de la información que se transmite, la cual resultó contaminada con ruido aditivo de alta frecuencia. este problema se resuelve en forma relativamente satisfactoria usando un sistema no lineal: filtro mediana. Otra razón por la que es importante estudiar los sistemas no lineales es que los sistemas lineales son sólo modelos aproximados de sistemas reales. Así, no siempre es conveniente ni realista asumir que cierto sistema es lineal. Por ejemplo, cuando se quiere estudiar la distorsión introducida por un amplificador con transistores. A continuación repasamos algunos conceptos útiles en la definición de los filtros L, también conocidos como estadísticas L móviles. 6.2.1. Permutaciones Una permutación es una biyección de un conjunto finito a sí mismo. Para funciones de un conjunto finito a sí mismo, los conceptos de inducción, sobreyección y biyección coinciden; así una permutación de los elementos del conjunto N = {0, 1, . . . , N − 1} es una biyección de N a N. Como sabemos, a un conjunto de n elementos le corresponden n! permutaciones posibles. Ejemplo. La función p : {0, 1, 2, 3} → {0, 1, 2, 3}, dada por p(0) = 2, p(1) = 1, 6.2. SISTEMAS NO LINEALES: LOS FILTROS L 411 p(2) = 3, p(3) = 0 es una permutación del conjunto 4 = {0, 1, 2, 3}. También, usando vectores, escribimos: [0, 1, 2, 3] → [2, 1, 3, 0]. 6.2.2. Muestra En la práctica, una muestra (“Sample”) es el resultado de una encuesta o experimento. Técnicamente, una muestra [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] es un punto en RN , es decir, un vector de N componentes. La razón por la cual modelamos una muestra como un vector y no como un conjunto es que en una muestra podemos tener elementos repetidos mientras que en un conjunto n0 : {2, 2} = {2}. Nota. Un vector sin embargo, tiene más estructuras que la necesaria ya que normalmente el orden de las componentes de una muestra no es relevante (a diferencia de una serie de tiempo). Así, una definición apropiada podría ser la clase de vectores dada por las permutaciones de sus componentes. 6.2.3. Estadísticas En la práctica, una estadística extrae cierta información de la muestra y la condensa en un solo número. Técnicamente, una estadística es una función de RN → R1 . Así por ejemplo, el promedio es una estadística. es la función promedio: P R → R1 dada por, promedio[x0 , x1 , . . . , xN−1 ] = N1 N−1 n=0 xn . N El grafo de la función promedio es un plano que pasa por el origen de RN+1 , ésta es una forma de ver que el promedio es una estadística lineal. El promedio es el estimador de máxima verosimilitud de la media de una distribución gausiana. 412 6.2.4. CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Estadísticas de orden El vector de las estadísticas de orden (“order statistics”) de la muestra x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] se denota como x = [x( 0), x( 1), . . . , x(N−1) ]; los componentes de este vector, conocidos como las estadísticas de orden, corresponden a un ordenamiento de la muestra: x( 0) ≤ x( 1) ≤ · · · ≤ x(N−1) Ejemplo. Las estadísticas de orden de x = [5, 3, 3, 8, 0, −2, 5] son: x = [x( 0), x( 1), . . . , x(N−1) ] = [−2, 0, 3, 3, 5, 5, 8] La notación x(i) corresponde al hecho siguiente: sea p una permutación de N = {0, 1, . . . , N − 1} tal que, xp(0) ≤ xp(1) ≤ · · · ≤ xp(N−1) : omitiendo la “pe” en xp(i) nos resulta la notación mostrada. Las estadísticas de orden son una herramienta muy útil y antigua en la estadística. Por ejemplo, la mediana es el estimador de máxima verosimilitud de la media de una distribución laplaciana. Para calcular la mediana no es necesario hacer sumas ni divisiones, esto hacía su uso muy atractivo cuando no había calculadoras ni computadoras. Algunas personas en Inglaterra no las consideraban “dignas” y se referían a su uso como “quick and dirty”. Hoy en día la situación se ha invertido en cierto sentido ya que las instrucciones de sumas y divisiones se llevan a cabo muy rápidamente en un computador, mientras que las de ordenar datos toman más tiempo. 6.2.5. Mediana, mínimo y máximo Si el tamaño N de la muestra x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] es impar, con N = 2k + 1, y por lo tanto k = [N−1] 2 , su mediana está dada por, med (x) = x(k) Similarmente, su mínimo y su máximo están dados por, mı́n(x) = x(0) máx(x) = xN−1 6.2. SISTEMAS NO LINEALES: LOS FILTROS L 6.2.6. 413 Algunas estadísticas L Las estadísticas L son combinaciones lineales de las estadísticas de orden de una muestra. Así, por ejemplo, el rango (“range”) y el midrango (“midrange”) de la muestra x, definidos a continuación, son estadísticas L: rango(x) := x(N−1) − x(0) midrango(x) := 0,5(x(N−1) + x(0) ) Los cuasirangos (“quasiranges”) se definen así: Qr::N (x) := x(N−r−1) − x(r) 6.2.7. Notación vectorial para las estadísticas L Resulta conveniente expresar las estadísticas L en notación matricial, como el producto, γxT donde el vector γ = [γ0 , γ1 , . . . , γN−1 ] es un vector de coeficientes, y T indica vector transpuesto. Así, para N = 5, los vectores de coeficientes para la mediana, el mínimo, el máximo, el rango y el midrango están dados por, estadística mediana mínimo máximo rango midrango promedio vector de coeficientes [0, 0, 1, 0, 0] [1, 0, 0, 0, 0] [0, 0, 0, 0, 1] [−1, 0, 0, 0, 1] [0,5, 0, 0, 0, 0,5] [0,2, 0,2, 0,2, 0,2, 0,2] 414 6.2.8. CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Estadísticas móviles o filtros de ventana móvil Cuando se tiene una señal discreta (serie de tiempo en la jerga estadística) y a partir de ésta se obtiene otra desplazando una ventana sobre la señal original y escribiendo como valor de la señal de salida correspondiente a la coordenada en la que la ventana está centrada el valor correspondiente a alguna estadística aplicada a la muestra de los datos en la ventana, decimos que tenemos un filtro de ventana móvil o una estadística móvil. Si m : R2k+1 → R1 es la estadística en cuestión, x : R → C la entrada y y : R → C la salida, tenemos que, para cada i entera, yi = m[xi−k , . . . , xi , . . . , xi+k ]. 6.2.9. Filtros L Cuando se tiene un filtro de ventana móvil y la estadística en cuestión es un estadística L, decimos que tenemos un filtro L, o filtro de estadísticas de orden. Quizás el filtro L más conocido sea el filtro mediana que, como el promedio móvil, se usa para buscar tendencias subyacentes en series de tiempo en estadística. El filtro mediana Con ventana de ancho 2k + 1 se puede implementar como se muestra en la figura 6.1. Ejercicio. Muestre que el filtro mediana cumple con la propiedad de homo- geneidad. Ejercicio. Dé un contraejemplo que ilustre el hecho que el filtro mediana no cumple con la propiedad de superposición. Ejercicio. Diga si el filtro mediana es un sistema lineal. Ejercicio. Filtre la señal periódica {. . . , 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0 . . . } de periodo 6, con un filtro mediana de ancho de ventana tres, con uno de ancho de ventana igual a cinco, y con uno de ancho de ventana igual a siete. 6.2. SISTEMAS NO LINEALES: LOS FILTROS L 415 Figura 6.1: Un filtro mediana tiene tres bloques principales: uno que toma segmentos de la señal de entrada, otro que ordena los datos en los segmentos y otro que toma el valor ordenado intermedio, o mediana 6.2.10. Señales raíz Los filtros no lineales son más difíciles de analizar, debido a que hay que hacerlo caso por caso y no se tiene un volumen de conocimiento para ninguno en particular, similar al que se ha acumulado para los filtros no lineales. La caracterización de las señales que pasan sin sufrir alteración por un filtro, o señales raíz del filtro, constituye una caracterización teórica importante de un filtro no lineal. (En el caso de un filtro de convolución, las exponenciales complejas con frecuencias para las que la función de transferencia del filtro vale 1 + j0). Tyan, Brandt y Longbotham han caracterizado las señales raíz del filtro mediana. Como dijimos, una señal x = {xn } es una señal raíz (o señal invariante, o señal idempotente) del filtro mediana si al filtrarla obtenemos nuevamente la misma señal. Las señales raíz del filtro mediana se pueden clasificar en dos conjuntos. Uno contiene señales localmente monótonas con grado de monotonicidad local igual al ancho de la ventana del filtro en cuestión. Por ejemplo, las señales 416 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS lomo-3 son señales raíz del filtro mediana con ventana de ancho 3. el otro conjunto, contiene señales binarias y periódicas, no necesariamente localmente monótonas. Tyan anotó en 1981 que las señales localmente monótonas eran invariantes, posteriormente, Brandt y Longbotham, independientemente en 1987, indicaron la relevancia de los conjuntos de señales periódicas binarias. A continuación damos ejemplos de señales periódicas binarias. Por simplicidad, las señales tienen rango {0, 1} en todos los casos. Ejemplo. La señal {. . . , 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, . . . } es localmente monótona de grado 3 y es señal raíz del filtro mediana de ventana de ancho 3. Ejemplo. La señal {. . . , 0, 1, 0, 1, 0, . . . } es una señal raíz del filtro mediana con ancho de ventana 5. Note que no lo es del de ventana de ancho 3. Ejemplo. La señal {. . . , 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, . . . } de periodo 8, es señal raíz del filtro mediana con ventana de ancho 7. Ejemplo. La señal {. . . , 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, . . . } de periodo 7, es señal raíz del filtro mediana con ventana de ancho 9. 6.3. Invarianza y Causalidad Los nombres de invarianza y de causalidad resultan de considerar la evolución de las señales en la variable tiempo. Hoy en día el dominio de una señal no necesariamente se refiere a tiempo si no, por ejemplo a desplazamiento; sin embargo, se sigue utilizando la misma terminología. Antes de definir las propiedades, considere el uso de cierta notación para señales desplazadas. Sea f : R1 → C una señal continua. Sea t un número real y sea g : R1 → C la señal continua tal que, ∀t ∈ R1 g(t) = f (t − τ), decimos que la señal g es una versión desplazada de la señal f y a denotamos como τ f . Usando esta convención, 0 f = f y ∀t ∈ R1 g(t) = f (t − τ) 6.3. INVARIANZA Y CAUSALIDAD 417 Figura 6.2: La señal s y una versión desplazada τ s de ésta Similarmente, para señales discretas, si r : Z → C, entonces .v r es la versión de la señal r desplazada v unidades hacia la derecha, es decir, ∀n ∈ Z.v rn = rn−v . 6.3.1. Invarianza Se dice que el sistema continuo S es invariante si, ∀x ∈ CR , y ∀τ ∈ R, S(τ x) =τ (S[x]), es decir ∀t ∈ R1 [S(τ x)](t) = [S(x)](t − τ) Esta propiedad se ilustra en la figura 6.3. Similarmente, para sistemas discretos, se dice que el sistema discreto S es invariante si, ∀x ∈ CZ , y ∀v ∈ Z, S(v x) =v (S[x]), es decir ∀n ∈ Z [S(v x)]n = [S(x)]n−v Ejercicio. Diga si el filtro RC pasa bajas de primer orden es invariante. Ejercicio. Diga si el filtro promedio móvil es invariante. Ejercicio. Muestre que el filtro mediana es invariante. 418 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Figura 6.3: Si la señal de entrada a un sistema invariante se desplaza, la salida se desplaza en la misma forma. 6.3.2. Causalidad Aunque la causalidad es un concepto bastante intuitivo, una definición axiomática en teoría de sistemas quizás no sea obvia. El tema de la causalidad ha sido considerado con frecuencia en filosofía, por ejemplo por Hume y por Russell, y en la filosofía de la física cuántica. Decimos pues, que el sistemas continua S es un sistema causal si el valor de la salida y(t) = [S(x)](t), en t no depende de la entrada x(τ) para valores de τ mayores que t. (Osea, el presente de la señal de salida depende solamente del presente y el pasado de la señal de entrada y no del futuro de la señal de entrada.) En símbolos, S es causal si: ∀x, u ∈ CR , ∀τ ∈ R 3 ∀t < τ x(t) = u(t) ⇒ ∀t < τ[S(u)](t) = [S(x)](t) en palabras: el sistema S es causal si siempre que dos señales concuerden hasta un cierto punto τ, las salidas correspondientes también concordarán hasta τ. 6.3. INVARIANZA Y CAUSALIDAD 419 Figura 6.4: Las tres señales mostradas x, y, z para t < τ, coinciden Es claro que cualquier sistema clásico que evolucione en el tiempo, por ejemplo un filtro RC será causal. En mecánica cuántica no es claro que todo sistema sea causal. También, si el dominio de las señales no es el tiempo, no hay razón para asumir a priori que el sistema sea causal. Similarmente, el sistema discreto S es un sistema causal si siempre que 2 señales concuerden hasta n = v, las salidas correspondientes también concuerdan hasta n = v: ∀x, u ∈ CZ , ∀v ∈ Z 3 ∀n ≤ v xn = un ⇒ ∀n ≤ v[S(u)]n = [S(x)]n la salida yn = [S(x)]n , evaluada en n no depende de la entrada xv , para valores de v mayores que n. Ejercicio. Diga si el filtro RC pasa bajas de primer orden es causal. Ejercicio. Diga si el filtro promedio móvil es causal. Ejercicio. Dé un ejemplo de un promedio móvil causal. Ejercicio. Diga si el filtro continuo pasa bajas ideal es causal. Más adelante en este capítulo daremos caracterizaciones alternas para la causalidad de los sistemas de convolución. 420 6.4. CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Estabilidad Intuitivamente, un sistema es estable si siempre que la entrada no sea demasiado grande, la salida tampoco lo es. Como se vio en el capítulo anterior, el tamaño de las señales se mide utilizando las normas elepé: Lp y lp . Aquí nos restringiremos al caso p = ∞. El Estado de un sistema es un vector de señales correspondientes a varias variables de un sistema (por ejemplo la corriente y el voltaje en el condensador de un circuito RC serie), es decir, un estado es un elemento del producto cartesiano de las magnitudes de interés de un sistema. cuando se estudian los sistemas usando el concepto de estado, es útil definir la estabilidad del sistema en términos de sensitividad a condiciones iniciales diciendo que dos estados son lo suficientemente similares entonces la evolución del sistema a partir de cada uno de estos también será similar. Esta idea tiene que ver con la llamada estabilidad en el sentido de Liapunov y con la posible caoticidad de un sistema. Otro tipo de estabilidad tiene que ver con el hecho de que un sistema pueda oscilar, es decir, producir una señal de salida periódica con entrada cero. Normalmente esto es indeseable, cuando hay realimentaciones espurias. Para sistemas de convolución, es posible predecir si esto sucederá conociendo la posición de los polos de la función de transferencia en el plano complejo, usando la transformada de Laplace o la transformada zeta, respectivamente, para sistemas contínuos y discretos. Un sistemas dinámico sin entrada (por ejemplo un oscilador) se caracteriza con una ecuación de diferencia homogénea; en este caso, con sistema estable, se quiere decir que las soluciones sean acotadas. El tipo de estabilidad en el que estamos interesados aquí se conoce como estabilidad EASA. Decimos que un sistemas es estable en el sentido entrada acotada - salida acotada, o EASA (“BIBO”: “bounded input, bounded output”), si para cada señal de entrada con norma ele-infinito, finita, la salida tiene norma ele-infinito finita. Es decir, para cualquier señal de entrada acotada, la salida es una señal acotada. 6.4. ESTABILIDAD 421 Quizás sea conveniente anotar que aunque normalmente un sistema inestable es indeseable, no siempre es así. Por ejemplo, la maniobrabilidad de un avión puede incrementar notablemente bajo condiciones de inestabilidad. Lo importante es poder predecir el resultado y que el sistema produzca la salida deseada. Ejercicio. Diga si el promedio móvil es estable en sentido EASA, o no. Ejercicio. Dé un ejemplo de un sistema no estable. Ejercicio. Se tiene un sistema discreto T el cual, para cada señal de entrada x, produce la señal de salida T(x), x = {xn } y T(x) = {[T(x)n ]}. Si T está definida como se indica en cada caso abajo, diga si T es: Lineal Causal Invariante Estable 1. [T(x)n ] = gn xn ¿Cómo dependen sus respuestas de g? 2. [T(x)n ] = Pn 3. [T(x)n ] = Pn+n0 k=n0 xk k=n−n0 xk 4. [T(x)n ] = xn−n0 5. [T(x)n ] = ex n 6. [T(x)n ] = a · xn + b 422 6.5. CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Sistemas homogéneos e invariantes Es interesante considerar esta clase de sistemas, que incluye la clase de los sistemas de convolución, debido a la interesante propiedad de que la respuesta a una exponencial es un exponencial. Así, las exponenciales son las señales propias de los sistemas homogéneos e invariantes. 6.5.1. Caso discreto Sea xn la entrada a un sistema discreto homogéneo e invariante, aunque no necesariamente lineal (es posible que no cumpla con la propiedad de superposición). Suponga que la entrada es exponencial, de la forma xn = an . Sea yn la respuesta correspondiente del sistema. Por ser invariante el sistemas, si se aplica la entrada xn+1 = aan , la salida correspondiente será ahora yn+1 y como el sistema es homogéneo, yn+1 = ayn , por lo tanto, yn = y0 an mostrando que la salida también es exponencial. 6.5.2. Caso continuo Sea x(t) = at la entrada a un sistema discreto homogéneo e invariante, aunque no necesariamente lineal (es posible que no cumpla con la propiedad de superposición). Sea y(t) la respuesta correspondiente del sistema. Por ser invariante el sistema, si se aplica la entrada x(t + τ) = aτ at , por lo tanto, y(t) = y0 at mostrando que la salida también es exponencial. 6.6. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN 6.6. 423 Sistemas de convolución En esta sección se estudian los sistemas de convolución con cierto detalle, a la luz de las propiedades definidas. La función característica del sistema permite decir en forma inmediata si el sistema es causal y evaluando una integral o una serie, si es estable en sentido EASA. Es fácil probar que los sistemas de convolución son lineales e invariantes. Es práctica común asumir que si un sistema es lineal e invariante, entonces es representable con una convolución. Los casos de sistemas lineales e invariantes no representables con convolución se presentan cuando el sistema es discontinuo en el sentido que el orden de ciertos límites no se puede cambiar. Ejercicio. Demuestre que un sistema de convolución continuo es lineal. Ejercicio. Demuestre que un sistema de convolución discreto es lineal. Ejercicio. Demuestre que un sistema de convolución es continuo invariante. Ejercicio. Demuestre que un sistema de convolución es discreto invariante. Un sistemas de convolución queda completamente especificado cuando se conocen su respuesta impulso o su respuesta escalón. Por lo tanto, debe ser posible decir si el sistema es causal o no, si es estable o no, conociendo su respuesta impulso o su respuesta escalón. 6.6.1. Causalidad de un sistema de convolución ¿Cómo es la respuesta impulso de un sistema de convolución causal? suponga que el sistema de convolución continuo S es causal. como S es lineal, la respuesta a la señal cero, es la misma señal cero. Como asumimos que el sistema es causal, la respuesta a una señal que sea cero con anterioridad a tiempo cero; es también cero con anterioridad a tiempo cero. La señal escalón 424 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS es cero para tiempos menores que cero; como conclusión tenemos que la respuesta escalón de un sistema de convolución causal tiene que ser cero para tiempos menores a cero. Por lo tanto la respuesta impulso, si existe, es cero para tiempos menores que cero (la derivada de una constante es cero). Para sistemas discretos, la situación es similar y el resultado es el mismo: suponga que S es un sistema de convolución discreto; como S es lineal, la respuesta a la señal cero es la señal cero, como la señal impulso discreta es cero para instancias menores que cero y el sistema es causal, la respuesta impulso es cero para instancias menores que cero. Por lo tanto, si un sistema de convolución es causal, entonces su respuesta escalón y su respuesta impulso son cero en la parte negativa de su dominio. Si h(t) es la respuesta impulso de un sistema continuo de convolución causal, entonces para t < 0, h(t) = 0. Si hn es la respuesta impulso de un sistema discreto de convolución causal, para n < 0, hn = 0. Conversamente, suponga que se tiene un sistema de convolución continuo y que su respuesta escalón se anula en la parte negativa de su dominio. Sea e una señal de entrada; la salida está dada entonces por, Z ∞ r(t) = e(t − τ)dg(τ) −∞ Z τ=∞ =− e(τ)dg(t − τ) τ=−∞ como la respuesta escalón g(t) es cero para t < 0, se tiene que, Z r(t) = − τ=t τ=−∞ e(τ)dg(t − τ) y, dados los límites de la integral, concluimos que la salida r para cada entrada e, para cada tiempo t, solo depende de los valores que e tome con anterioridad a t. Es decir, r sólo depende de la restricción de e al intervalo(−∞, t) de su dominio. Por lo tanto, el sistema es causal. 6.6. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN 425 Similarmente, si se tiene un sistema discreto de convolución cuya respuesta impulso h se anula en la parte negativa de su dominio, para cada entrada x se tiene la salida y está dada por yn = n X hn−k xk k=−∞ de donde concluimos que la salida y para una instancia n, depende solamente de la restricción de la entrada al intervalo / − ∞, n/; por lo tanto, el sistema es causal. Resumimos diciendo que un sistema de convolución con respuesta impulso h es causal si y sólo si si función característica h (o en su defecto, la respuesta escalón g) se anula en la parte negativa de su dominio. 6.6.2. Estabilidad de un sistema de convolución Suponga que se tiene un sistema de convolución continuo cuya respuesta impulso h es integrable en magnitud, es decir, h ∈ L1 . Suponga que la señal de entrada x es acotada y que su norma L∞ está dada por kxk∞ (y es finita). La 426 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS norma L∞ de la señal de salida y está dada por, kyk∞ = sup{|y(t)| : t ∈ R1 } Z ∞ h(τ)x(t − τ)dτ| : t ∈ R1 } = sup{| Z −∞ ∞ |h(τ)x(t − τ)|dτ : t ∈ R1 } ≤ sup{ Z−∞ ∞ = sup{ |h(τ)||x(t − τ)|dτ : t ∈ R1 } Z−∞ ∞ ≤ sup{ |h(τ)|kxk∞ dτ : t ∈ R1 } −∞ Z ∞ = sup{kxk∞ |h(τ)|dτ : t ∈ R1 } Z−∞ ∞ = kxk∞ sup{ |h(τ)|dτ : t ∈ R1 } −∞ = kxk∞ khk1 <∞ En forma similar se puede mostrar que si se tiene un sistema de convolución discreto, kyk∞ < kxk∞ khk1 , por lo tanto, si la respuesta impulso {hn } es sumable en magnitud (i.e. si está en l1 ) y si la entrada es acotada (i.e. si está en l∞ ) entonces la salida está acotada y su norma ele-infinito es menor que el producto de las normas ele-uno de h y ele-infinito de x. Concluimos que, si la respuesta impulso de un sistema de convolución tiene norma ele-uno finita, entonces el sistema es estable en sentido EASA. Viceversa, suponga que se tiene un sistema de convolución continuo cuya respuesta impulso no está en L1 , es decir, su norma ele-uno es infinita. Queremos mostrar que entonces podemos encontrar una señal de entrada acotada a la que le corresponda una señal de salida no acotada. Suponga primero que la integral de la respuesta impulso es infinita. En este caso, la respuesta escalón no es acotada y por lo tanto el sistema es inestable. 6.6. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN 427 Por otra parte, si la integral de la respuesta impulso es finita, como el caso de una función h(t) = u(t)senc (t) tenemos que la respuesta escalón acotada. Similarmente, si la respuesta impulso tiene integral divergente (como en el caso de una función seno), y la integral en magnitud infinita, queremos encontrar una señal que tienda a infinito cuando t tiende a infinito. No nos interesa una señal que tome el valor infinito ya que esta no sería una función de los reales a los complejos. Una señal puede estar indefinida en un conjunto finito de puntos, según dijimos en el capítulo 1. Así, lo que necesitamos es una señal que diverja hacia infinito en un punto. Por ejemplo, si la señal de entrada es la señal 1, x(t) = −1, h(−t) ≥ 0 h(−t) < 0 entonces, la señal de salida y está dada por Z ∞ y(t) = h(τ)x(t − τ)dτ Z−∞ ∞ y(0) = h(τ)x(−τ)dτ Z−∞ ∞ = |h(τ)|dτ −∞ = khk1 =∞ Conjetura 2. Un sistema de convolución con respuesta impulso no integrable en magnitud no es estable EASA. Ejercicio. Diga si es cierto que un sistema de convolución continuo es estable EASA si y sólo si la la transformada unilateral de Laplace de su respuesta escalón no tiene polos en el semiplano abierto derecho. Explique. 428 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Ejercicio. Diga si es cierto que un sistema de convolución discreto es estable EASA si y sólo si la transformada zeta de su función característica no tiene polos en el círculo de radio 1 con centro en el origen. Explique. 6.7. Sistemas lineales e invariantes 6.7.1. Con dominio Lp , p ∈ [1, ∞) 6.8. Representabilidad con convolución Como se vio en la sección anterior, un sistema de convolución es lineal e invariante. Inversamente, suponga que se tiene un sistema continuo S, lineal e invariante. ¿Es S necesariamente representable con una convolución? Es decir, si h es la derivada de la respuesta escalón del sistema, o función característica, ¿se tiene que para cada señal de entrada x, S(x) = x ∗ h? 6.8.1. Sistemas discretos Considere inicialmente un sistema discreto lineal e invariante. Sea δ la señal impulso discreta y sea h la correspondiente respuesta impulso, es decir, h = S(δ) hn = [S(δ)]n sea x = {xn } una señal de entrada arbitraria. Sea .m δ la señal impulso desplazada m unidades y sea α una constante; así, para cada n, [α(m δ)]n = αδn−m . Note que toda la señal discreta se puede expresar como una serie de señales 6.8. REPRESENTABILIDAD CON CONVOLUCIÓN 429 Figura 6.5: La señal impulso discreta (o delta de Kronecker) impulso desplazadas y pesadas: x= ∞ X i=−∞ xi .i δ xn = ∞ X xi [i δ]n i=−∞ Ejemplo. Suponga que x es la señal mostrada en la figura 6.6. Figura 6.6: Una señal discreta La señal de la figura anterior se puede descomponer como una suma infinita de señales impulso desplazadas y pesadas: Suponga que el sistema es lineal en sentido amplio es decir que cumple con la propiedad de convolución no sólo para sumas finitas de señales sino también con respecto a series de señales, entonces, denotando y como la respuesta a la 430 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Figura 6.7: La descomposición de la señal en la figura 6.6 como una suma de señales impulso pesadas y desplazadas. señal x. y = S(x) = S( = ∞ X xi .i δ) i=−∞ ∞ X xi S(i δ) i=−∞ y si S es invariante, y = S(x) = ∞ X xi .i h i=−∞ entonces, para cada número entero n, y = S(x) = ∞ X xi hn−i = x ∗ h i=−∞ Lo anterior muestra que si un sistema discreto es invariante y lineal en sentido amplio, entonces es representable por una convolución. 6.8. REPRESENTABILIDAD CON CONVOLUCIÓN 431 Ejercicio. Para un sistema de convolución con respuesta impulso como la mostrada en la figura 6.8. Figura 6.8: La respuesta impulso de un promedio móvil 1/3, n ∈ {−1, 0, 1} hn = 0 n < {−1, 0, 1} muestre que la salida r, para una entrada s, está dada por rn = (1/3)(sn−1 + sn + sn+1 ). 6.8.2. Sistemas contínuos para sistemas contínuos lineales e invariantes la situación es más compleja pero la conclusión es similar: con gran generalidad, los sistemas contínuos lineales e invariantes, son representables con una convolución. Suponga que se tiene un sistema continuo S, lineal e invariante, con respuesta escalón g(t). Sea u(t) la señal escalón, así, g(t) = [S(u)](t). Suponga que se tiene una entrada que es una suma finita de señales escalón desplazadas: e(t) = N X ek [u(t − tk ) − u(t − tk+1 )] k=−N como se muestra en la figura 6.9. a este tipo de señales las llamaremos señales simples. como el sistema es lineal e invariante, la respuesta correspondiente 432 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Figura 6.9: Una señal “simple” r = S(e) está dada por, r(t) = N X ek [u(t − tk ) − u(t − tk+1 )] k=−N y se puede observar que para señales de entrada simples, dada la linealidad e invarianza del sistema se concluye que es de convolución ya que la suma anterior es equivalente a una convolución de Stieltjes: Z N r(t) = e(t − τ)dg(τ) −N Ejercicio. Demuestre la fórmula anterior. ¿qué sucede para señales de entrada más complejas? ¿ES suficiente saber que S es lineal e invariante y conocer su respuesta escalón g para encontrar la respuesta r? Suponga que e es una función continua y de variación acotada que se anula por fuera de [−T, T]: suponga también que g es de variación acotada. Dado un número natural N ≥ 2, decimos que la función " # N−1 X (k + 1)T kT eN (t) = e( ) u(t kT ) − u(t − ) N N N k=−N 6.8. REPRESENTABILIDAD CON CONVOLUCIÓN 433 es una función simple de orden N que aproxima a e(t). El límite de eN (t) cuando N tiende a infinito es e(t) (¿Por qué?). Por lo tanto, la respuesta del sistema a e(t) está dada por r(t) = S lı́m eN (t) N→∞ si el sistema es continuo en el sentido de poder conmutar la operación límite con S, r(t) = lı́m S [eN (t)] N→∞ = lı́m N→∞ N−1 X k=−N " # (k + 1)T kT ) e( ) u(t kT ) − u(t − N N N ya que S es lineal e invariante. Nuevamente tenemos que τ=T Z r(t) = − τ=∞ Z r(t) = τ=−T τ=−∞ e(τdg(τ)) e(t − τ)dg(τ) que es una convolución. Ejercicio. Sea Σ el espacio de las señales que son límites de señales simples. ¿Es L1 un subconjunto de Σ? 6.8.3. El teorema de representación de Riesz y su relación con los sistemas contínuos El teorema en cuestión dice que un funcional f : RC[a,b] → R es lineal si y sólo si es representable en la forma b Z f (g) = g(τ)dλ(τ) a 434 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS donde λ es una función de variación acotada y g : [a, b] → R es continua. Entonces, para señales de entrada contínuas de duración finita y con duración contenida en el intervalo [a, b], tenemos que un sistema es lineal si y sólo si es representable así: Z b [ f (g)](t) = g(τ)dλ(τ, t) a donde la restricción de λ : [a, b] × R → R a λ(·, t), para cada t, es de variación acotada. Conjetura 3. El resultado anterior es válido si las señales de entrada no son de duración finita. 6.9. Sistemas de Volterra Los sistemas de Volterra1 son sistemas invariantes no-lineales. No todo sistema invariante no-lineal es un sistema de Volterra, en particular, el filtro mediana es un sistema invariantes o-lineal que no es un sistema de Volterra. Para que un sistema sea un sistemas de Volterra se necesita que cumpla ciertas condiciones de diferenciabilidad. 6.9.1. Sistemas de Volterra discretos Suponga que g es una función de RL+1 a R1 la cual tiene extensión en series de Taylor alrededor del origen [0, 0, . . . , 0] de RL+1 . Si y = S(x), y para cada n, yn está dada por yn = g(xn , xn−1 , . . . , xn−L ) entonces yn = h0 + L X i=0 1 Vito h1i xn−i + L X L X i=0 j=0 h2i j xn−i xn− j + L X L X L X h3i jk xn−i xn− j xn−k + · · · i=0 j=0 k=0 Volterra fue un matemático italiano de comienzos del siglo 20 que hizo aportes importantes a la teoría del análisis funcional 6.10. PROBLEMAS 435 Esta representación se conoce como una serie de Volterra. Los coeficientes h0 , h1i , h2ij , etc. son los coeficientes de Volterra del sistema. Ejercicio. Suponga que se tiene un sistema de convolución T con respuesta impulso dada por h0 = 1, h1 = 2, h2 = 1 y hn = 0 para n < /0, 2/. Suponga que la salida de este sistema se pasa por un sistema U que eleva al cuadrado, es decir, si z = U(y), entonces, para cada n, zn = (yn )2 . Sea z = S(x) = U(T(x)). Encuentre los coeficientes de Volterra del sistema S = UT. 6.10. Problemas 1. Se tiene un sistema discreto causal que cumple con la ecuación de diferencia yn = (1/2)yn−1 + xn , donde x es la entrada y y la salida. Encuentre la función de transferencia del sistema. 2. Se tiene un sistema continuo el cual, para cada señal de entrada e(t) Rt produce la señal de salida s(t) = −∞ e(τ)dτ. Diga si el sistema es estable. Si sí, demuestre, si no, dé un contraejemplo. 3. Se tiene un sistema discreto rango móvil con ventana de ancho tres. La relación entrada-salida está dada por, yn = rango{xn−1 , xn , xn+1 } = máx{xn−1 , xn , xn+1 } − mı́n{xn−1 , xn , xn+1 }. Diga si el sistema es estable y si es invariante. en cada caso, si sí, demuestre, si no, dé un contraejemplo. 4. Se tiene un sistema continuo que produce a la salida la señal s(t) dada R∞ por s(t) = −∞ e−|t−2τ| r(τ)dτ cuando la entrada es la señal r(t). a) Encuentre la salida correspondiente a la entrada u(t). b) Encuentre la salida correspondiente a la entrada u(t − 10). c) Diga si el sistema es estable. (Demuestre o dé un contraejemplo.) d) Diga si la señal es lineal. (Demuestre o dé un contraejemplo.) 436 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS e) Diga si el sistema es estable. (Demuestre o dé un contraejemplo.) f ) Diga si el sistema es de convolución. 5. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta impulso dada por h(t) = (1 − e−t )u(t). Diga si el sistema es causal y si es estable. En cada caso, argumente o dé contraejemplo. 6. Se tiene un sistema continuo con entrada e(t) y salida s(t), relacionadas por, Z ∞ 1 e(τ)dτ s(t) = 1 + (t − 2τ)2 −∞ a) Diga si el sistema es lineal. b) Diga si es invariante. c) Diga si es de convolución. d) Diga si es causal. e) Diga si es estable EASA. 7. Se tiene un sistema continuo con entrada e(t) y salida s(t), relacionadas R∞ por, s(t) = −∞ h(t, τ)e(τ)dτ donde h es una función de R2 → C. a) Muestre que el sistema es lineal b) Dé condiciones que deba cumplir h para que el sistema sea: 1) Estable en sentido EASA. 2) Causal. 3) Invariante. 4) De convolución. 8. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) = tu(t). 6.10. PROBLEMAS 437 a) Diga si es estable (muestre o dé contraejemplo). b) Diga si es causal (muestre o dé contraejemplo). 9. Se tiene un sistema causal discreto donde la salida {yn } y la entrada {xn } están relacionadas así: yn = máx{xn−1 , xn , xn+1 } − mı́n{xn−1 , xn , xn+1 } a) Diga si el sistema es lineal. b) Diga si es invariante. c) Encuentre la respuesta impulso del sistema. 10. Se tiene un sistema continuo con relación entrada/salida dada por, s(t) = R∞ e(τ)h(t, τ)dτ si h(t, τ) = e−|t−5τ| . −∞ a) Grafique h(t, τ) contra τ para t = 1 y t = 10. b) Diga si es causal (muestre o dé contraejemplo). c) Diga si es invariante (muestre o dé contraejemplo). d) Diga si es lineal (muestre o dé contraejemplo). e) Diga si es estable EASA (muestre o dé contraejemplo). 11. Se tiene un sistema que, para cada entrada s(t), produce la señal de salida R∞ r(t) = −∞ h(t, τ)s(τ)dτ donde h(t, τ) = th1 (τ) + (1 − t)h2(t) y h1 (τ) = (1 − e−τ ) y h1 (τ) = (1 − e−2τ ). 12. Dé la definición de sistema causal. muestre que si un sistema de convolución continuo tiene respuesta escalón g(t) nula para t < 0, el sistema es causal. 13. Se tiene un sistema discreto, con entrada x, y salida y, que cumple con las siguientes condiciones: a) yn = xn − 0,5yn−1 438 CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS b) Esta relación se puede iterar hacia atrás y es válida en el límite: yn = xn − 0,5xn−1 + 0,25yn−2 = xn − 0,5xn−1 + 0,25xn−2 − 0,125yn−3 = . . . c) Cada salida tiende a cero cuando n tienda a −∞. Diga si el sistema es de convolución. Referencias [1] “Digital Signal Processing”. A. V. Oppenheim y R.W. Shafer. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1975. [2] “Mathematical Analysis”. T.M. Apostol. 2nd Ed. AddisonWesley, Reading, 1974. [3] “Fourier Series”. G.P. Tolstov. Dover, N.Y., 1962. [4] “Almost Periodic Functions”. H. Bohr. Chelsea, N.Y., 1947. [5] “Sobre la periodicidad de sumas de señales discretas periódicas”. A. Restrepo y L. Chacón. Memorias del simposio de Tratamiento de Señales, Imágenes y Visión Artificial, Universidad de los Andes, Bogotá, 1995. [6] “On the period of sums of discrete periodic signals”. A. Restrepo y L. Chacón. IEEE Signal Processing Letter, vol. 5, No. 7, pp. 164-166, 1998. [7] “Análisis de Fourier”. J. Duoandikoetxea. Addison- Wesley, Wilmington, 1995. [8] “Fourier Analysis”. T.W. Körner. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. 439 440 REFERENCIAS Nuevo en cap V FILTROS DISCRETOS FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE SEÑALES Y SISTEMAS Por: Alfredo Restrepo Palacios, Ph. D. Este libro puede ser usado como texto para el curso básico de un semestre en Teoría de Señales, que se ve en las carreras de Ingeniería Eléctrica y Electrónica. El enfoque es axiomático, por lo que también es un buen libro de referencia. Es bastante autocontenido: se repasan varios conceptos de cálculo, la integral de Riemann-Stiletjes, las normas Lp . Aunque el libro comienza con los fundamentos necesarios, es recomendable cierta madurez; así, es recomendable haber visto cálculo diferencial e integral y variable compleja. El libro está diseñado para estudiantes de pregrado de ingeniería o física que estén interesados en adquirir los conceptos básicos para la representación y tratamiento de las señales en el dominio de la frecuencia de Fourier. Es posible también que un estudiante de matemáticas quiera ver aplicaciones que le permitan generar intuición para varias definiciones. El tema que más se desarrolla es el análisis de Fourier. Se consideran cuatro casos: series de Fouries para señales continuas periódicas, transformada de Fourier para señales continuas integrables en magnitud, transformada de Fourier en tiempo discreto para señales discretas sumables en magnitud, sumas de Fourier o DFT tanto para señales discretas de longitud finita como para señales discretas periódicas. El siguiente tema en extensión es el de los sistemas de convolución, que son los sistemas más importantes en el enfoque clásico para este curso. Se hace énfasis en que las exponenciales complejas son eigenfunciones o funciones propias de los sistemas de convolución. También se consideran sistemas no lineales donde el análisis de Fourier es poco útil. Se dan definiciones de invarianza y causalidad de sistemas, en general, sin restringirlas a sistemas de convolución inicialmente. El enfoque tomado es matemático, lo cual redunda en precisión y en generalidad. Se dan ejemplos resueltos así como ejercicios y problemas al final de cada capítulo. Un aspecto en el que este curso se diferencia de la mayoría de los cursos introductorios de señales es que se ha evitado el uso de funciones delta de Dirac, para el caso continuo. Para esto, se usa la respuesta escalón de los sistemas de convolución continuos, la integral de Riemann-Stieltjes y las series de Fourier. El profesor Restrepo es Ingeniero Electrónico de la Pontificia Universidad Javeriana, MSc. y Ph.D. de la Universidad de Texas en Austin y, actualmente, es profesor investigador en el departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Universidad de los Andes, en Bogotá. Sus áreas de investigación incluyen el tratamiento no lineal y estadístico de señales. Índice de figuras 1. 2. 3. 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una relación simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El producto cartesiano de A y A Para una relación reflexiva R, la diagonal de A × A debe estar en R Transitividad. Si ψ está relacionada con δ y δ con χ entonces ψ está relacionada con χ 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 12 14 15 16 16 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de conjuntos según su cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . Cada línea representa un número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 32 37 . . . . . . . . . . . . . Diagrama de una función con dominio A y rango B . . . f es una sobreyección de A en B, pero no una inyección . f es una inyección de A en B, pero no es sobreyectiva . . Una biyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un ordenamiento circular para {0, 1, 2} . . . . . . . . . Un orden parcial, no conectado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una inyección del conjunto de los números pares al conjunto de los números naturales 13. 14. 15. Un triángulo rectángulo: si x = y y l es una unidad de longitud tal que x = nl y y = nl con m, n ∈ Z, para ninguna p ∈ Z se tiene que n = pl 16. 9 A la izquierda, relación conectada. A la derecha, una de corrimiento circular: para cada fila y cada columna hay por lo menos un elemento de relación 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 7 8 9 . . . . . . . . . . Los puntos indicados hacen parte de la clase de equivalencia de x . . . . . . . 443 40 51 17. 18. kxk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El intervalo de S1 de radio con centro en [x], corresponde a una colección . . . . . La solución gráfica de las raíces reales de una cúbica . . . . . . El modelo de coordenadas rectangulares: el producto R1 × R1 . El modelo de coordenadas polares:(0, ∞) × S1 ∪ {θ} . . . . . . . El modelo geométrico cono para las coordenadas polares . . . . El modelo geométrico cono para las coordenadas polares . . . . infinita de intervalos de la línea de los números reales 19. 20. 21. 22. 23. 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fase de z es igual a la fase de −z más (o menos) π . . . . . Una forma de definir la función arctan: con rango (−π/2, π/2) . Ilustración de la fórmula ||z| − |w|| ≤ |z − w| . . . . . . . . . . Representación geométrica del producto complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 57 59 60 60 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 64 66 66 67 Representación geométrica del inverso multiplicativo, el inverso aditivo y el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 La proyección estereográfica de x ∈ S1 − (π/2] es p(x) ∈ R1 . . . . . . . . . . 69 La proyección estereográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Transformaciones de Möbius 1 (COMO LE PONEMOS A ESTA GRÁFICA) . . 72 Transformaciones de Möbius 2 (COMO LE PONEMOS A ESTA GRÁFICA) . . 73 Orden para productos elementales positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 s es una sucesión unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 La sucesión a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Función para definir una métrica en S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 No tiene epígrafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 El criterio de la integral para mostrar divergencia . . . . . . . . . . . . . . 96 El criterio de la integral para mostrar convergencia . . . . . . . . . . . . . . 96 No tiene epígrafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 No tiene epígrafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 conjugado 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. . . . . . . Equivalencia geométrica de las representaciones polar y rectangular de los números complejos 25. 26. 27. 28. 29. 52 43. 44. 45. 46. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 n Las funciones x para n = 1, 2, 4, 6 y la función límite . . . . . . . . . . . . . 103 Gráfica de la función x El intervalo ](3, 4), (2, 3)[ de R2 En la definición de límite, los puntos del intervalo J, con la posible excepción de a, tienen imágenes dentro del intervalo I; en el caso de la definición de 47. 48. 49. 50. 51. 52. . . . . . . . . . . . . La ecuación de la tangente está basada en la función lineal λ(x) = f 0 (x)(t − x) . El ángulo con vértice z0 y el ángulo con vértice f (z0 ) son iguales . . . . . . El conjunto {(n, k) ∈ N × N; k ≤ n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una función escalón desplazada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema fundamental del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Promedio de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 108 109 114 120 122 124 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una señal discreta de longitud finita . . . . . . . . . . . . . . . Una señal continua. (La función correspondiente no es continua) . . Una función del conjunto 4 al conjunto de los números reales . . . . Una señal discreta con rango complejo . . . . . . . . . . . . . . Un sistema es una función entre conjuntos de señales . . . . . . . Representación de un sistema como una “caja negra” . . . . . . . La señal de voltaje h se aplica a una resistencia de un ohmio . . . . Gráfica 1t , √1 , t12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t La señal cos 5πt para t ∈ [−0,1, 0,6] . . . . . . . . . . . . . . . . La señal de la figura anterior, en valor absoluto . . . . . . . . . . La señal dela figura anterior, al cuadrado . . . . . . . . . . . . . Tubo de rayos catódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La señal | sen(t)| y una onda triángulo F(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 153 156 157 158 160 160 166 167 168 168 169 171 173 continuidad, la imagen de J es un subconjunto de I Obtención de una señal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Circuito RL serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 2.2. Respuesta escalón del circuito de la figura 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 179 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las señales e y h a ser convolucionadas . . . . . . . . . . Para calcular s(1) es necesario multiplicar h(τ) y e(1 − τ) . . El valor de s(1) es el área sombreada . . . . . . . . . . . g= f ∗h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una señal con salto en t = 0 . . . . . . . . . . . . . . . Un sistema de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito RC pasa bajas de primer orden . . . . . . . . . . Circuito RC pasa altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las señales discretas f y g a ser convolucionadas g2−k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 182 185 186 187 187 189 191 192 197 La respuesta escalón de un sistema de convolución. Note que así como un RC 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. . . . . . . . . . . . . . Circuito RC pasa bajas e primer orden en el plano s . Dos sistemas de convolución en cascada . . . . . . Un circuito RLC pasa banda de segundo orden . . . Respuesta escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 202 204 209 209 210 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una señal con periodo 3, otra con periodo 4 y su suma . Las señales sen t, 1/2 sen 2t y su suma . . . . . . . . . La señal g(t) = sen t + sen πt . . . . . . . . . . . . . La señal sen t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La señal cos t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 216 220 221 221 225 226 230 230 231 232 235 pasa altas, la respuesta escalón de este sistema no es diferenciable. La señal impulso discreta Obtención de una señal Una señal discreta con periodo 3. Representación de sen t + cos 2t en el dominio de la frecuencia de Fourier . . . . . . . . . . . Onda triángulo de frecuencia 60, con nivel DC de 6 voltios . . La señal senc enmascarada, SE4 (x), de orden 4 . . . . . . . . Una onda cuadrada con periodo 2π y nivel DC cero Onda cuadrada con periodo 1/60 y nivel DC de 6V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19. 3.20. 3.21. 3.22. 3.23. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . La suma parcial señales sen t + 1/3 sen 3t . . . . . . . . La suma parcial señales sen t + 1/3 sen 3t + 1/5 sen 5t . . . . . . . La suma de los tres números complejos mostrados es cero . Una señal periódica discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. El resultado de agregar intervalos nulos entre periodos . c. el resultado en el límite. . . . . . . . . . . . . . . . . Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una señal pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La función senc x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . La función 1 − |Ω| r para varios valores de r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las señales sen t, 1/3 sen 3t, 1/5 sen 5t, 1/7 sen 7t La suma parcial señales sen t + 0 . . . . . . . . La suma parcial señales sen t + 1/3 sen 3t + 1/5 sen 5t + 1/7 sen 7t . . . . . . . . La onda triángulo par de periodo 2π . . . . . . . . . Onda sierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Señal generada por la máquina de Michelson Dos señales periódicas con periodo 2π a. Una señal periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 236 236 237 237 239 239 240 243 245 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 259 259 261 264 266 271 274 . . . . . . . . . 276 281 283 284 285 285 286 287 289 Sistema básico de modulación y demodulación DSB. (No se incluyen filtros ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación en tiempo y en frecuencia de un sistema de convolución . . Descomposición espectral de un rayo de luz . . . . . . . . . . . . . . . La función de transferencia de un pasa bajas ideal . . . . . . . . . . . . Esta señal se aplica al filtro pasa bajas ideal . . . . . . . . . . . . . . . Transformada de Fourier de la señal en la figura anterior . . . . . . . . . Falta epígrafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NO TIENE EPÍGRAFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . amplificadores.) 4.10. 4.11. 4.12. 4.13. 4.14. 4.15. 4.16. 4.17. . . . . Un sistema de convolución . . . . . . . . . 4.18. La respuesta de un sistema de convolución a una sinusoide, es una sinusoide de la misma frecuencia, o la señal cero si H(Ω0 ) = 0 . . . . . . . . . . . . . 4.19. Onda triángulo con rectificación de media onda . . . . . . . . . . . . . . . 4.20. Una onda cuadrada y su espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.21. Función de transferencia de un pasa bajas ideal . . . . . . . . . . . . . . . 4.22. Espectro de la suma de dos señales coseno y un nivel DC . . . . . . . . . . . 4.23. La señal 0,5 sen(t) + 1/3 sen(3t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.24. Filtro RC pasa bajas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.25. La parte real de la función de transferencia del pasa bajos RC con RC=1 . . . . 4.26. La parte imaginaria de la función de transferencia del pasa bajos RC con RC=1 4.27. La magnitud de H(Ω) = 1+1jΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.28. La fase de H(Ω) = 1+1jΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.29. Un pasa altas es la identidad menos un pasa bajas . . . . . . . . . . . . . . 4.30. respuesta escalón del pasa altas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 4.31. La respuesta en la figura anterior es equivalente a la suma de un escalón y el 293 293 294 294 295 295 295 296 297 297 298 300 301 301 4.32. a. Señal de entrada b. Señal de salida del filtro ideal c. Señal de salida del filtro RC 304 4.33. Do=C (261.626Hz), Re=D (293.665Hz), Mi=E(329.628Hz), Fa=F (349.228Hz), Sol=G (391.995Hz), La=A (440.0Hz), Si=B (493.883Hz) . . . . . . . . . . . . 307 4.34. Representación en decibeles de la función de transferencia . . . . . . . . . . 310 4.35. La magnitud y la fase de un pasa todo con fase lineal . . . . . . . . . . . . . 311 4.36. Un pasa todo con fase no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 4.37. a) La señal de entrada. b) La señal de salida (alteración de la forma de onda) . 313 4.38. Onda triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 4.39. Espectro de la señal s(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 4.40. Espectro de la señal modulada f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 4.41. Espectro de la señal h(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 4.42. Espectro de la señal resultante b(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 4.43. Modulación SSB usando la transformada de Hilbert . . . . . . . 321 negativo de la respuesta escalón de un pasa bajas de primer orden, que no salta 4.44. 4.45. 4.46. 4.47. 4.48. 4.49. 4.50. 4.51. 4.52. 4.53. 4.54. 4.55. 4.56. 4.57. 4.58. 4.59. 4.60. 4.61. 4.62. 4.63. 4.64. 4.65. Modelo de un polo de un amplificador operacional realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una onda cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta del circuito RC a una onda cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 324 325 326 Gráfica de la relación de los voltajes pico a pico de entrada y salida del circuito RC 328 Respuesta estable para T << τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Respuesta estable para T >> τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Señal periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Magnitud y fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Rectifivador de media onda y pasabajas RC . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Pasabajs RC con frecuencia de corte 1Hz y entrada con nivel DC . . . . . . . 333 Señal triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 La convolución de dos pulsos es un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Pasa-altas = identidad - pasabajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Problema 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 La señal mostrada se filtra con el sistema de convolución . . . . . . . . . . . 335 Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Onda cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Circuito impedancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Señal de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. La función 1 + 2 cos ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fase de la función 1 + 2 cos ω. Como π = −π, la función también es impar . La respuesta impulso de un promedio móvil . . . . . . . . . . . . . . . La respuesta impulso de un promedio móvil causal . . . . . . . . . . . . En los dos casos se ha sombreado el área sobre un periodo . . . . . . . . . La circunferencia de Fourier para señales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito RC pasa bajas La magnitud de la función 1 + 2 cos ω . . . . . . . . . . . . 349 350 350 352 353 354 355 5.8. Una señal con periodo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Una señal discreta, con frecuencia 0 y periodo 1 . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Las distancias correspondientes a las variaciones promedio de 0 las exponenciales complejas e jωo n y e jωo n . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Pasa bajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Pasa altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13. Pasa bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14. Un sistema de convolución con respuesta impulso h . . . . . . . . . . . . . 5.15. Las representaciones en tiempo y frecuencia de un sistema de convolución . . 5.16. La respuesta impulso de un promedio móvil con ancho de ventana igual a tres . 5.17. Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.18. Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.19. Diagrama de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.20. Magnitud de H(ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.21. Una señal de longitud finita N = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.22. Los términos rm si−m a ser sumados, para computar ui . Note el eje m . . . . . . 5.23. Las señales rn y sn , y las correspondientes extensiones periódicas r̃k y s̃2−k , necesarias para el cálculo de u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.24. La suma de una señal par y una impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.25. La restricción de una señal discreta a ω ∈ [0, π]. a. es suficiente para reconstruir 355 356 357 357 358 358 359 360 361 361 362 364 364 368 372 373 376 la transformada en [−π, π]. b. ya que ésta es par y, para cada ω real. c. ya que es . . . . . . . . . . . . . . . 5.26. Las Xk ’s son muestras a escala de S(ω) . . . . . . . . 5.27. La transformada de una señal continua . . . . . . . . 5.28. La transformada de la señal muestreada correspondiente 5.29. Una señal discreta de duración finita . . . . . . . . . 5.30. Las señales g0 senc (t), g1 senc (t − 1) y g2 senc (t − 2) . . . 5.31. La señal f (t) = g0 senc (t) + g1 senc (t − 1) + g2 senc (t − 2) 5.32. Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . periódica con periodo 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 381 384 384 387 387 388 390 5.33. 5.34. 5.35. 5.36. 5.37. 5.38. . . . . . . . . . . . . . . . Suma de Fourier . . . . . . . DFT . . . . . . . . . . . . . . . . Dos señales discretas de longitud finita . Un filtro de retardo . . . . . . . . . . . . . . . . 390 391 391 391 398 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. La señal s y una versión desplazada τ s de ésta . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Si la señal de entrada a un sistema invariante se desplaza, la salida se desplaza en la misma forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Las tres señales mostradas x, y, z para t < τ, coinciden . . . . . . . . . . . . 6.5. La señal impulso discreta (o delta de Kronecker) . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Una señal discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. La descomposición de la señal en la figura 6.6 como una suma de señales impulso pesadas y desplazadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. La respuesta impulso de un promedio móvil . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Una señal “simple” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 417 Transformada de Fourier DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Un filtro mediana tiene tres bloques principales: uno que toma segmentos de la señal de entrada, otro que ordena los datos en los segmentos y otro que toma el valor ordenado intermedio, o mediana 418 419 429 429 430 431 432 Índice de cuadros 1. 2. 3. 4. . . . . . . . 2π 4π j 2π0 j j Complete la tabal mostrada e = e 3 , f = e 3 , g = e 3 . . . . . . . . . . . La tabla de los cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La tabla de una opración posible entre los elementos de {a, b, c, d} La tabla de una operación entre los elementos del conjunto finito α, β, γ, δ, . . . . 20 21 22 23 1.1. Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 2.1. La señal g2−k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 4.1. Relación natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 452