Problema realizado por Jorge Sánchez Racionero Enunciado Dados los puntos A(2,1), B(-3,5) y C(4,m), calcular m para que el triángulo ABC tenga de área 3. Bases teóricas • Distancia entre dos puntos. Es el módulo del vector que forman entre dos puntos en el plano. Es siempre un número positivo o nulo. Su expresión analítica es: d(A,B) = AB = (x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 Siendo A(x1, y1) y B(x2, y2) las coordenadas de los puntos A y B respectivamente. • Distancia de un punto a una recta. Es el camino más corto entre el punto y la recta, es decir, la perpendicular entre ellas. Su expresión analítica es: d(P, r) = Ax 0 + By 0 + C A 2 + B2 Siendo las coordenadas del punto P= (xo, yo) y la ecuación de la recta en forma general: Ax +By +C = 0. • Área de un triángulo. Superficie comprendida dentro del perímetro de un triángulo. Su expresión analítica es: Área del triángulo Siendo: b:base • y b ⋅h 2 h:altura Altura de un triágulo relativa a un lado que se toma como base, es la distancia desde el lado base al vértice opuesto a él. • Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: x − x1 y − y1 = x 2 − x1 y 2 − y1 Siendo: (x, y) = Punto cualquiera, desconocido (x1, y1)= Punto conocido de la recta (x2, y2 )= Punto conocido de la recta Resolución gráfica 1ª Solución 2ª Solución Cálculo Para representar estos dos triángulos en dichas gráficas debo situar cada uno de sus tres puntos (vértices) según sus coordenadas(x, y). Cuando tengo los tres puntos situados en la gráfica, los uno por medio de rectas y obtengo la figura (triángulo). La resolución práctica de este ejercicio sigue los siguientes pasos: 1º Calculamos el valor de la distancia entre el punto A y el punto B d(A,B) = AB = (x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 = [(2 + 3) 2 + (1 − 5 ) 2 ]= 2º Calculamos la ecuación de la recta que pasa por los vértices A y B 41 u r: x − a1 y − b1 x −2 y −1 = ⇒ operando llegamos a la ecuación ; = - 3 −2 5 −1 a 2 − a1 b 2 − b1 de la recta en forma general: r: 4x + 5y – 13 = 0 3º Calculamos la distancia de una recta r al punto C(4, m) Ax 0 + By 0 + C d(rAB, C)= A2 + B = 16 + 5m − 15 41 4º Partiendo de la fórmula para hallar el área de un triángulo, sustituimos lo que conocemos para despejar m. A= b.h = 2 41. 16 + 5m − 13 41 2 = ± 3 ⇒ Simplificando, Primera solución: 16 + 5m – 13 = 6 ⇒ m = 3 5 Segunda solución: 16 + 5m – 13 = - 6 ⇒ m = -9 5