Problema 277 de trianguloscabri [1] (Juan Bosco Romero) Sea A* un punto interior de BC en el triángulo ABC. Las bisectrices interiores de loa ángulos BA*A y CA*A intersecan a AB y a AC en D y E respectivamente. Demostrar que AA*, BE y CD son concurrentes. [2] (Loeffer) Lugar geométrico del punto de concurrencia si ABC es equilátero. [3] (J.B. Romero) Lugar geométrico de los baricentros, circuncentros, ortocentros e incentros de los triángulos A*ED, rectángulos en A* cuando A* varia sobre BC. Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez. Usaremos coordenadas baricéntricas: << Baricentricas`; También representaremos gráficas de curvas con ecuaciones implícitas: << Graphics`ImplicitPlot`; Además definimos una nueva función para calcular las bisectrices del ángulo formado por dos rectas. Afortunadamente, no necesitamos estas ecuaciones, sólo el lugar en que cortan a los lados del triángulo, por lo que la cosa se simplificará. BisectrizRectas@8a1_, b1_, c1_<, 8a2_, b2_, c2_<D := Ha1 x + b1 y + c1 zL2 ê HSA Hb1 − c1L ^ 2 + SB Hc1 − a1L ^ 2 + SC Ha1 − b1L ^ 2L − Ha2 x + b2 y + c2 zL2 ê HSA Hb2 − c2L ^ 2 + SB Hc2 − a2L ^ 2 + SC Ha2 − b2L ^ 2L Comenzamos introduciendo las coordenadas del punto AA* ptA1 = 80, v, w<; Ahora hallamos los puntos de intersección D y E. Solve@8BisectrizRectas@Recta@ptA1, ptAD, Recta@ptA1, ptBDD Solve@8BisectrizRectas@Recta@ptA1, ptAD, Recta@ptA1, ptBDD awy 99x → − è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!! =, 2 2 2 c v − a v w + b2 v w + c2 v w + b2 w2 awy 9x → è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!! == c2 v2 − a2 v w + b2 v w + c2 v w + b2 w2 avz 99x → − è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!! =, c2 v2 − a2 v w + b2 v w + c2 v w + b2 w2 avz 9x → è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!! == 2 2 2 c v − a v w + b2 v w + c2 v w + b2 w2 0, z 0, y 0<, xD 0<, xD 2 trianguloscabri277.nb Entonces, podemos definir è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!! c2 v2 − a2 v w + b2 v w + c2 v w + b2 w2 , 0=; è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!! ptE = 9a v, 0, c2 v2 − a2 v w + b2 v w + c2 v w + b2 w2 =; ptD = 9a w, à [1] (Juan Bosco Romero) Sea A*un punto interior de BC en el triángulo ABC.Las bisectrices interiores de loa ángulos BA*A y CA*A intersecan a AB y a AC en D y E respectivamente.Demostrar que AA*,BE y CD son concurrentes. Comprobamos que AA*, D y E están alineados. Det@8Recta@ptA, ptA1D, Recta@ptB, ptED, Recta@ptC, ptDD<D 0 à [2] (Loeffer) Lugar geométrico del punto de concurrencia si ABC es equilátero. Hallemos el punto de concurrencia P de AA*, BE y CD. ptP = Punto@Recta@ptA, ptA1D, Recta@ptB, ptEDD è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!! 9a v w, v c2 v Hv + wL + w H−a2 v + b2 Hv + wLL , w c2 v Hv + wL + w H−a2 v + b2 Hv + wLL = Para hallar el lugar geométrico de P, hallamos v,w de las dos últimas coordenadas y susituimos en la primera: Solve@8y == %@@2DD, z == %@@3DD<, 8v, w<D y , 99v → − 2 2 2 2 Hc y − a y z + b y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4 z w→− =, Hc2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4 y , 9v → − Hc2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4 z w→− =, Hc2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4 y , 9v → Hc2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4 z =, w→ Hc2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4 y , 9v → 2 2 2 2 Hc y − a y z + b y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4 z w→ == 2 2 2 2 Hc y − a y z + b y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4 x2 = a2 v2 w2 = a2 y2 z2 c2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 trianguloscabri277.nb Entonces la ecuación del lugar del punto P es lugarP = x2 Hc2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 L − a2 y2 z2 ; Para obtener una figura simple de esta curva consideramos un triángulo concreto y definimos una ventana para la figura: cA = 80, 3<; cB = 8−4, −1<; cC = 82, −1<; ampl = 5; vax = 8x, −ampl, ampl<; vay = 8y, −ampl, ampl<; Ahora dibujamos el triángulo y la curva: triangulo = Graphics@8RGBColor@0, 0, 1D, Line@8cA, cB, cC, cA<D<D; curvalugarP = ImplicitPlot@BarCar@lugarP 0, cA, cB, cCD, vax, vay, DisplayFunction → Identity, PlotPoints → 100, PlotStyle → 8AbsoluteThickness@2D, RGBColor@1, 0, 0D<D; Show@8triangulo, curvalugarP<, Axes → False, AspectRatio → Automatic, ImageSize → 400D; 3 4 trianguloscabri277.nb Para conseguir una descripción de esta curva, calculamos su conjugada isogonal, en busca de una fórmula más sencilla: FactorAlugarP ê. 9x → − a2 x ,y→ b2 y ,z→ c2 z =E a2 b2 c2 Hb2 c2 x2 − a2 c2 y2 + a4 y z − a2 b2 y z − a2 c2 y z − a2 b2 z2 L x2 y2 z2 Obtenemos que la conjugada isogonal del lugar de P es una cónica. La idea es buscar cinco puntos que cumplan la ecuación. isogonallugarP = b2 c2 x2 − a2 c2 y2 + a4 y z − a2 b2 y z − a2 c2 y z − a2 b2 z2 ; Solve@8isogonallugarP == 0, z == 0<, xD Solve@8isogonallugarP == 0, y == 0<, xD ay ay 99x → − =, 9x → == b b az az 99x → − =, 9x → == c c Resulta entonces que la cónica corta a los lados AB y AC en los puntos los puntos (a,b,0), (-a,b,0), (a,0, c), (-a,0,c), es decir los ppuntos en que también cortan a los lados las bisectrices de los ángulos B y C. Sustituyendo x por a2 e y por b2 resulta Factor@isogonallugarP ê. 8x → a2 , y → b2 <D a2 b2 Ha2 − b2 − zL Hc2 + zL trianguloscabri277.nb Por tanto, Ia2 , b2 , -c2 M es un punto de la curva. De forma parecida podemos obtener el punto Ia2 , -b2 , c2 M. Estos puntos son los vértices del triángulo tangencial correspondientes a C y B, respectivamente. Con esto, tenemos SEIS puntos, por lo que la cónica queda determinada. 5