Reticulados - Desplazamientos 2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 Introducción Ya vimos como determinar los esfuerzos que se transmiten en cada elemento en un reticulado. Ahora nos enfocaremos en ver como éstos se deforman bajo las acciones de las cargas En general, cada barra podrá tener: -un estiramiento (o acortamiento) -un desplazamiento -un giro Para una barra de largo L con A, E y N cte : 28 ∆L = NL AE Como en todo el curso, trabajaremos bajo la hipótesis de pequeños desplazamientos. Estas componentes quedan definidas si determino el desplazamiento u de cada nodo. => En R1, en reticulados, determinaremos los desplazamientos u(X) de cada nodo X. Reticulados - Desplazamientos 2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 A) Métodos gráficos Suponemos que ya determinamos las fuerzas F en cada barra, y que el largo (L), sección (A) y material (E) de las barras está dado. ¿Cómo determinamos el desplazamiento del nodo B? 29 Para nodos X e Y dados de una barra: X posición indeformada del nodo X X’ posición deformada del nodo X XX’ = u(X) vector desplazamiento del nodo X ∆lXY alargamiento de la barra XY X’R posición deformada real de X XX’R = u(X)R vector desplazamiento real de X Reticulados - Desplazamientos 2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 A) Métodos gráficos La construcción se puede simplificar superponiendo los diagramas de todos los puntos. Se obtiene el denominado: diagrama de Williot El punto donde se encuentra la posición indeformada de todos los nodos (es decir: A, B, C, D, etc.) se le llama “polo”, y se denota con la letra “O”. 30 (Por ende, cuando hago el diagrama de Williot no anoto la posición indeformada de los nodos, solo pongo el polo.) Tampoco dibujo los vectores u(X), indicando la posición de los puntos X’ el vector u ya queda determinado. Reticulados - Desplazamientos 2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 A) Métodos gráficos – Diagrama de Williot - Ejemplo Los desarrollos anteriores fueron hechos para explicar el método. Ahora haremos un ejercicio utilizando solamente la representación que usaremos en el curso. 31 Deberes Pensar: 1) ¿Cómo representar en un diagrama de Williot el posible desplazamiento de un apoyo deslizante? 2) ¿Cómo serán los desplazamientos de barras alineadas? 1) 2) Energía de deformación ¡AUTOAPRE NDIZA 2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 32 JE! Concepto importante en resistencia de materiales. En este curso veremos aspectos básicos que, en cursos posteriores, serán profundizados. Consideremos una barra de largo L, sometida a una fuerza P. Suponemos que la carga se aplica despacio (carga estática), por lo que pasa lentamente de 0 a P. (Cargas dinámicas producto, por ejemplo, de impactos, se verán en R2). La barra se alarga gradualmente, a medida que aumenta la carga, hasta alcanzar la carga P, al mismo tiempo que se alcanza el estiramiento ∆u asociado a ésta. Durante el proceso de carga, la carga P se mueve, por lo que realiza trabajo (W). En el punto de plastificación, la gráfica deja de ser lineal, pero en R1 trabajaremos sólo en la región lineal. Si la carga fuese constante, el trabajo sería W=P. ∆u. En nuestro caso, como la carga varía, debemos conocer como varía. Trazamos el diagrama carga-desplazamiento Trazamos la curva P-∆u. Integrando esta curva hallamos el trabajo. Por lo que el área de esta curva hasta P representa el trabajo de dicha fuerza. Energía de deformación 2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 33 El trabajo (W) es la energía externa aportada por la carga P. A su vez, dentro de la barra, cuando ésta se estira, se producen deformaciones, producidas por las tensiones internas. Por lo tanto, también se acumula energía dentro de la barra. La energía absorbida por la barra durante el proceso de carga se la define como: energía de deformación (U) (o trabajo interno). Por el principio de conservación de la energía, si no se agrega o resta energía como calor, se tendrá: U = W En el S.I. la energía se expresa en joules (J), que se define como un newton metro (1 J = 1 N * m). Si el material de la barra sigue la ley de Hooke, la energía de deformación será: U= P∆u 2 En un sistema formado por varios elementos, la energía de deformación del sistema será la suma de la energía de deformación de cada uno de sus elementos. n U = ∑U i Para una barra (L, A, E), la relación entre carga (P) y estiramiento (∆u) es: PL ∆u = AE Combinando ambas ecuaciones anteriores: P2L U= 2 EA EAδ 2 U= 2L i =1 Para sistemas de n barras, cada una con sección y material constante: N i2 Li U =∑ i =1 2 E A i i n Reticulados - Desplazamientos 2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 34 B) Métodos energéticos Suponemos que ya determinamos las fuerzas N en cada barra, y que el largo (L), sección (A) y material (E) de las barras está dado. Si la carga se aplica lentamente al reticulado, la carga P realiza trabajo cuando el punto B desciende. Sólo el desplazamiento en la dirección de la carga (uP) realiza trabajo, por lo que en este caso importa sólo el desplazamiento vertical. Por lo tanto (para reticulados de barras de sección y material homogéneo): 2 n N i2 Li uP = ∑ P i =1 2 Ei Ai Los desplazamientos son lineales con la carga, por lo que el trabajo de la fuerza será: U= Pu P 2 Hipótesis: • La estructura debe ser elástica-lineal • Sólo debe actuar una carga • El desplazamiento determinado es la componente en la dirección de la carga. Comentarios 2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 35 Ojo! La energía de deformación no es una función lineal con las cargas (aparece N2). En este caso NO se cumple el principio de superposición. La U causada por varias cargas NO es la suma de las Ui causada por cada carga actuando separadamente. El tema “Energía de Deformación” se ordenó siguiendo el libro de Gere. Beer hace un desarrollo similar. Ortiz Berrocal expone este tema en forma mucho más sintética, y pasa inmediatamente a la demostración general (Método de carga unitaria), que posibilita hallar los desplazamientos de cualquier nodo, en cualquier dirección, bajo cualquier sistema de fuerzas. Justamente, en clase se hará el desarrollo de Ortiz Berrocal. Se espera que los estudiantes aprendan en forma autónoma el tema para una carga puntual aplicada, que es necesario para comprender el método de la carga unitaria. Por último, es interesante que prueben el siguiente “Software”: Bridge Building Cuya primera versión, simple y efectiva, se puede bajar gratuitamente desde: http://crypticsea.com/bridgebuilding/