articulo giroscopo 2012 cisci

Adaptación del Método Runge Kutta RK4 para la modelación del movimiento
giroscópico en OCTAVE
Myriam Rocío PALLARES MUÑOZ
Facultad de Ingeniería Civil
Universidad Santo Tomás
Bogotá, Colombia
Wilson RODRÍGUEZ CALDERÓN
Programa de Ingeniería Civil
Universidad de La Salle
Bogotá, Colombia
Sandra Elodia OSPINA LOZANO
Programa de Ingeniería Civil
Universidad de La Salle
Bogotá, Colombia
RESUMEN
El artículo aborda la modelación del movimiento del giroscopio
como un rotor que puede girar de manera libre alrededor de su
eje, y que puede adoptar cualquier orientación manteniendo su
centro de masas fijo en el espacio. El movimiento está
caracterizado fundamentalmente por tres ángulos φ, θ y ψ
llamados ángulos de Euler que definen la posición del
giroscopio en el tiempo. Además las respectivas derivadas de
estos ángulos representan las velocidades de precesión, nutación
y rotación respectivamente. Se muestra brevemente la
formulación analítica del problema para obtener tres ecuaciones
diferenciales ordinarias - EDOs, de segundo orden y altamente
no lineales. Estas ecuaciones diferenciales están asociadas a los
ángulos mencionados, luego bajo condiciones iniciales
conocidas es posible resolver el problema original adaptando un
algoritmo Runge Kutta de orden cuatro RK4. La
implementación para el cálculo numérico se realizó con éxito
usando el sistema de algebra computacional (CAS) libre
OCTAVE bajo el sistema operativo LINUX Ubuntu. El
posproceso gráfico se desarrolla usando las facilidades del
graficador libre GNUPLOT. Al final se muestran las bondades y
dificultades del uso de CAS libres para la modelación en
ingeniería.
Palabras Clave: Ángulos de Euler (Euler angles), Giroscopio
(Gyroscope), OCTAVE (OCTAVE), RK4 (RK4)
1.
INTRODUCCIÓN [1,2]
El giróscopo fué inventado por Jean Bernand Léon Foucalt
en 1852, quien quiso usarlo para demostrar el movimiento de
rotación de la tierra. Posteriormente en 1940 se empieza a
implementar el girobus como medio de transporte.
Normalmente en el estudio de la dinámica del sólido rígido
se contemplan casos simples y particulares de movimiento
giroscópico, así como sus ecuaciones generales, sin embargo, la
solución numérica de estas ecuaciones no se contempla dentro
de un curso o texto clásico de dinámica, por tanto, el artículo
busca avanzar en esa línea para contemplar casos complejos, no
solucionables de manera analítica.
.
2. MOTIVACIÓN [1,2,5]
Los aportes del artículo contemplan: la adaptación del
método de Runge Kutta de orden 4 – RK4 a la solución del
sistema no lineal de Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)
del giroscopio, el desarrollo de un código de computador en el
software libre OCTAVE bajo el sistema operativo LINUX
Ubuntu y la manifestación de posibles aplicaciones en el
modelado de giróscopos como posibles elementos mecánicos de
estabilidad o en el desarrollo de fuentes de energía.
3.
MARCO TEÓRICO[1,2,3,4]
El giroscopio o giróscopo es un dispositivo mecánico
formado esencialmente por un cuerpo con simetría de rotación
que gira alrededor de su eje de simetría. Cuando se somete el
giroscopio a un momento de fuerza que tiende a cambiar la
orientación del eje de rotación su comportamiento es
aparentemente paradójico ya que el eje de rotación, en lugar de
cambiar de dirección como lo haría un cuerpo que no girase,
cambia de orientación en una dirección perpendicular a la
dirección "intuitiva".
De acuerdo con la mecánica del sólido rígido, además de la
rotación alrededor de su eje de simetría, un giróscopo presenta
en general dos movimientos principales: la precesión y la
nutación. Este hecho se deduce directamente de las ecuaciones
de Euler.
Precesión: Cuando se aplica un momento a un cuerpo en
rotación cuyo momento angular es en la dirección del eje de
rotación del cuerpo, se anima de un movimiento de rotación de
velocidad angular. Esta velocidad angular, también es llamada
velocidad de precesión.
Se puede reducir la velocidad de precesión aumentando el
momento de inercia y la velocidad de rotación. Por ello se
encuentra interés en utilizar un giroscopio para conservar una
referencia de dirección. Partiendo del reposo, todos los cuerpos
conservan la orientación que tienen salvo cuando se les aplican
momento externos. En ese caso, cuando un cuerpo no gira, el
efecto del momento es el de crear una aceleración angular, la
cual crea una velocidad angular creciente. Cuando el momento
se interrumpe, el objeto sigue girando con la velocidad angular
que adquirió. En cambio, cuando el mismo momento se aplica a
un objeto en rotación, este comienza a girar con la velocidad de
precesión calculada antes. Y cuando el momento se interrumpe,
la precesión del objeto también se interrumpe. El resultado es
que, en un giroscopio, los momentos parásitos tienen mucho
menos efecto a largo plazo que en un objeto sin rotación.
Además, se puede disminuir el efecto de esos momentos,
aumentando el momento de inercia y la velocidad de rotación
del giroscopio.
Nutación: Cuando el momento que causa la precesión cambia
de valor, la velocidad de precesión también cambia de valor.
Pero ese cambio no sucede instantáneamente. Hay un periodo
de transición durante el cual el giroscopio "cede" un poquito al
momento en la misma dirección que un objeto que no gira.
Después el giroscopio recobra lo que había cedido, oscilando en
la dirección del momento alrededor de la trayectoria de
precesión final.
A continuación se desarrollaran las ecuaciones que definen el
movimiento de un cuerpo (trompo), que esta simétrico con
respecto a un eje y se mueve alrededor de un punto fijo que se
encuentra sobre el eje. Estas ecuaciones serán aplicadas
entonces al estudio de un dispositivo llamado: el giróscopo.
El movimiento del cuerpo será analizado usando los ángulos
de Euler ф, θ, Ψ, la posición final del trompo se determina
mediante los tres siguientes pasos:
1.
Giro del trompo respecto al eje Z un ángulo ф (0≤
ф≤2π).
2.
Giro del trompo respecto al eje X un ángulo θ (0≤θ≤2π)
3.
Giro del trompo respecto al eje z un ángulo (0≤Ψ≤2π),
para obtener una posición final.
La secuencia de estos tres ángulos ф, θ, y luego Ψ, debe
mantenerse ya que las rotaciones finitas no son vectores.
Aunque las rotaciones dф, dθ, dΨ si son vectores y entonces la
velocidad angular ω del trompo puede ser expresada en
términos de las derivada con respecto al tiempo de los ángulos
de Euler. Las componentes de la velocidad angular son
conocidas como ф· , θ· y Ψ· , son llamadas respectivamente
precesión, nutación y rotación.
suma de tres velocidades angulares parciales correspondientes,
respectivamente, a la precesión, la nutación y la rotación del
giroscopo. Representando por i, j y k los vectores unitarios
según los ejes móviles, y por K el vector unitario según el eje Z
fijo, tenemos:
w = φ&K + θ& j + ψ& k
(1)
Como las componentes vectoriales de w expresadas en (1) no
son ortogonales, se descompone el vector unitario K en sus
componentes según los ejes x y z; es decir,
K = − senθ i + cosθ k
(2)
Remplazando (2) en (1) se obtiene:
(
)
w = φ& senθ i + θ& j + ψ& + φ& cos θ k
(3)
Como los ejes coordenados son principales de inercia, las
componentes del momento angular Ho pueden obtenerse
multiplicando las componentes de w por los momentos de
inercia del rotor respecto a los ejes x, y y z, respectivamente.
Llamando I al momento de inercia del rotor respecto a su eje de
rotación, I´a su momento de inercia respecto a un eje diametral
que pase por O y despreciando la masa de los aros, es posible
escribir:
(
)
Ho = − I ′φ& senθ i + I ′θ& j + I ψ& + φ& cos θ k
(4)
Recordando que los ejes móviles son solidarios del aro
interior y que por ello no rotan, podemos expresar su velocidad
angular como la suma:
Ω = φ& K + θ& j
(5)
O bien, sustituyendo el valor (ecuación (2)) de K,
Ω = −φ& senθ i + θ& j + φ& cos θ k
(6)
Sustituyendo en la ecuación de balance:
& ) oxyz + Ω × Ho
∑ Mo = ( Ho
(7)
Los valores de Ho y Ω dados, respectivamente, por (4) y (6)
resultan ser tres ecuaciones diferenciales:
φ sin θ
2 φ cos
φ sin cos
Figura 1. Giróscopo en posición de referencia (a) y de
movimiento (b).
Para calcular los componentes de la velocidad angular y del
momento angular del giróscopo, se emplea un sistema de ejes
móviles, en rotación, Oxyz solidario al aro interior, con el eje y
según BB´ y el eje z según CC´. Esos ejes son principales de
inercia para el giroscopio y siguen a este en la precesión y en la
nutación, pero no en la rotación; por ello, resultan de uso más
práctico y cómodo que unos ejes que fueran del todo solidarios
del rotor. La velocidad angular w del giroscopio relativa al
sistema de referencia fijo OXYZ la expresaremos ahora como la
φ cos
φ cos
φ sin θ
φ cos
(8)
φ θsin θ
Estas ecuaciones (8) definen el movimiento de un giroscopio
sometido a un sistema de fuerzas cuando se desprecia la masa
de sus aros. Pueden asimismo emplearse para definir el
movimiento de un cuerpo axisimétrico o cuerpo de revolución
con un punto de su eje de simetría fijo, y para definir el
movimiento de un cuerpo axisimétrico alrededor de su centro de
masas. Mientras que los aros de suspensión del giróscopo
facilitan la representación mental de los ángulos de Euler, es de
notar que éstos pueden emplearse para definir la posición de
cualquier cuerpo rígido respecto a unos ejes centrados en un
punto del mismo cuerpo, independientemente del modo en que
el cuerpo esté soportado.
Como las ecuaciones (8) son altamente no lineales, en
general no es posible expresar los ángulos de Euler φ, θ y ψ
como funciones analíticas del tiempo t y debe recurrirse a
métodos numéricos para sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias como los tipo Runge Kutta en particular la versión
RK4.
Para la adaptación del Método Runge Kutta (RK4), deben
realizarse sustituciones que bajen el orden del sistema de
ecuaciones, ya que estas originalmente son de segundo orden y
para poder resolverlas por el método RK4 se requiere que estas
sean de primer orden, luego al realizar las sustituciones el
sistema original de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias de
segundo orden se convierte en un conjunto de 6 ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden. Las sustituciones
realizadas corresponden a:
∝
φ Δ
φ Δ
=
=
−∝ sin cos
Δ+
+
(Δ+∝ cos
+ ∝ sin θ (Δ+∝ cos
(10)
cos −∝ sin θ
Finalmente el sistema de ecuaciones diferenciales a resolver
=
φ =∝
=
Δ=
∑
∑
∝ sin θ
− cos (
−∑
#$%
−2
′
#$%
(11)
−2
′
∝ cos
-
1
+ ∗ (3/ + 2 ∗ 3 + 2 ∗ 34 + 35 ∗ ℎ
6
Donde:
(13)
3/ = +( - ,
-
ℎ
- + ,
2
ℎ
34 = +( - + ,
2
35 = +( - + ℎ,
3 = +(
3/ ∗ ℎ
2
3 ∗ℎ
- +
2
- + 34 ∗ ℎ
-
+
El esquema del método RK4 adaptado para la solución del
sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden (11) queda
entonces como:
= = +/ ( 3/ = +/ ( -
7/ ∗ ℎ
2
7 ∗ℎ
34 = +/ ( - +
2
35 = +/ ( - + 74 ∗ ℎ
1
-./ = - + ∗ (3/ + 2 ∗ 3 + 2 ∗ 34 + 35 ∗ ℎ
6
-
+
%/ ∗ ℎ
2
% ∗ℎ
84 = + (∝- +
2
85 = + (∝- + %4 ∗ ℎ
1
9-./ = 9- + ∗ (8/ + 2 ∗ 8 + 2 ∗ 84 + 85 ∗ ℎ
6
8 = + (∝- +
=Δ
Con las condiciones iniciales dadas como:
= +4 (Δ
:/ = +4 (Δ-
φ(' = 0 = φ)
θ(' = 0 = θ)
(' = 0 = )
φ(' = 0 =∝ (' = 0 =∝)
θ(' = 0 = (' = 0 = )
(' = 0 = Δ(' = 0 = Δ)
=
8/ = + (∝-
+
−∑
-./
φ =∝
φ = + (∝
∝ cos
− ∝ Δ sin θ +∝ sin cos ( −
′
(Δ−∝ cos
*
= +( ,
*
3 = +/ (
es:
=Δ
(Δ−∝ cos
=
Recordando las ecuaciones básicas del método RK4, estas
son:
(9)
El sistema (8) queda expresado así luego de la sustitución:
sin θ + 2 ∝ cos
esquema iterativo para hallar la solución en el tiempo de los
ángulos de Euler y sus respectivas velocidades angulares
asociadas.
;/ ∗ ℎ
2
; ∗ℎ
:4 = +4 (Δ- +
2
:5 = +4 (Δ- + ;4 ∗ ℎ
1
-./ = - + ∗ (:/ + 2 ∗ : + 2 ∗ :4 + :5 ∗ ℎ
6
: = +4 (Δ- +
(12)
Una vez se tiene este sistema se le aplican las ecuaciones
del RK4 a cada ecuación del sistema para conformar un
(14)
Δ ∝ cos
−∑
#$%
−2
∝ cos
= +5 ( , , , Δ %/ = +5 ( - , - , - , Δ< %/ ∗ ℎ
3/ ∗ ℎ
7/ ∗ ℎ
% = +5 =∝- +
, θ- +
, -+
, Δ2
2
2
;/ ∗ ℎ
+
>
2
% ∗ℎ
3 ∗ℎ
7 ∗ℎ
, θ- +
, -+
, Δ%4 = +5 =∝- +
2
2
2
; ∗ℎ
+
>
2
%5 = +5 (∝- + %4 ∗ ℎ, θ- + 34 ∗ ℎ, - + 74 ∗ ℎ, Δ+ ;4 ∗ ℎ
1
-./ = - + ∗ (%/ + 2 ∗ % + 2 ∗ %4 + %5 ∗ ℎ
6
=
∑
− ∗∝∗ Δ ∗ sin θ +∝ ∗ sin ∗ cos ∗ ( −
′
4.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA []
El caso modelado corresponde a un giróscopo de inercias I=
56250 gr-cm2 (Momento de inercia respecto a un eje centroidal
perpendicular al disco del giróscopo) e I’= 28125 (momento de
inercia respecto a un eje transversal al disco del giróscopo), las
condiciones iniciales son: φ=π/6, θ=0.7π y ψ=0 y sus
respectivas derivadas respecto al tiempo son 2, 2, 2 rad/s.
5.
RESULTADOS
Dadas las restricciones de extensión en el texto del artículo,
solo se muestran algunos resultados de uno de los casos
modelados, dado que, las condiciones iniciales y los parámetros
de las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento del
giróscopo afectan de manera radical el comportamiento del
giróscopo. La figura 2 muestra la interfaz QtOctave del
programa OCTAVE en Linux Ubuntu. La gráfica mostrada
corresponde a la trayectoria de un punto localizado a 2.5 cm del
centro del disco del rotor del giróscopo.
= +? ( , , Δ 7/ = +? ( - , - , Δ< %/ ∗ ℎ
3/ ∗ ℎ
;/ ∗ ℎ
7 = +? =∝- +
, θ- +
, Δ- +
>
2
2
2
% ∗ℎ
3 ∗ℎ
; ∗ℎ
74 = +? =∝- +
, θ- +
, Δ- +
>
2
2
2
75 = +? (∝- + %4 ∗ ℎ, θ- + 34 ∗ ℎ, Δ- + ;4 ∗ ℎ
1
-./ = - + ∗ (7/ + 2 ∗ 7 + 2 ∗ 74 + 75 ∗ ℎ
6
Δ=
∑
∝ sin θ
− cos (
+
(Δ−∝ cos
−∑
′
#$%
−2
′
∝ cos
Figura 2. Captura de corrida del código de modelación del
movimiento giroscópico en la interfaz QtOCTAVE bajo
LINUX Ubuntu.
Δ = +@ ( , , , Δ ;/ = +@ ( - , - , - , Δ< %/ ∗ ℎ
3/ ∗ ℎ
7/ ∗ ℎ
; = +@ =∝- +
, θ- +
, -+
, Δ2
2
2
;/ ∗ ℎ
+
>
2
% ∗ℎ
3 ∗ℎ
7 ∗ℎ
;4 = +@ =∝- +
, θ- +
, -+
, Δ2
2
2
; ∗ℎ
+
>
2
;5 = +@ (∝- + %4 ∗ ℎ, θ- + 34 ∗ ℎ, - + 74 ∗ ℎ, Δ+ ;4 ∗ ℎ
1
Δ-./ = Δ- + ∗ (;/ + 2 ∗ ; + 2 ∗ ;4 + ;5 ∗ ℎ
6
Figura 3. Gráfica de seguimiento de la posición x(t) del punto.
7.
REFERENCIAS
[1]
Beer, Ferdinand P., Johnston E. Russell, Cornwell
Phillip J., Mecánica Vectorial para ingenieros, Novena edición,
McGraw-Hill Education, 2010.
[2]
Chapra S.C., Canale R. P., Métodos numéricos para
ingenieros, México: McGraw-Hill, 2007, pp. 364-375.
[3]
J. H. Mathews, K. D. Fink, Métodos numéricos con
Matlab, Madrid: Pearson, 2000, pp. 433-438.
[4]
J. W. Eaton, D. Fink, S. Hauberg, GNU Octave, USA:
Edition 3, 2007.
Figura 4. Gráfica de seguimiento de la posición y(t) del punto.
Figura 5. Funciones de tiempo calculadas para los ángulos de
Euler.
Las figuras 3, 4 y 5 muestran las funciones de tiempo
calculadas mediante la adaptación del método Runge Kutta de
orden 4, al sistema de 3 ecuaciones diferenciales no lineales de
segundo orden, que describen el movimiento del giróscopo a
través de los ángulos de Euler. Por otra parte, en cuanto al
desempeño computacional del código es notable la influencia
positiva del sistema operativo LINUX en la disminución de
tiempos CPU y las capacidades gráficas de la versión OCTAVE
de LINUX.
6.
•
•
•
CONCLUSIONES
Los resultados encontrados muestran las ventajas
competitivas del uso de software libre para la adaptación
de métodos numéricos a la solución de sistemas dinámicos
complejos como el del giróscopo.
El simulador puede usarse como una herramienta para la
comprensión del comportamiento de los giróscopos como
elementos de estabilidad en embarcaciones o en estructuras
en general.
El uso del sistema operativo LINUX favorece en buena
medida el desempeño del simulador, según se pudo
constatar en la corrida del modelo bajo Windows.
[5]
Hibbeler, R.C. Mecánica Vectorial para ingenieros:
Dinámica. Pearson Education; Décima Edición. México. 2004.