UNIVERSIDAD DE COSTA RICA MA– : Tópicos de

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEMÁTICA
MA–710: Tópicos de Álgebra Superior
Segundo ciclo del 2015
Tercer Examen Parcial
Hacer 5 de los siguientes 6 problemas. Cada uno vale 20 puntos.
1. A cada partición λ de {1, 2, 3, 4} le corresponde un tableau estándar T de forma λ con
1, 2, 3, 4 en orden creciente en cada fila, y en las filas sucesivas de arriba para abajo.
Calcular los simetrizadores de Young correspondientes cT = aT bT , para cada λ ` 4.
(Escribir cada cT como una expresión polinomial en C[S4 ].)
2. Si λ = (λ 1, . . . , λ m ) y λ + ρ = (l 1, . . . , l m ) con l j := λ j + m − j para j = 1, . . . , m, del
fínase Aλ+ρ (y) := Aλ+ρ (y1, . . . , ym ) := det[yi j ], un polinomio alternante en m variables.
(a) Comprobar que
Aλ+ρ (1, x, . . . , x m−1 ) = ±
Y
(x l i − x l j )
16i< j 6m
con un signo ± que solo depende de m.
(b) Si s λ (y) := Aλ+ρ (y)/A ρ (y) es el polinomio de Schur asociado con λ, calcular
s λ (1, x, . . . , x m−1 ) para x , 1 y obtener así la fórmula de dimensión de Weyl:
dim Sλ (V ) ≡ s λ (1, 1, . . . , 1) =
Y
16i< j 6m
3. Para los tableaux T = 13 2 y R = 21 3
AT , BT , CT , AR, BR, CR ∈ EndC (V ⊗ V ⊗ V ) por
λi − λ j + j − i
.
j −i
y V = Cm , defínase los operadores
AT (u ⊗ v ⊗ w) := 21 (u ⊗ v ⊗ w + v ⊗ u ⊗ w),
BT (u ⊗ v ⊗ w) := 21 (u ⊗ v ⊗ w − w ⊗ v ⊗ u),
CT := AT BT ;
AR (u ⊗ v ⊗ w) := 12 (u ⊗ v ⊗ w + w ⊗ v ⊗ u),
BR (u ⊗ v ⊗ w) := 12 (u ⊗ v ⊗ w − v ⊗ u ⊗ w),
Sean ST V := CT (V ⊗ V ⊗ V ) y SRV := CR (V ⊗ V ⊗ V ).
CR := AR BR .
MA–729: Teoría de Representaciones
Examen Parcial 3
(a) Demostrar que V ⊗V ⊗V ' S 3V ⊕ ST V ⊕ SRV ⊕Λ3V . n Indicación: para comprobar
que ST V ∩ SRV = {0}, calcular BT AR y BR AT . o
(b) Obtener la fórmula: dim ST V = m(m2 − 1)/3.
4. Para g = sl(2, C), sea Vr ' Cr+1 el g-módulo irreducible donde el elemento h actúa
con autovalores
{r, r − 2, . . . , −r }. Bajo la inclusión de matrices M2 (C) ,→ M3 (C) :
!
A 0
A 7→
, se obtiene sl(2, C) ⊂ sl(3, C). La acción adjunta x 7→ (ad x) : y 7→ [x, y]
0 0
define una representación de g sobre sl(3, C). Demostrar la siguiente descomposición en
suma directa de g-módulos simples:
sl(3, C) ' V0 ⊕ V1 ⊕ V1 ⊕ V2 .
t
5. Considérese
! el álgebra de Lie g = so(2l, C) := { X ∈ M2l (C) : X I2l = −I2l X } donde
0 1l
. Esta g es semisimple (de hecho, g es simple.) Hallar matrices diagonales
I2l :=
1l 0
H1, . . . , Hl en g tales que h := C- linhH1, . . . , Hl i sea una subálgebra de Cartan de g.
6. Los sistemas de raíces A3 y D3 se definen así:
Φ := { ±(e j − e k ) : 1 6 j < k 6 4 } ⊂ R4,
Ψ := { ±(ei ± e j ) : 1 6 i < j 6 3 } ⊂ R3 .
Aquí {e1, e2, . . . , en } denota la base ortonormal usual de Rn ; nótese que linhΨi = R3 y
que linhΦi = (e1 + e2 + e3 + e4 )⊥ ⊂ R4 también es tridimensional.
(a) Identificar una base ∆ = {α1, α2, α3 } de raíces simples en los dos casos. (Desde
luego, es necesario comprobar que ∆ es efectivamente una base.)
(b) Calcular las matrices de Cartan C = [ci j ], con entradas ci j := 2 hαi , α j i/hαi , αi i,
en los dos casos. Demostrar que (después de reordenar una de las bases si fuere
necesario) estas matrices de Cartan coinciden. Concluir que A3 ' D3 .
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