UNIVERSIDAD DEL VALLE INGENIERIA ELECTRONICA CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR INFORME DE LABORATORIO Presentado por: Andrés González Andrea Herrera Hans Haeusler Rafael Triviño - 0329032 - 0327121 - 0332903 - 0328319 Presentado a: Sivor Oriana Benavides EXPERIMENTACION FISICA II Mayo 5 del 2005 OBJETIVOS • Observar el comportamiento del voltaje y la corriente en el proceso de carga y descarga de un circuito RC. • Estudiar los diferentes comportamientos de las magnitudes físicas como la carga, la corriente y la caída de potencial para los circuitos RC. • A partir de los valores hallados experimentalmente hacer una estimación de los valores de la constante de tiempo para los circuitos RC de la práctica. 2 INTRODUCCION De los dispositivos y elementos que se utilizan en los circuitos eléctricos, encontramos uno muy común e importante que es el condensador o capacitor. Se utiliza en los circuitos eléctricos por su propiedad de almacenar carga eléctrica. Los condensadores son componentes fundamentales en los aparatos de radio y televisión, de aparatos que necesitan el paso de corriente eléctrica durante cortos espacios de tiempo, como son los flash de fotografía. Un condensador esta formado por un par de placas paralelas de material conductor, separadas por un material aislante llamado dieléctrico, y cada una de ellas conectadas a un terminal. Cuando un condensador se une a una fuente que produce una diferencia de potencial constante, como una batería, los electrones se almacenan en la placa unida al polo negativo y se alejan de la placa unida al polo positivo. Este proceso conocido como carga, tiene lugar en un tiempo variable, que depende del condensador y de la resistencia interna de la fuente, pudiendo llegar a ser inferior a la millonésima de segundo. Los electrones no pueden saltar de una placa a la otra porque el dialéctico que esta entre ellas se lo impide. Puesto que las cargas de las dos placas son de signo opuesto, los electrones que se encuentran en una de ellas están atraídos por la carga positiva de la otra. De esta forma la carga persiste en las placas si se desconecta la batería. La capacidad de los condensadores es una característica que indica la relación entre la carga que puede almacenar el condensador y la tensión que tiene aplicada a sus terminales. Cuando un condensador almacena una carga de un Coulomb al tener aplicada la tensión de un Volt, se dirá que posee una capacidad de un Farad que es la unidad de capacidad. En este laboratorio se pretende analizar el proceso de carga y descarga del condensador a través de una resistencia, lo suficientemente grande para poder observar su comportamiento en el tiempo. 3 MARCO TEORICO La corriente se atribuye al flujo de cargas eléctricas fundamentales, para la medición de esta y del voltaje aplicado se utiliza un circuito que consta de un capacitor y una resistencia conectados en serie. Para que un conductor siga la ley de Ohm, la resistencia debe ser constante. Algunos conductores no siguen esta ley en su totalidad, pues la resistencia disminuye cuando aumenta la corriente. Los procesos de carga y descarga que se analizaran dependen del tiempo y son funciones exponenciales de él. 4.1. Carga: se considera un circuito RC, (es decir, un circuito que contenga condensador y una resistencia). Al iniciar la práctica el capacitor esta descargado, y al estar el circuito abierto no hay corriente circulando en él. Si el circuito se cierra en t = 0, empiezan a fluir cargas estableciendo una corriente en el sistema, y el capacitor empieza a cargarse. El valor de la carga máxima depende del voltaje aplicado, una vez alcanzada la carga máxima, la corriente en el circuito es cero. Aplicando la regla de Kirchhoff al sistema cuando esta cerrado: q E − IR − c = 0 Siendo IR la caída de potencial en la resistencia y q / C la caída de potencial en el capacitor. Con la ecuación (3.1) podemos hallar la corriente inicial en el circuito y la carga máxima en el capacitor. En el instante t=0 la carga q es cero: I0 = E R (corriente en t = 0) Cuando el capacitor llega a su carga máxima, las cargas dejan de fluir, la corriente es cero y la caída de potencial es completa a través del capacitor: Q = C * E (carga máxima) Para determinar las expresiones relativas a la dependencia en el tiempo de carga y la corriente, en la ecuación (3.1) se sustituye I por dq/dt, obteniendo: dq E q = − dt R RC 4 Esta es una ecuación diferencial, solucionándola: ( −t ( −t q = C * E 1− e q ( t ) = Qf 1 − e I(t) = RC ) RC ) ( ) E − t RC e R Descarga: El circuito consta de un capacitor con carga inicial Q0 y una resistencia. Cuando este se abre hay una diferencia de potencial Q/C a través del capacitor y una diferencia de potencial igual a cero en la resistencia, puesto que I = 0. Si el circuito se cierra en t = 0, el capacitor empieza a descargarse a través de la resistencia. Usando la segunda regla de Kirchhoff: I *R = q C Sin embargo, la corriente en el circuito debe ser igual a la tasa de reducción de carga, en el capacitor. Es decir, I = -dq/dt por lo que la ecuación (4.2.1) se vuelve −R dq q = dt C Resolviendo esta ecuación diferencial: q (t ) = Q * e I (t ) = I 0 * e −t −t RC RC Se observa en las ecuaciones que tanto la carga como la intensidad decrecen exponencialmente con respecto al tiempo. S ε + - Fuente de poder C R Capacitor RU Voltmetro 5 DATOS Y ANÁLISIS Carga del condensador Datos para la carga del condensador: Vc[V] 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 200 220 240 260 280 300 0,2 0,3 0,4 0,4 0,5 0,6 0,7 0,7 0,8 0,8 0,9 1 1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,4 1,4 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,3 2,5 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4,1 4,4 4,6 5 5,5 Carga del capacitor 6 5 4 3 Vc[V] t[s] 2 1 0 -1 0 100 200 300 400 -2 t[s] Conforme avanza el tiempo va aumentando el voltaje en el condensador y después de un tiempo debería tomar un valor estacionario asemejándose a un comportamiento exponencial; sin embargo, se observa que se asemeja más a una recta que pasa por el origen. 6 Linealización para carga del capacitor: Aplicando logaritmo natural al voltaje obtuvimos los siguientes resultados: Datos para la carga del condensador: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 200 220 240 260 280 300 Lncarga -1,61 -1,20 -0,92 -0,92 -0,69 -0,51 -0,36 -0,36 -0,22 -0,22 -0,11 0,00 0,00 0,10 0,18 0,18 0,26 0,34 0,34 0,41 0,53 0,64 0,74 0,83 0,83 0,92 0,96 1,03 1,10 1,16 1,22 1,28 1,34 1,41 1,48 1,53 1,61 1,70 Ln(Vc) para carga del condensador 2,50 2,00 1,50 1,00 Ln[Vc] t 0,50 0,00 -0,50 0 50 100 150 200 250 300 350 -1,00 -1,50 -2,00 t[s] Por las características de los resultados esta gráfica tiene el comportamiento la cual es el resultado de aplicarle logaritmo natural a una recta. Debería ser al contrario, para poder obtener la relación lineal existente entre las 2 cantidades. Sin embargo se aproximo dicha serie de puntos a la recta que se muestra sobre la gráfica. De la cual pudimos deducir los siguientes resultados: -t/RC ) como C = q / V entonces, q = CV Sabemos que q(t) = Q (1 - e 7 VC = V0 C (1 - e V/V0 = 1 - e - t RC - t RC ) entonces, e - t RC = 1 - V/V0 - t/RC = ln ( 1 - V/V0 ) A partir de esto podemos definir la pendiente como: 1 pendiente = RC Por lo tanto la constante de tiempo corresponde a: 1 pendiente Para dicha linealización la pendiente corresponde a: τ= pendiente = 0.009 s −1 ± 0.003 Así pues el tao correspondiente equivale a: τ= 1 [ s] = 110.9 s ± 36.9 s 0.009 Descarga del capacitor Datos para la descarga del condensador: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 Vd[V] 15,6 15,2 15 14,7 14,5 14,2 13,8 13,3 13,3 13 12,8 12,5 12,3 12,1 11,9 11,7 11,5 Descarga del condensador Vd[V] t[s] 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 100 200 t[s] 300 400 8 54 57 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 200 220 240 260 280 300 11,3 11,1 10,9 10,3 9,7 9,1 8,6 8,1 7,6 7,2 6,8 6,5 6,1 5,8 5,4 4,8 4,3 3,9 3,4 3,1 2,8 Se evidencia a partir de la gráfica que el condensador parte de un voltaje inicial y conforme transcurre el tiempo este empieza decrecer exponencialmente hasta 0. Linealización para la descarga del capacitor: Sabemos que q(t) = Qe -t/RC , como C = q / V entonces, q = CV VC = V0Ce-t/RC V/V0 = e-t/RC entonces, -t/RC = ln ( V/V0 ) De lo anterior se concluye que la pendiente correspondiente a la relación es: 1 m=− RC Donde se puede decir que: τ= 1 m Para la gráfica obtuvimos que la pendiente es: pendiente = (0.0058 ± 0.0002) s −1 1 τ =− s = 172.1s ± 5.9 s 0.058 Aplicando logaritmo natural al voltaje obtuvimos los siguientes resultados: 9 Datos para la carga del condensador: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 200 220 240 260 280 300 Ln(vd) 2,75 2,72 2,71 2,69 2,67 2,65 2,62 2,59 2,59 2,56 2,55 2,53 2,51 2,49 2,48 2,46 2,44 2,42 2,41 2,39 2,33 2,27 2,21 2,15 2,09 2,03 1,97 1,92 1,87 1,81 1,76 1,69 1,57 1,46 1,36 1,22 1,13 1,03 Ln(Vd) para descarga del capacitor 3,00 2,50 Ln[Vd] t[s] 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0 50 100 150 200 250 300 350 t[s] Cuando se le aplica logaritmo natural a los valores del voltaje y graficar en función del tiempo se obtiene una línea recta la cual es resultado del proceso de descarga del condensador. 10 ANALISIS DE ERRORES Para la toma de los valores del voltaje del capacitor se observó permanentemente la fluctuación de los valores en el amperímetro, y dado que se debían manejar tiempos la posibilidad de error humano es grande. Incertidumbre de τ a partir de la de la pendiente: Se tiene τ= 1 m Derivando: 1 ∂τ =− 2 ∂m m 1 ∂τ = − 2 ∂m m Aproximando los diferenciales y aplicando valor absoluto: ∆τ = 1 ∆m m2 Así esta expresión equivale a la incertidumbre de la constante tao. A partir de esta expresión pudimos calcular la incertidumbre de tao para la carga y descarga del condensador: Carga: ∆τ = 1 0.003s = 36.9 s 0.009 2 Descarga: ∆τ = 1 0.0002 s = 5.9s 0.0058 2 Se puede observar que para el proceso de carga se obtuvo una incertidumbre mucho mayor que la que se obtuvo en la descarga. Esto se evidencia gráficamente dado que para la descarga se obtuvo un modelo aproximado a lo que debería dar, y es que se asemeje a una línea recta. 11 Para el proceso de carga sucedió que el comportamiento de V vs. T se asemejó a una línea recta tal vez por la falta de toma de datos para valores de tiempo mayores a los establecidos. Entonces cuando se le aplicó logaritmo natural a una recta, a lo que se llegó fue a una curva que no coincide con lo esperado teóricamente. 12 CONCLUSIONES • El condensador es un elemento que no permite cambios bruscos de voltaje, así pues: V (t − ) = V (t ) = V (t + ) • Un condensador conectado a un circuito con una fuente acumula carga hasta al instante que su capacitancia y resistencia en serie equivalente lo permita. La presencia del condensador crea una diferencia de potencial que va creciendo con el tiempo, hasta un instante donde el voltaje es el máximo permitido y a través de el no pasa corriente. Este es un estado estacionario. • En ausencia de fuentes en un circuito el condensador empieza a descargarse partiendo de de un valor máximo de carga, corriente y voltaje hasta que llega a cero. • La constante de tiempo tiene unidades de tiempo y es de gran importancia para el análisis de circuitos eléctricos, pues esta se puede utilizar como parámetro fundamental para el diseño de dispositivos que manejen interruptores manejen tiempos, pues el condensador se puede comportar como un circuito abierto cuando llega a su estado estacionario. 13