Paradojas del Lenguaje

Paradojas del Lenguaje
“En lógica no puede haber nunca sorpresas… En lógica, proceso y resultado son equivalentes. (En
consecuencia, no hay ninguna sorpresa).” Ludwig Wittgenstein. Tratactus Logico-Philosophicus,
6.1251 y 6.1261
Una paradoja es una declaración en apariencia verdadera que conlleva a una autocontradicción lógica o a una situación que contradice el sentido común. En palabras
simples, una paradoja es 'lo opuesto a lo que uno considera cierto'. La identificación
de paradojas basadas en conceptos en apariencia razonables y simples ha
impulsado importantes avances en la ciencia, filosofía y las matemáticas.
Entre los temas recurrentes en las paradojas se encuentra la auto-referencia directa
e indirecta, la infinitud, definiciones circulares y confusión de niveles de
razonamiento.
La etimología de la palabra paradoja proviene de comienzos del período
renacentista europeo o los acelerados avances científicos de Eurasia luego del 1500.
Las primeras formas de la palabra aparecieron como la palabra del latín paradoxum,
pero es encontrada también en textos griegos como paradoxon. Se encuentra
compuesta por el prefijo para-, que significa "contrario a" o "alterado", en conjunción
con el sufijo doxa, que significa "opinión". Palabras similares son ortodoxo o
heterodoxo. La paradoja del mentiroso y otras paradojas similares ya se estudiaron
en la edad media bajo el título insolubilia.
En filosofía moral una paradoja juega un rol particularmente importante en debates
sobre ética. Por ejemplo, una admonición ética a "amar a tu vecino" no solamente se
encuentra en contraste, sino también en contradicción, con un vecino armado que
intenta asesinarte: de ser exitoso, entonces, uno no es capaz de amarlo. Sin
embargo, atacar o reprimir al vecino agresor no es generalmente considerado amar.
2
Esto puede ser llamado un dilema ético. Otro ejemplo es el conflicto entre el
mandato de no robar y la responsabilidad personal de alimentar a la familia, la cual,
bajo determinadas circunstancias, no puede ser mantenida sin dinero robado.
No todas las paradojas son iguales. Por ejemplo, la paradoja del cumpleaños (¿Cuál
es la probabilidad de que dos personas en una reunión cumplan años el mismo día?)
puede ser definida mejor como una sorpresa que como una paradoja, mientras que
la resolución de la paradoja de Curry ("Si no me equivoco, el mundo se acabará en
diez días") es aún un tema importante de debate.
Algunas paradojas sólo parecen serlo, ya que lo que afirman es realmente cierto o
falso, otras se autocontradicen, por lo que se consideran verdaderas paradojas,
mientras que otras dependen de su interpretación para ser o no paradójicas.
Lo anterior puede profundizarse un poco. A saber:
Paradojas y demás familia (antinomias, aporías, perplejidades).
Nuestros términos paradoja, paradojo, paradójico provienen del étimo griego
parádoxon (≈ cosa chocante, singular o sorprendente). Hoy tienen un doble sentido,
uno retórico y otro dialéctico, que vienen a corresponder a dos matices significativos
del prefijo ‘para-’: un matiz de énfasis o refuerzo, un matiz de oposición.
1. En un sentido retórico, una paradoja es una expresión aparentemente
anómala, retorcida o absurda, dirigida a llamar la atención sobre lo que quiere
significar. Se ha dicho que una paradoja en este sentido es una verdad puesta
patas arriba para llamar la atención. Puede responder a varios y diversos propósitos:
(a) desvelar o comunicar un mensaje sentido o profundo
3
«Vivo sin vivir en mí, y tan alta vida espero que muero porque no muero».
(barroca confidencia teresiana)
(b) tener de paso una intención irónica
«Todos los animales son iguales, pero algunos animales son más iguales que
otros» (G. Orwell 1945, Rebelión en la granja. Este es el sumario mandamiento final
de la Animal Farm)
(c) ser un recurso instructivo
«Sólo sé que no sé nada» (lema pseudocrático, y no precisamente socrático)
(d) bajo una forma un tanto provocativa
Esta variante quedaría representada por preguntas como la del matemático
John Allen Paulos a sus alumnos: “¿A qué velocidad, expresada en km./h., crece el
cabello humano?”.
Una respuesta corriente es la protesta o el reparo de algún alumno
aventajado:
“-Pero, Prof. Paulos. ¡Eso no se mide en términos de kilómetros / hora!”.
Lo cual da pie al profesor no sólo para dar la solución precisa y apropiada:
“-¡Cómo que no! Crece a razón de unos 1,6 ×10-8 kms. por hora.” Si no esto
está para lamentar el analfabetismo matemático de su entorno.
(e) dar una muestra de ingenio, etc.
A estos usos retóricos de las expresiones más o menos paradójicas y
llamativas cabría añadir en esta línea otras muchas muestras de agudeza o de
ingenio, etc., un género en el que ha brillado no sólo el barroquismo hispano de
4
todos los tiempos -desde Gracián hasta Borges, pongamos por caso-, sino otra
gente ilustre como Lewis Carroll, Oscar Wilde, Bernard Shaw o Grucho Marx recordemos su supuesto telegrama: «Please accept my resignation. I don’t want to
belong to any club that will accept me as a member»-.
2. En un sentido dialéctico, una paradoja es una aserción opuesta al sentir
común sea expresamente o sea por implicación. Es decir: una proposición contraria
a la opinión mayoritaria o establecida -a veces con visos de ser un contrasentido-, o
una proposición aparentemente plausible o razonable cuyas consecuencias
muestran que no lo es.
Podemos explicarlo así:
Unos vecinos nos están contando sus penalidades del pasado verano.
“-Un desastre. Cuando llegamos, todos los hoteles estaban llenos, con todas
las habitaciones ocupadas: ya no cabía en ellos ni un alfiler.
- Bueno -interrumpe otro vecino matemático-, deberíais haber probado en el
Hotel de Hilbert. Es un hotel con infinitas habitaciones de modo que, aun estando
completamente lleno y con todas las habitaciones ocupadas, siempre cabe un
arreglo para habilitar una nueva y meter a alguien más”.
¿Puede haber un hotel como el Hotel de Hilbert? ¿No es su misma descripción
un contrasentido?
También es una opinión muy común que las reglas (sociales), a diferencia de
las leyes (naturales), mantienen su vigencia aunque no se cumplan siempre: las
reglas admiten incumplimientos o excepciones. Más aún, según un tópico muy
extendido, no hay regla sin excepción; norma general que conviene tener bien
presente a la hora de proponer una regulación. Valga, pues, como regla de las
regulaciones o regla madre:
R (madre): «No hay regla sin excepción».
¿Es R tan razonable como parece? ¿Es una norma que, lógicamente, se
podría adoptar y seguir?
5
Por lo regular, ambos sentidos, el retórico y el dialéctico, son cómplices y
están relacionados entre sí, de manera que al contrasentido, real o aparente, no le
falte su punto de intriga y de provocación y la paradoja resulte un desafío a nuestro
sentido común.
No sé si conocen el reloj de pared de Cronopio, un viejo amigo. El otro día
estábamos tomando el aperitivo en su casa y la conversación se nos alargó hasta
que, de pronto, sonaron tres campanadas en el reloj de pared. “¡Las tres! -salté-. ¡Ya
son las tres! Tengo que irme: había quedado a comer con Filomena a las dos y
media, y se me ha hecho tarde”. “No te preocupes -repuso tranquilamente CronopioMi reloj es especial: no ha dado las tres, sino tres veces la una. Aún te sobra
tiempo”.
Una cuestión paradójica añadida es cómo saber, al oír las campanadas de
cualquier otro reloj –por ejemplo, el del Ayuntamiento por el que se rige Filomena-, si
se trata de un reloj especial o es de los corrientes.
Con este sentido guarda relación el término antinomia. También se deriva de
un étimo griego: antinómon (≈ algo que contraviene o es contrario a la norma), que
a su vez procede de medios jurídicos; en algunos autores y contextos, esto es, en
Quintiliano, lo antinómico se agudiza al implicar un conflicto entre las propias normas.
Una antinomia se considera, por lo regular, una anomalía discursiva más grave que
una paradoja simple en la medida en que envuelve una contradicción insalvable o un
conflicto insoluble; la lógica medieval hablaba de casos insolubles (insolubilia) en
este sentido. Luego, a partir de la referencia de Kant a las “antinomias” de la razón
pura, se incluyeron las contradicciones reales o aparentes entre dos asertos o dos
conclusiones, una tesis y una antítesis, que tenían una justificación pareja. Y, por
último, entre finales del s. XIX y principios del s. XX, las antinomias adquirieron carta
de naturaleza en medios lógicos y matemáticos, gracias a ejemplares tan famosos
como la antinomia semántica del mentiroso, o como las antinomias lógicomatemáticas de la teoría intuitiva de conjuntos.
De la paradoja [antinomia] semántica del mentiroso conocemos una versión
antigua bajo el nombre de Epiménides, un cretense. En él pensaba Pablo de Tarso
cuando escribía a propósito de los cretenses: «Bien dijo uno de ellos, su propio
6
profeta: “Los cretenses, siempre embusteros, malas bestias y glotones”. Verdadero
es tal testimonio» (Epístola a Tito, 1,12). Pablo, mejor apóstol que lógico, no cayó en
la cuenta de lo enrevesado de tal testimonio: si verdadero, falso; si falso, verdadero.
Una versión aún más antigua y directa se atribuye al dialéctico Eubúlides, discípulo
de Euclides de Megara en el s. IV antes de nuestra era. Reza: «El hombre que dice:
“lo que estoy diciendo es falso”, al decir esto ¿miente o dice la verdad?».
Por lo que concierne a las antinomias lógico-matemáticas que cercaban las
nociones intuitivas de clase o de conjunto, baste recordar la más famosa: la paradoja
[antinomia] de Russell. Supongamos que a cada propiedad (condición, predicado) le
corresponde una determinada clase o conjunto: la clase de las cosas que tienen esa
propiedad (cumplen esa condición, satisfacen ese predicado). Pues bien, hay
predicados
o
condiciones
anormales
en
el
sentido
de
que
las
clases
correspondientes son miembros de sí mismas, como la clase correspondiente al
predicado ‘x es pensable’: ahora estoy pensando en la clase de todo lo pensable,
luego esta clase es ella misma pensable. Por fortuna hay también predicados o
condiciones normales, de modo que las clases correspondientes no son miembros
de sí mismas, como el predicado ‘x es mexicano’: la verdad es que, por mucho que
se empeñe, la clase de los mexicanos no es un mexicano. Consideremos ahora una
presunta clase: la clase de todas las clases correspondientes al predicado o la
condición ‘x no es miembro de sí misma’ o, en otras palabras, la clase de todas las
clases normales. Es decir, la clase: w = {x ‫ ׀‬x ∉ x}.
¿Es esta clase w, a su vez, miembro de sí misma?
¿Sí? Pero si w ∈ w, entonces w no cumple la condición dada, luego w ∉ w.
¿No? Pero si w ∉ w, entonces w cumple la condición dada, luego w∈ w.
En otras palabras, la clase de todas las clases normales resulta normal si es
anormal; anormal, si es normal.
Sorpresas de este tipo llevaron a los lógicos matemáticos de las primeras
décadas del s. XX a dejar de suponer que cualquier predicado determina la
existencia de la clase o del conjunto correspondiente y a desconfiar de las clases o
conjuntos irrestrictos (“la clase de todas las clases...”, “el conjunto de todos los
conjuntos...”). Para algunos espectadores posteriores la experiencia fue tan
traumática que dieron en pensar en una crisis de fundamentos del edificio de las
matemáticas.
7
Nuestro término aporía es un calco de otro griego: aporía (≈ situación
apurada o difícil por falta de una vía de salida, cuestión indecidible). El término tiene
una raigambre filosófica debida a la investigación dialéctica aristotélica de ciertas
nociones y principios en la filosofía natural y en la ética: un propósito de esta
investigación era el respeto a las opiniones autorizadas o acreditadas sobre un
asunto capital que salvara al mismo tiempo las dificultades o aporías subyacentes.
El proceder crítico y ponderativo aristotélico todavía se refleja en un uso principal de
aporía para designar el caso planteado por la concurrencia de argumentos
parejamente correctos y fuertes con conclusiones opuestas o incompatibles entre sí.
Aulo Gelio y Diógenes Laercio nos has transmitido una aporía dilemática
fundada en la causa de Protágoras versus Euatlo. El sofista Protágoras había
acordado con su discípulo Euatlo enseñarle las artes del discurso forense por una
cantidad que Euatlo debería abonar en cuanto ganara su primer juicio. Acabado el
curso, empezó a pasar el tiempo sin que Euatlo mostrara el menor interés por
ejercer sus artes y habilidades en ningún juicio. Protágoras, al fin, se impacientó debía algún dinero a su proveedor de higos-. Entonces citó en su casa a Euatlo y
amenazó con encausarle en estos términos: «Voy a llevarte a juicio por no pagarme
las enseñanzas que has recibido. Si gano, tendrás que pagarme conforme al
veredicto. Y si pierdo, será la primera causa que ganes, así que también deberás
pagarme según lo convenido». Euatlo, discípulo tan aprovechado como tranquilo, se
limitó a redargüir: «Tú verás. Si pierdo el caso, no tendré que pagarte porque aún no
habré ganado ninguna causa, según lo convenido. Y si gano, tampoco tendré que
pagarte conforme al veredicto». ¿Quién tiene razón? ¿Cómo salir del paso? Según
Leibniz, la solución reside en un segundo juicio emprendido por Protágoras a
resultas del primero. Por otro lado, la jurisprudencia moderna cuenta con ciertos
recursos para solventar la cuestión: una corte anglosajona se pronunciaría a favor
de Euatlo mientras Protágoras no lograra establecer su caso de modo inequívoco o
introdujera elementos nuevos de juicio, como el haber sido engañado inicialmente
por Euatlo con un acuerdo doloso.
Las aporías consideradas por Kant bajo la denominación de “antinomias” de
la razón pura, -por ejemplo, el conflicto entre la tesis de la finitud espacio-temporal
del universo y la antítesis de su infinitud-, son más imprecisas y más inciertas.
8
Ulteriormente la calificación “aporético(a)” se aplica, en general, a situaciones
comprometidas o insalvables a las que nos vemos abocados en virtud de unos
supuestos indebidos o de unas condiciones inviables.
Un ejemplo podría ser el caso xvii de los Sophismata de Jean Buridan, lógico
y filósofo natural, rector de la Sorbona y, al parecer, amante de la Reina en el París
del s. XIV. El caso consiste en lo siguiente. Sócrates llega a un puente guardado por
un poderoso caballero, Platón, y le pide autorización para cruzarlo. Platón declara:
«Juro que si lo que vas a decir a continuación es verdadero, te dejaré cruzar; pero si
es falso, te echaré al agua. Habla, pues». Sócrates dice: «Vale. Me echarás al
agua». Si Platón le deja pasar y no le echa al agua, lo dicho por Sócrates resulta
falso, así que Sócrates debería ser arrojado al agua; pero si Platón le echa al agua,
lo dicho por Sócrates resulta verdadero, así que debería permitir a Sócrates pasar.
La solución de Buridan es sabia y elegante: sentencia que el juramento de
Platón no le compromete a nada pues implica un compromiso imposible de cumplir.
Con el tiempo, esta aporía del puente se fue haciendo más dramática mientras los
jueces llamados a dirimir el asunto iban perdiendo sagacidad. Hasta que nos
encontramos con el caso propuesto al flamante gobernador de la ínsula Barataria en
el capítulo LI de la segunda parte del Quijote, historia digna de leer. De ahí ha
pasado al canon de las paradojas universal.
Nuestro término perplejo deriva, en fin, del latino perplexum (≈ algo muy [per-]
intrincado, plegado, o algo completamente enredado, confuso). Esta condición da
lugar por una suerte de transferencia causa → efecto a un estado de perplejidad, a
no saber a qué atenerse o cómo salir del paso, estado también relacionado con
ciertas situaciones aporéticas, como acabamos de ver. Es frecuente que uno no
sepa salir de una situación que, lógicamente, no tiene salida.
Cabe pensar que la respuesta de Sócrates dejaría a Platón perplejo, al igual
que los jueces del caso propuesto a Sancho Panza se habían quedado sumidos en
la perplejidad, “dudosos y suspensos” -según informa a Sancho el encargado de
trasladarle el caso a su corte de justicia en Barataria-.
En los antiguos tiempos griegos, un estado de perplejidad, como el provocado
por el argumento “más incisivo” al decir de Aristóteles -el argumento que de unas
premisas plausibles deriva una conclusión sumamente implausible-, no era sino un
9
buen motivo y un acicate para proseguir la investigación del asunto planteado: “hay
algo que anda mal y necesita solución o arreglo”. En nuestro tiempo, se ha dado en
afirmar que los problemas filosóficos pueden reducirse a situaciones del tipo “no sé
por dónde me ando”, a estados de perplejidad y, si acaso, de ansiedad: males que
se curan disolviendo el enredo o, según algún experto, “ayudando a la mosca a salir
de la botella”. A partir de ahí ha cundido la especie de que la filosofía tiene mucho
que ver con la perplejidad y no pocos filósofos han puesto en las perplejidades todas
sus complacencias -como el encadenado que hacía el amor con la cadena-. Cosa
que, por cierto, maravilla y causa perplejidad. Quedémonos, sin embargo, con la
copla de que la perplejidad puede ser una reacción perfectamente natural (no una
suerte de afección o afectación profesional) ante una aporía o una paradoja, sin que
ese estado de ánimo le confiera mayor significación o trascendencia.
Sobre lo paradójico, en general.
Lo paradójico es algo sorprendente e insólito, pero que además nos intriga por
envolver cierta significación o cierto interés bajo la forma o la apariencia de un
contrasentido. Lo paradójico constituye un desafío a nuestro sentido común, a los
modos establecidos de ver o entender las cosas.
Este carácter desafiante aproxima las paradojas a los enigmas y los acertijos.
Cabe pensar incluso que toda paradoja tiene algo de enigma en la medida en que
encierra un sentido oculto; pero no todo enigma ha de presentarse en términos
paradójicos. Por otra parte, a diferencia de los enigmas y a semejanza con los
acertijos, se supone que el significado de las paradojas es accesible o comprensible,
y que todas ellas son solubles positiva o negativamente, es decir por resolución de la
cuestión que plantean, o por disolución del planteamiento mismo cuando la cuestión
resulta intratable o indecidible. Cierto es que esta suposición no se ha visto siempre
acompañada por el éxito resolutivo o disolutivo: hay paradojas muy obstinadas. Pero,
en cualquier caso, las paradojas también se distinguen de los rompecabezas o de
los meros acertijos, como los desafíos a la razón o al sentido común se distinguen
de los retos al ingenio.
10
Hesíodo y Sófocles cuentan, siglos antes de nuestra era, que Edipo se topó al
entrar en Tebas con una esfinge que le propuso esta cuestión: «¿Cuál es el animal
que por la mañana se mueve a cuatro patas, al mediodía a dos y al anochecer a
tres?». La pregunta puede parecer intrigante y curiosa, pero no se plantea en
términos incongruentes o indecidibles. Si uno le atribuye una significación profunda,
pensará estar ante un enigma, y si uno la considera una prueba de ingenio, ante un
acertijo. Pero en ningún caso creerá hallarse ante una paradoja. Las paradojas son
productos más complejos y elaborados: las paradojas envuelven de manera tácita o
expresa problemas conceptuales y marcos argumentativos. Las paradojas no hablan
a la agudeza o al ingenio, sino al entendimiento y la razón.
Así que, en suma, una diferencia de los acertijos con respecto a las paradojas
es tener asegurada la existencia de una respuesta acertada -y dar con ella no es
tanto cuestión de sabiduría como de ingenio-; mientras que los enigmas, a su vez,
tenderían al extremo opuesto.
Imagine que en uno de sus viajes por el ancho mundo Ud se encuentra con tres
indígenas de una misma tribu: Pa, Pe, Po. Lo único que Ud. sabe de esa tribu es
que su lengua es incomprensible y que sus miembros se dividen en dos sectas: la
de los que siempre dicen la verdad y la de los que siempre mienten.
Ud. se dirige a Pa y le pregunta a qué secta pertenece. Pa le contesta en su
propia lengua algo que le resulta ininteligible. Por fortuna, Pe parece más amable y
media como intérprete: “Pa le ha dicho que es de los mentirosos”. Entonces Po le
coge a Ud. del brazo y tercia para corregir a Pe: “No crea Ud. a Pe, él sí que miente”.
Pues bien, ¿qué puede sacar Ud. en limpio? ¿Quién es de los veraces y quién es de
los mentirosos?
La secta a la que pertenece Pa es un enigma: seguirá siendo un misterio. En
cambio, tanto la secta de Pe, como la de Po, no pasan de ser un acertijo. Pruebe y
verá que no es difícil adivinarlas.
Sin embargo, en esta historia no hay ninguna paradoja -que se sepa, al
menos-.
Al margen de esta especie de pseudoparadojas, los enigmas y los acertijos,
hoy se habla de situaciones paradójicas, objetos o personajes paradójicos, cuentos
11
paradójicos, cuadros y figuras paradójicas.
Hay compilaciones de paradojas
discursivas, mentales y visuales. En suma, las paradojas pueden darse en muy
diversos campos y de muy distintas formas, aunque su hábitat natural sea el
discurso. En literatura, los relatos paradójicos -no meros acertijos-, se remontan al
parecer a un cuento chino de Chuang-tzu (s. IV a.n.e.): Chuang-tzu fue el hombre
que una vez soñó que era una mariposa y luego se despertó preguntándose si no
sería una mariposa soñando que era un hombre. Las muestras gráficas y pictóricas
parecen, en cambio, mucho más modernas: hoy son famosos los cuadros del belga
Magritte y los dibujos y composiciones de Escher, holandés errante durante buena
parte de su vida, a quien debemos varias representaciones “imposibles”. Tampoco
son muchos los años de objetos paradójicos como los triángulos y las escaleras de
Penrose o como los números interesantes.
En cierta ocasión, el conocido matemático de Cambridge, G.H. Hardy,
visitaba a su protegido indio Ramanujan, un genio del cálculo, convaleciente en una
clínica. Para reiniciar tras unos minutos de silencio la conversación, Hardy comentó
que el número del taxi que le había traído era bastante soso e irrelevante: el 1729.
“No crea, Hardy -replicó Ramanujan-. Es un número singular. Es el número más
pequeño que cabe expresar de dos formas distintas como la suma de dos cubos (13
+ 123 = 103 + 93 = 1729)”.
Esta línea de razonamiento puede generalizarse hasta el punto de que todos
los números resultan singulares e interesantes. Supongamos que no es así. Sea
entonces n el primer número que, al parecer, no tiene nada de particular. Pero esta
peculiaridad lo distinguiría de cualquier otro. Luego n también sería un número
singular e interesante.
Más reciente aún ha sido la proclamación del paradoxismo como un
movimiento cultural, ideológico y artístico, nacido en la Rumanía de los años 80, con
aires de rebelarse contra casi todo: contra los movimientos de vanguardia
(surrealismo, dadaísmo) que había conocido el siglo y, naturalmente, contra la
cultura cerrada e irrespirable de la época de Ceaucescu. Su manifiesto fundacional
data de la publicación de F. Samarandache, Le sens du non-sens, Fez, Éditions
Artistiques, 1983. El paradoxismo se caracterizaría en pocas palabras como sigue.
«Todo tiene un sentido y un sinsentido armónicos entre sí», según su tesis básica.
De ahí se desprende que (a) el sentido tiene un sinsentido y que, parejamente, (b) el
12
sinsentido tiene un sentido. Según su lema: «todo es posible, incluso lo imposible».
Y en fin, como no podía ser menos en los tiempos que corren -tiempos de
confusiones e imposturas intelectuales-, el paradoxismo también pretende hallar
aplicación en la ciencia.
La verdad es que el análisis lógico y la investigación científica y filosófica no
han necesitado estímulos, ni esperado proclamas de este género, para habérselas
con paradojas de muy diverso tipo y condición. Lo cierto es que, desde antiguo, las
paradojas han venido prestando servicios importantes tanto a efectos críticos, como
a efectos heurísticos, en ámbitos tan dispares como la cosmología y la semántica,
pasando por distintos campos de la filosofía y de las ciencias naturales y sociales.
Allá por el s. V a.n.e., el presunto padre de la dialéctica, Zenón de Elea, ya
empezaba a ejercitar el poder crítico de las paradojas y aporías contra algunos
supuestos de los antiguos pitagóricos. Desde entonces, las aporías de Zenón
forman parte del canon de las anomalías discursivas en filosofía. En lo que sigue,
vamos a interesarnos ante todo por las anomalías de este género, por las paradojas
discursivas, con cierta significación lógica o conceptual, teórica o filosófica.
Sobre las paradojas, en particular.
Proponemos considerar las paradojas como unas anomalías discursivas que, en
primer lugar, constituyen provocaciones serias e interesantes a algunas de nuestras
ideas o creencias; en segundo lugar, siendo discursivas, tienen interés y sentido en
el contexto tácito o expreso de una argumentación; en tercer lugar, al desafiar
nuestras ideas o creencias, también se mueven en un marco histórico e ideológico
que no conviene olvidar.
1.- Las paradojas son provocaciones serias e interesantes por sus
consecuencias críticas o heurísticas, sean analíticas -cuando importa más su
condición de anomalía en el uso del lenguaje discursivo-, o sean sustantivas cuando importa más su carácter de reto a las ideas o las creencias establecidas-.
13
De su potencial crítico pueden ser muestra las clásicas paradojas de Zenón de
Elea contra ciertas concepciones del tiempo o del espacio envueltas en la visión
común y ordinaria del movimiento. Esas ideas del cambio y de la multiplicidad
implican determinados absurdos: implican que lo que hay resulta a la vez
indefinidamente grande e indefinidamente pequeño, o que lo que se mueve
permanece estático al estar ocupando siempre un espacio igual a sí mismo. Estos
argumentos son reducciones a un absurdo conceptual, a presuntos contrasentidos,
antes que a un absurdo lógico, a contradicciones expresas.
Su potencial heurístico puede mostrarse, a su vez, en su contribución a
investigaciones de diverso género. Por ejemplo, investigaciones conceptuales como
las que se han ocupado del concepto matemático de infinito -cuyo estudio a través
de paradojas se remonta a casos como el de Galileo, si no anteriores; sobre el caso
de Galileo; o investigaciones quizás más sustantivas, como las propiciadas por
ciertas paradojas en física cuántica, o en ciencias sociales y en teorías de la
decisión y de la acción; y, en fin, investigaciones analíticas, como la que llevó a
Tarski, por el camino -entre otros- de la paradoja del mentiroso, a la concepción
semántica clásica de la verdad.
En ocasiones ambas dimensiones, la crítica y la heurística, vienen
conjugadas. Es entonces cuando las paradojas desarrollan todo su poder y pueden
contribuir incluso a una conmoción histórica en un área de conocimientos.
Recordemos la llamada “crisis de fundamentos” matemáticos, provocada -según
algunos- por las paradojas lógicas y matemáticas que amenazaban con minar, a
principios del s. XX, los inicios de la teoría de conjuntos. En cualquier caso, lo cierto
es que las paradojas han desempeñado un papel sustancial en la promoción y el
desarrollo de ciertos puntos conceptuales o analíticos, como el concepto de infinito
en matemáticas o el de reflexividad o auto-referencia en lógica y semántica.
Con todo y aun siendo provocaciones serias e importantes, no creo que el
gusto por las paradojas sea el camino de la liberación de los grilletes del lenguaje y
la razón, la vía de la iluminación interior, según pretenden algunos koan Zen (por
ejemplo: “¿Cuál es el sonido de la palmada de una sola mano?”), o algunos otros
enigmas más o menos sacros (como: ¿cuál es -entre los fang de Mbini- el nombre
de Dios?).
14
2.- Las posibles virtudes -e incluso algunos posibles vicios- de las paradojas
como anomalías discursivas serían inexplicables sin su contextualización o su
reconstrucción argumentativa. Las paradojas forman parte de una argumentación
tácita o expresa, o se fundan en ella. Y la comprensión de su significado, más allá de
su contrasentido real o aparente, supone la consideración y el análisis de la
argumentación subyacente.
Después se puede tener una estrategia de resolución o de reducción de tales
anomalías relacionada con este supuesto: el sentido de una paradoja reside en un
argumento.
De momento, bastarán estas indicaciones para ponernos en guardia ante la
imagen equívoca de las paradojas que se desprende de los catálogos o los
inventarios al uso: ahí aparecen como especímenes dados, aislados y curiosos, que
a lo sumo se prestan a una clasificación como las muestras de un naturalista o los
ejemplares de un entomólogo. En este respecto, las paradojas suelen correr la
suerte de las falacias: una suerte -mala suerte- más afín a sus efectos retóricos que
a sus contribuciones analíticas o sustantivas.
3.- Por último, tampoco estará de más considerar el marco socio-histórico o
cultural de las paradojas más fecundas –como algunas de las ya mencionadas en
relación con la “crisis de fundamentos” en matemáticas o con la “semántica
científica” en análisis lógico-. A esta luz, una paradoja viene a ser:
O bien:
(a) un resultado anómalo o inesperado que se infiere correctamente –al
menos, en principio- de ciertos supuestos conceptuales o teóricos presuntamente
obvios o establecidos, de modo que supone:
(i) un conjunto de asunciones o creencias de una comunidad epistémica;
(ii) ciertas expectativas asociadas o fácilmente derivables de ellas;
(iii) el reconocimiento de la aparición de una anomalía que contraviene alguna de
esas asunciones o creencias (i), o expectativas (ii);
O bien:
(b) una situación anómala o inesperada en la que se desemboca a partir de unos
supuestos o unos usos discursivos que se consideran -al menos en principiorazonables.
15
Con respecto a las creencias y expectativas que forman parte de la
“mentalidad” o de la cultura de una época, merece la pena evocar uno de los
primeros usos del término en inglés (paradox), considerado en el Oxford English
Dictionary. Se trata de una definición que nos dice: «Paradoja, una opinión
mantenida contra la opinión comúnmente admitida, como si uno afirma que la tierra
se mueve dando vueltas y los cielos están quietos». Y por lo que concierne a las
situaciones o los trances inesperados, son campos abonados los de la teoría de la
decisión, o de la acción colectiva, o de las aplicaciones de la teoría de juegos en
ciencias sociales.
¿Qué son las paradojas y cómo tratar con ellas?
Bueno, hay muchas opiniones al respecto y no todas coinciden. Veamos las
nociones de paradoja que hoy podrían considerarse más extendidas o de mayor
interés.
I.- Según N. Falleta (1986, The Paradoxicon, p. xviii; hay traducción española:
Paradojas y juegos, Barcelona, Gedisa, 1993), una paradoja puede ser alguna de
estas tres cosas:
«(1) un enunciado que se presenta como contradictorio, pero de hecho es verdadero;
(2) un enunciado que se presenta como verdadero, aunque de hecho envuelve una
contradicción; (3) un argumento válido o correcto que lleva a conclusiones
contradictorias.»
El caso (1) haría recordar las llamadas por Quine “paradojas verídicas (son
resultados que aparentan ser absurdos a pesar de ser demostrable su veracidad. A
esta categoría pertenecen la mayor parte de las paradojas matemáticas)”, mientras
que el caso (2) correspondería a las que llama “paradojas falsídicas (establecen un
resultado que no sólo aparenta ser falso, sino que es falso dada una falacia en la
demostración ofrecida. Las demostraciones falsas (por ejemplo, que demuestran
que 1=2) se incluyen en esta categoría”.
II.- Según R.M. Sainsbury (Paradoxes, Cambridge, Cambridge University Press,
1987, 1995; Introd., p. 1), una paradoja es una conclusión aparentemente
16
inaceptable derivada de premisas aparentemente aceptables por un razonamiento
aparentemente aceptable. Como lo aceptable no puede llevar por pasos aceptables
a lo inaceptable, aquí hay algo que anda mal sea en las premisas, o sea, en el
razonamiento.
Una ventaja de este planteamiento consiste en hacer expresos tanto el
contexto argumentativo, como el carácter discursivo de las paradojas. Quizás sea un
mérito añadido considerar que la “paradojicidad” -digamos- es una condición
gradual, dependiente de la manera como las apariencias enmascaran la realidad,
aunque esta relación entre aparencias y realidad no deje de ser muy imprecisa.
Según eso, cabría pensar en una escala de 1 a 10, donde el nivel 1 sería el de las
paradojas más suaves o menos relevantes, mientras que en el 10 se situarían las
conmociones teóricas o los cataclismos ideológicos.
Los ejemplos de Sainsbury son: para el nivel 1, el caso del barbero de una
remota aldea siciliana que afeita a todos los habitantes de la aldea que no se afeitan
a sí mismos, pero sólo a ellos; y para el nivel 10, el caso del mentiroso. Lo que
resulta del primer caso es la imposibilidad de que exista un barbero con arreglo a la
condición estipulada. Lo que ha resultado en el segundo caso ha sido una
investigación todavía en curso sobre determinados aspectos y supuestos del análisis
lógico-semántico.
Si aceptáramos la idea de la escala, quizás pudiéramos asignar un nivel
medio, 5, a una paradoja que empezó siendo una muestra relativamente trivial de
ciertos usos vagos e imprecisos, como el uso habitual de los términos ‘montón’ o
‘calvo’, para convertirse con el tiempo en un caso paradigmático dentro del análisis
lógico borroso. Veamos: se supone que una cantidad de 10.000 granos de trigo es
un montón de trigo. También es bien sabido que si de un montón de trigo se quita un
grano, sigue habiendo un montón. Así que, en general, para cualquier número n de
granos (n > 1), si n granos de trigo son un montón, n-1 granos siguen siendo un
montón. Luego, en definitiva, donde sólo quede un grano, habrá un montón
III.- Según N. Rescher (Paradoxes. Their roots, range, and resolution, Chicago y La
Salle, Open Court, 2001; c. 1, “Aporetics”), las paradojas no son simples
proposiciones -no son conclusiones, en particular-, sino conjuntos de proposiciones.
En esta perspectiva, una paradoja consiste en una serie de proposiciones tales que
cada una de ellas es plausible en sí misma o tomada individualmente, pero en
conjunto resultan inconsistentes. Ahora bien, no es fácil dar una explicación
17
comprensiva y unitaria de las paradojas conocidas -y de hecho el propio Rescher
despliega una clasificación temática de paradojas semánticas, matemáticas, físicas y
filosóficas, y estudia los supuestos que obran en grupos de ellas-. También distingue
niveles de paradojicidad, aunque relacione estos niveles no con grados de dificultad
sino con modalidades de disolución o resolución.
Por lo demás, las paradojas no son producto de un error de razonamiento:
esto sería más bien una falacia. Son producto de una disonancia de asunciones o de
compromisos. Pese a este punto de vista que se diría pragmático, los diagnósticos y
análisis practicados por Rescher sobre ciertos grupos seleccionados de paradojas
no se salen de la tradición del análisis lógico-metodológico.
IV.- Cabría añadir, por último, el reciente R. Sorensen (A brief history of paradox.
Philosophy and the labyrinths of mind, Oxford, Oxford University Press, 2003),
aunque sus preocupaciones y méritos tengan más que ver con sus propósitos
enciclopédicos que con sus conceptos o instrumentos analíticos. La verdad es que
no se limita a considerar paradojas discursivas, proposiciones o argumentos, so que
también hace referencias ocasionales a objetos paradójicas, paradojas visuales. No
obstante, tiene la peculiaridad de sostener la existencia de paradojas objetivas como lo son, a su juicio, los insolubilia medievales-, al margen de referencias
pragmáticas a unas asunciones o unas expectativas.
Su utilidad reside en su calidad de muestrario histórico filosófico. Aunque no
por ello consiga hacer que nos olvidemos de otros ensayos anteriores sobre los
laberintos de este género, no sólo más completos sino más lúcidos, como W.
Poundstone, Labyrinths of reason. Paradox, puzzles and the frailty of knowledge,
New York/Harmondsworth, Anchor Books/Penguin Books, 1988, 1991.
A la luz las consideraciones anteriores y de las opiniones que hemos
reseñado, podemos hacernos una idea de las paradojas como la siguiente.
[a] Las paradojas se componen de una anomalía discursiva, presunta o efectiva, y
de una disonancia cognitiva -i.e. un factor “desafío” o un factor “sorpresa”-.
[b] La anomalía consiste en que una argumentación aceptable -en principio- da
lugar a un conjunto de proposiciones o a una proposición inaceptable -en principio-.
18
La disonancia, a su vez, mueve a restablecer la estabilidad amenazada o la
normalidad perdida.
[c] De acuerdo con la composición declarada en [a], las paradojas incluyen una
referencia pragmática -e.g. a unas determinadas expectativas o creencias-, además
de su contenido temático -el asunto sobre el que versan- y de su disposición
discursiva o argumentativa.
[d] La disposición discursiva o argumentativa cobra especial si se tiene en cuenta en
que sólo a través de ella puede diagnosticarse y tratarse una paradoja -determinar,
por ejemplo, si nos encontramos ante una paradoja genuina o si estamos más bien
ante un acertijo, o un enigma, o un paralogismo, o un sofisma-. En otras palabras, si
teme vérselas con una paradoja o un contrasentido, acuda al lógico antes que al
psicoanalista o al especialista en traumas cognitivos.
[e] La disposición argumentativa también puede propiciar una estrategia de
resolución o de disolución de la anomalía en cuestión, en la medida en que para
desmontar o reducir su carácter paradójico baste mostrar que, contra nuestras
presunciones iniciales,
(1) la conclusión es aceptable, o
(2) alguna de las premisas -supuesto o condición en juego- es inaceptable, o
(3) la conclusión no se sigue de las premisas.
Veamos
alguna muestra de cada una de estas posibilidades -aunque el
procedimiento no siempre tenga el mismo éxito y haya alguna paradoja
especialmente recalcitrante.
(1) La paradoja se resuelve al poner de manifiesto un contexto discursivo en el que
la conclusión en cuestión es aceptable.
Recordemos, por ejemplo, la noción común o “axioma” de los Elementos de
Euclides a tenor del cual un todo es mayor que una de sus partes propias. Según
esto, el hallazgo de un conjunto parcial con el mismo número de miembros que el
conjunto total del que forma parte resulta paradójico. Pues bien, consideremos el
conjunto de los números naturales N (N = 1, 2, 3 ..., n, ...) y el conjunto de los
19
cuadrados positivos de estos números naturales C (C = 1, 4, 9 ..., n2, ...). Todos
estos cuadrados son a su vez números naturales; pero, entre los números naturales,
también los hay que no son cuadrados de números naturales (e.g.: 3, 5, ...). Así que
C es un subconjunto propio de N: todo miembro de C es miembro de N, y N tiene
además otros miembros que no son miembros de C. Ahora bien, los miembros de N
y C pueden emparejarse mediante correspondencia biunívoca, de modo que a cada
natural le corresponda un cuadrado y a cada cuadrado le corresponda un natural:
cada número natural o entero positivo cuenta con un único cuadrado asociado a él y
cada cuadrado cuenta con un natural (su raíz cuadrada positiva) parejamente
asociado. Luego, N y C son conjuntos extensionalmente iguales: tienen el mismo
número de miembros.
Esta conclusión ha resultado tan aceptable que ha venido a inspirar
precisamente un socorrido criterio de infinitud: un conjunto es infinito si es igual a un
subconjunto propio -igual en el sentido determinado por la correspondencia
biunívoca entre los miembros de ambos conjuntos-.
(2) La paradoja se disuelve al mostrar que una o más premisas o alguno de sus
supuestos son inaceptables, o que alguna de sus condiciones de efectividad es
inviable.
Un buen ejemplo de esto último es la paradoja del puente que relata
Cervantes y que ya va siendo hora de declarar después de las alusiones anteriores.
Dice así:
«Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío, y esté
vuestra merced atento porque el caso es de importancia y algo dificultoso ... Digo,
pues, que sobre este río estaba una puente y al cabo della una horca y una como
casa de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro jueces que juzgaban la ley
que puso el dueño del río, de la puente y del señorío, que era en esta forma: “Si
alguno pasare por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a
qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar, y si dijere mentira, muera por ello ahogado
en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna”. Sabida esta ley y la rigurosa
condición de ella, pasaban muchos, y luego en lo que juraban se echaba de ver que
decían verdad y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedió, pues, que
tomando juramento a un hombre juró y dijo que para el juramento que hacía, que iba
a morir en aquella horca que allí estaba y no a otra cosa. Repararon los jueces en el
20
juramento y dijeron: “Si a este hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su
juramento y conforme a la ley debe morir; y si le ahorcamos, él juró que iba a morir
en aquella horca y, habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre”. Pídese
a vuestra merced, señor gobernador, qué harán los jueces del tal hombre, que aún
hasta agora están dudosos y suspensos y, habiendo tenido noticia del agudo y
elevado entendimiento de vuestra merced, me enviaron a mí a que suplicase a
vuestra merced de su parte diese su parecer en tan intricado y dudoso caso». [Don
Quijote, Parte II (1615), c. LI.]
Tampoco estará de más ver las salidas que se le ocurren a Sancho Panza
a este respecto: la primera, tan simple como desesperada; la segunda, piadosa
aunque poco útil para afrontar la naturaleza paradójica del problema. Pues el
problema, si se aceptan sus términos, carece de solución. Pero puede disolverse o
soltarse el nudo de la cuestión al poner de manifiesto que la formulación misma de
esa ley permite una condición de acatamiento que hace inaplicable la propia ley. Por
lo demás, la paradoja del puente no es sino el paradigma de otras muchas de la
misma clase, como la del cocodrilo, o la del examen a aprobar o suspender, etc.
(3) La paradoja se disuelve mostrando que la conclusión no se sigue de las
premisas en cuestión, de modo que la anomalía solo es aparente y, en realidad,
descansa en un error inferencial deliberado o inadvertido, es decir en un sofisma o
en un paralogismo.
Un ejemplo tan habitual como instructivo es la siguiente “demostración” de que uno
es igual a dos:
(i)
Sea x = 1.
(ii)
Pero, obviamente, x = x.
(iii)
Y por ende x2 = x2.
(iv)
Así pues, por sustracción de x2 en ambos lados, x2 - x2 = x2 - x2.
(v)
Y por factorización de ambos lados, x (x - x) = (x + x) (x - x).
(vi)
De donde, extrayendo el término común (x - x), resulta: x = (x + x)
(vii)
O lo que es lo mismo: x = 2x.
(viii)
Luego, 1 = 2. QED.
21
El “secreto” de este tipo de “pruebas” reside en la indebida división por cero,
por x - x en el presente caso, supuesta en el paso (vi). El paso (v) es correcto al
decir que una vez cero es igual a dos veces cero: cualquier número de veces cero
es igual a cero. Pero de ahí no se sigue el paso (vi) ni, en definitiva, la pretensión de
que uno sea igual a dos. Puesto en evidencia el error, la presunta paradoja se
desvanece.
¡Ah!... pero olvidaba poner un ejemplo contundente del planteamiento de un
problema que se resuelva ejemplificando que se a aprendido algo de la materia
INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DEL LENGUAJE.
Procedamos –este ejemplo hace innecesarias las referencias o posible
bibliografía- a exponerlo:
EL PRISIONERO:
A un desdichado prisionero - custodiado día y noche por dos terribles guardianes-,
metido en una celda que tiene dos puertas, es informado por el alcalde de la prisión
que una de esas dos puertas le conducirá a la libertad y la otra a la muerte. El
alcalde le da la oportunidad de averiguarlo haciendo una única pregunta a cada uno
de sus dos terribles guardianes. Y se le advierte también que de los dos guardianes
hay uno, no sabe cual, que miente siempre, mientras que el otro guardián dice la
verdad siempre. El prisionero, con una sola pregunta, a uno cualquiera de sus dos
guardianes, podrá saber con seguridad cuál es la puerta que le llevará a la libertad.
¿Qué pregunta podría hacer para saber con seguridad cual es la puerta que no le
llevará a la muerte?
Solución: La pregunta a cada uno de los dos guardianes podría ser ésta: "¿Cuál es
la puerta que tu compañero, el otro guardián, me indicaría como la puerta que me
llevará a la libertad?". Si la pregunta se la ha hecho al mentiroso dirá: "mi compañero
te indicará la puerta M", pero como es mentira, la puerta que debería elegir sería la
que no es M. En cambio, si le hace la pregunta al guardián que no miente, te dirá la
verdad, diciendo: "mi compañero te indicará la puerta M", y como el compañero sí
miente, la puerta a elegir no será la puerta M. En conclusión, el prisionero ha de
elegir la puerta contraria a la que indique cualquiera de los dos terribles guardianes
en su respuesta. Por eso, bastará hacerle la pregunta uno a cualquiera de los dos.
--------------------------------------------------------------------------------------------