Práctico 3 1. Demostrar que el lımite de una sucesión en Rk, cuando

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Cálculo II, Curso 2012
Práctico 3
1. Demostrar que el lı́mite de una sucesión en Rk , cuando existe, es único.
2. Demostrar que un punto a es de acumulación de un conjunto X sii existe una sucesión
(xk ) ⊂ X \ {a} que converge a a.
n
o
1
3. Sea S = n1 + m
: n y m enteros positivos . Calcular S 0 , S̄, ∂S y S̄ \ S 0 .
4. Averiguar si los siguientes son cubrimientos abiertos de [0, 1]×[0, 1], y en caso afirmativo
hallar subcubrimientos finitos.
a) A = {Aλ }λ∈Λ , donde Aλ = {(x, y) ∈ R2 :
n ∈ Z+ }.
1
λ
±1 :
< y − x < λ}, y Λ = {±( n+1
n )
b) Si (xn ) es una numeración de los puntos de [0, 1] × [0, 1] de coordenadas ambas
racionales, y 0 < < 21 , sea A = {An }n≥1 , donde An = B(xn , 2n ) (sugerencia:
calcular la suma de las áreas de los discos An , y comparar el resultado con el área
de [0, 1] × [0, 1]).
5. Sea E un espacio normado.
a) Mostrar que si K y F son subconjuntos disjuntos de E, compacto y cerrado respectivamente, entonces existe un abierto A que contiene a K tal que A ∩ F = ∅.
b) Mostrar que si K1 y K2 son subconjuntos compactos disjuntos de E, entonces
existen abiertos disjuntos A1 y A2 tales que K1 ⊂ A1 y K2 ⊂ A2 .
6. Probar que si K es compacto y A = (Ai )i∈I es un cubrimiento abierto de K, entonces
existe λ > 0 tal que para cada x ∈ X se tiene que B(x, r) ⊆ Ai , para algún i ∈ I (un
tal número λ se llama número de Lebesgue para el cubrimiento A).
7.
a) Sea k k : Rk → R una norma
1) Probar que B̄(0, 1) es un entorno convexo, compacto y simétrico de 0 (que
X ⊆ Rk sea simétrico significa que X = −X, donde −X = {−x : x ∈ X}).
2) Mostrar que kxk := ı́nf{t > 0 : 1t x ∈ B̄(0, 1)}.
b) Deducir que, si K ⊆ Rk , entonces existe una norma k k : Rk → R tal que K =
B̄(0, 1) si y sólo si K es un entorno convexo, compacto y simétrico de 0 .
Entregar el Ejercicio 2. Plazo: Viernes 7 de setiembre, 13 horas.
Ejercicios complementarios y optativos
8. Sea C([a, b]) el espacio vectorial de las funciones continuas en [a, b] a valores reales con
las operaciones habituales de suma de funciones y producto de una función por un
número. En C([a, b]) consideremos las siguientes normas:
Z b
1/2
2
kf k∞ = máx{| f (t) | : t ∈ [a, b]}
kf k2 =
| f (t) | dt
a
1
(a) Probar que k f k2 ≤ (b − a)1/2 k f k∞ ,
∀f ∈ C([a, b]).
(b) Probar que si fk −→ f con la norma k k∞ entonces fk −→ f con la norma k k2 .
(c) Probar que no es cierto el recı́proco de la parte (b).
(d) ¿Estas dos normas consideradas son equivalentes?
(e) ¿Es C([a, b]) un espacio vectorial de dimensión finita?
9. Supóngase que (fn ) es una sucesión de Cauchy en (C([a, b]), k k∞ ) (ver el Ejercicio 8).
a) Probar que para cada t ∈ [a, b] la sucesión (fn (t)) es de Cauchy en R, y por lo
tanto converge a algún número real que denotaremos f (t). De esta manera queda
definida una función f en [a, b], tal que t 7→ f (t) = lı́mn fn (t).
b) Sean f la función que quedó definida en la parte anterior, t0 ∈ [a, b] cualquiera,
y ε > 0. Como (fn ) es de Cauchy, existe, nε ∈ N tal que kfn − fm k∞ < ε si
n, m ≥ nε .
1) Tomando lı́mite cuando n → ∞ deducir de la desigualdad anterior que
sup |f (t) − fm (t)| ≤ ε si m ≥ nε .
t∈[a,b]
2) Probar que f es continua en t0 , y por lo tanto en [a, b] (sugerencia: fijar m ≥ nε ,
y notar que |f (t) − f (t0 )| ≤ |f (t) − fm (t)| + |fm (t) − fm (t0 )| + |fm (t0 ) − f (t0 )|,
y recordar que fm es continua).
3) Usando las partes anteriores probar que fn → f en (C([a, b]), k k∞ ).
Concluir que (C([a, b]), k k∞ ) es un espacio de Banach.
10. Probar que ni (C([a, b]), k k1 ) ni (C([a, b]), k k2 ) son espacios de Banach (sugerencia: se
puede suponer que [a, b] = [0, 1]; en ambos casos la sucesión (fn ) es de Cauchy pero no
converge, donde fn (x) := máx{mı́n{1, (2nx − n + 2)/2}, 0}).
11. Normas duales en Rk . Sea k k : Rk → R una norma. La norma dual de k k es k k0 :
Rk → R definida como kak0 := sup{|a · x| : kxk = 1} (es decir, la norma dual de k k en
a es la norma de la funcional (Rk , k k) → R tal que x 7→ a · x).
a) Calcular las normas duales de k k1 y k k∞ .
b) Sean p, q ∈ (0, ∞) tales que p1 + 1q = 1. Recuérdese que para un tal valor de p
1
P
el mapa x 7→ kxkp := ( kj=1 |xj |p ) p es una norma en Rk . Probar que la norma
dual de k kp es k kq (para probar que k k0p ≤ k kq usar la desigualdad de Hölder –
Ejercicio 13(b) del Práctico 2– y para probar que k k0p ≥ k kq conviene observar que
si a ∈ Rk es tal que a = (a1 , . . . , ak ) 6= 0, entonces el elemento x = (x1 , . . . , xk ) ∈
q−1
Rk tal que xi = signo(ai ) |ai | q/p satisface kxkp = 1).
kakq
2