Lista de ejercicios del curso Arquivo

LISTA.
1. Probar que si A y B son equipotentes, entonces también lo son P(A)
y P(B).
2.
a) Un número real x se dice algebraico (sobre el cuerpo de los racionales) si satisface alguna ecuación polinómica de grado positivo
xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0
con coeficientes racionales ai . Mostrar que el conjunto de los
números algebraicos es infinito numerable.
b) Un número se dice trascendente si no es algebraico. Mostrar que
el conjunto de los números trascendentes tiene la potencia del
continuo.
3. Demostrar que ] {f : R → R : f continua} = ]R
4. Hallar interior, clausura y frontera de los siguientes subconjuntos de
R2 con la topologı́a usual. Determinar si son abiertos y si son cerrados.
a) A = {(x, y) : x > 0, y 6= 0}.
b) B = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q}.
c) C = {(x, y) : x 6= 0, y = sin(x)}.
d ) D = (x, y) : xy = n1 para algún entero positivo n .
5. ¿Es cierto que si A es abierto, entonces A = ˚
A?
6.
a) Probar que S = {[a, ∞) : a ∈ R} es base de una topologı́a τ en
R.
b) Describir los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados de (R, τ ).
c) Dar la clausura e interior de los siguientes conjuntos, donde x, y, z ∈
R:
1)
2)
3)
4)
{x}.
{x, y} con x 6= y.
{x ∈ R : x > y}.
{x ∈ R : x > y, x ∈
/ N}.
d ) Sea f : [0, 1] → R una función tal que todo punto del intervalo
[0, 1] es un máximo local. Probar que f tiene un máximo global.
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7. Encontrar una función f : R → R que sea continua solamente en un
punto.
8. Sea R con la topologı́a de los complementos finitos. Mostrar que las
únicas funciones continuas a valores reales son las constantes.
9. Sean X e Y espacios topológicos. Sea {Ai }i∈I una familia de subconjuntos cerrados de X tal que X = ∪i∈I Ai y f : X → Y una función
tal que f |Ai es continua ∀i ∈ I.
a) Probar que si I es finito, entonces f es continua.
b) Buscar un ejemplo con I = N y f no continua.
10. Supongamos que existen f : X → Y y g : Y → X continuas e inyectivas. Mostrar mediante un ejemplo que X e Y no tienen porque ser
homeomorfos.
11. ¿ Existe una función continua de [0, 1] en [0, 1] tal que f (x) sea racional
para x irracional e irracional para x racional?
12. Sea (M, d) un espacio métrico. Para cualquier subconjunto A de X
se define d(x, A) = ı́nf{d(x, y) : y ∈ A}. Probar que dA : M → R
definida por dA (x) = d(x, A) es uniformemente continua, y que d−1
A (0)
es igual a la clausura de A.
13. Sea f : X → R continua, donde X es segundo axioma y M el conjunto
de los máximos locales de f . Probar que f (M ) es numerable.
14. Sea X un espacio métrico. Probar que dados dos cerrados disjuntos,
existen abiertos disjuntos que los contienen, es decir, todo espacio
métrico es normal.
15. Las definiciones de regular y normal están en el ejercicio 4 del práctico
6. En general, regular no implica Hausdorff. Por ejemplo, en la topologı́a indiscreta. Pero basta poner que los puntos sean cerrados para
que sı́ implique. Un espacio que es regular y T1 se llama T3 . Un espacio
es regular sii cada punto tiene una base de entornos cerrados. Probar
que el producto de espacios regulares es regular.
16. En general, normal no implica regular. Por ejemplo, sea X = {x0 } ∪ Y
con la topologı́a τ = {∅, X, {x0 }}. Pero basta poner que los puntos
sean cerrados para que normal implique regular. Un espacio se llama
T4 si es normal y T1 . Se tiene, en conclusión, que Ti implica Tj para
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i > j, i y j entre 1 y 4. Para ver que el producto de normales no
necesariamente es normal hay un ejercicio más abajo.
17. Teorema: Lindelöf + regular implica normal.
Idea: Paso 1. Sean A y B cerrados disjuntos; existe un cubrimiento de A
formado por abiertos cuya clausura no intersecta B. Probar usando que
X es de Lindelöf que puede extraerse un subcubrimiento numerable
{Un }. Hay también uno de B con propiedad análoga, digamos {Vn }.
Paso 2. Definir
Un0 = Un \
k=n
[
Vn0 = Vn \
Vk
k=1
Un0
k=n
[
Uk .
k=1
Vm0
Probar que
∩
= ∅ para todo m y n.
Paso 3. Definir U = ∪n∈N Un0 y V = ∪n∈N Vn0 , y probar que son abiertos
disjuntos que contienen a A y B respectivamente.
18. Probar que R con la topologı́a τ` cuya base son los intervalos [a, b) es
un espacio de Hausdorff regular. Probar que es Lindelöf. Ayuda: Sea
τ la topologı́a usual. Si U es un cubrimiento τ` -abierto de R, entonces
el conjunto de puntos que no está en el τ -interior de algún elemento
U ∈ U es, a lo más, numerable.
Deducir que (R, τ` ) es normal.
Por lo tanto R2 con la topologı́a producto es Hausdorff y regular.
Probar que no es normal: por ejemplo en la recta x + y = 1, se consideran los conjuntos A de puntos con ambas coordenadas irracionales
B de los puntos cuyas coordenadas son ambas racionales. Probar que
A y B son cerrados y disjuntos pero que no hay abiertos disjuntos que
los contengan. Ayuda (se recomienda siempre intentar la prueba antes
de leer la ayuda, si no, se corre el riesgo de no entender ni siquiera la
ayuda): Si U y V son abiertos que contienen a A y B respectivamente,
para cada punto z = (x, 1 − x) existe un f (x) > 0 tal que el conjunto
Wx = z + [0, f (x)) × [0, f (x)) está contenido en U (si x ∈
/ Q) o en V
(si x ∈ Q). Probar que Wx y Wy son disjuntos sii el mı́nimo entre f (x)
y f (y) es menor o igual que |x − y|.
Con el siguiente lema se pondrı́a final feliz a la prueba:
Lema: Sea f : R → R+ una función, no necesariamente continua. Probar que existe un n tal que {x : f (x) > 1/n} tiene un punto que es de
τ -acumulación de Q y de R \ Q.
19. En este ejercicio se pide completar la siguiente serie de afirmaciones:
T4 implica T3 implica T2 implica T1 . Pero no hay dos que sean equi3
valentes. Asegúrese que sólo falta un ejemplo de un espacio Hausdorff
que no es regular.
Ahı́ va: sea X Hausdorff y regular que no es normal (de eso ya tenemos,
en el ejercicio anterior), y sean A y B cerrados disjuntos que no tienen
entornos disjuntos. Sea R la relación de equivalencia en X cuyas clases
son A y {x} para cada x ∈
/ A. Probar que X/R es Hausdorff pero no
es regular.
20. Sea X un espacio topológico de Hausdorff que no es normal y sean
A y B cerrados disjuntos que no tienen entornos disjuntos. Sea R la
relación de equivalencia en X cuyas clases son A, B y {x} para cada
x∈
/ A ∪ B.
Probar que R es cerrada en X × X pero que el cociente X/R no es
Hausdorff.
21. Sea f : X → Y una función sobreyectiva y considere la relación R
en X que identifica puntos con la misma imagen, esto es (x, y) ∈ R si
f (x) = f (y). Probar que f induce una biyección f˜ : X/R → Y . Probar
que si f es continua y se pone la topologı́a cociente en X/R, entonces f˜
es continua. Probar que si f es abierta y se pone la topologı́a cociente
en X/R, entonces f˜ es abierta.
22. En R se define la relación de equivalencia x ∼ y si x = y o x, y ∈ Z.
Probar que la proyección sobre el cociente es cerrada pero no abierta.
Probar que el cociente es conexo y localmente conexo por caminos.
23. Sea X el subconjunto de R2 formado por los segmentos verticales x =
1/n, 0 ≤ y ≤ 1 unión dos puntos: el (0, 0) y el (0, 1). Probar que X con
la topologı́a usual relativa no es conexo, los puntos (0, 0) y (1, 0) son
diferentes componentes, pero cualquier partición de X en dos abiertos
disjuntos deja a ambos puntos del mismo lado de la partición.
24. ¿Cuáles son las componentes conexas y arcoconexas de Rl ? Aquı́ Rl
denota la topologı́a que tiene como base a todos los intervalos de la
forma [a, b) con a < b. ¿Cuáles son los mapas continuos f : R → Rl ?
25. Sea (X, <) un conjunto ordenado.
a) Probar que el conjunto B = {(a, b) : a < b, a, b ∈ X} es base de
una topologı́a. A esta topologı́a la llamamos topologı́a del orden.
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b) El orden lexicográfico en R2 es: (a, b) > (c, d) sii a > c o si a = c
entonces b > d. Mostrar que el cuadrado [0, 1] × [0, 1] ordenado lexicográficamente es localmente conexo, pero no localmente
arcoconexo. ¿Cuáles son las componentes arcoconexas de este espacio?
26. Denotemos por X al conjunto (Q ∩ [0, 1]) × {0} ⊂ R2 . Sea T la unión
de todos los segmentos que unen el punto p = (0, 1) con puntos de X.
a) Mostrar que T es arcoconexo, pero sólo es localmente conexo en
el punto p.
b) Encontrar un subconjunto de R2 arcoconexo pero que no sea localmente conexo en ninguno de sus puntos.
27. Probar que un espacio es no conexo sii existe una función caracterı́stica
que es continua pero no es constante (i.e. una función que va a {0, 1}).
28. Probar que un espacio métrico compacto y localmente conexo tiene
una cantidad finita de componentes conexas. Probar con ejemplos que
las dos hipótesis son necesarias.
29. Sea f : S 1 → R una función continua. Mostrar que existe un punto
x ∈ S 1 tal que f (x) = f (−x).
30. Sea (X, d) un espacio métrico. Son equivalentes: (a) X es compacto.
(b) Toda f : X → R continua es acotada. (c) Toda f : X → R continua
tiene máximo y mı́nimo.
31. La PIF: una familia C de subconjuntos cerrados de un espacio X tiene
la PIF (propiedad de intersección finita) si toda subfamilia finita tiene
intersección no vacı́a. Probar que X es compacto sii toda familia de
cerrados con la PIF tiene intersección no vacı́a.
32. Probar que la intersección de compactos encajados no vacı́os en un
espacio T2 es no vacı́a. Si un abierto contiene a la intersección, entonces
contiene a alguno de los compactos.
33. La clausura de un compacto puede no ser compacta.
34. Sea (X, τ ) compacto Hausdorff. Si τ1 ⊃ τ pero τ1 6= τ , entonces (X, τ1 )
es Hausdorff pero no es compacto. Si τ2 ⊂ τ pero τ2 6= τ , entonces
(X, τ2 ) es compacto pero no es Hausdorff.
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35. Teorema: Sea f : X → Y con Y compacto y Hausdorff. Entonces f
es continua si y sólo si el gráfico de f , Gf = {(x, f (x)) : x ∈ X} es
cerrado en X × Y .
36.
a) Teorema: Sea fn : X → R una sucesión de funciones continuas,
con fn (x) → f (x) para todo x ∈ X. Si f es continua, X compacto,
y la sucesión fn es monótona creciente, entonces la convergencia
es uniforme.
b) Dar contraejemplos del recı́proco si quitamos la hipótesis de compacidad de X, o si quitamos la hipótesis de la monotonı́a de la
sucesión.
37. Se define el número de Lebesgue de un cubrimiento. Sea U un cubrimiento abierto de un espacio métrico X. Entonces L > 0 es número de Lebesgue de U si cualquier bola en X de radio L está contenida en un elemento de U. Por ejemplo, la familia de intervalos
{(1/n, 2/n) : n > 1} es un cubrimiento abierto de (0, 1), pero no tiene
número de Lebesgue, ya que para cubrir el intervalo (0, L) se necesita usar más de un elemento del cubrimiento. Si U es un cubrimiento
abierto de un espacio compacto, entonces U tiene número de Lebesgue.
(Sug: Si {U1 , . . . , Un } es un subcubrimiento, defina fi (x) = d(x, X \Ui ).
Probar que es continua y positiva, y definir f (x) = máx{fi (x)} que es
mayor que una constante positiva L.)
38. Sea M un espacio métrico compacto y sea f : M → M una función
continua. Probar que existe un subconjunto X ⊂ M compacto tal que
f (X) = X.
39. Sea (X, d) un espacio métrico y f : X → X una isometrı́a. Mostrar
que si X es compacto, entonces f es sobreyectiva y por o tanto un
homeomorfismo. (Sugerencia: si a ∈
/ f (X), elegir > 0 tal que el entorno de a sea disjunto de f (X). Sea x1 = a y xn+1 = f (xn ) en
general. Mostrar que d(xn , xm ) ≥ para todo n 6= m).
40. Compactificación de Alexandroff o compactificación con un punto. Sea
(X, T ) un espacio topológico, ∞ una cosa que no está en X. Se define la
compactificación de Alexandroff de X como el espacio (X 0 , T 0 ), donde
X 0 = X ∪ {∞} y A ∈ T 0 si A ∈ T o si ∞ ∈ A y X \ A es compacto y
cerrado en la topologı́a T .
Probar que T 0 es una topologı́a, que X 0 es compacto y que la función
de inclusión de X en X 0 es continua (o sea, la topologı́a T es la relativa
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de T 0 ).
Probar que X 0 es Hausdorff sii X es localmente compacto y Hausdorff.
41. La topologı́a compacta-abierta se define en el espacio de funciones
continuas f : X → Y , de la siguiente forma: dados un compacto
K ⊂ X y un abierto U ⊂ Y , sea V(K, U ) = {f : X → Y : f (K) ⊂ U }.
Esta familia es subbase de la topologı́a compacta-abierta.
Probar que contiene a la topologı́a producto. Probar que es Hausdorff
si Y es Hausdorff y regular si Y lo es. Probar que si Y = R entonces
fn converge a f según esta topologı́a sii fn |K converge uniformemente
a f |K para cada K compacto en X.
42. Sea (X, d) un espacio métrico. Si A ⊂ X y > 0, sea U (A, ) el entorno de A. Sea H la colección (no vacı́a) de todos los subconjuntos
cerrados y acotados de X. Si A, B ∈ H definimos
D(A, B) = ı́nf { > 0 : A ⊂ U (B, ) y B ⊂ U (A, )}
a) Mostrar que D es una métrica en H, la cual es llamada métrica
de Hausdorff.
b) Mostrar que si (X, d) es completo, entonces también lo es (H, D).
(Sugerencia: sea An una sucesión de Cauchy en H, pasando por
una subsucesión, podemos asumir que D(An , An+1 ) < 21n . Definir
A como el conjunto de todos los puntos x que son lı́mite de sucesiones x1 , x2 , . . . tales que xi ∈ Ai para cada i y d(xi , xi+1 ) < 21i .
Mostrar que An → A).
c) Mostrar que si (X, d) es totalmente acotado, también lo es (H, D).
(Sugerencia: dado > 0, tomar δ < y sea S un subconjunto
finito de X tal que la colección {Bd (x, δ) : x ∈ S} cubre X. Sea
A la colección de todos los subconjuntos no vacı́os de S. Mostrar
que {BD (A, ) : A ∈ A} cubre a H).
d ) Teorema: Si X es compacto con la métrica d, entonces H es compacto con la métrica de Hausdorff D.
43. En el espacio C(X) de funciones reales continuas en el compacto X, se
consideran dos topologı́as: τd es la topologı́a inducida por la topologı́a
producto de RX y τf es la topologı́a inducida por la métrica d∞ .
probar que τd ⊂ τf .
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Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función continua, no idénticamente
nula, que vale 0 en 0 y en 1, y gn (x) = f (xn ). Discutir en función
de f y de la topologı́a que se considere, la existencia del lı́mite de
la sucesión {gn }. Concluir que las topologı́as τd y τf no coinciden.
Sea F ⊂ C(X) un conjunto equicontinuo. Probar que en F , las
topologı́as inducidas por τd y τf coinciden.
44. Sea X métrico compacto. Probar que A ⊂ C(X) es equicontinuo sii la
aplicación de F × X en R dada por (f, x) → f (x) es uniformemente
continua, si se considera en F × X la métrica producto.
45. Sea C 1 = C 1 ([0, 1]) el espacio de funciones C 1 de [0, 1] en R. Las
siguientes son métricas en C 1 :
d1 (f, g) = máx{|f 0 (x) − g 0 (x)|} + máx{|f (x) − g(x)|},
d2 (f, g) = máx{|f 0 (x) − g 0 (x)|} + |f (0) − g(0)|.
Probar que d2 ≤ d1 ≤ 2d2 . Deducir que son equivalentes.
Probar que C 1 ([0, 1]) es completo.
Sea B la bola unidad cerrada en (C 1 , d1 ). Probar que B no es compacta
en C 1 .
Probar que B es un subconjunto compacto de (C([0, 1]), d∞ ).
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