5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Repaso Variables Aleatorias Jorge Eduardo Ortiz Triviño jeortizt@unal.edu.co http:/www.docentes.unal.edu.co/jeortizt/ CONTENIDO 1. 2. 3. 4. 5. INTRODUCCIÓN VARIABLES ALEATORIAS TEOREMA FUNDAMENTAL. GENERADORES DE V.A. GENERALIZACIÓN DELTEOREMA FUNDAMENTAL. 6. GENERADORES DE VECTORES ALEATORIOS. 1. INTRODUCCIÓN MODELAR MODELO MUNDO REAL EXPERIMENTAR? DECISIONES IMAGEN DEL MUNDO REAL OBTENER RESULTADOS: EXPERIMENTAR 1. INTRODUCCIÓN Hasta el momento se han simulado sistemas cuya densidad es uniforme. Es decir si X U a, b 1 f ( x ) Ia ,b x entonces significa que X b a donde U es un número X a b a U aleatorio. Por fortuna todas las técnicas se basan en generadores uniformes, y por tanto comparten las características de estos. 4 1. INTRODUCCIÓN Pero ¿Cómo simular comportamientos más complejos que los uniformes? Por ejemplo, ¿Cómo simular eventos exponenciales 1 x ? f ( x) exp x 0 El principal método de generación que estudiares es el método de la transformación inversa: Teorema Fundamental de la Simulación. También estudiaremos otras técnicas basadas en transformaciones. 5 2. Variables Aleatorias Función que asigna a cada punto del espacio muestral un número real X: Ejemplo N°1: R = falla , no falla X( no falla ) = 0 X( falla ) = 1 2. Variables Aleatorias Espacio Muestral no falla A cada s le corresponde exactamente un valor X(s) falla X({no falla}) = 0 X({falla}) = 1 IR 0 X: 1 Conjunto Números Reales Rx IR X-1(-, x) Familia de eventos elementales 2. Variables Aleatorias si X(s) = b; s A sk X(s) = a RX a b • El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s). • En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral • El espacio muestral original “induce” un espacio muestra Rx asociado a la Variable Aleatoria X • Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral RX VARIABLES ALEATORIAS A sA X : RX H : RX RY s dominio X x RX rango X (s, x) X x RX dominio H y RY rango H (x, y) H RX B X(s) B RY C H(x) C H(X(s)) C Y : RY s dominio Y = H(X) y RY rango Y = H(X) (s, y) Y = H(X) P(C) = P[{ x RX : H(x) C}] = P[{ s : H(X(s)) C}] VARIABLE ALEATORIA: Clasificación Variables aleatorias discretas Función Cuantía Variables aleatorias continuas Función de densidad Función de distribución VARIABLES ALEATORIAS Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) fX(x) Sea Y = H(x) también es una variable aleatoria. Entonces: Si H(x) discreta Y = H( X) es v.a. discreta Y = H( X) es v.a. discreta Y = H( X) es continua v.a. discreta Y = H( X) es v.a. continua discreta X es v.a. Si H(x) continua VARIABLES ALEATORIAS X U (0,1) Y = ln X FY ( y ) P(Y y ) P(ln X y ) P( X e ) FX (e ) y y derivando con respecto a “y” tenemos: d dFX (e y ) dx y y fY ( y ) FY ( y ) f X (e ) e dy dx dy 1 e y I R ( y ) Variable Aleatoria X: R X-1(-, x) Variable Aleatoria Discreta Sea C (con C ) Soporte contable f:C R C = ci : i I N i) f(ci) 0 ii) f(c ) iI i =1 Usando la transformación X Función de Probabilidad v.a. Discreta A cada resultado posible xi se asocia un número f(xi) = P(X(s) = xi) llamado la probabilidad de xi Los f(xi) deben satisfacer f(xi) • 0 f(xi) 1; i = 1, 2, 3, ... , n • S f(xi) = 1 i El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Función de Probabilidad o Cuantia. x x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn P(X=5) = f(5) Función de Probabilidad de “masa” Función de Frecuencia X(ci) = xi P(A) = j i:ci C A f(c j ) P( x xi ) i Propiedades función de cuantia: 1. P ( X = xi ) 0 2. S P ( X = xi ) = 1 i 3. Función de Distribución: F(x) = xS P ( X = xi ) = xS f ( xi ) x x i i Esperanza de una v.a. X EX xi P( X xi ) i Varianza de una v.a. X V X ( xi EX ) 2 P( X xi ) i Ejemplo: Binomial Supongamos que de una línea de producción se extraen n piezas con reemplazo, las cuales pueden ser defectuosas o no con una probabilidad “p”. X: N° de piezas defectuosas en las n extracciones Entonces n k nk P( X k ) p (1 p) k k = 0, 1, 2,......,n E X = np V X = np (1-p) Notación: X B( n , p ) •Se utiliza en el muestreo de una población finita con reemplazo. •También cuando la población es muy grande, con o sin reemplazo, ya que “p” se hace relativamente constante. Función de Distribución v.a. Discreta F(x) F(x) = 0 x < x1 1 1 = S f( xi ) x1 x < x2 = S f( xi ) x2 x < x3 = S f( xi ) x3 x < x4 i=1 2 i=1 3 i=1 4 = S f( xi ) i=1 0 P(X=x5) = f(x5) Función de Probabilidad de “masa” Función de Frecuencia x x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn x4 x < x5 Variables Aleatorias Continuas • Cuando el experimento se realiza sobre un espacio muestral que está relacionado con escalas intevalares (tales como mediciones de distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad, voltajes, intensidad, caudal, temperatura etc.) • Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i-ésimo valor de X = xi; En tales casos se habla se Variables Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o un conjunto de intervalos; entonces existe una función continua especial f: R R f(x) = lim h 0 P(x < X < x + h) h >0 Variables Aleatorias Continuas Sea X una variable aleatoria continua. La función densidad de probabilidad (pdf) es una función que satisface: f(x) > 0; f(x) x Rx A: un evento a x b A: { x| a < x b) f(x) dx = 1 Rx b P(A) = P(a < x < b) f( x ) dx a Distribuciones de Probabilidad Continuas Están definidas por una densidad de v. a. X f : R R se dice densidad de probabilidad Propiedades: 1. f (x) 0 2. f( x)dx 1 - Observaciones b 1. P(a x b) f ( x)dx a 2. F ( x) P( X x) x f (t )dt 3. F (-) = 0 ; F () = 1 b A f ( x)dx f(x) 4. Fx es no decreciente 5. E X a xf ( x)dx a |R 6. V X ( x EX ) f ( x)dx R 2 b x Función de Distribución Acumulada Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores: F(x) = P(X x) Si X es es una una v.a. v.a. Discreta Discreta F(x) = S f(x ) i i xi x Donde la suma es tomada sobre todos los índices i que satifacen xi x Si X es una v.a. Continua x F(x) = f(t) dt - Donde la sumatoria es reemplazada por una integración para todos los valores de t x Construcción de Modelos de Probabilidad II) Sea F : R R, Fu Distribución, entonces: i) F es no decreciente ii) F es continua por la derecha iii) lim F(x) = 0 lim F(x) = 1 Luego P( - , x ) = F(x) define una Probabilidad Además: P( a,b ) = F(b) - F(a) P( a,b ) = F(b) - F(a-) P( a,b ) = F(b-) - F(a) P( a,b ) = F(b-) - F(a-) Variables Aleatorias Continuas Sea X una variable aleatoria continua que puede tomar cuarquier valor entre a x b; cuya pdf es: f (x ) 1 ba a xb f(x) Sea a = 3; b = 12 0,2 A: el evento { 4 < x < 7 } 0,1 Entonces: 7 x 0,0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a b min máx P(A) = P(4 < x < 7) 4 1 P(A) = 3 1 9 dx Distribuciones Continuas Especiales 1. Distribución Uniforme: Dada la función de densidad 1 f ( x) ba a xb La función de Distribución es F ( x) 0 xa xa ba a xb 1 xb ab EX 2 (b a) 2 V X 12 Notación: X U( a , b ) Distribuciones Continuas Especiales 2. Distribución Normal 1 f ( x) 2 e 1 x 2 2 F(x) : No tiene expresión analítica , xR V X 2 E X Notación: X N( , 2 ) Estandarización Haciendo Z se tiene que: X N( 0 , 1 ) 1 f z ( z) e 2 1 z2 2 y FZ(z) se obtiene de tablas ! ,zR Función Densidad de Probabilidades