Cap. 5_Ecuaciones en forma integral

Capítulo 4
Ecuaciones básicas en forma
integral para un volumen de
control
Contenido
4.1
Introducción ................................................................................73
4.2
Relación entre sistema y volumen de control .............................73
4.3
Ecuación de continuidad.............................................................74
4.4
Ecuación de cantidad de movimiento .........................................76
4.5
4.6
4.4.1
Volumen de control inercial ...........................................77
4.4.2
Volumen de control no inercial ......................................81
La primera ley de la termodinámica............................................85
4.5.1
Trabajo realizado por un volumen de control ................87
4.5.2
Ecuación para un volumen de control ...........................89
Bibliografía ..................................................................................91
Capítulo 4
72
Ecuaciones básicas en forma integral para un volumen de control
4.1 Introducción
Toda materia (sólidos y fluidos) está gobernada por las mismas leyes físicas
(conservación de la masa, las leyes de movimiento de Newton y la conservación de la
energía). Estas leyes se establecen de tal forma que se aplican a la misma cantidad
de materia o sistema. En el análisis de sólidos no hay ninguna dificultad en aplicar
estas leyes ya que las partículas que constituyen el sistema son fácilmente
identificables. Sin embargo, en el análisis del flujo de fluidos es casi imposible seguir
las partículas que constituyen el sistema, por lo que es necesario desarrollar un
método alternativo para aplicar las leyes de la física a un volumen fijo en el espacio,
conocido como volumen de control.
4.2 Relación entre sistema y volumen de control
Existe una relación entre la formulación para un sistema y la formulación para un
volumen de control conocida como el Teorema del Transporte de Reynolds, figura
4.1
Figura 4.1 Enlace del Teorema del Transporte de Reynolds.
Este enlace se representa a través de la ecuación,
donde N es cualquier propiedad extensiva del sistema, como la masa, la cantidad de
movimiento, el volumen y la energía, y η es la propiedad intensiva correspondiente
(propiedad extensiva por unidad de masa).
En la Ec. (4.1), el término de la izquierda representa el cambio total de la propiedad N
en el sistema. El primer término en el lado derecho representa un cambio con
respecto al tiempo de la propiedad dentro del volumen de control y el segundo término
es el flujo de la propiedad a través de las fronteras del volumen de control.
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Capítulo 4
4.3 Ecuación de conservación de la masa
La ecuación de continuidad se obtiene aplicando la ley de la conservación de la masa
a un sistema, figura 4.2.
donde:
teniendo que:
Figura 4.2 Ecuación de conservación de la masa.
Ya que esta ecuación establece simplemente que la masa de un sistema no cambia,
esta forma de la ecuación de continuidad no es muy útil para el análisis de fluidos en
movimiento. Sin embargo, se puede utilizar la Ec. (4.1) para transformarla en una
forma más útil. Así, sustituyendo N = M y η = 1 en la Ec. (4.1) se tiene que,
Comparando las Ecs. (4.2a) y (4.3) se obtiene la formulación de la conservación de la
masa para un volumen de control,
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Ecuaciones básicas en forma integral para un volumen de control
En esta ecuación el primer término representa la rapidez del cambio de la masa
dentro del volumen de control, mientras que el segundo término representa el flujo
neto de masa a través de la superficie de control. Esta ecuación establece
simplemente que la rapidez de acumulamiento de masa en el volumen de control es
igual a la diferencia entre la masa que entra y la que sale del mismo.
Existen algunos casos especiales donde es posible simplificar la Ec. (4.4). Por
ejemplo, para un flujo incompresible, en el cual la densidad permanece constante, la
Ec. (4.4) se puede escribir como
La integral de
sobre el volumen de control es simplemente el volumen mismo. Así
esta expresión es
En un flujo incompresible la densidad no varía por lo que es constante en todo el
volumen de control y ya que el tamaño del volumen de control es fijo, el primer término
de la ecuación anterior es igual a cero. Así, la ecuación de continuidad para flujo
incompresible es
La integral
sobre una sección de superficie de control es comúnmente llamada
el flujo volumétrico o gasto,
En la deducción de la Ec. (4.5) la única consideración fue que el flujo es
incompresible. No se ha hecho ninguna consideración con respecto a si el flujo es
permanente o transitorio, por lo que esta ecuación representa la ley de la
conservación de la masa para un flujo incompresible que puede ser permanente o
transitorio.
Para el caso general de un flujo permanente que no es incompresible, ρ=ρ(x, y, z), el
primer término de la Ec. (4.4) deberá ser igual a cero, por lo que la ecuación de
conservación de la masa para flujos permanentes es
75
Capítulo 4
La integral de
sobre una sección de la superficie de control se conoce como
flujo másico, figura 4.3.
Figura 4.3 Balance de masa (ecuación de continuidad)
4.4 Ecuación de cantidad de movimiento
El movimiento de cualquier masa está gobernado por la segunda ley de Newton, la
cual se deberá aplicar siempre al mismo sistema de masa o partícula de fluido. Esta
ley establece que para que un sistema se mueva con relación a un marco de
referencia inercial (sin aceleración con respecto a un sistema de coordenadas fijo), la
suma de todas las fuerzas externas actuando sobre el sistema es igual a la rapidez de
cambio de la cantidad de movimiento del sistema,
donde la cantidad de movimiento lineal del sistema,
y la fuerza resultante
actúan sobre el sistema,
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, está dada por
incluye todas las fuerzas de superficie y de cuerpo que
Ecuaciones básicas en forma integral para un volumen de control
Si la fuerza de cuerpo se representa por unidad de masa como
, entonces
Cuando la fuerza de la gravedad es la única fuerza de cuerpo actuando sobre el
sistema, entonces
. Las fuerzas de superficie actuando sobre las fronteras del
sistema se pueden representar mediante
(fuerza por unidad de área), tal que
Para poder aplicar la Ec. (4.9) en el análisis de flujo de fluidos, es conveniente
transformarla, mediante el teorema del transporte de Reynolds, a una formulación más
adecuada para un volumen de control.
4.4.1 Volumen de control inercial
Para obtener la formulación de la segunda ley de Newton para un volumen de control
se tiene
y
Sustituyendo en la Ec. (4.1)
De la Ec. (4.9)
Ya que al derivar la Ec. (4.1), el sistema y el volumen de control coinciden en el
tiempo inicial,
Las Ecs. (4.11) y (4.12) dan la formulación de la segunda ley de Newton para un
volumen de control inercial (sin aceleración), figura 4.4.
77
Capítulo 4
Figura 4.4 Ecuación de cantidad de movimiento.
Esta ecuación es la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento, o
simplemente ecuación de movimiento, para un volumen de control inercial. Esta
es otra de las ecuaciones importantes en mecánica de fluidos, que junto con la
ecuación de conservación de la masa, establecida previamente, deberá satisfacer
todo fluido en movimiento. Los dos términos del lado derecho de la Ec. (4.13) son
llamados términos inerciales ya que representan la resistencia inercial de la masa
del fluido al cambio en su velocidad. El primer término es la rapidez de cambio de la
cantidad de movimiento lineal dentro del volumen de control y el segundo representa
el cambio neto de la cantidad de movimiento lineal que cruza la superficie de control.
La Ec. (4.13) es una ecuación vectorial y se puede descomponer en sus tres
componentes, en cualquier sistema de coordenadas. En coordenadas rectangulares,
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Ecuaciones básicas en forma integral para un volumen de control
Volumen de control con velocidad constante. Un volumen de control (fijo con
relación a un marco de referencia xyz) moviéndose con velocidad constante con
relación a un marco de referencia fijo XYZ (inercial), también es inercial, ya que no
tiene aceleración con respecto a XYZ. Supóngase que se quiere analizar el flujo de
aire a través de las turbinas de propulsión de un avión. La elección lógica del volumen
de control es la que encerrará a la turbina y viajará con ella, como se muestra en la
Figura 4.5a. Si el avión está volando a una velocidad constante, también el volumen
de control se mueve a velocidad constante. Una manera de manejar este problema es
sumar una velocidad igual y opuesta a la del avión en cada punto del campo, lo que
llevaría al avión, y de aquí al volumen de control, al reposo. Este método es
equivalente a adherir un sistema de coordenadas al volumen de control (el avión). En
tal sistema de coordenadas el volumen de control está fijo, por lo que se puede
emplear la ecuación de movimiento para un volumen de control inercial. Esta
transformación no afecta las fuerzas que actúan sobre el volumen de control. Este
método se denomina transformación galileana.
Otra manera de enfocar este problema es imaginar a un observador montado sobre el
avión, como se muestra en la Figura 4.5b. Este observador ve que el aire se aproxima
al avión a una velocidad igual en magnitud y opuesta en dirección a la del avión. El
observador elige naturalmente un sistema de coordenadas fijo al avión, dibuja un
volumen de control alrededor de la turbina y procede a analizar el flujo por medio de
un volumen de control fijo. Si el avión no está acelerado, el observador podría emplear
la Ec.(4.13) o cualquiera de sus formas simplificadas, con las velocidades definidas
con respecto a las coordenadas basadas en el avión. Las fuerzas que actúan sobre el
volumen de control no quedan afectadas por una transformación galileana o por el
movimiento del observador.
Figura 4.5 Transformación de un volumen de control móvil en un volumen de control
fijo.
La Ec. (4.1), la cual expresa las derivadas del sistema en términos de variables de
volumen de control, es válida para cualquier movimiento a velocidad constante del
sistema de coordenadas xyz (fijo al volumen de control), teniendo en cuenta que:
1. Todas las velocidades se miden relativas al volumen de control.
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Capítulo 4
2. Todas las derivadas con respecto al tiempo se miden relativas al volumen de
control.
Para enfatizar este punto, la Ec. (4.1) se presenta como
Ya que las derivadas con respecto al tiempo se deberán medir relativas al volumen de
control, al usar esta ecuación para obtener la ecuación de cantidad de movimiento
para un volumen de control inercial, de la formulación para un sistema, se debe
establecer que
y
para obtener la ecuación
La Ec. (4.16) es la formulación de la segunda ley de Newton aplicada a cualquier
volumen inercial (estacionario o en movimiento con velocidad constante). Ésta es
idéntica a la Ec. (4.13), excepto que se ha incluido el subíndice xyz para enfatizar que
las cantidades deberán ser medidas relativas al volumen de control (vistas por un
observador moviéndose con el volumen de control).
Momento angular
Muchas aplicaciones en la ingeniería involucran el momento de la cantidad de
movimiento y se estudian los efectos rotacionales causados por el momento angular.
La principal aplicación es en el estudio de la turbomaquinaria, donde el teorema del
transporte de Reynolds se expresa como,
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Ecuaciones básicas en forma integral para un volumen de control
Figura 4.6. Ecuación del momento angular.
4.4.2 Volumen de control no inercial
No todos los volúmenes de control son inerciales; un cohete deberá tener aceleración
si va a salir de la Tierra. Para saber si es posible emplear la Ec. (4.16) para volúmenes
de control no inerciales, se analizarán brevemente los dos principales elementos
usados para su obtención.
Primero, al relacionar las derivadas de sistema de control con la formulación para un
volumen de control [Ec. (4.1) ó (4.15)], el volumen de control se fijó respecto a xyz; el
campo de flujo,
, se especificó con relación a las coordenadas x, y y z,
sin ninguna restricción al movimiento del marco de referencia xyz. Consecuentemente,
la Ec. (4.15) es válida en cualquier instante para cualquier movimiento arbitrario de las
coordenadas x, y y z, siempre que todas las derivadas con respecto al tiempo y las
velocidades en la ecuación se midan con relación al volumen de control.
Segundo, la ecuación del sistema, Ec. (4.9), donde la cantidad de movimiento lineal,
, del sistema está dada por la Ec. (4.10), es válida únicamente para velocidades
medidas con relación al marco de referencia inercial. Así, si se representa el marco de
referencia inercial mediante XYZ, entonces la segunda ley de Newton establece que
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Capítulo 4
Ya que las derivadas con respecto al tiempo de
y
no son iguales para un
sistema con aceleración relativa a un marco de referencia inercial, la Ec. (4.16) no es
válida para un volumen de control con aceleración.
Volumen de control con aceleración rectilínea. Para desarrollar la ecuación de
cantidad de movimiento para un volumen de control con aceleración lineal, es
necesario relacionar
sistema
del sistema con el
del sistema. La derivada del
se puede relacionar con las variables del volumen de control
mediante la Ec. (4.15). Recordando que la aceleración se debe medir relativa a un
marco de referencia inercial, que se ha designado como XYZ, la segunda ley de
Newton para un sistema es
El único problema ahora es obtener una expresión adecuada para
, para el caso
especial en el que el marco de coordenadas xyz esté sujeto a una traslación pura, sin
rotación, relativa al marco inercial XYZ.
Ya que el movimiento de xyz es una traslación pura relativa al marco inercial XYZ,
entonces,
donde
es la aceleración rectilínea del sistema relativa al marco de referencia inercial
XYZ,
es la aceleración rectilínea del sistema relativa al marco de referencia no
inercial xyz y
es la aceleración del marco de referencia no inercial xyz relativa al marco
inercial XYZ.
Para este caso, la ecuación del sistema se escribe como
Alternativamente,
ya que
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Ecuaciones básicas en forma integral para un volumen de control
entonces
Ya que dm = ρdV, la ecuación del sistema se convierte en
donde la cantidad de movimiento lineal del sistema,
y la fuerza
sistema.
está dada por
incluye todas las fuerzas de superficie y de cuerpo actuando sobre el
Definiendo
y
, de la Ec. (4.15) se tiene,
De la Ec. (4.20)
Ya que el sistema y el volumen de control coinciden en to entonces,
Con esto, al combinar las Ecs. (4.20) y (4.22) se obtiene la formulación de la segunda
ley de Newton para un volumen de control con aceleración relativa a un marco de
referencia inercial:
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Capítulo 4
Ya que
, la ecuación anterior se convierte en
Comparando la ecuación de cantidad de movimiento para un volumen de control con
aceleración rectilínea, Ec. (4.23), con la de un volumen sin aceleración, Ec. (4.16), se
observa que la única diferencia es la presencia de un término adicional en la Ec.
(4.23). Cuando el volumen de control no tiene aceleración relativa a un marco de
referencia inercial, XYZ, entonces
y la Ec. (4.23) se reduce a la Ec. (4.16).
Las componentes escalares de la Ec. (4.23) son:
Volumen de control con aceleración arbitraria. Para el caso general en el que el
volumen de control sufra una aceleración arbitraria, entonces
donde
:
Aceleración rectilínea absoluta de una partícula relativa al marco de
referencia fijo XYZ.
:
Aceleración rectilínea absoluta del marco de referencia en
movimiento xyz, relativa al marco de referencia fijo XYZ.
:
Aceleración rectilínea de una partícula relativa al marco de
referencia en movimiento xyz.
:
Aceleración de Coriolis debida al movimiento de una partícula
dentro del marco en movimiento xyz.
:
Aceleración centrípeta debida a la rotación del marco en
movimiento xyz.
:
84
Aceleración tangencial debida a la aceleración angular del marco de
referencia en movimiento xyz.
Ecuaciones básicas en forma integral para un volumen de control
Con esto, la ecuación de cantidad de movimiento para un volumen de control con
aceleración arbitraria es,
La Ec. (4.25) es la formulación más general de la segunda ley de Newton para un
volumen de control.
4.5 La primera ley de la termodinámica
La primera ley de la termodinámica es un enunciado de la ley de la conservación de la
energía. Esta ley establece que, para un sistema
donde la energía total del sistema está dada por
donde
En la Ec. (4.26), la rapidez de transferencia de calor
es positiva cuando el calor es
añadido al sistema desde los alrededores y la rapidez con la que se realiza trabajo
(potencia)
es positivo cuando es realizado por el sistema sobre sus alrededores.
Para derivar la formulación de la primera ley de la termodinámica para un volumen de
control, se debe establecer que
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Capítulo 4
N=E
y
η=e
Sustituyendo en la Ec. (4.1) se obtiene, figura 4.7.
Figura 4.7 Ecuación de la energía.
Al derivar la Ec. (4.1), el sistema y el volumen de control coinciden en to, de manera
que
Con esto las Ecs. (4.26) y (4.27) dan la formulación de la primera ley de la
termodinámica para un volumen de control:
Para obtener una formulación más adecuada de la primera ley de la termodinámica,
para la solución de problemas utilizando un volumen de control, se deberá analizar el
término
86
.
Ecuaciones básicas en forma integral para un volumen de control
4.5.1 Trabajo realizado por un volumen de control
La rapidez de trabajo realizado por un volumen de control se divide convenientemente
en cuatro clasificaciones,
A continuación se consideran por separado cada uno de ellos.
1. Trabajo de eje
Designando el trabajo de eje (o flecha) mediante We, la rapidez de transferencia de
trabajo de eje (o potencia de eje) transferida en toda la superficie de control será
.
Este es el trabajo que transfiere el volumen de control por donde no hay flujo de fluido,
por elementos ajenos al fluido (ejes o flechas).
2. Trabajo realizado por esfuerzos normales a la superficie de control
El trabajo realizado por la fuerza
, durante una distancia
, está dado por
Para obtener la rapidez a la cual se está realizando trabajo por la fuerza
, se divide
la expresión anterior entre el incremento de tiempo Δt, y se toma el límite cuando
Δt → 0. Así, la rapidez de trabajo realizado por la fuerza
, está dada por
o
La rapidez con que se realiza trabajo sobre un elemento de área
de control, por los esfuerzos normales, está dada por
, de la superficie
La rapidez total de trabajo (potencia) realizada sobre toda la superficie de control por
los esfuerzos normales, está dada por
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Capítulo 4
3. Trabajo realizado sobre la superficie de control por esfuerzos cortantes
Así como se realiza trabajo sobre las fronteras del volumen de control por esfuerzos
normales, también se puede realizar trabajo por esfuerzos cortantes, sobre la misma
superficie de control. La fuerza cortante actuando sobre un elemento de área de la
superficie de control, está dada por,
donde el vector de esfuerzo cortante,
, actúa en el plano de
.
La rapidez con que se realiza trabajo sobre la superficie de control por los esfuerzos
cortantes está dada por,
Esta integral se expresa de forma más adecuada como
El primer término ya se tomó en cuenta, ya que se incluyo el término
En las superficies sólidas,
volumen de control fijo). Así,
previamente.
, de manera que el segundo término es cero (para un
Este último término se puede hacer cero mediante la selección adecuada de la
superficie de control. Si se selecciona una superficie de control que corta cada puerto
perpendicularmente al flujo, entonces dA es paralelo a
de dA, entonces
perpendicular a
τ es perpendicular a
,
y
88
. Ya que
está en el plano
. Así, para una superficie de control
Ecuaciones básicas en forma integral para un volumen de control
4. Otros trabajos
Al volumen de control también se le puede agregar otras formas de energía como
eléctrica y electromagnética. En la mayoría de los problemas, tales contribuciones de
energía están ausentes, pero se tomarán en cuenta en la formulación general.
Con todos los términos de
evaluados se obtiene,
4.5.2 Ecuación para un volumen de control
Sustituyendo la Ec. (4.29) en la Ec. (4.28) se obtiene
Al reacomodar los términos en esta expresión se tiene,
Ya que ρ = 1/v, entonces
Con esto
Los efectos viscosos pueden hacer que los esfuerzos normales, σnn, sean diferentes al
negativo de la presión termodinámica, - P; sin embargo, para la mayoría de los flujos
de interés en ingeniería σnn = - P. Entonces,
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Capítulo 4
2
Finalmente, sustituyendo e = u + v /2 + gz en el último término de la ecuación
anterior, se obtiene la forma familiar de la primera ley de la termodinámica para un
volumen de control,
Con frecuencia se combinan los términos u y Pv para formar la propiedad
termodinámica llamada entalpía, h. Con esto, la expresión anterior se puede escribir
como,
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Ecuaciones básicas en forma integral para un volumen de control
4.6 Bibliografía
1. Fox, R.W., & McDonald, A.T., Introduction to Fluid Mechanics, 4th ed., John Wiley
& Sons, 1995.
2. Çengel, Y.A., y Cimbala, J.M., Mecánica de Fluidos, fundamentos y aplicaciones,
1ª ed., McGraw-Hill Interamericana, 2006.
3. Gerhart, P.M., Gross, R.J. y Hochstein, J.I., Fundamentos de Mecánica de Fluidos,
2ª ed., Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.
4. Daugherty, R.L., & Franzini, J.B., Fluid Mechanics with Engineering Applications,
6th ed., McGraw-Hill, 1977.
5. Shames, I.H., Mechanics of Fluids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1982.
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