INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE Cálculo I CONTINUIDAD Docente: Carlos Andres Vélez Decir que una función f es continua en x = c significa que su gráfica no sufre interrupción en c, que ni se rompe ni tiene saltos ni huecos. La continuidad de una función en x = c se destruye por alguna de las siguientes causas: ➢ ➢ ➢ la función no esta definida en x = c. El límite de f(x) en x = c no existe. El límite de f(x) en x = c existe, pero no coincide con f(c). Continuidad en un punto. condiciones: Una función f se dice continua en c si se verifican las 1. f(c) está definido. 2. lim f x existe x c 3. lim f x = f c x c Continuidad en un intervalo abierto. Una función f se dice continua en un intervalo (a,b) si lo es en todos los puntos de ese intervalo. Se dice que f es discontinua en c si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c (excepto quizás en c) y f no es continua en c. existen dos categorías de discontinuidad: evitables y no evitables. Se dice que una discontinuidad en x = c es evitable si f puede hacerse continua redefiniéndola en x = c. La existencia de un límite Si f es una función y c, L números reales, entonces: Pág 1 INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE Cálculo I lim f x = L sí y solo si x c lim f x = f c x c − y lim f x = f c x c Definición de continuidad en un intervalo cerrado Si f está definida en un intervalo cerrado [a,b], continua en (a,b) y lim f x = f a y x a lim f x = f b x b − se dice que f es continua en [a,b]. Propiedades de las funciones continuas Si b es un número real y f, g continuas en x = c, también son continuas en c las funciones: 1. Múltiplo escalar: bf 2. Producto: fg 3. Suma y diferencia: f ± g 4. Cociente: f g si g(c) ≠ 0 Pág 2 INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE Cálculo I Tabla de funciones continuas Las siguientes funciones son continuas en todo punto de su dominio: 1. Polinomios: p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 2. Racionales: r(x) = p(x) / q(x), 3. Radicales : q(x) ≠ 0 n f x = x 4. Trigonométricas: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x Continuidad de una función compuesta Si g es continua en c y f lo es en g(c), la función compuesta dada por f○g(x) = f(g(x)) es continua en c. Teorema del valor intermedio Si f es continua en [a,b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un número c entre a y b tal que f(c) = k. Definición de límites infinitos La afirmación lim f x =∞ x c significa que para cada M > 0 existe un δ > 0 tal que f(x) > M siempre que 0 < |x-c| < δ. Pág 3 INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE Cálculo I lim f x =−∞ La afirmación x c significa que para cada N <> 0 existe un δ > 0 tal que f(x) < N siempre que 0 < |x-c| < δ. Asíntotas verticales Definición: Si f(x) tiende a + ∞ (o - ∞) cuando x tiende a c por la izquierda o por la derecha, diremos que la recta x = c es una asíntota vertical de la gráfica de f. Sean f y g continuas en un intervalo abierto conteniendo a c. Si f(c) ≠ 0, g(c) = 0, y existe un intervalo abierto conteniendo a c tal que g(x) ≠ 0 para todo x ≠ c en el intervalo, entonces la gráfica de la función dada por f x F x= g x tiene una asíntota vertical en x = c. Propiedades de los límites infinitos Si c, L son números reales y f, g son funciones tales que lim f x =∞ y x c lim g x= L x c entonces las siguientes propiedades son válidas: 1. Suma o diferencia: lim [ f x±g x]=∞ xc 2. producto: lim [ f x g x]=∞ , L > 0 xc Pág 4 INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE Cálculo I lim [ f x g x]=−∞ L < 0 xc 3. Cociente: g x lim =0 f x xc propiedades similares aplican si lim f x =−∞ x c Pág 5