Potenciales escalar y vectorial manuel fernández guasti 20 de febrero de 2007 1. Potenciales Las ecuaciones de Maxwell son ∇·D=ρ ∇·B=0 ∂D +J ∇×H= ∂t ∂B ∇×E=− ∂t (1) (2) (3) (4) Puesto que la divergencia del desplazamiento magnético es cero, éste campo puede escribirse en términos de un rotacional B = ∇ × A. (5) Si se sustituye éste resultado en la ecuación (4) se obtiene ∇×E=− ∂∇ × A ∂t ∂A ∇× E+ = 0, ∂t ⇒ y una cantidad irrotacional puede escribirse como el gradiente de un campo E+∂A/∂t = −∇φ, el campo eléctrico en términos de los potenciales es entonces E = −∇φ − 1.1. ∂A . ∂t (6) normas Puesto que el rotacional de un gradiente es cero, al potencial vectorial en la ecuación (5) se le puede agregar un gradiente A → A + ∇ξ . Para mantener el campo eléctrico invariante ante esta transformación es necesario modicar el potencial escalar φ → φ − ∂ξ/∂t. Éste grado de libertad nos permite escoger una relación entre los potenciales. En la norma de Lorentz se escoge ∇ · A = −µε ∂φ , ∂t (7) mientras que en la norma de Coulomb se utiliza ∇ · A = 0. 1 (8) 1.2. norma de Lorentz La ecuación (1) en términos de los potenciales es ∇2 φ + ρ ∂∇ · A =− , ∂t ε y de la norma de Lorentz se obtiene que el potencial escalar satisface la ecuación de onda ∂2φ ρ ∇2 φ − µε 2 = − . (9) ∂t ε La ecuación (3) puede escribirse como ∂ ∇ × ∇ × A = −µε ∂t ∂A ∇φ + ∂t + µJ. Ésta expresión con la identidad vectorial del rotacional es ∇2 A − µε ∂φ ∂2A = µε∇ + ∇ (∇ · A) − µJ, 2 ∂t ∂t y si se utiliza la norma de Lorentz ∇2 A − µε ∂2A = −µJ, ∂t2 (10) se obtiene que el potencial vectorial también satisface la ecuación de onda. 2. electrostática Si las dependencias temporales son cero, los potenciales satsifacen la ecuación de Poisson y las soluciones son entonces φ (r) = 1 ε y (11) V ρ (r0 ) dv 0 |r − r0 | (12) V J (r0 ) dv 0 . |r − r0 | Z Z A (r) = µ 3. electrodinámica Para campos dependientes del tiempo se introducen potenciales retardados φ (r, t) = 1 ε y (13) V ρ (r0 , t − |r − r0 | /c) 0 dv |r − r0 | (14) V J (r0 , t − |r − r0 | /c) 0 dv . |r − r0 | Z Z A (r, t) = µ 2